2008年上海高考數(shù)學(xué)真題（理科）試卷（word解析版）

1、絕密啟用前 2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（上海卷）數(shù)學(xué)試卷（理工農(nóng)醫(yī)類）（滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）考生注意1.本場考試時(shí)間120分鐘，試卷共4頁，滿分150分，答題紙共2頁.2.作答前，在答題紙正面填寫姓名、準(zhǔn)考證號，反面填寫姓名，將核對后的條形碼貼在答題紙指定位置.3.所有作答務(wù)必填涂或書寫在答題紙上與試卷題號對應(yīng)的區(qū)域，不得錯(cuò)位.在試卷上作答一律不得分.4.用2B鉛筆作答選擇題，用黑色字跡鋼筆、水筆或圓珠筆作答非選擇題. 得 分評 卷 人一. 填空題（本大題滿分44分）本大題共有11題，只要求直接 填寫結(jié)果，每個(gè)空格填對得4分，否則一律得零分1不等式的解集是 .2若集合

2、、滿足，則實(shí)數(shù)=_.3若復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則=_.4若函數(shù)的反函數(shù)為（），則 .5若向量、滿足，且與的夾角為，則=_.6函數(shù)的最大值是 .7在平面直角坐標(biāo)系中，從六個(gè)點(diǎn)：、 中任取三個(gè)，這三點(diǎn)能構(gòu)成三角形的概率是 (結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示).8設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù). 若當(dāng)時(shí)，則滿足的的取值范圍是 .9已知總體的各個(gè)體的值由小到大依次為2，3，3，7，12，13.7，18.3，20，且 總體的中位數(shù)為. 若要使該總體的方差最小，則的取值分別是 .10某海域內(nèi)有一孤島. 島四周的海平面（視為平面）上有一淺水區(qū)（含邊界），其邊界 是長軸長為、短軸長為的橢圓. 已知島上甲、乙導(dǎo)航燈的海拔高度分別為

3、，且兩個(gè)導(dǎo)航燈在海平面上的投影恰好落在橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)上. 現(xiàn)有船只經(jīng)過該海 域（船只的大小忽略不計(jì)），在船上測得甲、乙導(dǎo)航燈的仰角分別為，那么 船只已進(jìn)入該淺水區(qū)的判別條件是 .11方程的解可視為函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo). 若方程的各個(gè)實(shí)根所對應(yīng)的點(diǎn)()（=）均在直線的同側(cè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 . 得 分評 卷 人二. 選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4 題，每題都給出代號為A、B、C、D的四個(gè)結(jié)論，其中有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的，必須把正確結(jié)論的代號寫在題后的圓括號內(nèi)，選對得4分，不選、選錯(cuò)或者選出的代號超過一個(gè)（不論是否都寫在圓括號內(nèi)），一律得零分12. 組合數(shù)恒等于 答 (

4、) (A) . (B) . (C) . (D) .13. 給定空間中的直線及平面. 條件“直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線都垂直”是“直線與平面垂直”的 答 ( ) (A) 充要條件. (B) 充分非必要條件. (C) 必要非充分條件. (D) 既非充分又非必要條件.14. 若數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的無窮等比數(shù)列，且各項(xiàng)的和為，則 的值是 答 ( ) (A) 1. (B) 2. (C) . (D) .15. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是一個(gè)與軸的正半軸、軸的正半軸分別相切于點(diǎn)、的定圓所圍成的區(qū)域（含邊界），是該 圓的四等分點(diǎn). 若點(diǎn)、點(diǎn)滿足且， 則稱優(yōu)于. 如果中的點(diǎn)滿足：不存在中的其它點(diǎn)優(yōu) 于，那么所

5、有這樣的點(diǎn)組成的集合是劣弧 答 ( )(A) . (B) . (C) . (D) .三. 解答題（本大題滿分90分）本大題共有6題，解答下列各題必須寫出必要的步驟 得 分評 卷 人16.（本題滿分12分） 如圖，在棱長為 2 的正方體中，的中點(diǎn). 求直線與平面所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）. 解 得 分評 卷 人17.（本題滿分13分）如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為的扇形. 小區(qū)的兩個(gè)出入口設(shè)置在點(diǎn)及點(diǎn)處，且小區(qū)里有一條平行于的小路. 已知某人從沿走到用了10分鐘，從沿走到用了6分鐘. 若此人步行的速度為每分鐘50米，求該扇形的半徑的長（精確到1米）. 解 得 分評 卷 人18.（

