經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)在極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1經(jīng)濟(jì)經(jīng)濟(jì)(jngj)數(shù)學(xué)在極坐標(biāo)系下二重積分的數(shù)學(xué)在極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算計(jì)算第一頁，共30頁。.)sin,cos(),( DDrdrdrrfdxdyyxf （3）注意：將直角坐標(biāo)系的二重積分化為極坐標(biāo)系下）注意：將直角坐標(biāo)系的二重積分化為極坐標(biāo)系下的二重積分需要的二重積分需要(xyo)進(jìn)行進(jìn)行“三換三換”： rdrddxdyDDryrxrxysincos第1頁/共29頁第二頁，共30頁。二、二、 極坐標(biāo)系下的二重積分極坐標(biāo)系下的二重積分(jfn)化為二次化為二次積分積分(jfn)的的上上下下限限關(guān)關(guān)鍵鍵是是定定出出 , r的的上上下下限限：定定 用兩條過極點(diǎn)的射線用兩條過極點(diǎn)的射線

2、(shxin)夾平面夾平面區(qū)域，區(qū)域，由兩射線由兩射線(shxin)的傾角得到其上下的傾角得到其上下限限的的上上下下限限：定定r任意作過極點(diǎn)的半射線與平面任意作過極點(diǎn)的半射線與平面(pngmin)區(qū)域相交，區(qū)域相交，由穿進(jìn)點(diǎn)，穿出點(diǎn)的極徑得到其上下限由穿進(jìn)點(diǎn)，穿出點(diǎn)的極徑得到其上下限將直系下的二重積分化為極系后，極系下的二重將直系下的二重積分化為極系后，極系下的二重積分仍然需要化為二次積分來計(jì)算積分仍然需要化為二次積分來計(jì)算第2頁/共29頁第三頁，共30頁。.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos(（1）區(qū)域）區(qū)域(qy)

3、如圖如圖1, ).()(21 r具體具體(jt)地（如圖）地（如圖）圖圖1第3頁/共29頁第四頁，共30頁。（2）區(qū)域）區(qū)域(qy)如圖如圖2, ).()(21 r.)sin,cos()()(21 rdrrrfd Drdrdrrf )sin,cos(AoD)(2r)(1r圖圖2第4頁/共29頁第五頁，共30頁。AoD.)sin,cos()(0 rdrrrfd（3）區(qū)域）區(qū)域(qy)如圖如圖3, ).(0 r Drdrdrrf )sin,cos()(r圖圖3第5頁/共29頁第六頁，共30頁。 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd（4）區(qū)域）區(qū)域(qy

4、)如圖如圖4).(0 rDoA,2 0)(r圖圖4第6頁/共29頁第七頁，共30頁。 如果積分區(qū)域如果積分區(qū)域D為圓、半圓、圓環(huán)、扇形域等，或被為圓、半圓、圓環(huán)、扇形域等，或被積函數(shù)積函數(shù)(hnsh)f(x2+y2)形式，利用極坐標(biāo)常能簡(jiǎn)化計(jì)算形式，利用極坐標(biāo)常能簡(jiǎn)化計(jì)算.通常出現(xiàn)下面通常出現(xiàn)下面(xi mian)兩類兩類問題：?jiǎn)栴}：1.將直角坐標(biāo)將直角坐標(biāo)(zh jio zu bio)系下的二重積分轉(zhuǎn)化為極坐系下的二重積分轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系下的二重積分，需依下列步驟進(jìn)行：標(biāo)系下的二重積分，需依下列步驟進(jìn)行：(1) 將 代入被積函數(shù).sin,cosryrx(2) 將區(qū)域D的邊界曲線換為極坐標(biāo)系下的

5、表達(dá)式，確定相應(yīng)的積分限.(3) 將面積元dxdy換為 .ddrr第7頁/共29頁第八頁，共30頁。2.將極坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化將極坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化(zhunhu)為直角坐為直角坐標(biāo)系下的二重積分步驟與標(biāo)系下的二重積分步驟與1相似，只需依反方向進(jìn)相似，只需依反方向進(jìn)行行.第8頁/共29頁第九頁，共30頁。1 yx122 yx解解在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下 sincosryrx所所以以圓圓方方程程為為 1 r,直直線線方方程程為為 cossin1 r,( , )d dDf x yx y 2110sincosd( cos , sin ) d .f rrr r 第9頁/共29頁第十頁，共30頁

