因式分解講義

1、環(huán)球雅思學(xué)科教師輔導(dǎo)教案授課主題因式分解教學(xué)目標(biāo)1、使學(xué)生理解并掌握因式分解的概念2、能夠熟練的運(yùn)用提公因式法公式法、分組分解法、十字相乘法來(lái)解決常見(jiàn)的因 式分解題授課日期及時(shí)段教學(xué)內(nèi)容因式分解知識(shí)點(diǎn)一：因式分解的概念及注意事項(xiàng)因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式分解成幾個(gè)整式乘積的形式，它和整式乘法互為逆運(yùn)算，在初中代數(shù)中占有重要地位和作用， 在其它學(xué)科中也有廣泛應(yīng)用，學(xué)習(xí)本章知識(shí)時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)。1 .因式分解的對(duì)象是多項(xiàng)式；2 .因式分解的結(jié)果一定是整式乘積的形式；3 .分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)因式都不能再分解為止；4 .公式中的字母可以表示單項(xiàng)式，也可以表示多項(xiàng)式；5 .結(jié)果如有相同因式，應(yīng)寫成

2、嘉的形式；6 .題目中沒(méi)有指定數(shù)的范圍，一般指在有理數(shù)范圍內(nèi)分解；知識(shí)點(diǎn)一：因式分解基本方法方法一提公因式法1、提公因式法分解因式的一般形式，如 ：ma+mb+mc=m(a+b+c ).這里的字母a、b、c、m可以是一個(gè)系數(shù)不為 1的、多字母的、哥指數(shù)大于 1的整式.2、提公因式法分解因式，關(guān)鍵在于觀察、發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式的公因式3、找公因式的一般步驟(1)若各項(xiàng)系數(shù)是整系數(shù)，取系數(shù)的最大公約數(shù)；(2)取相同的字母，字母的指數(shù)取較低的；(3)取相同的多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的指數(shù)取較低的(4)所有這些因式的乘積即為公因式.4、注意事項(xiàng)：多項(xiàng)式的公因式應(yīng)是各項(xiàng)所共有的最高因式，公因式的系數(shù)原則上是不定的。但對(duì)整系

3、數(shù)的多項(xiàng)式， 其公因式的系數(shù)一般取所有系數(shù)的最大公約數(shù)；對(duì)分?jǐn)?shù)系數(shù)的多項(xiàng)式，其公因式的系數(shù)一般取所有分母的 最小公倍數(shù)分之一；公因式的字母取各項(xiàng)共有的字母，各相同字母的指數(shù)取其次數(shù)最低的。公因式可以是 單項(xiàng)式也可以是多項(xiàng)式，有時(shí)要進(jìn)行適當(dāng)變形才能出現(xiàn)公因式。題型展示：1、將下列各式分解因式：(1) 3a(x y) - 2b(x y);(2) 12(mn)218(mn)3;(3) 3(2x y) 6( y 2x)3;1 223222(4)-a b(p q) -ab (q p )；482、下列分解因式結(jié)果正確的是 ()A. 6(x2)x(2 x) (x 2)(6 x)B.x3 2x2 x x(x2

4、 2x)22C. a(ab) ab(a b) a(a b)d.3xn 6xn3xn(x 2)提高練習(xí)1、如果 ba= 6, ab=7,那么 a2b ab2的值是()A.42B. 42C.13D.-132、若 4x36x2=2x2(2x+k),貝U k=.3、 .2( ab) 4( ba) =2( ab) ().4、 .36 X 29 12X 33=.5、分解因式22(x y)(x y) (x y) 8a(x y) 4b(y x)6 .計(jì)算與求值29X20.03+72 X 20.03+13 X 20.03 14X 20.03.7 、.先化簡(jiǎn)，再求值11a(8 a)+b(a8) c(8 a),其中

