線性代數(shù) 第三章 向量組與線性方程組的解的結(jié)構(gòu)

1、第一節(jié) 線性方程組的求解 在第一章我們討論了當(dāng)方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè) 數(shù)相同情形下的線性方程組的解。接下來我們討論更一般的線性方程組的解的情況。 對(duì)于方程組mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111（1）第三章 向量組與線性方程組的解的結(jié)構(gòu) 我們稱矩陣 為方程組（1）的系數(shù)矩陣，稱矩陣 為方程組（1）的增廣矩陣。 mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211mmnmmnnbaaabaaabaaaB21222221111211稱方程組 （2）為與（1）所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組。 000221122221211212111nmn

2、mmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa令 ， ，則方程組（1）和（2）分別可寫成nxxxx21mbbbb21bxAnmOxAnm定理1： 元齊次線性方程組 有非零 解的充分必要條件是 。 nOxAnmnAR)(定理2： 元非齊次線性方程組 有解 （唯一解或無窮個(gè)解）的充分必要條件 是： 系數(shù)矩陣的秩 等于增廣矩陣 的秩 。nbxAnm)(AR)(BR注意：（1） 當(dāng) 時(shí)，方程組沒有自由未知量，只有唯一解； nBRAR)()(當(dāng) 時(shí)，方程組有 個(gè)自由未知量，因此這時(shí)有無窮個(gè)解，取這 個(gè)自由未知量為 ，則含有這 個(gè)參數(shù)的解可表示方程組的任一解。nrBRAR)()(rnrnrnccc,21

3、rn舉例：求解線性方程組 979634226442224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx2111211214462243697910104011030001300000方程組可化簡(jiǎn)為 33443231xxxxx取 ，則方程組的解為 ，這就是方程組的解，通常我們將它寫成向量的形式， 即 cx 33344321xcxcxcx303401114321cxxxx例1： 求解齊次線性方程組 0340222022432143214321xxxxxxxxxxxx解： 46304630122134112212122112132rrrrA00003/42103/520100003/

4、42101221212322)3(rrrrr 所以與原方程組同解的方程組為 03420352432431xxxxxx 因此 ， 取 ， 432431342352xxxxxx2213,cxcx則方程組的解為 103/43/50122214321ccxxxx注意：在對(duì)增廣矩陣進(jìn)行變換的過程中，只能進(jìn) 行初等行變換。例2：求解非齊次線性方程組 0895443313432143214321xxxxxxxxxxxx解： 17640176401131108951443131131112233rrrrB000004/ 14/72/ 31011311232) 4/ 1(rrr000004/ 14/72/310

5、4/54/32/30121rr所以 4433432431414723454323xxxxxxxxxx取 ，則方程組的通解為 2413,cxcx004/14/5104/74/3012/32/3214321ccxxxx例3： 對(duì)于線性方程組321321321)1 (3)1 (0)1 (xxxxxxxxx問 取何值時(shí)， 此方程組 （1）有唯一解；（2） 無解；（3）有無窮多個(gè)解？并在有無窮多個(gè)解時(shí)求出其解。解： )1 ()2 (03011111131110111311312)1 (,rrrrrrA)3)(1 ()3 (003011123rr（1）當(dāng) 且 時(shí)， ， 這時(shí)方程組有唯一解；03)()(BR

6、AR（2）當(dāng) 時(shí)， ， ，則方 程組無解；01)(AR3)(BR當(dāng) 時(shí)， ，方程組有無窮多個(gè)解。3)(2)(BRAR 這時(shí) 212( 3)11231011 0336011200000000rrrB -驏驏-鼢瓏鼢瓏鼢瓏鼢-瓏鼢瓏鼢瓏鼢鼢瓏桫桫所以 ， 取 ，則方程組的解為 33323121xxxxxxcx 3021111321cxxx第二節(jié) 向量組的線性組合定義1： 把 個(gè)有次序的數(shù) 所組成的 數(shù)組稱為 維向量，這 個(gè)數(shù)稱為該向 量的 個(gè)分量，第 個(gè)數(shù) 稱為第 個(gè)分量。 nnaaa,21nnniiai一、向量的定義及線性運(yùn)算向量分為行向量和列向量。實(shí)際上， 維行向量和 維列向量就是行矩陣和列矩

