數(shù)列常見題型總結(jié)歸納經(jīng)典

1、精心整理高中數(shù)學(xué)數(shù)列常見、?？碱}型總結(jié)題型一數(shù)列通項(xiàng)公式的求法1.前n項(xiàng)和法(知Sn求an)S(n=1)an=Sn-Sn(n>2)例1、已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=12n-n2,求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和Tn變式：已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n2-12n,求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和Tn練習(xí)：1、若數(shù)列2、若數(shù)列3、設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=2n,求該數(shù)列的通項(xiàng)公式。答案:an3一一一an的前n項(xiàng)和Sn=-an-3,求該數(shù)列的通項(xiàng)公式。答案：2an的前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列Sn的前n項(xiàng)和為，滿足八?(n=1)2nJ1(n>2)Jan=23n=2Sn-n2,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式4.Sn為an的

2、前n項(xiàng)和，Sn=3(an1),求an(neN+)an的通項(xiàng)公式(作差法)5、設(shè)數(shù)列an滿足a1+3a2+32a3+3n-1an=-n(nwn*),求數(shù)列32 .形如an書-an=f(n)型(累加法)(1)若f(n)為常數(shù)，即：an書一an=d,此時數(shù)列為等差數(shù)列，則an=a1十(n1)d.(2)若f(n)為n的函數(shù)時，用累加法.例1.已知數(shù)列an滿足a=1,an=3n/+an(n>2),證明an=-312例2.已知數(shù)列an的首項(xiàng)為1,且an書=an+2n(nN*)寫出數(shù)列an的通項(xiàng)公式.、1V例3.已知數(shù)列an滿足a1=3,an=an+(n之2),求此數(shù)列的通項(xiàng)公式n(n-1)3 .形如

3、包土=f(n)型(累乘法)an(1)當(dāng)f(n)為常數(shù)，即：-JL±=q(其中q是不為0的常數(shù))，此數(shù)列為等比且an=a1.qn.an(2)當(dāng)f(n)為n的函數(shù)時，用累乘法.n2例1、在數(shù)列an中a1=1,an=an(n>2),求數(shù)列的通項(xiàng)公式。答案：an=n1n1練習(xí)：n-1_.21、在數(shù)列an中a=1,an=an.(n之2),求an與Sn。答案：an=n1n(n1)2、求數(shù)列a1=1,an=2nanj(n之2)的通項(xiàng)公式。4 .形如an=a型(取倒數(shù)法)rans頁腳內(nèi)容精心整理例1.已知數(shù)列an中，&=2,an=ai(n之2),求通項(xiàng)公式an2an二1'一an

4、1練習(xí)：1、右數(shù)列an中，a1=1,an噂=,求通項(xiàng)公式an.答案：an=3an13n-22、若數(shù)列an中，a1=1,anan=2anan，求通項(xiàng)公式an.答案：an=2n-15 .形如an¥=can+d,(c#0,其中0=a)型(構(gòu)造新的等比數(shù)列)(1)若c=1時，數(shù)列an為等差數(shù)列；(2)若d=0時，數(shù)列an為等比數(shù)列；(3)若c1Hd#0時，數(shù)列an為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過待定系數(shù)法構(gòu)造輔助數(shù)列來求方法如下：設(shè)an.+A=c(an+A)，利用待定系數(shù)法求出a11例1.已知數(shù)列an中，a1=2,an41=an+,求通項(xiàng)an.22練習(xí)：1、若數(shù)列an中，a1=2,an書=2an

5、1,求通項(xiàng)公式an。答案：an=2n+12n1an=3-2(-)-22、右數(shù)列an中，a1=1,an+=an+1,求通項(xiàng)公式an。答案:36 .形如an=pan+f(n)型(構(gòu)造新的等比數(shù)列)(1)若f(n)=kn+b一次函數(shù)(k,b是常數(shù)，且k#0),則后面待定系數(shù)法也用一次函數(shù)。3例題.在數(shù)列an中，a=2,2an=an/+6n3,求通項(xiàng)an.2解：原遞推式可化為2(anknb)=ank(n-1)b比較系數(shù)可得：k=-6,b=9,上式即為2bn=bn所以bn是一個等比數(shù)列，首項(xiàng)b1=a16n+9=9,公比為1.22二bn=9(L)n_L即：an-6n+9=9-(1)n,故an=9d)n+6

6、n-9.22,22練習(xí)：1、已知數(shù)列中，a1=3,an+=3an+4n-2,求通項(xiàng)公式an(2)若f(n)=qn(其中q是常數(shù)，且n=0,1)若p=1時，即：an+=an+qn,累加即可若p#1時，即：an=p，an+qn,后面的待定系數(shù)法也用指數(shù)形式。兩邊同除以qn+即：a4=艮，包+工，n1nqqqqap1令bn=丁，則可化為3書=且bn+.然后轉(zhuǎn)化為類型5來解，qqq2_n1an-2nLan=73n4-32n例1.在數(shù)列an中，a1=-一，且an=-2anJL+3n(neN)求通項(xiàng)公式5n1、已知數(shù)列Qn中，a1=,2an=an=+(1)n，求通項(xiàng)公式an。答案:222、已知數(shù)列1a/中

