教學(xué)案：28二元基本不等式的應(yīng)用一

1、二元基本不等式的應(yīng)用（一）課題二元基本不等式的應(yīng)用（一）主導(dǎo)人審核人上課教師上課班級(jí)上課時(shí)間教學(xué)目標(biāo)1 .進(jìn)一步掌握基本不等式<ab<口22 .會(huì)應(yīng)用基本不等式解決一些簡單的實(shí)際問題教學(xué)重點(diǎn)重點(diǎn)：正確運(yùn)用基本不等式求解最值問題教學(xué)難點(diǎn)難點(diǎn)：掌握建立不等式模型解決實(shí)際問題前置學(xué)案學(xué)生閱讀思考研究設(shè)置意圖一、請(qǐng)你研究卜列問題：數(shù)學(xué)在我們生活中無處不在，在鄉(xiāng)下我們可以看到很多人家房子前面都有菜園，在這些菜園中就蘊(yùn)含了很多后趣的數(shù)學(xué)問題問題1:用長為4a的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園ABCD,怎樣設(shè)計(jì)才能使所圍的菜園面積最大？讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)與實(shí)際生活密不口分，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情二、思考卜列問題：1

2、 .在解題中使用的是什么數(shù)學(xué)工具？2 .基本不等式是哪個(gè)式子？你能描述這個(gè)式子嗎？3 .你怎么想到這個(gè)方法的？這個(gè)式子使用的時(shí)候要注意什么？加深學(xué)生對(duì)基本不等式的記憶，強(qiáng)調(diào)基本不等式的使用條件及等號(hào)成立的條件，回顧解決實(shí)際問題的步驟14.你是直接使用基本不等式的嗎？5.SWa2為什么可以說a2是s的最大值？6.以前學(xué)習(xí)函數(shù)的時(shí)候也解決過實(shí)際問題，回顧一下，解決一個(gè)實(shí)際問題的步驟是什么？教學(xué)過程師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖前置學(xué)案處理解法一：設(shè)矩形的一邊AB=x(0<x<2a),則BC=2a-x,矩形的面積S=x(2ax)w卜+2a_x=a2,當(dāng)且僅當(dāng)x=2ax即I2Jx=a時(shí)，取“-”，由此可

3、知，當(dāng)x=a時(shí)，S取最大值a2。答：將菜地圍成正方形時(shí)面積最大，最大面積是a2解法二：S=x(2a-x,0<x<2a,2222S=x(2axAx+2ax=-(xaj+a&a(配方法)卜同解法一解法三：設(shè)矩形的長為x,寬為y(x>0,y>0)則2x+2y=4a,即x+y=2a面積S=xyw1yj=a2I2J充分展示學(xué)生的思維過程，通過比較討論/、同的解法結(jié)合前置學(xué)案中提出的相關(guān)問題讓學(xué)生從以卜四個(gè)方圓去體會(huì)解決實(shí)際問題的關(guān)鍵點(diǎn)：(1)自變量的選擇(可以一元或多元)(2)目標(biāo)函數(shù)的確定(選擇的自變量/、同、函數(shù)模型建立時(shí)的難易程度、函數(shù)形式都會(huì)不一樣)(3)自變量的

4、2當(dāng)且僅當(dāng)x=y=a時(shí)取到“J,S取最大值a2。解法四：S=x2ax,0:二x：2a由基本不等式得Jx(2a-x尸x2a-xa2,兩邊平方，下同解法取值范圍（是難點(diǎn)，也是學(xué)生容易遺忘的地方）（4）函數(shù)最值求解策略（建立的目標(biāo)函數(shù)不同，函數(shù)最值求解就有不同的解決方法，學(xué)習(xí)了基本不等式以后可以求解特定的二元函數(shù)的最值）解法二：設(shè)AB=x,通過變式讓學(xué)生體會(huì)通過變化兩數(shù)使之滿足基本不等式運(yùn)用的條件，促使學(xué)生深刻理解基本不等式使用的條件，體會(huì)配湊的思想。如果說上題解法比較單一學(xué)生沒有設(shè)二元的想法，那么此題學(xué)生的思路就會(huì)更廣闊變式訓(xùn)練1:用長為4a的籬笆圍一塊“日”字形的菜地，一塊地種蘿卜,另一塊地種茄

5、子，怎樣設(shè)計(jì)才能使總面積最大？解法一：學(xué)生口述，教師板書設(shè)AD=x,則AB=4a_2x,0<x<2a3ci4a-2x2,y2fx+2a-x*22S=x|=x（2ax產(chǎn)|=-a333232當(dāng)且僅當(dāng)x=2a時(shí)取"心3所以當(dāng)x=2a時(shí)，S有最大值2a233答：略一一11則S=-x(4a-3x戶一*3x“4a-3x產(chǎn)26113x?"3x1=2a2623卜同解法解法三：設(shè)AB=x,AD=y,則3x+2y=4a（x>0,y>0）171，3x+2y，2a2S=xy=.3x.2yw.=66213問題2:剛才是一個(gè)和定積最大的問題，你能不能編一個(gè)積定和最小的問題？教帥