6、本題滿分15分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第 2小題滿分9分 已知雙曲線，是上的任意點(diǎn). （1）求證：點(diǎn)到雙曲線的兩條漸近線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù)； （2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的最小值.證明（1） 解（2） 得 分評 卷 人19.（本題滿分16分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分8分，第2 小題滿分8分 已知函數(shù). （1）若，求的值； （2）若對于恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 解（1） （2） 得 分評 卷 人20.（本題滿分16分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分3分，第2 小題滿分5分，第3小題滿分8分 設(shè)是平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，是經(jīng)過原點(diǎn)與點(diǎn)的直線.記是直線與拋物線的異于原點(diǎn)的交點(diǎn). （

7、1）已知. 求點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）已知點(diǎn)在橢圓上，. 求證：點(diǎn)落在雙曲線上； （3）已知動點(diǎn)滿足，. 若點(diǎn)始終落在一條關(guān)于軸對稱的拋物線上，試問動點(diǎn)的軌跡落在哪種二次曲線上，并說明理由. 解（1） 證明（2） 解（3） 得 分評 卷 人21.（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分3分，第 2小題滿分7分，第3小題滿分8分 已知以為首項(xiàng)的數(shù)列滿足： （1）當(dāng)，時(shí)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）當(dāng)，時(shí)，試用表示數(shù)列前100項(xiàng)的和； （3）當(dāng) （是正整數(shù)），正整數(shù)時(shí)，求證：數(shù)列,，成等比數(shù)列當(dāng)且僅當(dāng). 解（1）（2）證明（3）2 0 0 8 年 全 國 普 通 高 等 學(xué) 校 招 生 統(tǒng) 一 考

8、 試上海數(shù)學(xué)試卷(理工農(nóng)醫(yī)類)答案要點(diǎn)及評分標(biāo)準(zhǔn)說明1.本解答列出試題的一種或幾種解法，如果考生的解法與所列解法不同，可參照解答中評分標(biāo)準(zhǔn)的精神進(jìn)行評分2.評閱試卷，應(yīng)堅(jiān)持每題評閱到底，不要因?yàn)榭忌慕獯鹬谐霈F(xiàn)錯(cuò)誤而中斷對該題的評閱，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤，影響了后繼部分，但該步以后的解答未改變這一題的內(nèi)容和難度時(shí)，可視影響程度決定后面部分的給分，這時(shí)原則上不應(yīng)超過后面部分應(yīng)給分?jǐn)?shù)之半，如果有較嚴(yán)重的概念性錯(cuò)誤，就不給分解答一、（第1題至第11題）1. 2. . 3. . 4. . 5. .6. 2. 7. . 8. . 9. .10. . 11. . 二、（第12題至第15題）題 號1

9、2131415代 號DC BD三、（第16題至第21題）16解 過作，交于，連接. ， 是直線與平面所成的角. 4分 由題意，得. , . 8分 ， . 10分 故直線與平面所成角的大小是. 12分17. 解法一 設(shè)該扇形的半徑為米. 連接. 2分由題意，得=500（米），=300（米），. 4分在中， 6分即， 9分解得（米）. 答：該扇形的半徑的長約為445米. 13分解法二 連接，作，交于. 2分 由題意，得=500（米），=300（米），. 4分 在中， （米）， 6分 . 9分 在直角中，（米）， （米）. 答：該扇形的半徑的長約為445米. 13分18. 解 （1）設(shè)是雙曲線上任意

10、一點(diǎn)， 該雙曲線的兩條漸近線方程分別是和. 2分 點(diǎn)到兩條漸近線的距離分別是和， 4分 它們的乘積是. 點(diǎn)到雙曲線的兩條漸近線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù). 6分 （2）設(shè)的坐標(biāo)為，則 8分 . 11分， 13分 當(dāng)時(shí)，的最小值為， 即的最小值為. 15分19. 解 （1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. 2分 由條件可知 ，即 ，解得 . 6分，. 8分 （2）當(dāng)時(shí)， 10分即 .， . 13分， 故的取值范圍是. 16分20. 解（1）當(dāng)時(shí)， 解方程組 得 即點(diǎn)的坐標(biāo)為. 3分 證明（2）由方程組 得 即點(diǎn)的坐標(biāo)為. 5分 是橢圓上的點(diǎn)，即 ， . 因此點(diǎn)落在雙曲線上. 8分 （3）設(shè)所在拋物線的方程為 ，.

