電磁場數(shù)值方法課件：FDM2012

1、 在電磁散射計算方法中，有限差分法自上世紀在電磁散射計算方法中，有限差分法自上世紀五十年代以來得到了廣泛的應用，該方法概念清晰五十年代以來得到了廣泛的應用，該方法概念清晰，方法簡單，直觀。雖然其與變分法相結合所形成，方法簡單，直觀。雖然其與變分法相結合所形成的有限元法更有效，但有限差分還是以其固有特點的有限元法更有效，但有限差分還是以其固有特點在數(shù)值計算中有其重要地位。在數(shù)值計算中有其重要地位。 為求解由偏微分方程偏微分方程定解問題所構造的數(shù)學模型，有限差分法是將定解區(qū)域（場區(qū)）離散化為網格離散節(jié)點的集合。并，使待求的偏微分方程定解問題轉化為一組相應的差分方程。根據(jù)差分方程組解出各離散點處的待

2、求函數(shù)值離散解。2 差分方法的求解步驟差分方法的求解步驟 網格劃分方式離散化場域網格劃分方式離散化場域 給出相應的差分計算格式給出相應的差分計算格式求解求解3 二維泊松方程和拉普拉斯方程的二維泊松方程和拉普拉斯方程的 有限差分法有限差分法 差分格式的建立差分格式的建立 22222( , )f x yxy|( )Gg p|( )Gg pn12|( )|( )GGgpgpn，第一類邊界條件；，第一類邊界條件；，第二類邊界條件；，第二類邊界條件；，第三類邊界條件。，第三類邊界條件。 介質不連續(xù)處還要增加連接條件介質不連續(xù)處還要增加連接條件1212|GGGGnn 1001103033()( )()()

3、O hxhO hxh 3h4h1h2h0143i增加的方向j增加的方向122340( , )i j( ,1)i j(1, )ij(1,1)ij(1,1)ij( ,1)i j(1,1)ij(1, )ij(1,1)ij使差分格式誤差最小使差分格式誤差最小 待定系數(shù)的方法待定系數(shù)的方法 22210300131321()()() ()()2!hhhhxx 222313210hhhh 2212303101300131 313()()()()()()hhxhhhh hh 13xhhh2130()()2xxO hxh使差分格式誤差最小使差分格式誤差最小 待定系數(shù)的方法待定系數(shù)的方法 222103001313

4、21()()() ()()2!hhhhxx 31310hhhh210303101300222131 313()()()()()22()hhxhhhh hh 13xhhh221030222()()xxO hxh2310130021 313()()()2()hhxhh hh23131304202400001 3132424()()()()2(,)()()hhhhf xyfhh hhh h hh1324,xyhhh hhh10320402222xyfhh1,1,1,1,2211(2)(2)iji jiji ji ji ji jxyfhhxyhhh21,1,1,1,4ijiji ji ji ji jh

5、 f五點格式五點格式 3h4h1h2h0143i增加的方向j增加的方向122340(, )i j(,1)i j( 1, )ij( 1 ,1)ij( 1 ,1)ij(,1)i j( 1 ,1)ij( 1, )ij( 1 ,1)ij軸對稱場差分格式軸對稱場差分格式 球、柱、回旋體等形狀球、柱、回旋體等形狀 （3D-2D）柱坐標柱坐標 2222210rrrz2231013001 313()()()()hhxhh hh2310130021 313()()()2()hhxhh hh2420240022424()()()2()hhyh h hhzr2 21 13 34 40r1h2h3h4h0310301

6、02413241 3 02244240 1130313222222()()()()()rhhrhrhh hhh rh hhh hhr h hhr h hh1234hhhhh00(1),1rih i02413114112(1)2(1)ii？00r 20200()1lim()lim()rrrrrrrr222220rz13024164整個場域內點的差分格式共有兩種整個場域內點的差分格式共有兩種! !zr2 21 13 34 40r1h2h3h4h邊界條件的處理邊界條件的處理 1、不同介質平面分界面的情形、不同介質平面分界面的情形 21234040aaaaaah W1234040bbbbb222444