7、陣。這樣 維向量可以按矩陣的運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算。nnnn例如 是一個(gè) 維列向量， 是一個(gè) 維行向量。再例如三維坐標(biāo) 就是一個(gè)3維向量。 naaa21nTaaa,21n)2 , 3 , 2(定義2： 若干個(gè)同維的列（行）向量所組成的集 合叫做向量組。 由列（行）向量組為列（行）可以組成一個(gè)矩陣；反之，以矩陣的每一列（行）為列（行）向量可以組成一個(gè)向量組。以矩陣 的每一列（行）為列（行）向量所組成的向量組稱為 的列（行）向量組。 AA二、向量組的定義及線性組合定義3：給定向量組 ，對(duì)于任意一組 實(shí)數(shù) ，稱向量 為向量組 的一個(gè)線性組合，稱 為這個(gè)線性組合的系數(shù)。 :Am,21mkkk,21mmkkk

8、2211Amkkk,21定義4： 對(duì)給定向量組 和向量 ，如果 存在一組數(shù) ，使 則稱向量 能由向量組 線性表示。 mA,:21bm,21mmb2211bA可寫成 。令 ， ，則方程組 miiiiaaa21), 2 , 1(nimbbbb21mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111nnxxxb2211若向量 能由向量組 ： 線性表示，則方程組有解，所以有以下定理：bAn,21定理1： 向量 能由向量組 線性表示的充分必 要條件是矩陣 的秩等于矩 陣 的秩。 bA),(21nA),(21bBn定義5： 設(shè)有兩個(gè)向量組 和 ， 若 組中

9、的每個(gè)向量都能由向量組 線性表 示，則稱向量組 能由向量組 線性表示， 若向量組 與向量組 能相互線性表示，則 稱這兩個(gè)向量組等價(jià)。 sA,:21tB,:21BABAAB定義1： 給定向量組 ，如果存在不全 為零的數(shù) ，使得 則稱向量組 是線性相關(guān)的；否則稱它線 性無關(guān)。sA,:21skkk,21Okkkss2211A例如： ， ， ，所以 線性相關(guān)；)2 , 1 (1)4 , 2(2O21221,第三節(jié) 向量組的線性相關(guān)性一、向量組線性相關(guān)性的定義注：（1） 向量組 線性相關(guān) 向量組 中至少有一個(gè)向量能由其它 個(gè)向量線性表示。 sA,:21)2( sA1s（2）若由 能得到 則向量組 線性無

10、關(guān)。 Okkkss2211021skkks,21 ，不存在不全為零的數(shù) 使得 ， 所以 線性無關(guān)。) 1 , 0 , 0(),0 , 1 , 0(),0 , 0 , 1 (321321,kkkOkkk332211321,二、向量組線性相關(guān)性的性質(zhì)如何來判斷一個(gè)向量組是線性相關(guān)，還是線性無關(guān)呢？以下定理給出了一個(gè)判別方法。 定理1： 向量組 線性相關(guān)的充分必要 條件是它構(gòu)成的矩陣 的秩 ；向量組線性無關(guān)的充分必要條 件是 。s,21),(21saaaAsAR)(sAR)(推論： 個(gè) 維向量組成的向量組，當(dāng) 時(shí)一 定線性相關(guān)。mnmn 我們稱 為單位坐標(biāo)向量組 ， ， ，即 等于向量組中向量的個(gè)數(shù)

11、，所以單位向量組線性無關(guān)。100,010,00121neee),(21neeeE01|EnER)()(ER定理2： 若向量組 線性相關(guān)，則 向量組 也線性相關(guān)； 反之，若向量組 線性 無關(guān)，則向量組 也線性無關(guān)。sA,:21121,:ssB121,:ssBsA,:21部分組相關(guān) 向量組相關(guān)，向量組無關(guān) 部分組無關(guān)例1： 設(shè) ，試討論向量 組 的線性相關(guān)性。1231021 ,2 ,4157 123, 定理3 設(shè)有兩個(gè)向量組 若向量組 能由向量組 線性表示，并且 ，則向量組 線性相關(guān)。 AsA,:2112:,tB BBst推論1： 設(shè)向量組 能由向量組 線性表示， 若向量組 線性無關(guān)，則 。BAB

