第五章(3)頻率特性(閉環(huán)特性)

1、1 通過本章前面幾節(jié)的介紹，我們已經(jīng)了解到系統(tǒng)通過本章前面幾節(jié)的介紹，我們已經(jīng)了解到系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性對分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和穩(wěn)定程度具有的開環(huán)頻率特性對分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和穩(wěn)定程度具有十分重要的意義。十分重要的意義。 但穩(wěn)定性是系統(tǒng)能否正常工作的一個基本條件，為但穩(wěn)定性是系統(tǒng)能否正常工作的一個基本條件，為了研究自動控制系統(tǒng)的其它性能指標(biāo)，僅知道系統(tǒng)的了研究自動控制系統(tǒng)的其它性能指標(biāo)，僅知道系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性是不夠的。為此有必要進(jìn)一步研究系統(tǒng)開環(huán)頻率特性是不夠的。為此有必要進(jìn)一步研究系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性。的閉環(huán)頻率特性。 一般情況下，求解系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性十分復(fù)雜煩一般情況下，求解系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性十

2、分復(fù)雜煩瑣，在實(shí)際中通常都是采用圖解法來求出系統(tǒng)的閉環(huán)瑣，在實(shí)際中通常都是采用圖解法來求出系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性頻率特性。.7 .7 系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性2教學(xué)要求教學(xué)要求: : 1. 1.閉環(huán)頻率特性的概念閉環(huán)頻率特性的概念 2.2.閉環(huán)頻率特性的繪制方法閉環(huán)頻率特性的繪制方法 3.3.閉環(huán)頻率特性與階躍響應(yīng)閉環(huán)頻率特性與階躍響應(yīng)3. . )(1)()()(sGsGsRsCjs ()()()()1()C jG jjR jG j 單位反饋系統(tǒng)R(s)-G(s)C(s)用用 代入上式，可得到系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性為代入上式，可得到系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性為 上式描述了系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性上式描述了系

3、統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(jw) 與閉環(huán)頻率與閉環(huán)頻率特性特性 之間的關(guān)系之間的關(guān)系一、向量作圖法一、向量作圖法如圖所示的單位負(fù)反饋系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)如圖所示的單位負(fù)反饋系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)()jSj4。 設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如圖所示。由圖可見，設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如圖所示。由圖可見，當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)由此得到由此得到 時(shí)時(shí)系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性為系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性為 1jeOAjGjGOAjG)()()(111)(1111)(1)()()(jeQAOAjGjGjRjCmIA G0eR0Q) 01(j， 向量作圖法求閉環(huán)頻率特性1上式表明，當(dāng)上式表明，當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性的幅值時(shí)，系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性的幅

4、值等于向量等于向量 與與 的幅值之比，的幅值之比， 而閉環(huán)頻率特而閉環(huán)頻率特性的相角等于向量性的相角等于向量 OA與與QA的相角差。的相角差。 這樣，逐點(diǎn)測出不同頻率處對應(yīng)向量的幅值和相角，這樣，逐點(diǎn)測出不同頻率處對應(yīng)向量的幅值和相角，便可繪制如圖所示的便可繪制如圖所示的閉環(huán)幅頻特性閉環(huán)幅頻特性 A()和和閉環(huán)相頻特性閉環(huán)相頻特性 。1OAQA)()(A0)(0001800360 但由于需要逐點(diǎn)測量但由于需要逐點(diǎn)測量和作圖，十分不便，因而和作圖，十分不便，因而在實(shí)際應(yīng)用中很少采用。在實(shí)際應(yīng)用中很少采用。6二、等二、等M M圓圖圓圖 由向量作圖法可看出，對于由向量作圖法可看出，對于G平面上任一點(diǎn)

5、平面上任一點(diǎn)A，總有一個閉環(huán)幅值總有一個閉環(huán)幅值 與之對應(yīng)，如果令閉環(huán)幅與之對應(yīng)，如果令閉環(huán)幅值值 為一常數(shù)為一常數(shù)M，那么它在，那么它在G平面上是一個什么樣平面上是一個什么樣的圖形呢？的圖形呢？ 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為由此得到系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性為由此得到系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性為)()(jRjC)()(jRjCjVUjG)(jVUjVUjGjGjRjC1)(1)()()(令令jVUjVUjRjCM1)()(222221VUVUM7 由此得到由此得到 1)若若M=1，則，則 ，這是在，這是在G平面上過點(diǎn)平面上過點(diǎn)且平行于虛軸的直線方程，即且平行于虛軸的直線方程，

