矩陣論-第三講

1、第三講第三講線性變換及其矩陣表示不變子空間一、線性變換的定義和基本性質(zhì)一、線性變換的定義和基本性質(zhì)定義：一個集合到它自身的映射，稱為該集合的一個變換。定義：設V是數(shù)域F上的線性空間，T是V的一個變換，如果滿足條件：)()( , )2()()()( , ) 1 (kTkTFkVTTTV則稱T是V上的線性變換。線性變換與同構映射的異同.)( )4(.)( , ) 3().()( ,- )2(. 0)( 1IVIFkkVTTVToVo，定義為：恒等變換（單位變換），定義為：數(shù)乘變換），定義為：負變換，定義為：，零變換）（幾個特殊的線性變換：. )4(0)(0 )()( ) 3().()( )2(.

2、0)0( 11111組量組變成線性相關向量線性變換將線性相關向性組合關系不變線性變換保持向量的線）（線性變換的基本性質(zhì)：imiimiiiimiimiiiTTTTTTkkkk二、線性變換的運算二、線性變換的運算).( ).()( , )( ).( ).()()( ).()( ).()()( , )( .)( 2121212121212121VLTTTTTTVVLTTVLkTTkkTVFkVLTVLTTTTTTVVLTTVVL（，線性變換的乘積：），（，數(shù)量乘法：（，線性變換的和：上所有線性變換的集合為線性空間定理:L(V)對于上述定義的加法和數(shù)量乘法構成數(shù)域F上的線性空間.).( . )( )(

3、11VLTSTISTTSVLSVLTTT的逆變換，記為稱為是可逆的，則稱，使得如果存在，定義：設三、線性變換的矩陣三、線性變換的矩陣. 21212121下的矩陣，在基稱為線性變換矩陣），（），（，使得的一組基，存在矩陣是，的一個線性變換，是維線性空間，上的是數(shù)域設nnnnTAATTTAVVTnFV. 1212121212121換在不同基下的矩陣矩陣可看作同一線性變反之，相似基下的矩陣是相似的；定理：線性變換在不同，則的過渡矩陣為，到，從，和下的矩陣分別為，和，在基的兩組基，線性變換是，和，的一個線性變換，是維線性空間，上的是數(shù)域設基ACBCBATVVTnFVCnnnnnn四、線性變換的值域與核四、線性變換的值域與核0|ker )(|Im )(TVTTTVLTVTTVTTTVLT的核，集合稱為映射成零向量的向量的所有被，定義：設的值域，的全體象的集合稱為，定義：設).rank(Im dim 2Im 1 )(.dimker dimIm dim )(2121ATTTTLTTAVVLTVTTVLTnn）（）；，（）（在這組基下的矩陣，則是的一組基，是，定理：設則，定理：設的基和維數(shù)。和求在這組基下的矩陣線性變換維線性空間的一組基，是，設例KerIm 2111-10121 3 321五、不變子空間五、不變子空間?. )(數(shù)乘變換的不變子