11、10分 將代入方程，得 ，即. 12分當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)的軌跡落在拋物線上；當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)的軌跡落在圓上； 當(dāng)且時(shí)，此時(shí)點(diǎn)的軌跡落在橢圓上；當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)的軌跡落在雙曲線上. 16分21. 解（1）由題意得 . 3分 （2）當(dāng)時(shí)， ， 6分 . 10分 （3）當(dāng)時(shí)，； ，； ，； ，. ，. 綜上所述，當(dāng)時(shí)，數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列. 13分 當(dāng)時(shí)， ， ， . 15分由于，故數(shù)列，不是等比數(shù)列. 所以，數(shù)列，成等比數(shù)列當(dāng)且僅當(dāng). 18分1.不等式的解集是 .【答案】【解析】由. 2.若集合Ax|x2、Bx|xa滿足AB2，則實(shí)數(shù)a .【答案】【解析】由.3.若復(fù)數(shù)z滿足zi(2-z)（i是虛數(shù)單位），

12、則z .【答案】【解析】由.4.若函數(shù)f(x)的反函數(shù)為f 1(x)x2（x0），則f(4) .【答案】【解析】令.5.若向量、滿足|1，|2，且與的夾角為，則|+| .【答案】【解析】.6.函數(shù)f(x)sin x +sin(+x)的最大值是 .【答案】【解析】由.7.在平面直角坐標(biāo)系中，從六個(gè)點(diǎn)：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三個(gè)，這三點(diǎn)能構(gòu)成三角形的概率是 （結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）.【答案】【解析】已知六個(gè)無共線的點(diǎn)生成三角形總數(shù)為：；可構(gòu)成三角形的個(gè)數(shù)為：，所以所求概率為：；8.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，若當(dāng)x(0,+)時(shí)，f

13、(x)lg x，則滿足f(x)0的x的取值范圍是 .【答案】【解析】由f(x)為奇函數(shù)得：9.已知總體的各個(gè)體的值由小到大依次為2,3,3,7,a,b,12，13.7，18.3，20，且總體的中位數(shù)為10.5，若要使該總體的方差最小，則a、b的取值分別是 .【答案】【解析】根據(jù)總體方差的定義知，只需且必須時(shí)，總體方差最??；10.某海域內(nèi)有一孤島，島四周的海平面（視為平面）上有一淺水區(qū)（含邊界），其邊界是長軸長為2a，短軸長為2b的橢圓，已知島上甲、乙導(dǎo)航燈的海拔高度分別為h1、h2，且兩個(gè)導(dǎo)航燈在海平面上的投影恰好落在橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)上，現(xiàn)有船只經(jīng)過該海域（船只的大小忽略不計(jì)），在船上測得甲、乙

14、導(dǎo)航燈的仰角分別為1、2，那么船只已進(jìn)入該淺水區(qū)的判別條件是 .【答案】【解析】依題意， ；11.方程x2+x10的解可視為函數(shù)yx+的圖像與函數(shù)y的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，若x4+ax40的各個(gè)實(shí)根x1，x2，xk (k4)所對應(yīng)的點(diǎn)(xi ,)（i1,2,k）均在直線yx的同側(cè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .【答案】【解析】方程的根顯然，原方程等價(jià)于，原方程的實(shí)根是曲線與曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；而曲線是由曲線向上或向下平移個(gè)單位而得到的。若交點(diǎn)(xi ,)（i1,2,k）均在直線yx的同側(cè)，因直線yx與交點(diǎn)為：；所以結(jié)合圖象可得：；12.組合數(shù)C（nr1，n、rZ）恒等于（ ） AC B(n+1)(r+1)C Cnr C DC【答案】【解析】由. 13. 給定空間中的直線l及平面a，條件“直線l與平面a內(nèi)無數(shù)條直線都垂直”是“直線l與平面a垂直”的（ ）條件A充要 B充分非必要 C必要非充分 D既非充分又非必要【答案】【解析】直線與平面a內(nèi)的無數(shù)條平行直線垂直，但該直線未必與平面a垂直，即充分性不成立； 14. 若數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公比為a的無窮等比數(shù)列，且an各項(xiàng)的和為a，則a的值是（ ）A1 B2 C D【答案】【解析】由. 15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是一個(gè)與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別相切于點(diǎn)C、D的定圓所圍成區(qū)