第五章(3)頻率特性(閉環(huán)特性)

1、1 通過本章前面幾節(jié)的介紹，我們已經(jīng)了解到系統(tǒng)通過本章前面幾節(jié)的介紹，我們已經(jīng)了解到系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性對分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和穩(wěn)定程度具有的開環(huán)頻率特性對分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和穩(wěn)定程度具有十分重要的意義。十分重要的意義。 但穩(wěn)定性是系統(tǒng)能否正常工作的一個基本條件，為但穩(wěn)定性是系統(tǒng)能否正常工作的一個基本條件，為了研究自動控制系統(tǒng)的其它性能指標，僅知道系統(tǒng)的了研究自動控制系統(tǒng)的其它性能指標，僅知道系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性是不夠的。為此有必要進一步研究系統(tǒng)開環(huán)頻率特性是不夠的。為此有必要進一步研究系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性。的閉環(huán)頻率特性。 一般情況下，求解系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性十分復雜煩一般情況下，求解系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性十

2、分復雜煩瑣，在實際中通常都是采用圖解法來求出系統(tǒng)的閉環(huán)瑣，在實際中通常都是采用圖解法來求出系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性頻率特性。.7 .7 系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性2教學要求教學要求: : 1. 1.閉環(huán)頻率特性的概念閉環(huán)頻率特性的概念 2.2.閉環(huán)頻率特性的繪制方法閉環(huán)頻率特性的繪制方法 3.3.閉環(huán)頻率特性與階躍響應閉環(huán)頻率特性與階躍響應3. . )(1)()()(sGsGsRsCjs ()()()()1()C jG jjR jG j 單位反饋系統(tǒng)R(s)-G(s)C(s)用用 代入上式，可得到系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性為代入上式，可得到系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性為 上式描述了系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性上式描述了系

3、統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(jw) 與閉環(huán)頻率與閉環(huán)頻率特性特性 之間的關系之間的關系一、向量作圖法一、向量作圖法如圖所示的單位負反饋系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)如圖所示的單位負反饋系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)()jSj4。 設系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如圖所示。由圖可見，設系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如圖所示。由圖可見，當當 時時由此得到由此得到 時時系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性為系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性為 1jeOAjGjGOAjG)()()(111)(1111)(1)()()(jeQAOAjGjGjRjCmIA G0eR0Q) 01(j， 向量作圖法求閉環(huán)頻率特性1上式表明，當上式表明，當 時，系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性的幅值時，系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性的幅

4、值等于向量等于向量 與與 的幅值之比，的幅值之比， 而閉環(huán)頻率特而閉環(huán)頻率特性的相角等于向量性的相角等于向量 OA與與QA的相角差。的相角差。 這樣，逐點測出不同頻率處對應向量的幅值和相角，這樣，逐點測出不同頻率處對應向量的幅值和相角，便可繪制如圖所示的便可繪制如圖所示的閉環(huán)幅頻特性閉環(huán)幅頻特性 A()和和閉環(huán)相頻特性閉環(huán)相頻特性 。1OAQA)()(A0)(0001800360 但由于需要逐點測量但由于需要逐點測量和作圖，十分不便，因而和作圖，十分不便，因而在實際應用中很少采用。在實際應用中很少采用。6二、等二、等M M圓圖圓圖 由向量作圖法可看出，對于由向量作圖法可看出，對于G平面上任一點

5、平面上任一點A，總有一個閉環(huán)幅值總有一個閉環(huán)幅值 與之對應，如果令閉環(huán)幅與之對應，如果令閉環(huán)幅值值 為一常數(shù)為一常數(shù)M，那么它在，那么它在G平面上是一個什么樣平面上是一個什么樣的圖形呢？的圖形呢？ 設單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為設單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為由此得到系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性為由此得到系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性為)()(jRjC)()(jRjCjVUjG)(jVUjVUjGjGjRjC1)(1)()()(令令jVUjVUjRjCM1)()(222221VUVUM7 由此得到由此得到 1)若若M=1，則，則 ，這是在，這是在G平面上過點平面上過點且平行于虛軸的直線方程，即且平行于虛軸的直線方程，

6、即 是是 M=1在在G平面上的等幅值軌跡。平面上的等幅值軌跡。 2)若若 ，則上式可寫成，則上式可寫成 0) 1(2) 1(222222MVMUMUM21U)0,21(j21U112222222MMVUMMU1M這是一個標準圓方程，圓心坐標為這是一個標準圓方程，圓心坐標為 ，半徑是半徑是 。222222211MMVMMU),1(22joMM12MM即即812MM3)當當M1時，圓的半徑時，圓的半徑 隨隨M值的值的增加而減小，圓心位于負實軸上點左側增加而減小，圓心位于負實軸上點左側且收斂于且收斂于（-1，j0）點；點；4)當當 M1時，圓的半徑時，圓的半徑 隨隨M值的值的增加而增大，圓心位于正實