6、可以選擇一個(gè)學(xué)生的投影進(jìn)一步拓展學(xué)生思維問題3:某工1要建造一個(gè)長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3,深為3m,如果池底每1m2的造價(jià)為150兀，池壁每1m2的造價(jià)為120兀，問怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是多少元？解：設(shè)水池的總造價(jià)為y兀，池底面一邊長為xm,則另一邊長為幽m,根據(jù)題意，得y=150（x1600）+2M120M3父（x+1600）xxx1600=1501600+720（x十）x因?yàn)閤+竺00>21600=80（當(dāng)x=40時(shí)，取等號(hào)）x所以，y>297600答：當(dāng)水池的底向是邊長為40m的止方形時(shí)，水池的總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是297600元此題既是不等

7、式性質(zhì)在實(shí)際中的應(yīng)用，應(yīng)注意數(shù)學(xué)語言的應(yīng)用即函數(shù)解析式的建立，又是不等式性質(zhì)在求最值中的應(yīng)用，應(yīng)注意不等式性質(zhì)的適用條件。小結(jié)1 .應(yīng)用題解題的基本步驟是什么？2 .使用基本不等式時(shí)應(yīng)注意什么？3 .用基本不等式解決函數(shù)最值問題有幾種基本類型？讓學(xué)生從知識(shí)、方法、思想自己總結(jié)，談?wù)勛约旱南敕ā?課后作業(yè)一、選擇題1 .有甲、乙兩個(gè)糧食經(jīng)銷商每次在同一糧食生產(chǎn)地以相同的價(jià)格購進(jìn)糧食，他們共購進(jìn)糧食兩次，各次的糧食價(jià)格不同，甲每次購糧10000千克，乙每次購糧食10000元，在兩次統(tǒng)計(jì)中，購糧的平均價(jià)格較低的是（）A、甲B、乙C、一樣低D、不確定2 .為適應(yīng)社會(huì)發(fā)展的需要，國家決定降低某種存款的利

8、息，現(xiàn)有四種降息方案.方案I:先降息p%后降息q%（其中p,q0,pwq下同）；方案n:先降息q%后降息p%方案出：先降息上工9%再降息上上q%方案IV:一次降息（p+q）%.在上述四種方22案中，降息最少的是（）（A）方案I（B）方案n（C）方案出（D）方案IV3 .在與水平地面垂直的墻壁上掛有一幅矩形畫，畫的上下邊緣在觀察者水平視線上方am和bm處，要使觀察者的視角最大，觀察者與墻的距離為（）A.、abmB.a-bmC.amD.bm24 .已知四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,若S&°b=4，Sfod=9,則四邊形ABCD面積的最小值為（）A、21B、25C、2

9、6D、36二、填空題5 .某同學(xué)去實(shí)驗(yàn)室領(lǐng)200g氯化鈉.實(shí)驗(yàn)室暫時(shí)只有一臺(tái)受損天平（兩臂不等長）.實(shí)驗(yàn)員先將100g的祛碼放入天平左盤，稱出一份氯化鈉，然后將100g祛碼放入天平右盤，再稱出一份氯化鈉.這樣稱出的兩份氯化鈉質(zhì)量之和200g（在下列符號(hào)中，選擇最恰當(dāng)?shù)奶钊耄骸?、"W）.6 .某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買X噸，運(yùn)費(fèi)為4萬元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x=噸.7 .如果一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在三個(gè)形的三邊上，稱該正方形是該三角形的內(nèi)接正方形，在銳角AABC中，若該三角形的面積為S,則當(dāng)正方形的邊長為時(shí),正方形的

10、面積最大三、解答題8 .一批救災(zāi)物資隨26輛汽車從某市以V公里/小時(shí)的速度勻速直達(dá)災(zāi)區(qū)，已知兩地公路線長400公里，為了安全起見，兩輛汽車的間距不得小于(V/20)2公里，那么這批物資全部到達(dá)災(zāi)區(qū)，最少需要多少小時(shí)？9 .某自來水廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200平方米的二級(jí)凈水處理池(如圖所示)，池的深度一定，池的外圈周壁建造單價(jià)為每米400元，中間一道隔墻建造單價(jià)為每米100元，池底建造單價(jià)為每平方米60元，池壁厚度忽略不計(jì).(I)設(shè)凈水池的長邊AB為x米，總造價(jià)為y元.寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式.并求出當(dāng)x等于多少時(shí)，可使總造價(jià)最低？(H)如果受地形限制，凈水池的長和寬都不能超過長邊AB為多少米時(shí)，可使總造價(jià)最低？14.5米，那么此時(shí)凈水