7、000,ababab 121020113213()()()()aabbnn 02134A 有源B 無源2h3h4h1h1212R2123402240111baaRRh WRRR21234011,402baaRh W12340224011baRRR兩邊均無源，312hK1240B 2240bhK：23240A 22420aahKh W：分界面為場域邊界，滿足第二類邊界條件分界面為場域邊界，滿足第二類邊界條件130()2Knh邊界條件的處理邊界條件的處理(續(xù)續(xù)) 2、邊界不平行于網格，但是邊界無拐點、邊界不平行于網格，但是邊界無拐點 邊界旋轉邊界旋轉 202240111bpqarsaRRh WRR

8、R2022240111bpqarsaRRh WRRRA區(qū)B區(qū)02134spqr 采用邊界條件重新推導采用邊界條件重新推導 212340:40aaaaaAh W12340:40bbbbB12()()axaybxby 邊界：123412341()21()21()21()2axaaayaabxbbbybb2123402() 2 () 4(1)0bbaaaRRRhWA區(qū)B區(qū)2134yx邊界條件的處理邊界條件的處理(續(xù)續(xù)) 3、邊界平行于網格，但有拐點、邊界平行于網格，但有拐點 無法引入虛構點無法引入虛構點 引入輔助線引入輔助線 不會引起原方程變化不會引起原方程變化0.51.5 ,00.51，2，3，4

9、點都在媒質點都在媒質B區(qū)中區(qū)中 0.51234040(1)bbbbAAAAA2123401()2(1)0(2)2bbaaaAAR AAR ARh W1() (1)(2)221234011(1)()(3)024bbaAARAAR ARh WLN2134MPQRA 區(qū)B區(qū)011,J22134A 區(qū)B區(qū)011,J2,1A21R鐵磁鐵磁物質物質鐵磁物質鐵磁物質空氣空氣空氣空氣A是鐵磁物質0R 123401()302bbAAAAAB是鐵磁物質R 3401()20(0)AAAJ邊界條件的處理邊界條件的處理(續(xù)續(xù)) 4、網格成對角線邊界時的角形區(qū)域邊界、網格成對角線邊界時的角形區(qū)域邊界 可以用邊界平行于網格

10、，但有拐點的情形的處理方可以用邊界平行于網格，但有拐點的情形的處理方法同樣處理法同樣處理 213240111(1)(3)()(3)0244bbbaAR ARAAR ARh W02413A區(qū)B區(qū)邊界條件的處理邊界條件的處理(續(xù)續(xù)) 5、與節(jié)點不重合的邊界、與節(jié)點不重合的邊界 應用不等間距差分格式應用不等間距差分格式 231013042024001 3132424()()()()2()()hhhhfhh hhh h hh1324,hph hqh hhh21234002212 (1)0()()h fp p qq p qpq20123402212 (1)0()()baRh f pRp p pRq q

11、pRpqq pR利用邊界條件和不等間距差分格式消去虛元利用邊界條件和不等間距差分格式消去虛元 32041A區(qū)B區(qū)3h1h2h4h邊界條件的處理邊界條件的處理(續(xù)續(xù)) 6、曲線邊界的情形、曲線邊界的情形 第一類邊界條件的處理第一類邊界條件的處理直接轉移法直接轉移法線性插值法線性插值法雙向插值法雙向插值法 01若若x方向最靠近方向最靠近0點點 3 11 3031hhhh若若y方向最靠近方向最靠近0點點 4 22 4042hhhh在邊界上插入一個局部的不均等步長的網格在邊界上插入一個局部的不均等步長的網格 1234,hh hh hhh21234001111111()(1)(1)112h f2h4h3

12、h1h21034A區(qū)B區(qū)邊界條件的處理邊界條件的處理(續(xù)續(xù)) 其他邊界其他邊界 無限遠無限遠 軸對稱線上軸對稱線上0n13,1R223400240h W00n02134A 有源B 無源2h3h4h1h121423, 234002()40h W12pq1320123402212 (1)0()()baRh f pRp p pRq q pRpqq pR232400181002h W32041A區(qū)B區(qū)3h1h2h4hA區(qū)B區(qū)2134yx4 差分方程組的求解差分方程組的求解 差分方程組的特性差分方程組的特性1,2,1,jjjNj21,0,22,21,(1,1)jjjjNjN jh fgh ffjjNh