6、即 是是 M=1在在G平面上的等幅值軌跡。平面上的等幅值軌跡。 2)若若 ，則上式可寫成，則上式可寫成 0) 1(2) 1(222222MVMUMUM21U)0,21(j21U112222222MMVUMMU1M這是一個標(biāo)準(zhǔn)圓方程，圓心坐標(biāo)為這是一個標(biāo)準(zhǔn)圓方程，圓心坐標(biāo)為 ，半徑是半徑是 。222222211MMVMMU),1(22joMM12MM即即812MM3)當(dāng)當(dāng)M1時(shí)，圓的半徑時(shí)，圓的半徑 隨隨M值的值的增加而減小，圓心位于負(fù)實(shí)軸上點(diǎn)左側(cè)增加而減小，圓心位于負(fù)實(shí)軸上點(diǎn)左側(cè)且收斂于且收斂于（-1，j0）點(diǎn)；點(diǎn)；4)當(dāng)當(dāng) M1時(shí)，圓的半徑時(shí)，圓的半徑 隨隨M值的值的增加而增大，圓心位于正實(shí)

7、軸上且收斂增加而增大，圓心位于正實(shí)軸上且收斂于于（0，j0）點(diǎn)。點(diǎn)。 當(dāng)當(dāng) M=1時(shí)，它可看成時(shí)，它可看成 是是 半徑為無窮大半徑為無窮大且圓心位于實(shí)軸上無窮遠(yuǎn)的特殊圓。且圓心位于實(shí)軸上無窮遠(yuǎn)的特殊圓。12MM9 由不同的由不同的 M M值在值在G G平面上構(gòu)成的這簇圓叫做平面上構(gòu)成的這簇圓叫做等等M M圓圓或或等幅值軌跡等幅值軌跡。jVU1M2 .1M3 .14 .16 .10 .20 .34320 .5M0211218 .06 .02 .0圖5-62 等M圓圖 在工程實(shí)踐中，應(yīng)用等在工程實(shí)踐中，應(yīng)用等M M圓求取閉環(huán)幅頻特性時(shí)，圓求取閉環(huán)幅頻特性時(shí)，需先在透明紙上繪制出標(biāo)準(zhǔn)等需先在透明紙上

8、繪制出標(biāo)準(zhǔn)等M M圓簇，然后按相同的圓簇，然后按相同的比比 例例 尺在白紙或坐標(biāo)紙上繪制出給定的開環(huán)頻率尺在白紙或坐標(biāo)紙上繪制出給定的開環(huán)頻率特性特性G G（jj）的紙上重疊起來，并將它們的坐標(biāo)重）的紙上重疊起來，并將它們的坐標(biāo)重合合最后根據(jù)最后根據(jù)G G（jj）曲線與等）曲線與等M M圓簇的交點(diǎn)得到對應(yīng)圓簇的交點(diǎn)得到對應(yīng)的的M M值和值和值，便可繪制出閉環(huán)幅頻特性值，便可繪制出閉環(huán)幅頻特性A A（）（如圖（如圖5-635-63和圖和圖5-645-64所示）。所示）。如何繪制閉環(huán)幅頻特性圖如何繪制閉環(huán)幅頻特性圖?如何求對應(yīng)點(diǎn)的頻率值如何求對應(yīng)點(diǎn)的頻率值?11 需要指出，上述方法可直接得到需要指

9、出，上述方法可直接得到G（j）與等）與等M圓簇各交點(diǎn)處的圓簇各交點(diǎn)處的M值，其對應(yīng)的值，其對應(yīng)的值還必須查表才值還必須查表才能得到。方法是，能得到。方法是， 1)先根據(jù)給定的開環(huán)頻率特性先根據(jù)給定的開環(huán)頻率特性 G(j)表達(dá)式，分表達(dá)式，分別由給定的別由給定的 值值(按合適步長從小到大按合適步長從小到大)計(jì)算出開環(huán)計(jì)算出開環(huán)幅頻特性幅頻特性 和開環(huán)相頻特性和開環(huán)相頻特性 的對應(yīng)值，的對應(yīng)值， 2)對照對照G(j)與等與等M圓簇各交點(diǎn)坐標(biāo)位置查表得到圓簇各交點(diǎn)坐標(biāo)位置查表得到對應(yīng)的角頻率對應(yīng)的角頻率值，值， 3)最后將各交點(diǎn)的最后將各交點(diǎn)的值和值和M值列表（如表值列表（如表5-2所示）所示）標(biāo)出

