自動控制理論第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型

1、p2.1 2.1 系統(tǒng)微分方程的建立系統(tǒng)微分方程的建立p2.2 2.2 非線性微分方程的線性化非線性微分方程的線性化p2.3 2.3 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)p2.4 2.4 動態(tài)結(jié)構(gòu)圖動態(tài)結(jié)構(gòu)圖p2.5 2.5 信號流圖信號流圖第二章第二章 自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型目的目的 建立控制系統(tǒng)的數(shù)學模型，為課程的后續(xù)內(nèi)建立控制系統(tǒng)的數(shù)學模型，為課程的后續(xù)內(nèi)容提供必備的工具容提供必備的工具內(nèi)容內(nèi)容掌握建立物理系統(tǒng)數(shù)學模型的方法掌握建立物理系統(tǒng)數(shù)學模型的方法掌握數(shù)學模型的相互轉(zhuǎn)換掌握數(shù)學模型的相互轉(zhuǎn)換掌握數(shù)學模型的圖解形式掌握數(shù)學模型的圖解形式 數(shù)學模型：數(shù)學模型： 數(shù)學模型就是對實際問題

2、的一種數(shù)學表述。數(shù)學模型就是對實際問題的一種數(shù)學表述。 確確切地說：數(shù)學模型是對于一個特定的對象為了切地說：數(shù)學模型是對于一個特定的對象為了一個特定目標，根據(jù)特有的一個特定目標，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律內(nèi)在規(guī)律，做出一，做出一些些必要的簡化假設必要的簡化假設，并運用適當?shù)臄?shù)學工具，并運用適當?shù)臄?shù)學工具，得到的一個得到的一個數(shù)學結(jié)構(gòu)數(shù)學結(jié)構(gòu)。數(shù)學結(jié)構(gòu)可以是數(shù)學公。數(shù)學結(jié)構(gòu)可以是數(shù)學公式，算法、表格、圖示等。式，算法、表格、圖示等。 控制系統(tǒng)數(shù)學模型：控制系統(tǒng)數(shù)學模型： 描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部各個描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部各個變量之間關(guān)系的變量之間關(guān)系的數(shù)學表達式數(shù)學表達式。 引引 言言數(shù)學

3、模型數(shù)學模型數(shù)學模型是描述系統(tǒng)動態(tài)特性的數(shù)學表達式。數(shù)學模型是描述系統(tǒng)動態(tài)特性的數(shù)學表達式?？刂葡悼刂葡到y(tǒng)的數(shù)學模型是通過物理學，化學，生物學等定律來統(tǒng)的數(shù)學模型是通過物理學，化學，生物學等定律來描述的。描述的。通過數(shù)學模型來研究自動控制系統(tǒng)，就通過數(shù)學模型來研究自動控制系統(tǒng)，就擺脫了各種類型系統(tǒng)的外部關(guān)系而抓住擺脫了各種類型系統(tǒng)的外部關(guān)系而抓住這些系統(tǒng)的這些系統(tǒng)的共同運動規(guī)律。共同運動規(guī)律。建模方法建模方法:解析法解析法：即依據(jù)系統(tǒng)及元部件各變量之間所遵循的物即依據(jù)系統(tǒng)及元部件各變量之間所遵循的物理、化學定律列寫出變量間的數(shù)學表達式，并經(jīng)實驗理、化學定律列寫出變量間的數(shù)學表達式，并經(jīng)實驗驗證

4、，從而建立系統(tǒng)的數(shù)學模型。驗證，從而建立系統(tǒng)的數(shù)學模型。 實驗法實驗法：給系統(tǒng)或元件輸入一定形式的信號（階躍信給系統(tǒng)或元件輸入一定形式的信號（階躍信號、正弦信號等），根據(jù)系統(tǒng)或元件的輸出響應，經(jīng)號、正弦信號等），根據(jù)系統(tǒng)或元件的輸出響應，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理而擬合辨識出系統(tǒng)的數(shù)學模型。過數(shù)據(jù)處理而擬合辨識出系統(tǒng)的數(shù)學模型。數(shù)數(shù)學學模模型型微分方程微分方程傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)頻率特性頻率特性結(jié)構(gòu)圖結(jié)構(gòu)圖信號流圖信號流圖狀態(tài)空間表達式狀態(tài)空間表達式反映元件及系統(tǒng)反映元件及系統(tǒng)的特性要正確的特性要正確 實驗法實驗法 解析法解析法寫出的數(shù)學式子寫出的數(shù)學式子要簡明要簡明2.1 2.1 控制系統(tǒng)的微分方程控制系統(tǒng)的

