概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) (方差)優(yōu)秀課件

1、 4.2 方方 差差 前面曾提到在檢驗(yàn)棉花的質(zhì)量時(shí)，既要注意纖前面曾提到在檢驗(yàn)棉花的質(zhì)量時(shí)，既要注意纖維的平均長(zhǎng)度，還要注意纖維長(zhǎng)度與平均長(zhǎng)度的偏維的平均長(zhǎng)度，還要注意纖維長(zhǎng)度與平均長(zhǎng)度的偏離程度那么，怎樣去度量這個(gè)偏離程度呢？離程度那么，怎樣去度量這個(gè)偏離程度呢？ 用用EX E(X)來(lái)描述是不行的，因?yàn)檫@時(shí)正負(fù)來(lái)描述是不行的，因?yàn)檫@時(shí)正負(fù)偏差會(huì)抵消；偏差會(huì)抵消； 用用E|X E(X)|來(lái)描述原則上是可以的，但有絕來(lái)描述原則上是可以的，但有絕對(duì)值不便計(jì)算；對(duì)值不便計(jì)算； 通常用通常用EX E(X)2來(lái)描述隨機(jī)變量與均值的來(lái)描述隨機(jī)變量與均值的偏離程度偏離程度第四章第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)

2、變量的數(shù)字特征 4.2.1 4.2.1 方差的概念與計(jì)算方差的概念與計(jì)算定義定義4.3 設(shè)設(shè)X是隨機(jī)變量，若是隨機(jī)變量，若EX E(X)2存在，存在，則稱其為則稱其為X的的方差方差，記為，記為D(X) (或或Var(X)，即，即稱稱 為為X的的標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差 特別地，如果特別地，如果X是離散型隨機(jī)變量，分布律為是離散型隨機(jī)變量，分布律為 則則如果如果X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x)，則，則)(XD)(XVar )(2XEXE )(XD, 2 , 1, ipxXPii 12)()(iiipXExXD dxxfXExXD)()()(2 將方差定義式右端展開，并利

3、用數(shù)學(xué)期望性質(zhì)可得將方差定義式右端展開，并利用數(shù)學(xué)期望性質(zhì)可得 即即 今后我們會(huì)經(jīng)常利用這個(gè)式子來(lái)計(jì)算隨機(jī)變量今后我們會(huì)經(jīng)常利用這個(gè)式子來(lái)計(jì)算隨機(jī)變量X的方的方差差D(X).)()(222XEXXEXE 22)()()(XEXEXD22)()()(2)(XEXEXEXE 22)()(XEXE )()(2XEXEXD4.2.1 4.2.1 方差的概念與計(jì)算方差的概念與計(jì)算【例【例4.13】求例求例4-2中隨機(jī)變量中隨機(jī)變量X的方差的方差D(X). 解：解：由于由于 1161 所以所以5 . 00102500010110000)(055 pXE 02525220102500010110000)(p

4、XE )(XD75.16105 . 016112 22)()(XEXE 4.2.1 4.2.1 方差的概念與計(jì)算方差的概念與計(jì)算4.2.1 4.2.1 方差的概念與計(jì)算方差的概念與計(jì)算【例【例4.14】設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為服從參數(shù)為（ 0）的泊）的泊松分布，求松分布，求D(X) 解：解：由于由于X的分布律為的分布律為 ，k = 0，1，2，在例在例4-4中已經(jīng)求出中已經(jīng)求出 ，下面計(jì)算，下面計(jì)算E(X 2)：故故 ekkXPk! )(XE)()1(XEXXE 0!)1(kkekkk)1()(2XXXEXE ee2 222)!2(kkke 2 )(XD 2222)()(XEXE 4.