12、st推論2： 設(shè)向量組 與 等價(jià)，且 與 都線性 無關(guān)，則 。ABBAst定理4 設(shè)向量組 線性無關(guān)，而向量 組 線性相關(guān)，則向量 一 定能由向量組 線性表示，且這種表示是唯 一的。sA,:21bBs,:21bA例2： 設(shè)向量組 線性無關(guān)， ，證明： 線性無關(guān)。 r,21,11,212rr21r,21第四節(jié) 向量組的秩一、 向量組秩的定義定義1：設(shè)有向量組 ，如果在 中能選出 個(gè)向 量 ，滿足 （1）向量組 線性無關(guān)； （2）向量組 中任意 個(gè)向量（如果存 在）都線性相關(guān)； 則稱向量組 是向量組 的一個(gè)極大線性 無關(guān)組（簡(jiǎn)稱極大無關(guān)組），極大無關(guān)組 中所含向量的個(gè)數(shù) 稱為向量組 的秩。 向量組

13、 的秩可記作 。 AArr,21rA,:210A1r0AArm,21),(21mRA注：（1） 一個(gè)向量組的極大無關(guān)組有可能不只 一個(gè)，有可能有多個(gè)；（2）向量組與它的極大無關(guān)組是等價(jià)的（即 可以相互表示）。 例如 向量組 ， 是一個(gè)極大無關(guān)組， 也是一個(gè)極大無關(guān)組。742,520,11132121,31,從定義上看，矩陣的秩與向量組的秩有所不同，到底它們之間有什么關(guān)系呢？以下定理回答了這個(gè)問題。定理1： 矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也 等于它的行向量組的秩。如何找到一個(gè)向量組的一個(gè)極大無關(guān)組呢？若 是矩陣 的一個(gè)最高階非零子式，則 所在的 列是列向量組的一個(gè)極大無關(guān)組， 所在的 行是行向量

14、組的一個(gè)極大無關(guān)組。 rDArDrDrr（1） 求 的秩；（2） 寫出向量組 的一個(gè) 極大線性無關(guān)組；（3） 若 ，求 。例1： 已知向量組 ， ， ， ，) 3 , 2 , 1 , 1 (1) 1 , 1 , 1, 1 (2)5 , 3 , 3 , 1 (3)6 , 5 , 2, 4(4) 7, 5, 1, 3(554321,),(54321TTTTTA)(AR54321,例2：設(shè)矩陣 ，求矩陣 的 列向量組的一個(gè)極大無關(guān)組，并把不屬于極大無 關(guān)組的列向量用極大無關(guān)組線性表示。 97963422644121121112AA解： 將變成最簡(jiǎn)形矩陣， 00000310003011040101行變

15、換A ，所以列向量組的極大無關(guān)組含有3個(gè)向量， 是列向量組的一個(gè)極大無關(guān)組。同時(shí) ， 。3)(AR421,2134215334注意：這里也可選取 作為極大無關(guān)組。521,定理2：設(shè)向量組 能由向量組 線性表示，則 向量組 的秩 向量組 的秩。BABA推論1：等價(jià)向量組的秩相等。推論2：設(shè)向量組 是向量組 的部分組，若向 量組 線性無關(guān)，且向量組 能由向量 組 線性表示，則向量組 是向量組 的一個(gè)極大無關(guān)組。BABBAAB注：該結(jié)論也可作為極大無關(guān)組的定義。 第五節(jié) 向量空間 一、向量空間的定義定義1： 設(shè) 是由 維向量組成的一個(gè)非空集合， 并滿足： （1） 若 是一個(gè)數(shù)， ，則 ； （2）若

16、，則 ； 則稱 是向量空間。VnVVV,VV二維空間 和三維空間 都是向量空間。,| ),(21212RxxxxV,| ),(3213213RxxxxxxV再例如 是一個(gè)向量空間；而 不是向量空間，因?yàn)?，但 。,| ), 0(21211RxxxxV,| ), 1(21212RxxxxV2) 1 , 2 , 1 (V2)2 , 4 , 2() 1 , 2 , 1 (2V設(shè) 是一個(gè)向量組，令 則 是一個(gè)向量空間。通常我們將這個(gè)向量空間 稱為由向量組 生成的向量空間。 s,21,|212211RVsssVVs,21定義2： 設(shè) 是兩個(gè)向量空間，且 ， 則稱 是 的子空間。21,VV12VV 2V1