10、，便可繪出如圖標(biāo)出，便可繪出如圖5-64所示的閉環(huán)幅頻特性所示的閉環(huán)幅頻特性A()。)(jG)(jG120 . 1MjVU)(jGr1212 . 1M3 . 1M4 . 1M5 . 0M025. 0M圖5-63 利用等M圓圖求取A()rM)(A0 . 11 . 01r10100圖5-64 控制系統(tǒng)閉環(huán)幅頻特性圖如何確定諧振點(diǎn)如何確定諧振點(diǎn)?13用等用等M M圓求取閉環(huán)幅頻特性不僅簡單方便，而且圓求取閉環(huán)幅頻特性不僅簡單方便，而且可以在可以在G G平面上直接看到當(dāng)開環(huán)頻率特性曲線平面上直接看到當(dāng)開環(huán)頻率特性曲線 G(j)G(j)的形狀發(fā)生某種變化時(shí)，閉環(huán)幅頻特性的形狀發(fā)生某種變化時(shí)，閉環(huán)幅頻特性

11、 A()A()將會將會因之出現(xiàn)那些相應(yīng)的變化，以及這些變化的趨勢。因之出現(xiàn)那些相應(yīng)的變化，以及這些變化的趨勢。由圖由圖5-635-63和圖和圖5-645-64還可看出，還可看出，與與G(j)G(j)曲線相切曲線相切的圓所表示的的圓所表示的 M M值就是閉環(huán)幅頻特性的最大值值就是閉環(huán)幅頻特性的最大值，如，如果切點(diǎn)的果切點(diǎn)的M M值大于值大于1 1，則切點(diǎn)處的，則切點(diǎn)處的M M值就是諧振峰值值就是諧振峰值M Mr r，對應(yīng)的頻率值就是諧振頻率對應(yīng)的頻率值就是諧振頻率r r。諧振峰值諧振峰值M Mr r和諧振頻率和諧振頻率r r是閉環(huán)幅頻特性的兩是閉環(huán)幅頻特性的兩個重要特征量。個重要特征量。 它們與

12、閉環(huán)系統(tǒng)的控制性能密切相它們與閉環(huán)系統(tǒng)的控制性能密切相關(guān)關(guān). .14三、等三、等N N圓圖圓圖用等用等M M圓圖和開環(huán)頻率特性可以求出系統(tǒng)的閉環(huán)幅頻特性圓圖和開環(huán)頻率特性可以求出系統(tǒng)的閉環(huán)幅頻特性A A()?，F(xiàn)在用類似的方法進(jìn)一步研究系統(tǒng)的閉環(huán)相頻特性。現(xiàn)在用類似的方法進(jìn)一步研究系統(tǒng)的閉環(huán)相頻特性 及其在及其在G G平面上的圖形。單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性可以表平面上的圖形。單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性可以表示為示為則其閉環(huán)頻率特性則其閉環(huán)頻率特性是是)(jVUjG)(jVUjVUjGjGjRjC1)(1)()()(用用表示閉環(huán)頻率特性的相角，則有表示閉環(huán)頻率特性的相角，則有UVarctgUVa

13、rctgjRjC1)()(UVUVUVUVarctg111即15化簡后有化簡后有令令 則有則有 22VUUVtgtgN 22VUUVN整理后得到整理后得到22221412121NNVU這也是一個標(biāo)準(zhǔn)圓方程，圓心坐是這也是一個標(biāo)準(zhǔn)圓方程，圓心坐是 ，半徑，半徑為為 。當(dāng)。當(dāng)N N或或 為一定值時(shí)，它在為一定值時(shí)，它在G G平面平面上是一個圓，改變上是一個圓，改變N N或或的大小，它們在的大小，它們在 G G平面上就構(gòu)成了如平面上就構(gòu)成了如圖圖 5-655-65所示的一簇圓，這簇圓的圓心都在虛軸左側(cè)與虛軸距所示的一簇圓，這簇圓的圓心都在虛軸左側(cè)與虛軸距離為離為 且平行于虛軸的直線上，我們稱這簇圓為

