血樣的分組檢驗

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 題目： 血樣分組檢驗的數(shù)學(xué)模型 一. 摘 要 本文主要為了解決減少血樣檢驗次數(shù)這個實際問題,為了在人群中(數(shù)量很大, 基本上是健康人)找出某種病毒的感染者,為減少檢驗次數(shù)(目的是降低費用) ,通常采用篩選的辦法：即假設(shè)人群總數(shù)為n, 將人群分成m組,每組的人數(shù)為k,將每組的k份血樣混在一起進(jìn)行化驗, 若化驗結(jié)果呈陽性,則需要對該組的每個人重新進(jìn)行化驗, 以確定誰是病毒感染者;若化驗結(jié)果呈陰性, 則表明該組全體成員均為陰性,不需要重新化驗。通過把人群分為若干組,每組若干人,易得到混合血樣檢驗次數(shù),陽性組的概率,進(jìn)而引入陽性組數(shù)的平均值,從而得到平均總檢驗次數(shù),最后通過

2、一個人的平均檢驗次數(shù)的一元函數(shù),把問題歸結(jié)為一個關(guān)于每組人數(shù)k的一元函數(shù)E(k) ,求解得E(k)=kp+1/k;通過計算, 當(dāng)p>0.307時不應(yīng)分組;將第1次檢驗的每個陽性組再次分m組,通過建立一個關(guān)于k,m的二元函數(shù)E(k,m),通過求導(dǎo)得穩(wěn)定點函數(shù),解方程組得:k=1/m=p -1/2關(guān)鍵詞:先驗概率; 平均總檢驗次數(shù); 血樣的 陰陽性; 組的基數(shù) 二. 問題的提出 在人群（數(shù)量很大）中進(jìn)行血樣檢驗，設(shè)已知先驗陽性率為 p, 為減少檢驗次數(shù)將人群分組。 若 k人一組，當(dāng) k份血樣混在一起時，只要一份呈陽性，這組血樣就呈陽性，則該組需人人檢驗；若一組血樣呈陰性，則該組不需檢驗 在一

3、個很大的人群中，通過血樣檢驗普查某種疾病,假定血樣為陽性的先驗概率為p(通常p很小).為減少檢驗次數(shù),將人群分組,一組人的血樣混合在一起化驗.當(dāng)某組的混合血樣呈陰性時,即可不經(jīng)檢驗就判定該組每個人的血樣都為陰性;而當(dāng)某組的混合血樣呈陽性時,則可判定該組至少有一人血樣為陽性,于是需要對這組的每個人再作檢驗.(1),當(dāng)p固定時(如0.01%,0.1%,1%)如何分組,即多少人一組,可使平均總檢驗次數(shù)最少,與不分組的情況比較.(2),當(dāng)p多大時不應(yīng)分組檢驗.(3), 討論兩次分組的情況，即陽性組再分組檢驗。（4），討論其它分組方案，如半分法、三分法。 三.基本假設(shè)2.1 血樣檢查到為陽性的則患有某種

4、疾病,血樣呈陰性時的情況為正常2.2 血樣檢驗時僅會出現(xiàn)陰性,陽性兩種情況,除此之外無其它情況出現(xiàn),檢驗血樣的藥劑靈敏度很高,不會因為血樣組數(shù)的增大而受影響.2.3 陽性血樣與陽性血樣混合也為陽性2.4 陽性血樣與陰性血樣混合也為陽性2.5 陰性血樣與陰性血樣混合為陰性 四.符號說明變量：n ：檢驗人群總數(shù) p ：陽性的先驗概率 K:每組的人數(shù)q:陰性先驗概率q=1-pL:為一次分組沒人的化驗次數(shù)的最小值X:一次分組每人的化驗次數(shù)M:組數(shù)E(x):X的數(shù)學(xué)期望，即均值 血樣檢驗為陽性(患有某種疾病)的人數(shù)為:z=np發(fā)生概率:Pi,i=1,2,.,x檢查次數(shù):Ri,i=1,2,.x平均總檢驗次

5、數(shù): 五. 問題的分析 根據(jù)題意,由已知的先驗概率是一個很小的數(shù)值,我們大可不必要一個一個地檢驗,為減少檢驗次數(shù),我們通過一次分組,從而可使檢驗次數(shù)大大減少;然而通過再一次分組,可使結(jié)果進(jìn)一步優(yōu)化,從而達(dá)到一個更佳的結(jié)果.由基本假設(shè)有p + q = 1,且被測人群全體n為定值,所以為使驗血次數(shù)最少只需使平均每人的驗血次數(shù)最少即可1對每一分組的檢測結(jié)果只有兩種結(jié)果, 若血樣為陰性則只需驗這一次, 概率為qk , 否則需驗k1次,概率為1 - qk 1人群全體n中每人的平均需驗次數(shù)為X 的均值, 需要考慮的問題是: 在0 < q < 1的范圍內(nèi)含參數(shù)q的函數(shù)是否存在極值點; q在什么范

