積化和差和差化積專題(精選)

1、積化和差、和差化積專題三角函數(shù)的積化和差公式： 夕二!回11（4+月）+£1（值一歷一cos G sinp- ysin（cr+ p） £in（ar-歷一戶二閏/5）.其中前兩sin csin 戶= cos(£f-l-m-cos(oj-()積化和差公式是由正弦或余弦的和角公式與差角公式通過(guò)加減運(yùn)算推導(dǎo)而得sin a;cos 6= sm（£r+ 5） +sintai-戶）.個(gè)公式可合并為一個(gè)：.二'三角函數(shù)的和差化積公式：sm <T + sinsm sin0。舊+8切=233四2a- fl2cos Q cos 4 = 2 sina;+#Bill

2、22和差化積公式是積化和差公式的逆用形式，要注意的是:a+§ a-B其中前兩個(gè)公式可合并為一個(gè)：sin段+ sin* =2 sin ? cos 2積化和差公式的推導(dǎo)用了 “解方程組”的思想，和差化積公式的推導(dǎo)用了 “換元”思 想.只有系數(shù)絕對(duì)值相同的同名函數(shù)的和與差，才能直接運(yùn)用公式化成積的形式，如果一個(gè)正弦與一個(gè)余弦的和或差，則要先用誘導(dǎo)公式化成同名函數(shù)后再運(yùn)用公式化積合一變形也是一種和差化積 .三角函數(shù)的和差化積， 可以理解為代數(shù)中的因式分解，因此，因式分解在代數(shù)中起什么作用，和差化積公式在三角中就起什么作用 .積化和差與積差化積是一種攣生兄弟，不可分離，在解題過(guò)程中，要切實(shí)注意

3、兩者的交替使用.如在一般情況下，遇有正、余弦函數(shù)的平方，要先考慮降哥公式，然后應(yīng)用和差化 積、積化和差公式交替使用進(jìn)行化簡(jiǎn)或計(jì)算.和積互化公式其基本功能在于：當(dāng)和、積互化時(shí)，角度要重新組合，因此有可能產(chǎn)生特殊角；結(jié)構(gòu)將變化，因此有可能產(chǎn)生互消項(xiàng)或互約因式，從而利于化簡(jiǎn)求值.正因?yàn)槿绱恕昂?、積互化”是三角恒等變形的一種基本手段.典型例題:例1 .把下列各式化為和或差的形式:(2) sin6! cos3 &(l)2cos(Od-45" )Stig+45“ j例 2.求值：sin6° sin42 ° sin66° sin78°求證27r4t6

4、7rcos - + cos + cos - -例3.例4.求值：cos24° sin6° cos72°例5.求 tan20 ° + 4sin20 ° 的值.2加 5?？?而 初口。+ 為60口tml 00)求值:Jl + sinlO。34 11 £111例 7.已知 sin(A+B尸 5 , sin(A-B尸-),求值： 42A Gin'3 B coe1 A例 8.求 sin 220° +cos280° + 后 sin20cos80° 的值.例 9.試證：cos2(A- 0 )+cos 2(B -

5、 0 )-2cos(A-B)cos(A- 0 )cos(B- )的值與 0 無(wú)關(guān).專題訓(xùn)練、基礎(chǔ)過(guò)關(guān)一.兀，八ur ， ，一j-函數(shù) y= cos x+ cos x + - 的取大值是32.3.4.A. 2B. 3 1 + sin 4 a- cos 4 民人入“m 口 化簡(jiǎn)1+sin4a+ cos 4的結(jié)果是A. cot 2aB. tan 2aC.cot aD. tan a1cos( a+ 9cos( a就=3，貝U cos2 a- sin2 3 等于sin 20B.cos 70 * cos 40 cos 80 的值為9.cos2 a cos acos(60 4 o)+ sin2(30 a)的

6、值為()5.d.q36.給出下列關(guān)系式:1 A.4sin 35 - sin 25 士口 cos 35 二 cos 25 的值是 sin 5 0+ sin 3 0= 2sin 8 0cos 2 0; cos 3 0 cos 5 0= 2sin 4 Osin 0;1 sin 3 0 sin 5 9= 一 2cos 4 (cos 0; sin 5 0+ cos 3 0= 2sin 4 (cos 華1 sin xsin y= 2cos(x y) cos(x+ y).其中正確的序號(hào)是7.化簡(jiǎn):sin 40 1 + 2cos 402cos240 + cos 40 18.在 ABC中,求證： sin A+s

7、in B + sin C, A= 4cos 2 cosB C2cos 2.二、能力提升1 A.23B.23C.41 D.410.已知cos2 a cos2 3= m, 那么 sin( a+ 就 sin(a3) =11.化簡(jiǎn):tan 20 平 4sin 20 . °12.已知C 1cos a cos 3= 2，sin sin求sin( a+ 3的值.三、探究與拓展13.已知 ABC的三個(gè)內(nèi)角 A, B,滿足:A+C=2B,揶 + 就=求cos cos BA - Cm /古21的值.專題訓(xùn)練二A.sin(A+ B)+ sin(A B) = 2sinAcosBB.sin(A+ B) sin

