數(shù)學(xué)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常見題型及解題技巧

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常見題型及解題技巧趣題引入已知函數(shù)g(x)=xlnx設(shè)0<a<b,ab.證明：0：g(a)g(b)-2()：(b-a)ln2分析：主要考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的能力。ax、證明：g(x)=lnx+1,設(shè)F(x)=g(a)+g(x)-2g()'，ax1,，axaxF(x)=g(x)-2g(2-)=g(x)-g(2")=lnx-ln2-當(dāng)0<x<a時F，(x)<0,當(dāng)xa時Fx)0,即F(x)在xw(0,a)上為減函數(shù)，在xw(a,+)上為增函數(shù)F(x)min=F(a)=0,又b>a.F(b)>F(a)=

2、0,ab.一即g(a)g(b)-2g(2-)0ax設(shè)G(x)=g(a)g(x)-2g(2-)-(x-a)ln2a»x.G(x)=lnx-ln-ln2=lnx-ln(ax)當(dāng)x>0時，G'(x)<0,因此G(x)在區(qū)間(0,")上為減函數(shù);因為G(a)=0,又b>a.G(b)<G(a)=0,ax即g(a)g(x)-2g(2-)-(x-a)ln2；0ax、故g(a)g(x)-2g(2-)；(x-a)ln2ab綜上可知，當(dāng)0ca<b時，0cg(a)+g(b)2(-)<(ba)ln2本題在設(shè)輔助函數(shù)時，考慮到不等式涉及的變量是區(qū)間的兩個端

3、點，因此，設(shè)輔助函數(shù)時就把其中一個端點設(shè)為自變量，范例中選用右端點，讀者不妨設(shè)為左端點試一試，就能體會到其中的奧妙了。技巧精髓一、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個難點，也是近幾年高考的熱點。二、解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個可導(dǎo)學(xué)習(xí)必備歡迎下載函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵。1、利用題目所給函數(shù)證明【例1】已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)-x,求證：當(dāng)xa-1時，1恒有1-ln(x1).xx1分析：本題是雙邊不等式，其右邊直接從已知函數(shù)證明，左邊構(gòu)造函

4、數(shù)1g(x)=ln(x+1)+-1,從其導(dǎo)數(shù)入手即可證明。x1,1x【綠色通道】f'(x)=-1-1=x1x1當(dāng)-1<x<0時，f'(x)A0,即f(x)在xw(1,0)上為增函數(shù)當(dāng)x>0時，f'(x)<0,即f(x)在xW(0,收)上為減函數(shù)故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,0),單調(diào)遞減區(qū)間(0,收)于是函數(shù)f(x)在(-1,收)上的最大值為f(x)max=f(0)=0,因此，當(dāng)x>-1時，f(x)Wf(0)=0,IPln(x+1)-x<0ln(x+1)<x(右面得證)，現(xiàn)證左1x-2-2(x1)(x1)工人1.面，令g

5、(x)=ln(x+1)+-1,x1當(dāng)xW(1,0)時,g'(x)<0;當(dāng)*三(0,)時,96)：>0,即g(x)在xW(-1,0)上為減函數(shù)，在xW(0,收)上為增函數(shù),故函數(shù)g(x)在(-1,2)上的最小值為g(x)min=g(0)=0,1.當(dāng)x>1時，g(x)之g(0)=0,即ln(x+1)+-1>0x111ln(x+1)之1-,綜上可知，當(dāng)x>1時，有_1Mln(x+1)Mxx1x1【警示啟迪】如果f(a)是函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大(小)值，則有f(x)<f(a)(或f(x)之f(a),那么要證不等式，只要求函數(shù)的最大值不超過0就可得證.2、

6、直接作差構(gòu)造函數(shù)證明12+的)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)【例2】已知函數(shù)f(x)=-x+lnx.求證：在區(qū)間(1,/、23年g(x)=-x的圖象的下萬；3分析：函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)的圖象的下方u不等式f(x)<g(x)問題，即1x2+lnx<2x3,只需證明在區(qū)間(1,+30)上，恒有x2+lnx<2x3成立,2323學(xué)習(xí)必備歡迎下載1設(shè)F(x)=g(x)f(x),xw(1,+=c),考慮到F(1)=>06要證不等式轉(zhuǎn)化變?yōu)椋寒?dāng)x>1時，F(xiàn)(x)>F(1),這只要證明：g(x)在區(qū)間(1,抬)是增函數(shù)即可。2 1c【綠色通道】設(shè)F(x)=g(x

