數(shù)列與不等式舉例

1、數(shù)列與不等式舉例（放縮法）一、構(gòu)造等差數(shù)列，完成放縮。例1:已知數(shù)列Q,滿足a1=1,an中=an2。1an2,（1）證明：<an<1;n2（2）設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，證明：Sn-，2n-1。2分析：（1）anW1=a1，可證是單調(diào)減少的，即an卡£anuan書an=同2E0；1a；21n2一,11an之<-,猜測(cè)應(yīng)放大為一個(gè)等差數(shù)列，公差為1。n2an22a-11111將an1=-a4化為-an<即證anM，=a2。1anan1anan2211.11（2）由（1）得，=，+an,所以Sn=-<2n-1oan1anan1a,兩邊平方得1-1<

2、2n-1,猜想放大為一個(gè)等差數(shù)列，公差為2。（an書/將一-=+an轉(zhuǎn)化為一11+a；+22an<1+2an1anan1?an/an只需證a；2anW0。練習(xí)：1、（2015學(xué)年第一學(xué)期諸暨期末）已知數(shù)列an1二2an3an1o2an、r2n1（1）證明：2n-1<an<n；3（2）設(shè)Sn為數(shù)列Gn的前n項(xiàng)和，當(dāng)n25時(shí)，證明:Sn.3n248-n-一°515提示：猜想為等差數(shù)列，公差為21、3a23an1an1an2an小12、（2015年浙江高考）已知數(shù)列an滿足ai=1,且anjH=ana；,nwN*。2（1）證明：1w-aLw2；an12；.1S1(2)設(shè)數(shù)

3、歹UGn)的刖n項(xiàng)和為Sn,證明：<<n1n-an1-2n222n12n2n2n1222S=a+a2+an=4an中,目標(biāo)可轉(zhuǎn)化為n+2<<2n+2,猜測(cè)數(shù)列11放縮為等差數(shù)歹U。an書ianH1j3、已知數(shù)列GJ滿足a1=a,且an41ana2=1,n=N*o(1)若a3=勺，求a的值；2一.a3(2)設(shè)bn=T,若a=1,求證：，2<bnc(n之2,nwN*)。.n2二、構(gòu)造等比數(shù)列，完成放縮。例2：已知數(shù)列Q,滿足a1=1,an/;曳14。1 an(1)求a2,a3的值，并證明：a2n<a2n¥<2；，、人c_、-M9一門丫17(2)令

4、bn=a2nA-2,Sn=h+b2+bn,證明：一1一一iSn父一。M62 -a分析：要考查an與2的關(guān)系，可考查an書-2=。1ana2再次作變換：a2n+-2=a2nA2。2an5所以要證a2nl<a2n書<2ya2n一2<a2n書一2<0,只需證2an+5>1。111.9一8<_1-9-ffi-需只1-71一1-7一6<sn7=2al+5<2an+5父9=2父2+5。類型一：由遞推關(guān)系中構(gòu)造等比數(shù)列進(jìn)行放縮。練習(xí)：4an1、已知數(shù)列an滿足ai=1,an+i=°1 an(1)試比較an與2的大小關(guān)系；n(2)設(shè)bn=|an-2|,

5、求證：當(dāng)n>2時(shí)，Zak£2213kd1(1)證明:-1-a2n<2<a2n，。a1an1二6an2、已知數(shù)列0,滿足0為-,2一41(2)右a1=,求證:3一一一一一一4a2a+a3a2+an+an<°33、已知數(shù)列an),滿足a1=3,an書=3an2。n14n求證："_一?一3。3ak-23n4、已知數(shù)列滿足a1=a,an由=2an+1。an2(1)若數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)都大于1,求a的取值范圍；6(2)右a=-3,Sn為數(shù)列Qn的前n項(xiàng)和，求證：Sn門+7°例3:已知數(shù)列2目滿足3=1,an書=2an+1。(1)求an的通