5、2.1 4.2.1 方差的概念與計(jì)算方差的概念與計(jì)算【例【例4.15】設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 （ 0）的指）的指數(shù)分布，求數(shù)分布，求D(X) 解：解：由于指數(shù)分布的概率密度為由于指數(shù)分布的概率密度為在例在例4-7中已求出中已求出 ，故有故有 其它其它, 00,1)(/xexfx )(XE 012xxde 010122dxxeexxx 012xdex 0121dxexx dxxfxXE )()(22010122dxeexxx201222 xe )(XD2222 22)()(XEXE 4.2.1 4.2.1 方差的概念與計(jì)算方差的概念與計(jì)算【例【例4.16】設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量

6、X服從服從(a，b)上的均勻分布，上的均勻分布，求求D(X) 解：解：由于均勻分布的概率密度為由于均勻分布的概率密度為所以所以 其其它它 , 0 ,1)(bxaabxf2)(baXE badxabxXE22)()(333abab 322aabb 222)2(3)(baaabbXD 12)(2ab 4.2.1 4.2.1 方差的概念與計(jì)算方差的概念與計(jì)算【例【例4.17】設(shè)設(shè)(X，Y)的概率密度為的概率密度為求求D(X)及及D(Y)解：解：記記D：| y | x，0 x 1，如圖，則，如圖，則 , 其它其它, 0| , 10, 1),(xyxyxf 10 xxxdydx Ddxdyyxxf),(

7、 1022dxx32 )(XE0),()(10 DxxydydxdxdyyxyfYE212),()(10310222 dxxdydxxdxdyyxfxXEDxx6132),()(10310222 dxxdydxydxdyyxfyYEDxx.61061)( YD22)()()(XEXEXD ,10132212 4.2.1 4.2.1 方差的概念與計(jì)算方差的概念與計(jì)算【例【例4.18】已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量X的概率密度為的概率密度為又又E(X) = 0.5，D(X) = 0.15，求，求a，b，c 解：解：由于由于從上面三個(gè)方程中可以解得從上面三個(gè)方程中可以解得a = 12,b = 12,c =

8、 3 其它其它, 010,)(2xcbxaxxf dxxf)( dxxxfXE)()(345)()()(102222cbadxcbxaxxdxxfxXE 1025 . 0234)(cbadxcbxaxx4 . 0)5 . 0(15. 0)()(22 XEXD 102123)(cbadxcbxax4.2.2 4.2.2 方差的性質(zhì)方差的性質(zhì) (1) 設(shè)設(shè)c是常數(shù)，則是常數(shù)，則D(c) = 0； (2) 設(shè)設(shè)c是常數(shù)，是常數(shù)，X是隨機(jī)變量，則是隨機(jī)變量，則 D(cX) = c2D(X)，D(X + c) = D(X)； (3) 設(shè)設(shè)X，Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有D(X+Y) = D

9、(X) + D(Y) + 2EX E(X)Y E(Y)；特別，當(dāng)特別，當(dāng)X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量時(shí)，有是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量時(shí)，有 D(X + Y) = D(X) + D(Y)； (4) D(X) = 0的充要條件是的充要條件是X以概率以概率1取常數(shù)取常數(shù)c，即，即PX = c = 14.2.2 4.2.2 方差的性質(zhì)方差的性質(zhì) (1) 設(shè)設(shè)c是常數(shù)，則是常數(shù)，則D(c) = 0；證明：證明： (2) 設(shè)設(shè)c是常數(shù)，是常數(shù)，X是隨機(jī)變量，則是隨機(jī)變量，則 D(cX) = c2D(X)，D(X + c) = D(X)；證明：證明： 22)()()(cEcEcD 022 cc)()(2cXEcXE

10、cXD )(22XEXcE )()(222XDcXEXEc )(cXD)()(2cXEcXE ).(XD )(2XEXE 4.2.2 4.2.2 方差的性質(zhì)方差的性質(zhì) (3) 設(shè)設(shè)X，Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有 D(X + Y) = D(X) + D(Y) + 2EX E(X)Y E(Y)；特別，當(dāng)特別，當(dāng)X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量時(shí)，有是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量時(shí)，有 D(X + Y) = D(X) + D(Y)；證明：證明：當(dāng)當(dāng)X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量時(shí)，是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量時(shí)， )()()(2YXEYXEYXD )()(2YEYXEXE )()(2)()(22YEYXEXEY