8、(A B) = 2cosAsin BC.cos(A+ B)+ cos(A B) = 2cosAcosBD .cos(A+ B) cos(A B)= 2sinAcosB2. sin15 sin75 =()11AB-A.841 c.2D. 13.A.sin105 a sin15 等于()-3-2B. 2L6C. 26D.44. sin37.5 cos7.5 =.1. sin70 cos20 - sin10 sin50 的值為(3口 3A.4B.萬(wàn))1C.23D7cos72 - cos36 的值為(2.)1.下列等式錯(cuò)誤的是（）A.3- 2 .31B.2-1C. -23.在 ABC 中，若 sinA

9、sinBcos2C,則4 ABC是(A.等邊三角形4.函數(shù) y= sinB.等腰三角形（x g）cosx的最大值為（C.不等邊三角形D.直角三角形1 A.21B.4C.D.5.A.若 cos( a+ gos( a2一31P)=" 則 cos2 a- sin20 等于(36.A.-1B.-31 C.32D.3函數(shù) y=sin(x + -)-sinx(x 0 , 13-2,2B. -2,%的值域是（C.2 17 . cos275°+ cos215°+ cos75 0cos15 的值等于 .8 .已知 kA §，且 c°sa+ cos 3= 3,則

10、cos(a+ 等于/ 花、 /2 TR 口 L9 .函數(shù)y= cos(x+w)cos(x+9)的取大值是sinA+ 2sin3A+ sin5Asin3A+ 2sin5A+sin7A10 .化簡(jiǎn)下列各式：cosA+ cos 120 ° + B + cos 120 ° B .(1)sinB + sin 120 +A -sin 120 -A，11 .在AABC中，若B = 30°,求cosAsinC的取值范圍.51 sin2x12 .已知 f(x) = 2十-x (0,無(wú))2 2sinx將f(x)表示成cosx的多項(xiàng)式；(2)求f(x)的最小值.答案1解析：選D.由兩角

11、和與差的正、余弦公式展開(kāi)左邊可知A、B、C正確.1.1.1112 解析：選 B.sin15 sin75 =-2cos(15 斗 75 )-cos(15 = 75 ) = 5(cos90 ' cos60 ) = (05) = 4.位105+15°105-15° c.。 m3解析:選 C.sin105 斗 sin15 =2sin2cos2=2sin60 cos45 =上.J2+11 J2 1 收+11答案： 4 = 2 2 +2 =4 . = 2(sin45 斗sin30 )1 4 解析：sin37.5 cos7.5 = Jsin(37.5 + 7.5 )+sin(37

12、.5 - 7.5 )10. 10.5 解析：選 A.sin70 cos20 sin10 sin50 =(sin90 斗 sin50 ) +-(cos60 - cos40 )1 1113= -+-sin50 +- -cos40 =-. 2 24 246 解析： 選 C.原式= 2sin72 展 36 sin72 ? 36 = 2sin54 ° sin18 = 2cos360cos72°c sin36 cos36 cos72 ° sin72 cos72 ° sin144 °1 花、用 _= -2；sin36- - sin36。= 2s禧亍5,故選

13、C.117 斛析：選 B.由已知等式得 cos(A B) cos(A+ B) = (1 + cosC),又 A+B= k C.所以 cos(A-B)-cos( lC) = 1 + cosC.所以cos(A-B)= 1,又一nt A-B<%,所以A- B=0,所以A=B,故 ABC為等腰三角形.故選 B.8 解析：選 B.y=sin(x-6)cosx = 2 sin x 薩 x+sin(x6c x)1r . c 衛(wèi) 1.1/ c 衛(wèi)、1111= 2sin2x6 2=，sin(2x-6)-4."= £-4=4.9 解析：選 C.cos( a+ gos( a 0)= 1(c

14、os2 a+ cos2 41=2(2cos2 a 1)+(1 2sin2 陰= cos2a sin2 3:cos2 a- sin2 p= 1.310 解析：選 B.y= sin(x+3t) - sinx= 2cos(x+6)sin6/,兀= cos(x+ 6).xe 0 2:60 x+ 6 -3-,.二 13一"2y 2 .11 解析：y = sin215 ° + cos215 ° + cos75 ° cos15 °5答案：5,1.51 + 2(cos90 + cos60 )=4.一". _«+ 3 a12 解析：cos a

15、+ cos 3= 2cos-2cos2'c _無(wú)=2cos3cosa+ B:cos( a+ B)= 2cos202 11=2x11979.答案: tx+ B 1 =cos-79111 cos2x 十2(11 八4-2cos2x,14解：（1）原式=cosA+ 2cos120 cosBcosA cosBsinB+ 2cos120 sinA sinB - sinAA+ B B-A 2sin-2- sin-2- =tanA+ BB-A2cos 2 sin-2-A+ B'1,無(wú)、13斛析：y = 2 cos 2x+ it + cos(_3)3答案:因?yàn)橐?0cos2xW1,所以 ymax=4.、sinA+ sin5A - 2sin3A(2)原式=sin3A+sin7A +2sin5A2sin3Acos2A + 2sin3A=2sin5Acos2A + 2sin5A2sin3A cos2A + 1sin3A2sin5A cos2A + 1sin5A.15解：由題意得.一 1 .cosAsinC= 2【sin(A+ C) sin(A C)1八= 2sin( fB)-sin(A-C)11