7、，a1=1,an+=3an+32n，求通項(xiàng)公式an。答案：題型二根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)求解(整體思想)1、已知Sn為等差數(shù)列也)的前n項(xiàng)和，a6=100,則Sn=；頁腳內(nèi)容精心整理2、設(shè)Sn、Tn分別是等差數(shù)列&n、an)的前n項(xiàng)和，=,則-=.Tnn3bs3、設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若曳=5,則S9=()a39S55、在正項(xiàng)等比數(shù)列加中，aas+2a3a5+a3a7=25,則a3+as=。6、已知Sn為等比數(shù)列以前n項(xiàng)和，Sn=54,S2n=60,則&n=.7、在等差數(shù)列Qn中，若S4=1,Sg=4,則a17十a(chǎn)8+a9+a2。的值為()8、在等比數(shù)列中,已知a9+a1o=a

8、(a#0),a19+a20=b，則a99+a1oo=.題型三：證明數(shù)列是等差或等比數(shù)列A)證明數(shù)列等差例1、已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足an+2Sn-S-1=0(n>2),a=1.求證：1是等差數(shù)列；2Sn.B)證明數(shù)列等比例1、已知數(shù)列an滿足a1=1,a2=3,an42=3an書-2an(n=N*)._,證明：數(shù)列In書-an是等比數(shù)列；求數(shù)列Ln的通項(xiàng)公式；題型四：求數(shù)列的前n項(xiàng)和基本方法：A)公式法，B)分組求和法1、求數(shù)列2n+2n-3的前n項(xiàng)和Sn.»C"82.Sn=-13-57.(-1)n(2n-1)3 .若數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=(1)n(3

9、n2),則a+a2+a0=()A.15B.12C.12D.151.1.114 .求數(shù)列1,2+,3+,4+,，n24825.已知數(shù)列an是3+21,6+22T,9+231,12+241,，寫出數(shù)列an的通項(xiàng)公式并求其前n項(xiàng)和Sn.11111：-C)裂項(xiàng)相消法，數(shù)列的常見拆項(xiàng)有：=(-);=1=dn+1fpn；n(nk)knnk,n工n1一,_111例1、求和：S=1+-,-12123123n一一1111例2、求和：.21，3，2.4、3.nT'nD)倒序相加法，x2例、設(shè)f(x)2,求：f(20)f(2009)-f(i)f(i)f(2)f(2009)-f(2010).1xE)錯位相減法

10、，頁腳內(nèi)容精心整理1、若數(shù)列&的通項(xiàng)an=(2n-1)3n,求此數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.2n1,2.Sn=1+2x+3x+|+nx(x#0)(將分為x=1和x。1兩種情況考慮)題型五：數(shù)列單調(diào)性最值問題例1、數(shù)列an中，an=2n-49,當(dāng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn取得最小彳t時，n=.例2、已知Sn為等差數(shù)列6的前n項(xiàng)和，a1=25,a4=16.當(dāng)n為何值時，Sn取得最大值；例3、設(shè)數(shù)列Qn的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1=a,an邛=Sn+3n,nwN.n*(I)設(shè)bn=Sn3,求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(n)若an平>an,n=N，求a的取值范圍.題型六：總結(jié)規(guī)律題5a21 .已知數(shù)列an滿

11、足an=n(n之2,nWN)，且Qn前2014項(xiàng)的和為403,則數(shù)列an，anJ的前2014項(xiàng)an-5的和為？2 .數(shù)列an滿足an+1+(-1)nan=2n-1,則an的前60項(xiàng)和為?常見練習(xí)21 .方程x26x+4=0的兩根的等比中項(xiàng)是()A.3B.±2C.土志D.22、已知等比數(shù)列an的前三項(xiàng)依次為a1,a+1,a+4,則an=.n.n.nJ、n3232A.4IB.4IC.4ID.41I23233. 一個有限項(xiàng)的等差數(shù)列，前4項(xiàng)之和為40,最后4項(xiàng)之和是80,所有項(xiàng)之和是210,則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為()A.12B.14C.16D.18|.一4. an是等差數(shù)列，S10A0,S11&

12、lt;0,則使an工0的最小的n值是()A.5B.6C.7D.85. 若數(shù)列1,2cos日,22cos26,23cos3日J(rèn)IIIII,前100項(xiàng)之和為0,則8的值為()I2二，._、A.kn±(kHZ)b.2kn±(k-Z)C.2kn士(k=Z)d.以上的答案均不對3336 .設(shè)2a=3,2b=6,2c=12,則數(shù)列a,b,c成A.等差B.等比C.非等差也非等比D.既等差也等比7 .如果等差數(shù)列an)中，a3+a4+a5=12,那么a1+a2+.+a7=()(A)14(B)21(C)28(D)3538 .設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n,則a4的值為()(A)15(B)37(