11、EYEXEXE )()(2)()(YEYXEXEYDXD )()(2YEYXEXE )()()()()()()( 2YEXEXEYEYEXEXYE )()()( 2YEXEXYE )()()(YDXDYXD 4.2.2 4.2.2 方差的性質(zhì)方差的性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)(4)證明從略證明從略. 由性質(zhì)由性質(zhì)(2)和和(3)容易推廣得到，若容易推廣得到，若X1，X2，Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量， 為常數(shù)，則為常數(shù)，則 前面例前面例4-3中已經(jīng)用定義求出了二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)中已經(jīng)用定義求出了二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望，現(xiàn)在再用數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)來(lái)求它的期期望，現(xiàn)在再用數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)來(lái)求它的

12、期望和方差。望和方差。 nccc,21 niiiniiiXDcXcD121)()(4.2.2 4.2.2 方差的性質(zhì)方差的性質(zhì)【例【例4.19】設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布服從二項(xiàng)分布B(n，p)，求，求E(X)和和D(X) 解：解：X可視為可視為n重伯努利試驗(yàn)中某個(gè)事件重伯努利試驗(yàn)中某個(gè)事件A發(fā)生的發(fā)生的次數(shù)，次數(shù)，p為每次試驗(yàn)中為每次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率發(fā)生的概率引入隨機(jī)變量引入隨機(jī)變量Xi（i = 1，2，n）：）：則則又又 不不發(fā)發(fā)生生次次試試驗(yàn)驗(yàn)中中第第發(fā)發(fā)生生次次試試驗(yàn)驗(yàn)中中第第AiAiXi, 0, 1nipXPpXPii,.,2 , 1,10,1 nXXXX 21),(pnB

13、4.2.2 4.2.2 方差的性質(zhì)方差的性質(zhì)因?yàn)橐驗(yàn)閄1，X2，Xn相互獨(dú)立，且相互獨(dú)立，且由數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)可得由數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)可得)1()1(01)()()(22222pppppXEXEXDiii niinpXEXE1)()().1()()(1pnpXDXDnii pppXEi )1(01)(4.2.2 4.2.2 方差的性質(zhì)方差的性質(zhì)【例【例4.20】一機(jī)場(chǎng)班車載有一機(jī)場(chǎng)班車載有20名乘客自機(jī)場(chǎng)開出，名乘客自機(jī)場(chǎng)開出，途中有途中有10個(gè)車站可以下車，如果到達(dá)一個(gè)車站沒人個(gè)車站可以下車，如果到達(dá)一個(gè)車站沒人下車則不停車，用下車則不停車，用X表示班車的停車次數(shù)，求表示班車的停車次數(shù)

14、，求X的的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望E(X)及標(biāo)準(zhǔn)差（設(shè)每位乘客在各個(gè)車站及標(biāo)準(zhǔn)差（設(shè)每位乘客在各個(gè)車站下車是等可能的，且各位乘客是否下車相互獨(dú)立）下車是等可能的，且各位乘客是否下車相互獨(dú)立） 解：解：依題意，每位乘客在第依題意，每位乘客在第i個(gè)車站下車的概率個(gè)車站下車的概率均為均為1/10，不下車的概率均為，不下車的概率均為9/10, 則班車在第則班車在第i個(gè)個(gè)車站不停車的概率為車站不停車的概率為 所以所以.)109(20)10, 2 , 1( i)109(1,10(20 BX4.2.2 4.2.2 方差的性質(zhì)方差的性質(zhì)從而，從而，),(784. 8)109(1(10)(20次次 XE2020)109

15、)()109(1(10)( XD次次）(0512. 1)109)()109(1(10)(2020 XD4.2.2 4.2.2 方差的性質(zhì)方差的性質(zhì)【例【例4.21】設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 求求D(X) 解：解：設(shè)設(shè) ，由于，由于 所以所以ZN(0，1)，從而，從而又又E(Z) = 0，所以，所以故故),(2 N XZ )(2ZE dzzz)(2 dzezz2222 dzezezz 22222121 110 ),(2 NX101)()()(22 ZEZEZD22)()()( ZDZDXD【實(shí)驗(yàn)【實(shí)驗(yàn)4-1】用用Excel計(jì)算例計(jì)算例4-2中隨機(jī)變量中隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)期