5、 a=1, b=，c=.一 一，.18、已知 2x y -, xy 2,求 2x y x y 的值.8方法二公式法【知識(shí)精讀】把乘法公式反過(guò)來(lái)，就可以得到因式分解的公式。2 2王要有：平萬(wàn)差公式ab(ab)(ab)完全平方公式a22ab b2 (ab)23 . 32.2.立萬(wàn)和、立萬(wàn)差公式a b (a b) (a ab b )運(yùn)用公式法分解因式的關(guān)鍵是要弄清各個(gè)公式的形式和特點(diǎn)，熟練地掌握公式。但有時(shí)需要經(jīng)過(guò)適當(dāng) 的組合、變形后，方可使用公式。用公式法因式分解在求代數(shù)式的值，解方程、幾何綜合題中也有廣泛的應(yīng)用。因此，正確掌握公式法因式分解，熟練靈活地運(yùn)用它，對(duì)今后的學(xué)習(xí)很有幫助。下面我們就來(lái)學(xué)

6、習(xí)用公式法進(jìn)行因式分解題型展示:1.1例 1.已知：a _m 1 b _m 2 c2，2，222求 a 2ab b 2ac c 2bc 的值。解：a2 2ab b222ac c 2bc2_2(a b) 2c(a b) c(a b c)211m 1, b m 2, c221 -m22原式 (a b c)2111(2 m 1) (2 m 2) (2 m 3)說(shuō)明：本題屬于條件求值問(wèn)題,解題時(shí)沒(méi)有把條件直接代入代數(shù)式求值，而是把代數(shù)式因式分解，變形后再把條件帶入，從而簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。例 2.已知 a b c 0, a3 b3 c3 0,555求證：a b c 0333222證明： a b c 3abc

7、 (a b c)(a b c ab bc ca)把a(bǔ) b c 0, a3 b3 c3 0代入上式，可得abc 0,即a 0或b 0或c 0若a 0,則b c,a5 b5 c5 0若b 0或c 0,同理也有a5 b5 c5 0說(shuō)明：利用補(bǔ)充公式確定 a, b, c的值，命題得證。例 3.若 x3 y3 27, x2 xy y2 9,求 x2 y2 的值。3322、解： X y (x y)(x xy y ) 2722目 x xy y 922x y 3, x 2xy y 9 (1)22又 x2 xy y29(2)兩式相減得xy 0一一 .22所以x y 9說(shuō)明：按常規(guī)需求出 x, y的值，此路行不通

8、。用因式分解變形已知條件，簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。常見(jiàn)題型： 3.2例1 ：因式分解：x 4xy 。33222 .解：x 4xy x(x 4y ) x(x 2y)(x 2y)說(shuō)明：因式分解時(shí)，先看有沒(méi)有公因式。此題應(yīng)先提取公因式，再用平方差公式分解徹底。32 23例2：分解因式：2x y 8x y 8xy 。3-22-32.22解：2x y 8x y 8xy 2xy(x 4xy 4y ) 2xy(x 2y)說(shuō)明：先提取公因式，再用完全平方公式分解徹底。提高練習(xí)1 .利用提公因式法簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程例：計(jì)算 123 987268 987456 98752198713681368136813682 .分解因式：,

9、、，2 33 2(1) 4m n12m n2mn,、 2 n 2. n 1n. n 1 a x abx acx adx(n為正整數(shù))3 222(3) a(a b) 2a (b a)2ab(b a)3.計(jì)算：(2)11(2)10的結(jié)果是()D. 1A. 2100B. 210C. 2方法三分組分解法【知識(shí)精讀】把各項(xiàng)適當(dāng)分組，先使分解因式能分組進(jìn)行，再使分解因式在各組之間進(jìn)行.分組時(shí)要用到添括號(hào)： 括號(hào)前是“+”號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變符號(hào)；括號(hào)前面是“-”號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào)分組分解法的原則是分組后可以直接提公因式，或者可以直接運(yùn)用公式。使用這種方法的關(guān)鍵在于分組適當(dāng)，而在分組時(shí)，必