17、V二、向量空間的基與維數(shù)定義3： 設(shè) 是一個(gè)向量空間，如果 個(gè)向量 滿足： (1) 向量組 線性無關(guān)； (2) 中的任意一個(gè)向量都可以由 線性表示；則稱 是向量空間 的一個(gè)基，稱 是 的維數(shù)，并稱 是 維向量空間。VrVr,21r,21Vr,21r,21VrVVr注：（1） 向量空間的基不是唯一的。（2）向量空間的維數(shù)并不一定等于該向量 空間中的向量的維數(shù)。 結(jié)論： 由向量組 的一個(gè)極大無關(guān)組就是 向量組 生成的向量空間的一個(gè)基， 且向量組 的秩就是該向量組生成 的向量空間的維數(shù)。 s,21s,21s,21定義4： 設(shè) 是線性空間 的一個(gè)基，對(duì) 于任一元素 ，總有且僅有一組數(shù) ， 使 ， 稱

18、為元素 在基 下的坐標(biāo)。記作 。 n，21nVnVnxxx,21nnxxx2211nxxx,21n，21Tnxxx),(21三、基、過渡矩陣與坐標(biāo)變換公式nV定義5： 設(shè) 和 是線性空間 中的兩個(gè)基 即 (1) 或 (2)n，21n,21nnnnnnnnnppppppppp221112222112112211111nTnnnnnnnnPppppppppp212121222121211121Pnn),(),(2121稱（1）或（2）為基變換公式，稱矩陣 為由基 到基 的過渡矩陣。 n，21n,21P注：過渡矩陣 是可逆的。P定理1： 設(shè) 中的元素 ，在基 下的坐標(biāo)為 ，在基 下的坐標(biāo)為 ， 為由

19、基 到基的過渡矩陣，則有坐標(biāo)變換公式 nVn,21Tnxxx),(21n,21Tnyyy),(21Pn，21n,21nnxxxPyyy21121（1） 驗(yàn)證 及 都是 的基； 例1：設(shè) 是向量空間 的一個(gè)基，而 與 是 中兩個(gè)向量組，且123, V123, 123, V11232133131123212331232234343123, 123, （3）求坐標(biāo)變換公式。V（2）求由 到 的過渡矩陣；123, 123, 第六節(jié) 線性方程組解的結(jié)構(gòu)對(duì)齊次線性方程組 000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa 即 (1) OAx 若 是它的一個(gè)解，

20、則稱 是解向量，簡(jiǎn)稱方程（1）的解。nnxxx1122111,n112111定理1： 元齊次線性方程組 的全部解所構(gòu)成的集合 是一個(gè)向量空間（稱為解空間解空間），當(dāng) 時(shí)，解空間 的維數(shù)為 。 nOxAnmSrAR)(Srn 稱解空間的一個(gè)基為方程組（1）的一個(gè)基礎(chǔ)解系，設(shè) 是方程組（1）的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則（1）的解可表示為 通常稱上式為方程組（1）的通解。rn,21rnrnkkkx2211如何求齊次方程組（1）的通解呢？設(shè)系數(shù)矩陣 的秩為 ，不妨設(shè) 進(jìn)行行初等變換變換成的行最簡(jiǎn)形矩陣為ArA00001001,1 , 11 , 1rnrrrnbbbbB則 ， ， 是方程組（1）的基礎(chǔ)解系。001

21、1 ,1 , 11rbb0102 ,2 , 12rbb100, 1rnrrnrnbb若方程的系數(shù)矩陣的最簡(jiǎn)形矩陣為 ， 則 ， 是該方程的基礎(chǔ)解系。 0000000000410001011020101B001111140122例1： 求齊次線性方程組 的基礎(chǔ)解系和通解。 0377023520432143214321xxxxxxxxxxxx解： 系數(shù)矩陣 81014045701111137723521111121327rrrrA00007/47/5107/37/2010000457011117222123rrrrr所以該方程組的基礎(chǔ)解系為 ，方程組的通解為 107/47/3,017/57/221107/47/3017/57/2214321kkxxxx（ 為任意實(shí)數(shù)）21,kk注：一個(gè)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系并不是惟一的。接下來要討論非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)。mnmnmmnnnnbxaxaxabxa