14、等且平行于虛軸的直線上，我們稱這簇圓為等N N圓或等圓或等相角軌跡。相角軌跡。)21,21(Nj22141N)(tgN 2116 由圖由圖 5-65 5-65 還可看出，對于給還可看出，對于給定定的的值對應(yīng)的等值對應(yīng)的等N N 值軌跡，值軌跡，實(shí)際上并不是一個完整的圓，實(shí)際上并不是一個完整的圓，而只是一段圓弧，這是因?yàn)橐欢皇且欢螆A弧，這是因?yàn)橐粋€角度加上個角度加上（或（或 的倍數(shù)）其正切值的倍數(shù)）其正切值相等的緣故。例如相等的緣故。例如和和 （或（或-150-1500 0）的）的N N值均為值均為 ，它們在，它們在G G平面平面上是屬于同一個圓上的一段圓上是屬于同一個圓上的一段圓弧。等弧。等

15、N N圓以實(shí)軸為對稱，也圓以實(shí)軸為對稱，也對稱于直線對稱于直線 。0180018003002103321U圖5-65 等N圓圖jVU1212020a321 G0100030040060020030123040060由圖由圖 可看出，不管可看出，不管 N N值的大小如何，當(dāng)值的大小如何，當(dāng)U=V=0U=V=0及及U=-1U=-1，V=0V=0時(shí)，方程（時(shí)，方程（5-1345-134）總是成立的。這就說明，等）總是成立的。這就說明，等N N圓簇中圓簇中每個圓都將通過點(diǎn)（每個圓都將通過點(diǎn)（-1-1，j0j0）和坐標(biāo)原點(diǎn)（）和坐標(biāo)原點(diǎn)（0 0，j0j0）。）。等等 N N圓是多值的，即同一個圓是多值的

16、，即同一個N N值值有無窮多個有無窮多個值與之對應(yīng)，這值與之對應(yīng)，這些些值是值是 ， 它們都滿足正切條它們都滿足正切條件件 N=tgN=tg。因此，。因此，用等用等N N圓來確定閉環(huán)系統(tǒng)的相角時(shí)，圓來確定閉環(huán)系統(tǒng)的相角時(shí)，就必須就必須確定適當(dāng)?shù)拇_定適當(dāng)?shù)闹?。?yīng)從對應(yīng)于值。應(yīng)從對應(yīng)于 的零頻率開始，逐漸增加的零頻率開始，逐漸增加頻率直到高頻，頻率直到高頻， 所得到的閉環(huán)相頻曲線應(yīng)該是連續(xù)的。所得到的閉環(huán)相頻曲線應(yīng)該是連續(xù)的。00180n）、210( n 0)(jV GU10)(jG圖5-66 利用等N圓圖求取)()(00090018002701 . 0110100圖5-67 控制系統(tǒng)的閉環(huán)相頻特

17、性曲線181.等等M線線:對于特定的對于特定的M值值2.等等 線線:20lg( ) ( )A 對于特定的對于特定的 值值20lg( ) ( )A 四、尼科爾斯圖四、尼科爾斯圖19 四、非單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性四、非單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性如圖5-68所示的非單位反饋系統(tǒng)，其閉環(huán)頻率特性為 )()(1)()()(jHjGjGjRjC上式可寫成 （5-135）式（5-135）的方框圖如圖5-69所示，它是圖5-68的等效方框圖。 由式（5-135）得到非單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)幅頻特性和相頻特性分別為)(1)()()(1)()(1)()()()(1jHjRjCjHjHjGjHjGjRjC)(1)(