7、軸上且收斂增加而增大，圓心位于正實軸上且收斂于于（0，j0）點。點。 當當 M=1時，它可看成時，它可看成 是是 半徑為無窮大半徑為無窮大且圓心位于實軸上無窮遠的特殊圓。且圓心位于實軸上無窮遠的特殊圓。12MM9 由不同的由不同的 M M值在值在G G平面上構成的這簇圓叫做平面上構成的這簇圓叫做等等M M圓圓或或等幅值軌跡等幅值軌跡。jVU1M2 .1M3 .14 .16 .10 .20 .34320 .5M0211218 .06 .02 .0圖5-62 等M圓圖 在工程實踐中，應用等在工程實踐中，應用等M M圓求取閉環(huán)幅頻特性時，圓求取閉環(huán)幅頻特性時，需先在透明紙上繪制出標準等需先在透明紙上

8、繪制出標準等M M圓簇，然后按相同的圓簇，然后按相同的比比 例例 尺在白紙或坐標紙上繪制出給定的開環(huán)頻率尺在白紙或坐標紙上繪制出給定的開環(huán)頻率特性特性G G（jj）的紙上重疊起來，并將它們的坐標重）的紙上重疊起來，并將它們的坐標重合合最后根據(jù)最后根據(jù)G G（jj）曲線與等）曲線與等M M圓簇的交點得到對應圓簇的交點得到對應的的M M值和值和值，便可繪制出閉環(huán)幅頻特性值，便可繪制出閉環(huán)幅頻特性A A（）（如圖（如圖5-635-63和圖和圖5-645-64所示）。所示）。如何繪制閉環(huán)幅頻特性圖如何繪制閉環(huán)幅頻特性圖?如何求對應點的頻率值如何求對應點的頻率值?11 需要指出，上述方法可直接得到需要指

9、出，上述方法可直接得到G（j）與等）與等M圓簇各交點處的圓簇各交點處的M值，其對應的值，其對應的值還必須查表才值還必須查表才能得到。方法是，能得到。方法是， 1)先根據(jù)給定的開環(huán)頻率特性先根據(jù)給定的開環(huán)頻率特性 G(j)表達式，分表達式，分別由給定的別由給定的 值值(按合適步長從小到大按合適步長從小到大)計算出開環(huán)計算出開環(huán)幅頻特性幅頻特性 和開環(huán)相頻特性和開環(huán)相頻特性 的對應值，的對應值， 2)對照對照G(j)與等與等M圓簇各交點坐標位置查表得到圓簇各交點坐標位置查表得到對應的角頻率對應的角頻率值，值， 3)最后將各交點的最后將各交點的值和值和M值列表（如表值列表（如表5-2所示）所示）標出

10、，便可繪出如圖標出，便可繪出如圖5-64所示的閉環(huán)幅頻特性所示的閉環(huán)幅頻特性A()。)(jG)(jG120 . 1MjVU)(jGr1212 . 1M3 . 1M4 . 1M5 . 0M025. 0M圖5-63 利用等M圓圖求取A()rM)(A0 . 11 . 01r10100圖5-64 控制系統(tǒng)閉環(huán)幅頻特性圖如何確定諧振點如何確定諧振點?13用等用等M M圓求取閉環(huán)幅頻特性不僅簡單方便，而且圓求取閉環(huán)幅頻特性不僅簡單方便，而且可以在可以在G G平面上直接看到當開環(huán)頻率特性曲線平面上直接看到當開環(huán)頻率特性曲線 G(j)G(j)的形狀發(fā)生某種變化時，閉環(huán)幅頻特性的形狀發(fā)生某種變化時，閉環(huán)幅頻特性

11、 A()A()將會將會因之出現(xiàn)那些相應的變化，以及這些變化的趨勢。因之出現(xiàn)那些相應的變化，以及這些變化的趨勢。由圖由圖5-635-63和圖和圖5-645-64還可看出，還可看出，與與G(j)G(j)曲線相切曲線相切的圓所表示的的圓所表示的 M M值就是閉環(huán)幅頻特性的最大值值就是閉環(huán)幅頻特性的最大值，如，如果切點的果切點的M M值大于值大于1 1，則切點處的，則切點處的M M值就是諧振峰值值就是諧振峰值M Mr r，對應的頻率值就是諧振頻率對應的頻率值就是諧振頻率r r。諧振峰值諧振峰值M Mr r和諧振頻率和諧振頻率r r是閉環(huán)幅頻特性的兩是閉環(huán)幅頻特性的兩個重要特征量。個重要特征量。 它們與