5、微分方程引例引例：由電阻由電阻R與電容與電容C組成的一階濾波電路，組成的一階濾波電路，寫出以寫出以ui為輸入，為輸入，uo為輸出的系統(tǒng)關(guān)系方程。為輸出的系統(tǒng)關(guān)系方程。 ui uo R C 1.1.控制系統(tǒng)的微分方程控制系統(tǒng)的微分方程)()()(tutudttduTiCC線性定常系統(tǒng)的微分方程可表示為線性定常系統(tǒng)的微分方程可表示為)()()()(01)1(1)(tyatyatyatynnn)()()()(01)1(1)(tubtubtubtubmmmm線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)滿足疊加原理滿足疊加原理參數(shù)為常數(shù)參數(shù)為常數(shù)疊加原理疊加原理如果有如果有輸入輸入 x x1 1( (t t) ) 輸出輸出

6、 y y1 1( (t t) ) 輸入輸入 x x2 2( (t t) ) 輸出輸出 y y2 2( (t t) )x ta x tb x t( )( )( ) 12y ta y tb y t( )( )( ) 12則系統(tǒng)的輸入為則系統(tǒng)的輸入為 輸出保持線性可加為輸出保持線性可加為2.2.控制系統(tǒng)微分方程的建立控制系統(tǒng)微分方程的建立 分析系統(tǒng)的工作原理和系統(tǒng)中各變量間的關(guān)系，分析系統(tǒng)的工作原理和系統(tǒng)中各變量間的關(guān)系，確定出待研究元件或系統(tǒng)的確定出待研究元件或系統(tǒng)的輸入量輸入量和和輸出量輸出量； 從輸入端入手，依據(jù)各元件所遵循的物理，化學，從輸入端入手，依據(jù)各元件所遵循的物理，化學，生物等規(guī)律，

7、列寫各自方程式；生物等規(guī)律，列寫各自方程式； 將所有方程聯(lián)解，消去中間變量，得出系統(tǒng)輸入將所有方程聯(lián)解，消去中間變量，得出系統(tǒng)輸入輸出的標準方程。輸出的標準方程。 uR iR R 電阻 R utR itRR( )( ) 電容 C uC iC C utCit dtCC( )( )1 電感 L uL iL L utLditdtLL( )( )遵從基爾霍夫電壓電流定律遵從基爾霍夫電壓電流定律)()(tutuie 0)(ti ui uo R1 R2 C2 C1 L1 L2 例：考慮由電阻例：考慮由電阻R與電容與電容C組成的一階濾波電路，組成的一階濾波電路，寫出以寫出以 ui 為輸入，為輸入，u0 為輸

8、出的微分方程。為輸出的微分方程。uuuRCi11uuuCRC1220111iRuR222iRuRdtiiCuC)(12111oCudtiCu2221R C R Cd udtR CR CR Cdudtuuoooi112222112212()由基爾霍夫電壓定律由基爾霍夫電壓定律元件約束元件約束整理得整理得 ui uo R1 R2 C2 C1 L1 L2 maF例：設彈簧質(zhì)量阻尼器系統(tǒng)如圖所示，試列例：設彈簧質(zhì)量阻尼器系統(tǒng)如圖所示，試列出以力出以力 Fi 為輸入，以質(zhì)量單元的位移為輸入，以質(zhì)量單元的位移 x 為輸出的為輸出的運動方程。運動方程。 k Fi m x f k彈性系數(shù) f 阻尼系數(shù) m物體

9、質(zhì)量 maFmd xdt22FFFFkfiiFdtdxfFfFkxk md xdtkxfdxdtFi22 md xdtfdxdtkxFi22由牛二：由牛二：外力外力彈性阻力彈性阻力 粘滯阻力粘滯阻力代入整理代入整理16例例 電樞控制的直流電動機電樞控制的直流電動機 電樞電壓控制的直流電動機線路原理圖和結(jié)構(gòu)圖電樞電壓控制的直流電動機線路原理圖和結(jié)構(gòu)圖（1）列寫原始方程式。）列寫原始方程式。aeaaauKiRtiLdddLMMtJdd（2）消去中間變量。）消去中間變量。amdiKM整理后得整理后得 tMKKLMKKRuKtKKJRtKKJLLmeaLmeaaemeameadd1dddd2217若輸

10、出為電動機軸的轉(zhuǎn)角若輸出為電動機軸的轉(zhuǎn)角q q ，則有，則有 tMJTTMJTuKttTtTTLmaLmaemmadd1dddddd2233qqq（三階線性定常微分方程）（三階線性定常微分方程） meamKKJRT機電時間常數(shù)機電時間常數(shù)(秒秒)aaaRLT 電動機電樞回路時間常數(shù)電動機電樞回路時間常數(shù)(秒秒) ， 一般比一般比Tm小小tMKKLMKKRuKtKKJRtKKJLLmeaLmeaaemeameadd1dddd22tMJTTMJTuKtTtTTLmaLmaemmadd1dddd22或或例例 水水箱水位系統(tǒng)如圖，建立系統(tǒng)的微分方程箱水位系統(tǒng)如圖，建立系統(tǒng)的微分方程；1、確定輸入、輸出