13、fgji21,11,1,4(D)()iji jiji ji ji ji ji jh fg在 內在邊界上3,12,23,21,32,33,31,2321,12,11,21,11,00,121,12,13,12,22,12,022,13,13,23,13,0,21,32,33,31,11,22,21,32,33,3410004243400000000000000h fggh fgh fgg,121,11,22,21,31,20,222,11,22,23,22,32,223,12,23,23,32,13,13,22,33,31,13,11,33,31,12,11,21,32,31,123 24,2,

14、1,000000000000000044546704h fgh fh fg21,21,32,31,30,31,422,21,33,12,23,23,31,12,13,11,23,23,31,12,2,32,32,423,213,11,22,21,32,33,33,34,33,448490000000000400000h fggh fgh fgg21,11,00,122,12,0121,11,0,1NNNh fggh fgfh fgg21,11,0,122,12,121,11,1NNNNNNNNNNN Nh fggh fgfh fgg112211,NNffFf KF DIIDIKIDIID411

15、4114114Dyh1,11,22,12,22,12,21,11,221,11,00,122,12,021,11,0,141114111411141NNNNNNNh fggh fgh fgg121DIf2yh1232IDIfKF DIIDIKIDIID 差分方程特性差分方程特性系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣K是大型稀疏矩陣是大型稀疏矩陣 如上面給出的如上面給出的5點格式中，非零元素的個數(shù)不超過點格式中，非零元素的個數(shù)不超過5個個 矩陣矩陣K往往是對稱正定的往往是對稱正定的當邊界與網格節(jié)點不重合時，當邊界與網格節(jié)點不重合時，K的對稱性將破壞的對稱性將破壞 K通常是不可約的，因此方程組不能由其中的某一部分單通常

16、是不可約的，因此方程組不能由其中的某一部分單獨求解獨求解 差分方程組的解法差分方程組的解法 直接法直接法工作量較小，精確度較高工作量較小，精確度較高計算程序復雜，無重復性，要求存貯量大計算程序復雜，無重復性，要求存貯量大 迭代法迭代法所需存儲量小，程序簡單，具有重復性，收斂快所需存儲量小，程序簡單，具有重復性，收斂快先賦初值，不斷逼近精確解先賦初值，不斷逼近精確解 直接迭代法直接迭代法2,1,11,1,1()4i jiji jiji ji jh f0, i j1, i j,1,11,1(1)( )( )( )( )2,1()4i jiji jiji jnnnnni jh f缺點：缺點：需要兩套

17、存儲單元，分別存儲兩次相鄰迭代的近似值，因而占用的內存較大。需要兩套存儲單元，分別存儲兩次相鄰迭代的近似值，因而占用的內存較大。收斂速度也較慢。收斂速度也較慢。 高斯賽德爾迭代法高斯賽德爾迭代法 基本思想基本思想在在(n+1)次迭代中，如果某些相關節(jié)點上的第（次迭代中，如果某些相關節(jié)點上的第（n+1）次）次迭代近似值已經得到，就將這些新值代入進行計算迭代近似值已經得到，就將這些新值代入進行計算 優(yōu)點優(yōu)點加快了迭代解的收斂速度加快了迭代解的收斂速度 節(jié)省了存儲單元（相對）節(jié)省了存儲單元（相對） 迭代順序：從左到右、由下而上迭代順序：從左到右、由下而上,1,11,1(1)( )( )(1)(1)2

18、,1()4i jiji jiji jnnnnni jh f 余數(shù)余數(shù) 檢驗迭代收斂程度和控制迭代終止的標準檢驗迭代收斂程度和控制迭代終止的標準 1,nnni ji ji jR高斯賽德爾迭代法：當網格的節(jié)點數(shù)目很大時，此法的收斂速度仍然很慢。高斯賽德爾迭代法：當網格的節(jié)點數(shù)目很大時，此法的收斂速度仍然很慢。松弛因子：(1)( )( ),( )( )( )(1)(1)2( ),1,11,1,()(4)4nnni ji ji ji jnnnnnni jiji jiji ji ji jh f 12 超松弛迭代法（超松弛迭代法（SOR:Successive Over Relaxation）第一類邊值問題