6、圍內(nèi)才能使分組驗血實際有效。 六， 模型建立與求解 設(shè)總?cè)藬?shù)為n,已知每人血樣陽性的先驗概率為p,記血樣陰性的概率q=1-p模型一： 設(shè)分x組,每組k人(n很大,x能整除n,k=n/x),混合血樣檢驗x次.陽性組的概率為P1=1-qk,分組時是隨機的,而且每個組的血樣為陽性的機率是均等的,陽性組數(shù)的平均值為xp1,這些組的成員需逐一檢驗,平均次數(shù)為kxp1,所以平均檢驗次數(shù)N=x+kxp1,一個人的平均檢驗次數(shù)為N/n。記作:E(k)=1/k+1-qk=1/k+1-(1-p)k(1)問題是給定p求k使E(k)最小. p很小時利用可得(1-p)k=1-kp得E（k）=1/k+kp (2) 顯然k

7、=p-1/2時E(k)最小.因為K需為整數(shù),所以應(yīng)取k=p-1/2和k=(p-1/2)+1,比較E(K),得到K的最優(yōu)值,見表1. P (%) K E(k) 0.01% 100 0.020 0.1% 32 0.063 1% 10 0.196 2% 8 0.274 5% 5 0.426 表1 一次分組檢驗結(jié)果圖一當(dāng)p=0.01%時,可用MATLAB模擬出E(k)=1/k+0.0001×k的圖像如圖一,曲線是關(guān)于k的圖像. 圖形一2），下圖一是關(guān)于p和k的關(guān)系圖（p=0.01%）圖二 同上法,當(dāng)p=0.1%時,可用MATLAB模擬出E(K)=1/K=0.001×K的圖像如圖二,

8、曲線是關(guān)于k的圖像.其它情況我們一樣可用其所長Maple模擬出類似的圖像： 圖2 此圖是p=0.1時k關(guān)于p的圖像 模型二 隨著p的增加k減小,E(k)變大.只要E(k)>1時，就不應(yīng)分組,即當(dāng)E(K)>1時，不應(yīng)分組，即： 用數(shù)學(xué)軟件求解得檢查k=2,3,可知當(dāng)p>0.307不應(yīng)分組.4.3 模型三 將第1次檢驗的每個陽性組再分y小組,每小組m人(y整除k,).因為第1次陽性組的平均值為,所以第2次需分小組平均檢驗次,而陽性小組的概率為(為計算簡單起見,將第1次所有陽性組合在一起分小組),陽性小組總數(shù)的平均值為這些小組需每人檢驗,平均檢驗次數(shù)為所以平均總檢驗次數(shù)N=x+,一

9、個人的平均檢驗次數(shù)為N/n,記作(注意:n=kx=myx)：, (3)問題是給定p求k,m使E(k,m)最小.P很小時(3)式可簡化為： (4) 對(4)分別對k,m求導(dǎo)并令其等于零,得方程組:舍去負(fù)數(shù)解可得:(5)且要求k,m,均為整數(shù).經(jīng)在(5)的結(jié)果附近計算,比較E(k,m),得到k,m的最優(yōu)值,見表2： p k M E(k,m) 0.01% 700 100 0.0028 0.1% 125 25 0.0161 1% 22 11 O.O897 2% 14 7 0.131 5% 8 4 0.305 表2 二次分組檢驗結(jié)果 與表1比較可知,二次分組的效果E(k,m)比一次分組的效果E(k)更好

10、.4.4 模型四(平均概率模型)1）主要參數(shù)： 患病人數(shù):z=np 組的基數(shù):每組需要檢驗的人數(shù)。 平均檢驗次數(shù): 陽性血樣的分組模型:可分為x組,每組k人 分組要滿足的條件: 其中y為患病人數(shù).2），分組人數(shù)=患病人數(shù)(即:血樣呈陽性的人數(shù))時,通過這樣的分組模型可以使檢驗次數(shù)達(dá)到最優(yōu).2）當(dāng)z>k()時,一組人不能包括所有的病人數(shù),第一次檢驗的基數(shù)較大.3）當(dāng)z<k時，檢驗多一組時組的基數(shù)會很大，而且每一組的概率相差無幾十年來具體例子見附錄二 模型推廣 本數(shù)學(xué)模型也可適用于某人民醫(yī)院要對某地區(qū)的居民是否患有某種病(如乙肝)的檢驗,并對該地區(qū)的病情作一定的預(yù)測,從而達(dá)到預(yù)防和及早