18、)()()(1jHjRjCjRjC)()()()()(1jHjRjCjRjC分貝)(lg20)()(lg20)()(lg201jHjRjCjRjC或(5-136)(5-137)20R(s)C(s)G(s)H(s)圖5-68 非單位反饋系統(tǒng)框圖R(s)G(s)H(s)(1sHC(s)(1sC圖5-69 非單位反饋系統(tǒng)等效框圖式（5-136）說明，非單位反饋系統(tǒng)的對數(shù)閉環(huán)幅頻率特性等于由 為前向通道的單位反饋系統(tǒng)的對數(shù)閉環(huán)幅頻特性減去反饋通道 的對數(shù)幅頻特性得到的差。式 （5-137）說明，非單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)相頻特性等于由 為前向通道的相頻特性減去反饋通道 的相頻特性得到的差。這樣我們就可以利用

19、等M圓和等N圓圖先求出以 為前向通道的 單 位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)對數(shù)幅頻特性和閉環(huán)相頻特性，再分別減去反饋通道 的對數(shù)幅頻特性和相頻率特性， 便可得到非單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)對數(shù)幅頻特性和閉環(huán)相頻特性。)()(jHjG)(jH)()(jHjG)(jH)()(jHjG)(jHEnd-21五五. .利用閉環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)性能利用閉環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)性能1.1.定性分析定性分析1)1)零頻幅值零頻幅值M(0)M(0) 反映階躍作用下的穩(wěn)態(tài)誤差反映階躍作用下的穩(wěn)態(tài)誤差. .2)2)諧振峰值諧振峰值MmMm 反映系統(tǒng)的平穩(wěn)性反映系統(tǒng)的平穩(wěn)性rM)(A0 . 11 . 01r10100圖5-64 控制系統(tǒng)閉環(huán)幅

20、頻特性圖223)3)帶寬頻率帶寬頻率WbWb 反映系統(tǒng)的快速性反映系統(tǒng)的快速性. .一階系統(tǒng)一階系統(tǒng)二階系統(tǒng)二階系統(tǒng)21(,()0.707(0)()1133bSbjMTtTT1S)=TS+12(,()0.707(0),0.7073.53.5bnSjMtn2nnbS)=S +2S+1234)4)閉環(huán)頻率的斜率閉環(huán)頻率的斜率 反映系統(tǒng)的抗干擾性能反映系統(tǒng)的抗干擾性能2.2.定量分析定量分析 超調(diào)量超調(diào)量 調(diào)節(jié)時(shí)間調(diào)節(jié)時(shí)間1200.5(/4)4ln.17%mbM MM00.50.51(13.572.51)mbsMtM24教學(xué)要求教學(xué)要求: :1.1.開開環(huán)頻率特性的概念環(huán)頻率特性的概念2.2.開開環(huán)

21、頻率特性的繪制方法環(huán)頻率特性的繪制方法3.3.開開環(huán)頻率特性與階躍響應(yīng)環(huán)頻率特性與階躍響應(yīng).8.8 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性與階躍響應(yīng)系統(tǒng)開環(huán)頻率特性與階躍響應(yīng)251 1、開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線（、開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線（BodeBode圖）低頻段的圖）低頻段的斜率取決于系統(tǒng)含有積分環(huán)節(jié)的個數(shù)。因而決斜率取決于系統(tǒng)含有積分環(huán)節(jié)的個數(shù)。因而決定系統(tǒng)的定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度穩(wěn)態(tài)精度. .0 0L L ( () )2 2 0 0 l l g g K K（ a a ） = 0不不 含含 積積 分分 環(huán)環(huán) 節(jié)節(jié)260 0L L( () )- -2 20 0d dB B/ /d de ec c（b b）=1含含有有一一個個

22、積積分分環(huán)環(huán)節(jié)節(jié)0 0( () )- -9 90 0圖圖5-6-25-6-2 272 2、中頻段的斜率對系統(tǒng)穩(wěn)定裕度、中頻段的斜率對系統(tǒng)穩(wěn)定裕度( (平穩(wěn)性和快平穩(wěn)性和快速性速性) )影響最大影響最大0 0L L( () )- -2 20 0- -4 40 01111c1)(ca1,()11133CCSCGSSGStTKG(S)=S1)-20Db/dec1)-20Db/dec的情況的情況: :2822222,( )1CCCGSSGS2KG(S)=S2)-40Db/dec2)-40Db/dec的情況的情況: :2921)1()()(jjKjHjG11arctan180)arctan(180)(ccc1arctan)(180cc0 0L L( () )- -2 20 0- -4 40 01c1)(cb圖圖5-6-45-6-4 例例分