19、第一類邊值問題 最佳的最佳的值值 021 sin()l正方形場域正方形場域 矩形場域，用正方形網格分割矩形場域，用正方形網格分割 0221122()lm (1)( )( ),( )( )( )(1)(1)2( ),1,11,1,()(4)4nnni ji ji ji jnnnnnni jiji jiji ji ji jh f 011112(1)11limmax,maxnnnnnnnnn第一類（第二類）邊界條件，任意形狀邊界問題第一類（第二類）邊界條件，任意形狀邊界問題101實際使用中還可以選取實際使用中還可以選取迭代初值的選取迭代初值的選取原則上任意值原則上任意值收斂的標準收斂的標準滿足精度要

20、求滿足精度要求控制迭代次數(shù)控制迭代次數(shù)迭代法中需要考慮的問題迭代法中需要考慮的問題迭代格式的選用迭代格式的選用值的選取值的選取解初值的選取解初值的選取以什么條件檢驗迭代解收斂以什么條件檢驗迭代解收斂與否以及控制迭代終結與否以及控制迭代終結5 工程應用舉例工程應用舉例 求解流程求解流程 電磁場電磁場方程方程網格劃分網格劃分離散化場域離散化場域差 分 原 理 建差 分 原 理 建立差分格式立差分格式差分方程差分方程代數(shù)方程組代數(shù)方程組迭代迭代方法方法數(shù)字數(shù)字結果結果 例例1 一個長直接地金屬矩形槽，其側壁與底面電位均為零，一個長直接地金屬矩形槽，其側壁與底面電位均為零，頂蓋電位為頂蓋電位為100（

21、相對值），如圖所示，求槽內電位分布（相對值），如圖所示，求槽內電位分布 。求解步驟求解步驟1)寫出邊值問題寫出邊值問題2)離散化場域離散化場域3)給出采用超松弛給出采用超松弛迭代迭代法的法的差分方程差分方程形式形式 4)給出邊界條件給出邊界條件5)給定初值給定初值 6)給定檢查迭代收斂的指標給定檢查迭代收斂的指標(1)( )( ),( )( )( )(1)(1)( ),1,11,1,()(4)4nnni ji ji ji jnnnnnni jiji jiji ji j 021.171 sin()l15l 410R7)程序框圖程序框圖8)編制計算程序編制計算程序9)求解結果求解結果 啟動啟動給定

22、邊值給定邊值填寫場域內的初值填寫場域內的初值迭代次數(shù)計數(shù)迭代次數(shù)計數(shù)所有內點相鄰兩次迭代值的絕對誤差是否小于所有內點相鄰兩次迭代值的絕對誤差是否小于 ？輸出結果輸出結果是是1NN按超松弛迭代法進行一次迭代，求按超松弛迭代法進行一次迭代，求(1),Ni jR2211222222221AB11AC2CD22BD12BCBC1212BCBC0I0II10V00V0 xyxynxnxnn在場域 中在場域 中第一類邊界第二類邊界第一類邊界第二類邊界銜接條件例例2 導電紙模擬實驗中，制作了導電紙模擬實驗中，制作了如圖所示的二維電流場模型，其如圖所示的二維電流場模型，其中二導電媒質的電導率分別為中二導電媒質

23、的電導率分別為 和和 ，且，且 ，其分界面為，其分界面為BC。電極。電極AB、CD間加間加10V電壓。電壓。求該場位的差分解。求該場位的差分解。 12122內點內點1,11,1,40iji jiji ji j(1)( )( )( )(1)(1)( ),1,11,1,(4)4nnnnnnni ji jiji jiji ji j第一類邊界第一類邊界,10,0i ji jABCDAC邊BD邊第二類邊界第二類邊界1,1,1,240iji ji ji j(1)( )( )( )(1)( ),1,1,1,(24)4nnnnnni ji jiji ji ji j1,1,1,240iji ji ji j(1)