10、須有預(yù)見(jiàn)性。能預(yù)見(jiàn)到下一步能繼續(xù)分解。而“預(yù)見(jiàn)”源于細(xì)致的“觀察”，分析多項(xiàng)式的特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)姆纸M是分組分解法的關(guān)鍵。應(yīng)用分組分解法因式分解，不僅可以考察提公因式法，公式法，同時(shí)它在代數(shù)式的化簡(jiǎn)，求值及一元二次方程，函數(shù)等學(xué)習(xí)中也有重要作用。題型展示：222例1.分解因式：m (n 1) 4mn n 1解：m2 (n2 1) 4mn n2 12 222m n m 4mn n 1,2 222、(m n 2mn 1) (m 2mn n ) 22(mn 1) (m n)(mn m n 1)(mn m n 1)說(shuō)明：觀察此題，直接分解比較困難，不妨先去括號(hào)，再分組，把 4mn分成2mn和2mn,配成完全

11、平 方和平方差公式。2.已知：a2 b21, c2d21,且 ac解：ab+cd= ab 1cd 1ab(c2d2)cd(a2b2)abc2abd2cda2cdb2(abc2cdb2)(abd2 cda2)bc(acbd)ad(bdac)bd 0 ,求 ab+cd 的值。例(ac bd)( bc ad)ac bd 0原式 0說(shuō)明：首先要充分利用已知條件a2 b2 1, c2 d2 1中的1 (任何數(shù)乘以1,其值不變)，其次利用分解因式將式子變形成含有ac+bd因式乘積的形式，由 ac+bd=0可算出結(jié)果。例3.分解因式：x3 2x 3分析：此題無(wú)法用常規(guī)思路分解，需拆添項(xiàng)。觀察多項(xiàng)式發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=

12、1時(shí)，它的值為 0,這就意味著x 1是x3 2x 3的一個(gè)因式，因此變形的目的是湊x 1這個(gè)因式。解一(拆項(xiàng))：333x 2x 3 3x 3 2x 2x2 _23(x 1)(x2 x 1) 2x(x21)(x 1)(x2 x 3)解二(添項(xiàng))：3 322x 2x 3 x x x 2x 32x2(x 1) (x 1)( x 3)2(x 1)(x2 x 3)說(shuō)明：拆添項(xiàng)法也是分解因式的一種常見(jiàn)方法，請(qǐng)同學(xué)們?cè)嚥鹨淮雾?xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，看看是否可解？常見(jiàn)題型22例1.分解因式： 1m n 2mn 。解：1m2n22mn.22、1(m2mn n)21(mn)(1mn)(1mn)說(shuō)明：觀察此題是四項(xiàng)式，應(yīng)采用分

13、組分解法，中間兩項(xiàng)雖符合平方差公式，但搭配在一起不能分解 到底，應(yīng)把后三項(xiàng)結(jié)合在一起，再應(yīng)用完全平方公式和平方差公式。22例2.分解因式：x y x y 解：x2 y2 x y (x2 y2) (x y)(x y)(x y) (x y)(x y)(x y 1)說(shuō)明：前兩項(xiàng)符合平方差公式，把后兩項(xiàng)結(jié)合，看成整體提取公因式。例3.分解因式：x3 3x2 4x 12 解：x3 3x2 4x 12 x3 4x 3x2 12x(x2 4) 3(x2 4) (x 3)(x 2)(x 2)說(shuō)明：分組的目的是能夠繼續(xù)分解。提高練習(xí)1 .填空題：(1)分解因式：a2 3a b2 3b(2)分解因式：x2 2x

14、4xy 4y2 4y(3)分解因式：1 mn(1 mn) m3n32 .已知：a b c 0,求 a3 a2c abc b2c b3 的值。方法四十字相乘法【知識(shí)精讀】對(duì)于首項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式的十字相乘法，重點(diǎn)是運(yùn)用公式x2 (a b)x ab x a x b進(jìn)行因式分解。掌握這種方法的關(guān)鍵是確定適合條件的兩個(gè)數(shù)，即把常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)數(shù)的積，且其和等于一次項(xiàng)系數(shù)。. 一 2對(duì)于二次二項(xiàng)ax bx c (a、b、c都是整數(shù)，且a 0)來(lái)說(shuō)，如果存在四個(gè)整數(shù) a1, g，a2，c22滿足aa2 a, cc c , 并且a. aza b , 那么二次三項(xiàng)式ax bx c即2a1a2xa1c2a2