11、治療的效果.乙肝的血樣檢驗只有陰性,陽性兩種情況,我們可用本數(shù)學(xué)模型切實地解決這個問題.6 模型評價由于血樣的先檢概率通常很小,為減少檢驗次數(shù),我們通過先對檢驗的人群進(jìn)行分組,引入陽性組的概率,通過陽性組數(shù)的平均值作為橋梁,由于陽性組的人需要全部重新檢驗,最后可得平均總檢驗次數(shù),進(jìn)而得到一個人的平均檢驗次數(shù)的一元函數(shù).然而我們通過對陽性組人群進(jìn)行再次分組(即對檢驗人群進(jìn)行二次分組),從而得到一個關(guān)于兩次分組人數(shù)二元函數(shù),進(jìn)而得到更為優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型.最后,我們引入平均概率模型,再把血樣檢驗中出現(xiàn)的可能性細(xì)化,得到當(dāng)血樣檢驗為陽性的人數(shù)等于分組后每一組的人數(shù)時,通過這樣的分組模型可以使檢驗次數(shù)達(dá)到

12、最優(yōu),但是我們尚未能給出確實的理論證明.附錄【1】：假定陽性血樣的人群有6個小組時的Matlab的程序如下:clear;clc;counter=0;z=input('請輸入病人數(shù) ')for r1=1:zfor r2=r1:z-r1for r3=r2:z-r1-r2for r4=r3:z-r1-r2-r3for r5=r4:z-r1-r2-r3-r4if r1+r2+r3+r4+r5=zr1,r2,r3,r4,r5counter=counter+1;#計數(shù)器endendendendendendcounter#輸出計數(shù)的結(jié)果輸入z的值為10,輸出計算結(jié)果:couter=7圖一程序

13、： >> k=0:20:400k = 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400>> p=1./k+0.0001*kp = Columns 1 through 17 Inf 0.0520 0.0290 0.0227 0.0205 0.0200 0.0203 0.0211 0.0222 0.0236 0.0250 0.0265 0.0282 0.0298 0.0316 0.0333 0.0351 Columns 18 through 21 0.0369 0.03

14、88 0.0406 0.0425>> plot(k,p)>> xlabel('人數(shù)k')>> ylabel('E（k）')>> title('圖一')圖二程序：>> k=26:2:40;>> p=1./k+0.001*k;>> plot(k,p)>> xlabel('k')>> ylabel('E（k）')>> title('圖二')，p=0.01%時的，p,k圖程序 k=0:20

15、:200k = 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200>> p=(1./k).2;>> plot(k,p)>> xlabel('人數(shù)k')>> ylabel('p')>> title('圖一')p=0.1%時p,k圖程序：>> k=20:2:40;>> p=(1./k).2;>> plot(k,p,'r')>> xlabel('k')>> ylabel('

16、;E(k)')title('圖二')附錄【2】n=1000.P=1%.分100組 陰性組 陽性組分組可能情況概率檢驗次數(shù)平均檢驗次數(shù) 1 99 1P1=1/42 110 2.619 2 98 5P2=4/42 120 11.429 3 97 8P3=8/42 130 24.763 4 96 9P4=9/42 140 30 5 95 7P5=7/42 150 25 6 94 5P6=5/42 160 19.048 7 93 3P7=3/42 170 12.143 8 92 2P8=2/42 180 8.571 9 91 1P9=1/42 190 4.524 10 90 1

17、P10=1/42 120 4.762平均檢驗次數(shù)：個人平均檢驗次數(shù)：E=N/1000=0.1429n=1000,p=1%,分125組，每組8人陽性組陰性組分組可能情況概率檢驗次數(shù)平均檢驗次數(shù) 1 124 0 0 0 0 2 123 4P1=4/40 141 14.100 3 122 8P2=8/40 149 29.800 4 121 9P3=9/40 157 35.325 5 120 7P4=7/40 165 28.875 6 119 5P5=5/40 173 21.625 7 118 3P6=3/40 181 13.575 8 117 2P7=2/40 189 9.450 9 116 1P8

18、=1/40 197 4.925 10 115 1 P9=1/40 205 5.125平均檢驗次數(shù)：個人平均檢驗次數(shù)：E=N/1000=0.1628 n=1000,p=1%,分為50組，每組20人陽性組陰性組分組可能情況概率檢驗次數(shù)平均檢驗次數(shù) 1 99 1 P1=1/530 70 0.1321 2 98 10 P2=10/530 90 1.6981 3 97 33 P3=33/530 110 6.8491 4 96 64 P4=64/530 130 15.6981 5 95 84 P5=84/530 150 23.7736 6 94 90 P6=90/530 170 28.8679 7 93 82 P7=82/530 190 29.3962 8 92 70 P8=70/530 210 27.7358 9 91 54 P9=54/530 230