12、閉環(huán)系統(tǒng)的控制性能密切相它們與閉環(huán)系統(tǒng)的控制性能密切相關關. .14三、等三、等N N圓圖圓圖用等用等M M圓圖和開環(huán)頻率特性可以求出系統(tǒng)的閉環(huán)幅頻特性圓圖和開環(huán)頻率特性可以求出系統(tǒng)的閉環(huán)幅頻特性A A()?，F(xiàn)在用類似的方法進一步研究系統(tǒng)的閉環(huán)相頻特性?，F(xiàn)在用類似的方法進一步研究系統(tǒng)的閉環(huán)相頻特性 及其在及其在G G平面上的圖形。單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性可以表平面上的圖形。單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性可以表示為示為則其閉環(huán)頻率特性則其閉環(huán)頻率特性是是)(jVUjG)(jVUjVUjGjGjRjC1)(1)()()(用用表示閉環(huán)頻率特性的相角，則有表示閉環(huán)頻率特性的相角，則有UVarctgUVa

13、rctgjRjC1)()(UVUVUVUVarctg111即15化簡后有化簡后有令令 則有則有 22VUUVtgtgN 22VUUVN整理后得到整理后得到22221412121NNVU這也是一個標準圓方程，圓心坐是這也是一個標準圓方程，圓心坐是 ，半徑，半徑為為 。當。當N N或或 為一定值時，它在為一定值時，它在G G平面平面上是一個圓，改變上是一個圓，改變N N或或的大小，它們在的大小，它們在 G G平面上就構成了如平面上就構成了如圖圖 5-655-65所示的一簇圓，這簇圓的圓心都在虛軸左側與虛軸距所示的一簇圓，這簇圓的圓心都在虛軸左側與虛軸距離為離為 且平行于虛軸的直線上，我們稱這簇圓為

14、等且平行于虛軸的直線上，我們稱這簇圓為等N N圓或等圓或等相角軌跡。相角軌跡。)21,21(Nj22141N)(tgN 2116 由圖由圖 5-65 5-65 還可看出，對于給還可看出，對于給定定的的值對應的等值對應的等N N 值軌跡，值軌跡，實際上并不是一個完整的圓，實際上并不是一個完整的圓，而只是一段圓弧，這是因為一而只是一段圓弧，這是因為一個角度加上個角度加上（或（或 的倍數(shù)）其正切值的倍數(shù)）其正切值相等的緣故。例如相等的緣故。例如和和 （或（或-150-1500 0）的）的N N值均為值均為 ，它們在，它們在G G平面平面上是屬于同一個圓上的一段圓上是屬于同一個圓上的一段圓弧。等弧。等

15、N N圓以實軸為對稱，也圓以實軸為對稱，也對稱于直線對稱于直線 。0180018003002103321U圖5-65 等N圓圖jVU1212020a321 G0100030040060020030123040060由圖由圖 可看出，不管可看出，不管 N N值的大小如何，當值的大小如何，當U=V=0U=V=0及及U=-1U=-1，V=0V=0時，方程（時，方程（5-1345-134）總是成立的。這就說明，等）總是成立的。這就說明，等N N圓簇中圓簇中每個圓都將通過點（每個圓都將通過點（-1-1，j0j0）和坐標原點（）和坐標原點（0 0，j0j0）。）。等等 N N圓是多值的，即同一個圓是多值的

16、，即同一個N N值值有無窮多個有無窮多個值與之對應，這值與之對應，這些些值是值是 ， 它們都滿足正切條它們都滿足正切條件件 N=tgN=tg。因此，。因此，用等用等N N圓來確定閉環(huán)系統(tǒng)的相角時，圓來確定閉環(huán)系統(tǒng)的相角時，就必須就必須確定適當?shù)拇_定適當?shù)闹怠獜膶谥?。應從對應?的零頻率開始，逐漸增加的零頻率開始，逐漸增加頻率直到高頻，頻率直到高頻， 所得到的閉環(huán)相頻曲線應該是連續(xù)的。所得到的閉環(huán)相頻曲線應該是連續(xù)的。00180n）、210( n 0)(jV GU10)(jG圖5-66 利用等N圓圖求取)()(00090018002701 . 0110100圖5-67 控制系統(tǒng)的閉環(huán)相頻特

17、性曲線181.等等M線線:對于特定的對于特定的M值值2.等等 線線:20lg( ) ( )A 對于特定的對于特定的 值值20lg( ) ( )A 四、尼科爾斯圖四、尼科爾斯圖19 四、非單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性四、非單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性如圖5-68所示的非單位反饋系統(tǒng)，其閉環(huán)頻率特性為 )()(1)()()(jHjGjGjRjC上式可寫成 （5-135）式（5-135）的方框圖如圖5-69所示，它是圖5-68的等效方框圖。 由式（5-135）得到非單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)幅頻特性和相頻特性分別為)(1)()()(1)()(1)()()()(1jHjRjCjHjHjGjHjGjRjC)(1)(