13、C)27(D)64頁腳內(nèi)容精心整理9.設(shè)等比數(shù)列an的公比q=2,前n項(xiàng)和為Sn,則一-=()a2A.2B.4D.17210.設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知3s3=a42,3s2=a32,則公比q=()(A)3(B)4(C)5(D)61,11 .已知an是等比數(shù)列，a2=2,a5=一，則a1a2+a2a3+anan書=()4A.32(12")B,16(1-4J)C,16(1-2)D.32(14工)3312 .若數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=(1)n(3n-2),則a1+a2十十a(chǎn)20=()(A)30(B)29(C)-30(D)-2913 .已知等比數(shù)列an滿足an>0n=1|

14、ll2,且a5弘其2n(n>3,)則當(dāng)n之1時，lo2a在ioa+忠og二mj/A.n(2n-1)B.(n1)2C.n2D.(n-1)2四個數(shù)按從小到大排列構(gòu)成等差數(shù)列，則實(shí)數(shù)m的值為()14 .巳知函數(shù)f(x)=cosx,xw(0,2n)有兩個不同的零點(diǎn)不»2,且方程f(x)=m有兩個不同的實(shí)根X3,X4.若把這2I.22215 .已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和&=t5n2,則實(shí)數(shù)t的值為().A.4B.5C.D.16 .已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a4+a7+a0=9,S14-S3=77,則使Sn取得最小值時n的值為()A.4B,5C,6D,717 .若an是等差

15、數(shù)列，首項(xiàng)a1>0,公差d<0,且&013(82012+a2013)<0,則使數(shù)列an的前n項(xiàng)和0>0成立的最大自然數(shù)門是()A.4027B.4026C.4025D,402418 .已知數(shù)列滿足：切=1,an+尸，(nN*),若bn+1=(n九b1一九且數(shù)列bn是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)入的取值范圍為A.入2B.入3C.入2D.入3頁腳內(nèi)容精心整理19、由正數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列an,若aa*a2a4*2a2a3=49,則%+%=.20.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn=n2,某三角形三邊之比為a2:a3:a4，則該三角形最大角為.21、給定an=log(n書(n+2)(nN

16、*),定義乘積a1a2ak為整數(shù)的k(k£N*)叫做理想數(shù)”，則區(qū)間1,2008內(nèi)的所有理想數(shù)的和為.22.設(shè)a1，d為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列匕的前項(xiàng)和為Sn,滿足S3s4+15=0,則d的取值范圍為.11一+*1aa123 .設(shè)正整數(shù)數(shù)列an滿足：a2=4,且對于任何nwN，有2+吐<2+,則a畿=an111annn124 .已知an為等比數(shù)列，a4+a7=2,a5a6=-8,則a1+a10=.25 .設(shè)等差數(shù)列an的公差d不為0,a1=9d.若ak是為與22k的等比中項(xiàng)，則k=.n26、已知函數(shù)f(x)是一次函數(shù)，且f(8)=15,f(2),f，f(14)成等

17、比數(shù)列，設(shè)an=f(n),(nWN*)(1)求£ai；i=1(2)設(shè)bn=20，求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和Sn。27、已知數(shù)列L中，a1=2,a2=3,其前n項(xiàng)和Sn滿足Sn由+Sn,=2Sn+1(n22,nN).(1)求數(shù)列%n的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn=4n+(fn、2an九為非零整數(shù)，nWN*),試確定工的值，使得對任意n=N*,都有bn+>bn成立.5228.已知數(shù)列2門中21=1后2=4,滿足an七=an由-an.33(I)設(shè)bn=an由an,求證數(shù)列bn是等比數(shù)列；(n)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.29 .已知等差數(shù)列圾滿足：a5=9,a2+a6=14.(I)求On)的通項(xiàng)公

18、式；(n)若bn=an+qan(qA0),求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.30 .已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為S,且1tnSna1=,an+=Sn+；(nWN*,t為常數(shù))416()若數(shù)列I為等比數(shù)列，求t的值；(II)若t>-4,bn=lgan由，數(shù)列bn前n項(xiàng)和為Tn,當(dāng)且僅當(dāng)n=6時Tn取最小值，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.頁腳內(nèi)容精心整理31 .4是一個公差大于0的等差數(shù)列，a1,a2,a5成等比數(shù)列，a?+a6=14.(i)求數(shù)列4)的通項(xiàng)公式；(n)若數(shù)列和數(shù)列滿足等式：4=工+與+。-+±(ME即)，求數(shù)列陽的前n項(xiàng)和,2222132 .已知數(shù)列、nM足a1=1,an書=1工，其中nWN*.(i)設(shè)bn=2,求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列4an2an-1&n的通項(xiàng)公式an;(n)設(shè)Cn=9電，數(shù)列孰孰W的前n項(xiàng)和為Tn,是否存在正整數(shù)n1于nwN恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，請說明理由.33,已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn,首項(xiàng)為a1,且，an,Sn成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列QJ的通項(xiàng)公2式；(2)若a2=(；)bn，設(shè)Cn="，求數(shù)列GJ的前n項(xiàng)和Tn.34.一個等比數(shù)列中，ai+a4=28,a2+a3=12,求這個數(shù)列的通項(xiàng)公式35 .有四個數(shù)：前三個成等差數(shù)列，后三個成等比數(shù)列。首末兩數(shù)和為16,中間兩數(shù)和為1