15、c1xc1c2可以分解為a1xc1a2xc2。這里要確te四個(gè)常數(shù)a1,c1,a2,c2,分析和嘗試都要比首項(xiàng)系數(shù)是1的類型復(fù)雜，因此一般要借助畫十字交叉線的辦法來(lái)確定。下面我們一起來(lái)學(xué)習(xí)用十字相乘法因式分解。題型展示22例1.若x y mx 5y 6能分解為兩個(gè)一次因式的積，則 m的值為()A. 1 B. -1C. 1 D. 222解：x y mx 5y 6 x y x y mx 5y 623或 32,因此，存在兩種情況:-6可分解成由(1)可得: 故選擇Co1,由(1)可得:說(shuō)明：對(duì)二元二次多項(xiàng)式分解因式時(shí)，要先觀察其二次項(xiàng)能否分解成兩個(gè)一次式乘積，再通過(guò)待定系數(shù)法確定其系數(shù)，這是種常用的

16、方法。2例2.已知：a、b、c為互不相等的數(shù)，且滿足 a c 4 b a c bo求證：a b b c2證明： a c 4 b a c b2a c 4 b a c b 0a2 2ac c2 4bc 4ac 4ab 4b2 022a c4b a c 4b 0a c 2b2 0a c 2b 0a b b c說(shuō)明：抓住已知條件，應(yīng)用因式分解使命題得證。例3.若x3 5x2 7x a有一因式x 1。求a,并將原式因式分解。,32解：x 5x 7x a有一因式x 1 一. .32. 當(dāng) x 1 0,即 x1 時(shí)，x 5x 7x a 0a 332x 5x 7x 3x3 x2 4x2 4x 3x 32x x

17、 1 4x x 13 x 12x 1 x 4x 3x 1 x 1 x 3,2-x 1 x 3分解時(shí)說(shuō)明：由條件知，x1時(shí)多項(xiàng)式的值為零，代入求得a,再利用原式有一個(gè)因式是x 1,盡量出現(xiàn)x 1 ,從而分解徹底。常見(jiàn)題型.4 22 2 一 2 .例1.把4x y 5x y 9 y分解因式的結(jié)果是 。4-42_ 2 2-2解：4x y 5x y 9y242y 4x5x92,22 Ay 4x9 x 122y2 x2 1 2x 3 2x 3說(shuō)明：多項(xiàng)式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，繼續(xù)分解徹底。2例2.：因式分解： 6x 7x 5 解：6x2 7x 5 2x 1 3x 5說(shuō)明：分解系數(shù)時(shí)一

18、定要注意符號(hào)，否則由于不慎將造成錯(cuò)誤。1 (m2 2mn n2)1 (m n)2(1 m n)(1 m n)說(shuō)明：觀察此題是四項(xiàng)式，應(yīng)采用分組分解法，中間兩項(xiàng)雖符合平方差公式，但搭配在一起不能分解 到底，應(yīng)把后三項(xiàng)結(jié)合在一起，再應(yīng)用完全平方公式和平方差公式。2 2例2.分解因式：x y x y 22,22、，、解：x y x y (x y ) (x y)(x y)(x y) (x y)(x y)(x y 1)說(shuō)明：前兩項(xiàng)符合平方差公式，把后兩項(xiàng)結(jié)合，看成整體提取公因式。3 2例3.分解因式：x3 3x2 4x 12 3232解：x 3x 4x 12 x 4x 3x 12x(x2 4) 3(x2 4)(x 3)(x 2)(x 2)說(shuō)明：分組的目的是能夠繼續(xù)分解。提高練習(xí)2. 2.(1) ab 16ab 39(2) 15x2n 7xnyn1 4y2n2222(3) x2 3x 22 x2 3x 72小結(jié)：本節(jié)課主要講解了因式分解的四種常用方法：提公因式、公式法、分組分解法、十字相乘法，以及 常見(jiàn)題中常出現(xiàn)的因式分解的題型如何使用這四種方法的講解。如何運(yùn)用這四種方法是本節(jié)課的重點(diǎn)課后作業(yè)1.41 . .1、已知：x 3,求x不的值。xx_ 2_22、(a 2)(3a 1)22343、a (