16、望與方差期望與方差實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備：實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備： 函數(shù)函數(shù)SUMPRODUCT的使用格式：的使用格式：SUMPRODUCT(array1,array2,array3, .) 功能功能：返回多個(gè)區(qū)域：返回多個(gè)區(qū)域array1,array2,array3, . 對(duì)對(duì)應(yīng)數(shù)值乘積之和應(yīng)數(shù)值乘積之和X X1000010000500050001000100010010010100 0p pi i1/101/105 52/102/105 510/1010/105 5100/10100/105 51000/101000/105 5p p0 0 實(shí)驗(yàn)步驟：實(shí)驗(yàn)步驟： ( 1) 整理數(shù)據(jù)如圖整理數(shù)據(jù)如圖4-2左所示左所示

17、圖圖4-2 計(jì)算數(shù)學(xué)期望計(jì)算數(shù)學(xué)期望 (2) 計(jì)算計(jì)算E(X)，在單元格，在單元格B8中輸入公式：中輸入公式：= SUMPRODUCT(A2:A7, B2:B7)得到期望得到期望E(X)如圖如圖4-2右所示右所示 (3) 為了計(jì)算方差，首先計(jì)算為了計(jì)算方差，首先計(jì)算xi E(X)2，在單元格，在單元格C2中輸入公式：中輸入公式：= (A2-B$8)2并將公式復(fù)制到單元格區(qū)域并將公式復(fù)制到單元格區(qū)域C3:C7中，如圖中，如圖4-3左所示左所示 圖圖4-3 計(jì)算方差計(jì)算方差 ( 4 ) 計(jì) 算 方 差 ， 在 單 元 格計(jì) 算 方 差 ， 在 單 元 格 B 9 中 輸 入 公 式 ：中 輸 入

18、公 式 ： = SUMPRODUCT(C2:C7, B2:B7)即得計(jì)算結(jié)果如圖即得計(jì)算結(jié)果如圖4-3右所示右所示).,(?,)(,.,.,均均為為已已知知設(shè)設(shè)應(yīng)應(yīng)生生產(chǎn)產(chǎn)多多少少件件產(chǎn)產(chǎn)品品最最大大要要獲獲得得利利潤(rùn)潤(rùn)的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望問問若若的的指指數(shù)數(shù)分分布布服服從從參參數(shù)數(shù)為為件件預(yù)預(yù)測(cè)測(cè)銷銷售售量量他他們們?cè)僭僬哒咴牡膿p損失失而而積積壓壓一一件件產(chǎn)產(chǎn)品品導(dǎo)導(dǎo)致致元元可可獲獲利利他他們們估估計(jì)計(jì)出出售售一一件件產(chǎn)產(chǎn)品品定定該該產(chǎn)產(chǎn)品品的的產(chǎn)產(chǎn)量量并并試試圖圖確確產(chǎn)產(chǎn)品品市市場(chǎng)場(chǎng)某某公公司司計(jì)計(jì)劃劃開開發(fā)發(fā)一一種種新新nmYnm 【建模實(shí)例】【建模實(shí)例】解解:的的函函數(shù)數(shù)是是銷銷售售量量件件時(shí)時(shí)獲獲利利生生產(chǎn)產(chǎn)YQx .,),()(xYmxxYYxnmYYQQ若若若若(1) 建立概率模型建立概率模型yyfyQQEYd)()()( ymxyyxnmyyxyxde1de1)(0 ,e)()(nxnmnmx 因?yàn)橐驗(yàn)榈母怕拭芏葹榈母怕拭芏葹? 0. 0, 0, 0,e1)( yyyfyYyeyQxd1)(0 .,),()(xYmxxYYxnmYYQQ若若若若所以所以).ln(nmnx 得得, 0e)()(dd22 xnmQEx又又.)(,)ln(,取得最大值取得最大值時(shí)時(shí)當(dāng)