18、)()()(1jHjRjCjRjC)()()()()(1jHjRjCjRjC分貝)(lg20)()(lg20)()(lg201jHjRjCjRjC或(5-136)(5-137)20R(s)C(s)G(s)H(s)圖5-68 非單位反饋系統(tǒng)框圖R(s)G(s)H(s)(1sHC(s)(1sC圖5-69 非單位反饋系統(tǒng)等效框圖式（5-136）說明，非單位反饋系統(tǒng)的對數(shù)閉環(huán)幅頻率特性等于由 為前向通道的單位反饋系統(tǒng)的對數(shù)閉環(huán)幅頻特性減去反饋通道 的對數(shù)幅頻特性得到的差。式 （5-137）說明，非單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)相頻特性等于由 為前向通道的相頻特性減去反饋通道 的相頻特性得到的差。這樣我們就可以利用

19、等M圓和等N圓圖先求出以 為前向通道的 單 位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)對數(shù)幅頻特性和閉環(huán)相頻特性，再分別減去反饋通道 的對數(shù)幅頻特性和相頻率特性， 便可得到非單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)對數(shù)幅頻特性和閉環(huán)相頻特性。)()(jHjG)(jH)()(jHjG)(jH)()(jHjG)(jHEnd-21五五. .利用閉環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)性能利用閉環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)性能1.1.定性分析定性分析1)1)零頻幅值零頻幅值M(0)M(0) 反映階躍作用下的穩(wěn)態(tài)誤差反映階躍作用下的穩(wěn)態(tài)誤差. .2)2)諧振峰值諧振峰值MmMm 反映系統(tǒng)的平穩(wěn)性反映系統(tǒng)的平穩(wěn)性rM)(A0 . 11 . 01r10100圖5-64 控制系統(tǒng)閉環(huán)幅

20、頻特性圖223)3)帶寬頻率帶寬頻率WbWb 反映系統(tǒng)的快速性反映系統(tǒng)的快速性. .一階系統(tǒng)一階系統(tǒng)二階系統(tǒng)二階系統(tǒng)21(,()0.707(0)()1133bSbjMTtTT1S)=TS+12(,()0.707(0),0.7073.53.5bnSjMtn2nnbS)=S +2S+1234)4)閉環(huán)頻率的斜率閉環(huán)頻率的斜率 反映系統(tǒng)的抗干擾性能反映系統(tǒng)的抗干擾性能2.2.定量分析定量分析 超調(diào)量超調(diào)量 調(diào)節(jié)時間調(diào)節(jié)時間1200.5(/4)4ln.17%mbM MM00.50.51(13.572.51)mbsMtM24教學要求教學要求: :1.1.開開環(huán)頻率特性的概念環(huán)頻率特性的概念2.2.開開環(huán)

21、頻率特性的繪制方法環(huán)頻率特性的繪制方法3.3.開開環(huán)頻率特性與階躍響應環(huán)頻率特性與階躍響應.8.8 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性與階躍響應系統(tǒng)開環(huán)頻率特性與階躍響應251 1、開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線（、開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線（BodeBode圖）低頻段的圖）低頻段的斜率取決于系統(tǒng)含有積分環(huán)節(jié)的個數(shù)。因而決斜率取決于系統(tǒng)含有積分環(huán)節(jié)的個數(shù)。因而決定系統(tǒng)的定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度穩(wěn)態(tài)精度. .0 0L L ( () )2 2 0 0 l l g g K K（ a a ） = 0不不 含含 積積 分分 環(huán)環(huán) 節(jié)節(jié)260 0L L( () )- -2 20 0d dB B/ /d de ec c（b b）=1含含有有一一個個

22、積積分分環(huán)環(huán)節(jié)節(jié)0 0( () )- -9 90 0圖圖5-6-25-6-2 272 2、中頻段的斜率對系統(tǒng)穩(wěn)定裕度、中頻段的斜率對系統(tǒng)穩(wěn)定裕度( (平穩(wěn)性和快平穩(wěn)性和快速性速性) )影響最大影響最大0 0L L( () )- -2 20 0- -4 40 01111c1)(ca1,()11133CCSCGSSGStTKG(S)=S1)-20Db/dec1)-20Db/dec的情況的情況: :2822222,( )1CCCGSSGS2KG(S)=S2)-40Db/dec2)-40Db/dec的情況的情況: :2921)1()()(jjKjHjG11arctan180)arctan(180)(ccc1arctan)(180cc0 0L L( () )- -2 20 0- -4 40 01c1)(cb圖圖5-6-45-6-4 例例分