6、。解解在在極極坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下D：ar 0， 20.22d dxyDex y 2200ddarer r ).1(2ae 第10頁/共29頁第十一頁，共30頁。例例3計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分,22 Ddxdyxy其中其中D是由曲線是由曲線所圍成的平面所圍成的平面(pngmin)(pngmin)區(qū)域區(qū)域. .解解以以1 1為半徑為半徑(bnjng)(bnjng)的圓域的圓域, ,xyx222 積分區(qū)域積分區(qū)域D是以點(diǎn)是以點(diǎn)(1,0)為圓心為圓心, ,如圖如圖. .其邊界曲線其邊界曲線(qxin)的極坐標(biāo)方程為的極坐標(biāo)方程為.cos2 r于是區(qū)域于是區(qū)域D的積分限為的積分限為,22 .cos20 r

7、所以所以O(shè)xycos2 r 第11頁/共29頁第十二頁，共30頁。所以所以(suy) Ddxdyxy22 Drdrdrr 2222cossin 222sin2 d 22)2cos1( d. rdrd cos202222cossin第12頁/共29頁第十三頁，共30頁。解解由對(duì)稱性，可只考慮第一象限部分由對(duì)稱性，可只考慮第一象限部分， 注意：注意：被積函數(shù)也要有對(duì)稱性被積函數(shù)也要有對(duì)稱性.2222sin()d dDxyx yxy 2201sin4ddrr rr . 4 14DD 1D第13頁/共29頁第十四頁，共30頁。解解32 61 sin4 r sin2 r22()d dDxyx y 364

8、sin22sinddrr r ).32(15 yyx422 yyx222 03 yx03 xy第14頁/共29頁第十五頁，共30頁。解解根根據(jù)據(jù)對(duì)對(duì)稱稱性性有有 14DD 在在極極坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下)()(222222yxayx ,2cos ar 40 ,2cos0 ar 第15頁/共29頁第十六頁，共30頁。 所求面積所求面積 Ddxdy 14Ddxdy22cos0044ardrda 第16頁/共29頁第十七頁，共30頁。解解根根據(jù)據(jù)對(duì)對(duì)稱稱性性有有 14DD 在在極極坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下)(2)(222222yxayx ,2cos2 ar ,222arayx 1D第17頁/共29頁第十八頁，共3

9、0頁。由由,2cos2 arar 得交點(diǎn)得交點(diǎn)(jiodin),6, aA 2cos2604aardrd 6022cos4 da.332 a故所求面積故所求面積(min j) Ddxdy 14Ddxdy 14Drdrd 第18頁/共29頁第十九頁，共30頁。解解)0,( yx那那部部分分立立體體的的體體積積。所所截截得得含含在在圓圓柱柱面面內(nèi)內(nèi)的的被被圓圓柱柱面面求求球球體體例例 )0(24 8222222 aaxyxazyx倍倍，限限部部分分立立體體體體積積的的為為第第一一卦卦由由對(duì)對(duì)稱稱性性，所所求求體體積積4VaxyxD2:22 dxdyyxaVD 22244. ,2acos 20D r

10、，0：在極系下：在極系下：（如圖）（如圖）xzy第19頁/共29頁第二十頁，共30頁。cos2ar o2aDdxdyyxaVD 22244從而從而rdrrada 20cos202244 2033)sin1(332da)322(3323 a 注注意意：被被積積函函數(shù)數(shù)和和區(qū)區(qū)域域的的對(duì)對(duì)稱稱性性.第20頁/共29頁第二十一頁，共30頁。(1) 二重積分化為累次積分的方法(fngf)直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)(zh jio zu bio)系情形系情形 : 若積分(jfn)區(qū)域?yàn)?()(,),(21xyyxybxayxD則)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若積分區(qū)域?yàn)?()(,),

11、(21yxxyxdycyxD則xy)(1yxx Ddc)(2yxx )()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaD第21頁/共29頁第二十二頁，共30頁。)()(,),(21rrDDDrrfyxf)sin,cos(d),(則)()(21d)sin,cos(drrrrfddrrDo)(1r)(2r第22頁/共29頁第二十三頁，共30頁。 畫出積分(jfn)域 選擇(xunz)坐標(biāo)系 確定積分序 寫出積分限 計(jì)算要簡(jiǎn)便根據(jù)域邊界定坐標(biāo)被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離積分域分塊要少累次積好算為妙圖示法不等式充分利用對(duì)稱性應(yīng)用換元公式第23頁/共29頁第二十四頁，共30頁。練練 習(xí)習(xí) 題題第24頁/共29頁第