24、( )( )(1)(1)( ),11,1,(24)4nnnnnni ji ji jiji ji j分界面上分界面上,11,1,1,2() () 60i jijiji ji j(1)( )( )(1)( )(1)( ),11,1,1,2()()66nnnnnnni ji ji jijiji ji j510152025510152025ABCDIII例例3 差分法在懸?guī)Ь€中的應用差分法在懸?guī)Ь€中的應用h2d1dbWa00r 0t22220 xy準靜態(tài)法 準準TEMy y10I1 1xM Mr r2 22 2p pq qN N0000 0A AD DC CB B0 0A AD DC CB Br1 1

25、2 22 2040abcd210224011crbadrr210221140arbcrrd0240abdy y10I1 1xM Mr r2 22 2p pq qN N0000 0A AD DC CB B0 0A AD DC CB Br(1)( ),(1)(1)( )( )( ),11,1,1,44nni ji jnnnnni jijiji ji j(1)( ),(1)( )(1)( )( ),1,11,1,224411nnq jq jnnnnnrq jq jqjqjq jrr(1)( ),(1)( )( ),1,11,(1)( )1,241241nnp jp jnnnp jp jpjrnnrp

26、jp jr(1)( ),(1)(1)( )( )1,11,244nni ri rnnnniri riri r場強的計算場強的計算 通過上述差分方程組的求解，在獲得場域內各通過上述差分方程組的求解，在獲得場域內各結點上結點上待求位函數(shù)待求位函數(shù)后，往往還需求場中的后，往往還需求場中的場強場強分布分布，以及，以及其他有關的積分特性其他有關的積分特性（如磁通量和（如磁通量和磁導、電導、電容等磁路及電路參數(shù)等）。磁導、電導、電容等磁路及電路參數(shù)等）。 134222xyxyxyhh Eeeee134222mmmmmmmxyxyxyhhHeeee134222zzxyxyAAAAAAyxhh BAeeee3

27、277.2 1001.53.42 10(/)10KyyyyEE aaaVm 32214.30027.81.5()( 2.154.17) 10(/)1010nxyxyEaaaaVm 32254.254.234.677.21.5()3.195 10(/)2 102 10AxyyEaaaVm 電、磁積分量的計算電、磁積分量的計算 無論是靜電場、恒定電流場或恒定磁場，其無論是靜電場、恒定電流場或恒定磁場，其通通量量可一般地表示為可一般地表示為 所分析的靜電場中的電容所分析的靜電場中的電容C、恒定電流場中的、恒定電流場中的電導電導G或恒定磁場中的磁導等或恒定磁場中的磁導等電路或磁路參數(shù)電路或磁路參數(shù)P就

28、可按下式計算就可按下式計算 SKd PS1( )naviiKPi S 1( )naviiKPi SPUU波導中波導中TMTM、TETE波的差分解波的差分解 例：用有限差分法求解矩形金屬波導中的截例：用有限差分法求解矩形金屬波導中的截止波長和場分布。止波長和場分布。 假設假設 波導壁為完純導體波導壁為完純導體 波導內的介質系均勻、線性且各向同性的理想介質波導內的介質系均勻、線性且各向同性的理想介質 波導中無自由電荷和傳導電流波導中無自由電荷和傳導電流 波導工作在匹配狀態(tài)，具有均勻截面，所以在分析時只波導工作在匹配狀態(tài)，具有均勻截面，所以在分析時只考慮入射波，無反射波考慮入射波，無反射波 波導中傳播的電磁波可分為波導中傳播的電磁波可分為TETE波波或或TMTM波波 ;zzHE求解相應的場縱向分量所描述的定解問題求解相應的場縱向分量所描述的定解問題 222220cKxy0CnTE波波導壁處波波導壁處 0CTM波波導壁處波波導壁處21234004()0cK hTE 22340024()0cKh0bTM hh0 01 12 23 34 43 34 41 12 2b b邊邊界界C C K 特征值特征值 22()(2)ccKhh 截止波