6、項(xiàng)公式；(2)證明：n_1曳+生+,+與)。23a2a3an.12分析：由一階遞推關(guān)系的處理方式an+1=2(an+1消an+1=2n,所以an=2n目標(biāo)和式可化為2-122-12n-1+十工2n-112（22-12-2（2n+-1）/1所以只需證：0：二'22-1十12n1-1131一21將數(shù)列放大為一個(gè)等比數(shù)列即可，公比為2為底的。1,因?yàn)橥?xiàng)公式中的指數(shù)為以2類型二：由通項(xiàng)公式的特點(diǎn)構(gòu)造等比數(shù)列進(jìn)行放縮。練習(xí):1、已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn,滿足an+Sn=1。(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an;4a534(2)右cn=,數(shù)列cn的刖n項(xiàng)和為Tn,求證：Tn<；Tn<。1

7、-an3212、已知數(shù)列Q的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=2a+(1?。(1)寫出數(shù)列tn的前三項(xiàng)；(2)求數(shù)列6n)的通項(xiàng)公式；1117(3)求證：對(duì)任意的整數(shù)m>4,有'+<-oa4a5am8例4：已知an滿足ai=i,an+i=2an+3an+m1an(1)在m=1時(shí)，求an的通項(xiàng)；(2)問(wèn)m在什么范圍時(shí)，能使an+1>an恒成立；1111(3)在1>m>-3時(shí)，證明：+,+>1_一。1al1a21an2n分析：(1)由an書=2an+3an+1=2an+1,得an=2n_1；1an(2)由an+-an-22an3an1m-11an一an/m-1=an

8、+1+之0可知,an1m-1_要讓an+1>an恒成立，只需an+1+20恒成立,an1而an為遞增數(shù)列，即an>a1=1,所以m>-3即可。(3)由前兩題可知，an為遞增數(shù)列，且an=-22an3an1m-11an=2anm-1+1+。an11111目標(biāo)不等式右邊1,恰為第(1)題的數(shù)列之和。2n242n八2八因此，由1>m>-3得an書=2an3anm一)-n>2an+1,得證。1an例5:(2008浙江高考)已知數(shù)列2a1=0,an書+an1=an2(nN),記Sn=a1a2,.an，Tn=1十a(chǎn)1(1a1)(1a2)(1a1)(1a2)(1an)求證

9、：當(dāng)nwN時(shí)，(i)an<an+；(n)Snn2;(出)Tn<3。分析：(i)an<an由與遞推式化為：an書2an2=1an書>0；(n)Sn>n2可化為1a1+1a2+1an=1+a；<2,1(m)Tn<3中的第一項(xiàng)為1,后面的項(xiàng)都多了一項(xiàng)乘積，結(jié)合無(wú)窮等比數(shù)列的和公1an八一2121-1-q=3可知q=一，即需證£一uan至一。31an32類似題：數(shù)列an射足an+1=an2-nan+1。（1）當(dāng)ai=2時(shí)，求a2,（2）當(dāng)ai>3時(shí)，求證:a3,a4,并猜測(cè)an的表達(dá)式；an>n+2；（進(jìn)一步得出an+1=(an-n)an

10、+12an+1)，1a2+1an1<-。"2三、構(gòu)造拆項(xiàng)相消法求和的數(shù)列，完成放縮例6：(2010湖北預(yù)賽)設(shè)數(shù)列an滿足a1=1,a2=-,an41=(n.119n(n22K4n-an(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求證：對(duì)一切nN*n有工k12ak.一一，111分析：（1）將遞推關(guān)系式化為一1一一1一，n之2,nan1n-1annn-111用疊加法得an=,n>2,經(jīng)驗(yàn)證n=1時(shí)也適用，所以an=3n-23n-221一，一一，1,，一（2）an2='求和要放大，可以聯(lián)想到的求和。3n-2nn1注意到和式:一一13n-23n-2,11改為,一14471111'1,1=1I<(3n-2j(3n+1)3k3n+1J3其中一點(diǎn)“放大”，另一點(diǎn)公差為3。所以可設(shè)計(jì)為7