7、)f(x),即F(x)=2x31x2Inx,3 22則F,(x)=2x2.x=(-21)當(dāng)x>1時，xxFtx)=(x1)(2x+x+1)從而F(x)在(1,+如上為增函數(shù)，；F(x)>F(1)>0x6當(dāng)x>1時g(x)-f(x)>0,即f(x)<g(x),故在區(qū)間(1,十如)上，函數(shù)f(x)2 3的圖象在函數(shù)g(x)=x的圖象的下方。3【警示啟迪】本題首先根據(jù)題意構(gòu)造出一個函數(shù)(可以移項，使右邊為零，將移項后的左式設(shè)為函數(shù))，并利用導(dǎo)數(shù)判斷所設(shè)函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明要證的不等式。讀者也可以設(shè)F(x)=f(x)-g(x)做一做，深刻體會其

8、中的思想方法。3、換元后作差構(gòu)造函數(shù)證明【例3】證明：對任意的正整數(shù)n,不等式底工+為A口-工都成立.23nnn1分析：本題是山東卷的第(II)問，從所證結(jié)構(gòu)出發(fā)，只需令=x,則問題n轉(zhuǎn)化為：當(dāng)x>0時，恒有l(wèi)n(x+1)ax2-x3成立，現(xiàn)構(gòu)造函數(shù)3x3(x-1)2x1h(x)=x3-x2+ln(x+1),求導(dǎo)即可達(dá)到證明?！揪G色通道令h(x)=x3-x2+ln(x+1),一.91則h(x)=3x-2xx1在xW(0,y)上包正，所以函數(shù)h(x)在(0,y)上單調(diào)遞增，.xW(0,y)時，恒有h(x)ah(0)=0,即x3x2+ln(x+1)a0,.ln(x+1)ax2-x31111對

9、任息正整數(shù)n,Wx=w(0,),則有l(wèi)n(一+1)A=二nnnn【警示啟迪】我們知道，當(dāng)F(x)在a,b上單調(diào)遞增，則x>a時，有F(x)>F(a).如果f(a)=(a),要證明當(dāng)x>a時，f(x)>(x),那么，只要令F(x)=f(x)中(x),就可以利用F(x)的單調(diào)增性來推導(dǎo).也就是說，在F(x)學(xué)習(xí)必備歡迎下載可導(dǎo)的前提下，只要證明F'(x)O即可.4、從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明【例4】若函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式xf'(x)>f(x)恒成立，且常數(shù)a,b滿足a>b,求證:af(a)>bf(b)【綠色通道】由已知xf

10、(x)+f(x)>0，構(gòu)造函數(shù)F(x)=xf(x),'_,_.則F(x)=xf'(x)+f(x)>0,從而F(x)在R上為增函數(shù)。；a>bF(a)>F(b)即af(a)>bf(b)【警示啟迪】由條件移項后xf'(x)+f(x),容易想到是一個積的導(dǎo)數(shù)，從而可以構(gòu)造xf'(x)>f(x),函數(shù)F(x)=xf(x),求導(dǎo)即可完成證明。若題目中的條件改為則移項后xfx)-f(x),要想到是一個商的導(dǎo)數(shù)的分子，平時解題多注【思維挑戰(zhàn)】1、設(shè)a之0,f(x)=x1ln2x+2alnx求證：當(dāng)x>1時，恒有x>ln2x-2al

11、nx+1,2、已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)f(x)=1x2+2ax,g(x)=3a2lnx+b,其中a>0,且.52.2.b=-a-3alna,求證：f(x)之g(x)x3、已知函數(shù)f(x)=ln(1+x),求證：對任息的正數(shù)a、b,1 xb恒有l(wèi)na7nb-1.a4、(2007年，陜西卷)f(x)是定義在(0,+8)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf'(x)f(x)W0,對任意正數(shù)a、b,若a<b,則必有()(A)af(b)wbf(a)(B)bf(a)<af(b)(C)af(a)wf(b)(D)bf(b)<f(a)【答案咨詢】1、提示：f'(x)=1-勁上十里

12、，當(dāng)xa1,a至0時，不難證明弛2<1xxxf'(x)A0,即f(x)在(0,)內(nèi)單調(diào)遞增，故當(dāng)x>1時，2f(x)>f(1)=0,.當(dāng)x>1時，恒有x>lnx2alnx+1學(xué)習(xí)必備歡迎下載100一3a2、提?。涸O(shè)F(x)=g(x)一f(x)=x+2ax一3aInx-b貝！JF(x)=x+2a2x=(xa)(x+3a)(x>0);aA0,；當(dāng)x=a時，F(xiàn).(x)=0,x故F(x)在(0,a)上為減函數(shù)，在(a,y)上為增函數(shù)，于是函數(shù)F(x)在(0,f)上的最小值是F(a)=f(a)g(a)=0,故當(dāng)xa0時，有f(x)-g(x)之0,即f(x)>g(x)3、提示：函數(shù)f(x)的定義域為(_1,+=c),f(x)=1x(1x)2(1x)當(dāng)-1<x<0時，f'(x)<0,即f(x)在xw(1,0)上為減函數(shù)當(dāng)xA0時，f'(x)A0,即f(x)在xW(0,-)上為增函數(shù)因此在x=051f(x)取