11、、確定輸入、輸出 輸入：流入水箱的流量輸入：流入水箱的流量 干擾是流出水箱的流量干擾是流出水箱的流量 輸出：輸出：2、原始方程組、原始方程組 假設假設水箱截面積水箱截面積S為常數(shù)為常數(shù) 設流量系數(shù)設流量系數(shù)(調(diào)節(jié)閥開度系數(shù)調(diào)節(jié)閥開度系數(shù)) 為常數(shù)為常數(shù) 水是不可以被壓縮的水是不可以被壓縮的 c 密度密度 由物質(zhì)守恒定律存在：由物質(zhì)守恒定律存在：又因為又因為 為非常數(shù)，有：為非常數(shù)，有： 非線性的非線性的 sQfQ( )Hm()1()sfsfc S dHc QQdtdHQQdts或fQfQH3、消去中間變量、消去中間變量 有有 ：fQ11ssdHQHdtssdHHQdtss2.2 非線性微分方程

12、的線性化為什么要線性化為什么要線性化非線性系統(tǒng)的性質(zhì)比線性系統(tǒng)要復雜得多非線性系統(tǒng)的性質(zhì)比線性系統(tǒng)要復雜得多哪種非線性系統(tǒng)可以線性化哪種非線性系統(tǒng)可以線性化連續(xù)可導的非線性系統(tǒng)連續(xù)可導的非線性系統(tǒng)如何進行線性化如何進行線性化使用小偏差法使用小偏差法0yx+M-M 斜率 k(x 的函數(shù)) y x 0 x0 yx連續(xù)可導的非線性特性連續(xù)可導的非線性特性本質(zhì)非線性特性本質(zhì)非線性特性小偏差理論 具有連續(xù)變化的非線性函數(shù)具有連續(xù)變化的非線性函數(shù))(xfy Ax0，y0為預定工作點，則該非線性函數(shù)可以為預定工作點，則該非線性函數(shù)可以線性化的條件是變量線性化的條件是變量x偏離預定工作點很小偏離預定工作點很小

13、線性化方法步驟：線性化方法步驟： (1)(1)建立系統(tǒng)（環(huán)節(jié)）運動方程；建立系統(tǒng)（環(huán)節(jié)）運動方程； (2)(2)利用利用TaylorTaylor級數(shù)級數(shù)或一次微分方法，將輸出輸入或一次微分方法，將輸出輸入函數(shù)在工作點展開或求一次微分；函數(shù)在工作點展開或求一次微分； (3)(3)忽略忽略TaylorTaylor展開式或一次微分式中關(guān)于微小偏差展開式或一次微分式中關(guān)于微小偏差的的高次項高次項( (僅保留一次項僅保留一次項) )； (4)(4)得到一個關(guān)于輸出增量偏差與輸入增量的一次項得到一個關(guān)于輸出增量偏差與輸入增量的一次項的的增量方程增量方程； (5)(5)整理方程并去掉增量符號，即得到整理方程

14、并去掉增量符號，即得到線性化方程線性化方程。y xy xddty xxxx x( )() ( )()000 xxx0kddty xx x00 ( )ykx0ykx0近似線性化方程為近似線性化方程為yy xy x( )()0令令作變量替換作變量替換例：三相全橋整流裝置輸入量為控制角例：三相全橋整流裝置輸入量為控制角輸出量為整流電壓輸出量為整流電壓UD ,二者之間的關(guān)系為二者之間的關(guān)系為cos0UUD試建立其線性化方程。試建立其線性化方程。解：預定工作點為解：預定工作點為,00DU00sin00UddUKD)(sin)(00000UKUUDD)(sin)(000UKUD q l mg h dq d

15、t d2q dt2 mlddtlddtmg220qqqsin例：單擺系統(tǒng)的運動方程例：單擺系統(tǒng)的運動方程為為試列寫其線性化方程。試列寫其線性化方程。q sin解：運動方程中的非線性項為解：運動方程中的非線性項為預定工作點為預定工作點為,00q0cos0qqqqddK線性化方程為線性化方程為)(cos)(0000qqqqqK當預定工作點為當預定工作點為 0,0q022qqqmgdtdldtdml當預定工作點為當預定工作點為 0 ,)(q022qqqmgdtdldtdml 0 2 - q =q = -q+ )(cos)(0000qqqqqK總結(jié) 本質(zhì)非線性系統(tǒng)不可以作線性化本質(zhì)非線性系統(tǒng)不可以作線性化工作點鄰域的線性化方程是增量方程工作