窗函數(shù)法設(shè)計線性相位FIR數(shù)字濾波器學習教案

1、會計學1窗函數(shù)窗函數(shù)(hnsh)法設(shè)計線性相位法設(shè)計線性相位FIR數(shù)字濾數(shù)字濾波器波器第一頁，共54頁。主要主要(zhyo)(zhyo)內(nèi)容內(nèi)容第1頁/共53頁第二頁，共54頁。重點重點(zhngdin)(zhngdin)與難點與難點重點重點1、窗函數(shù)設(shè)計法的基本、窗函數(shù)設(shè)計法的基本(jbn)思想思想 難點難點 1、常用、常用(chn yn)窗函數(shù)窗函數(shù)第2頁/共53頁第三頁，共54頁。問題：問題： 理想濾波器的頻率響應(yīng)理想濾波器的頻率響應(yīng)(pn l xin yn)Hd (ejW )(pn l xin yn)Hd (ejW )已知，如何設(shè)計一物理可實現(xiàn)的濾波器，使其頻響特性逼近已知，如何設(shè)計一

2、物理可實現(xiàn)的濾波器，使其頻響特性逼近Hd (ejW )?Hd (ejW )? jjjddd1 (e)(e)ed2kh kIDTFT HH hd k一般情況下是無限長非因果一般情況下是無限長非因果(yngu)序序列，列，需對其進行截短和因果需對其進行截短和因果(yngu)化處理?；幚?。第3頁/共53頁第四頁，共54頁。(1) 將將hdk 關(guān)于關(guān)于k =0對稱對稱截短，即截短，即hk= hdk, L k L(2) 若若 hk非因果系統(tǒng)，可將其非因果系統(tǒng)，可將其右移右移使其成為因果系統(tǒng)使其成為因果系統(tǒng)hk= hdk L， 0 0 k 2L只能設(shè)計只能設(shè)計I型或型或III型線性相位型線性相位FIR濾

3、波器濾波器第4頁/共53頁第五頁，共54頁。(1) 由下式計算由下式計算(j sun)hd k：(2) 計算計算(j sun)出出hdk后，取其在后，取其在0 k M范圍的值：范圍的值：hk= hdk， 0 0 k M可設(shè)計四種類型的線性相位可設(shè)計四種類型的線性相位FIR濾波器濾波器jjdd1 (e)ed2kh kHj(-0.5M)jd1( )eed2kA第5頁/共53頁第六頁，共54頁。2d12d02d1khkhkhkhMkMkkd)e ()e (212jjd2HH22khkhdk結(jié)論：結(jié)論：上述方法所設(shè)計的濾波器是在上述方法所設(shè)計的濾波器是在積分平方積分平方 誤差誤差最小意義下的最佳濾波器

4、。最小意義下的最佳濾波器。 1221 ddkk Mh kh k第6頁/共53頁第七頁，共54頁。1根據(jù)要求根據(jù)要求(yoqi)確定線性相位確定線性相位FIR濾波器的類型濾波器的類型2確定理想確定理想(lxing)濾波器的幅度函數(shù)濾波器的幅度函數(shù)Ad(W)和相位函數(shù)和相位函數(shù)fd(W) 3按照下式計算按照下式計算IDTFT得得hdkdee )(21j)(jdddkAkh4截短截短hdk得：得：hk= hdk， 0 0 k M d( )= M + 第7頁/共53頁第八頁，共54頁。(2) 確定理想濾波器的幅度確定理想濾波器的幅度(fd)函數(shù)函數(shù)Ad(W)：其他 0 1)(2c1cdA d( )=

5、M (3) 確定理想濾波器的相位確定理想濾波器的相位 d( )：第8頁/共53頁第九頁，共54頁。dee )(21j)(jdddkAkh(4) 計算計算(j sun)IDTFT得得hdkde21de21)5 . 0(j)5 . 0(jc21c1c2cMkMk)5 . 0(Sa)5 . 0(Sac11cc22cMkMk(5) 截斷截斷(ji dun)hdkdkwkhkhN長度為長度為N=M+1的矩形窗的矩形窗第9頁/共53頁第十頁，共54頁。khk00A()0.30.7單位單位(dnwi)(dnwi)脈沖響應(yīng)脈沖響應(yīng) 幅度幅度(fd)(fd)函數(shù)函數(shù) 取取 c1 ， c2 ，M M 3030時，

6、有：時，有： 第10頁/共53頁第十一頁，共54頁。00.250.50.751403021100M=14M=30矩形窗設(shè)計的矩形窗設(shè)計的FIRFIR低通濾波器在不同低通濾波器在不同(b tn)(b tn)階數(shù)時的幅度函數(shù)階數(shù)時的幅度函數(shù)(Wc=p/2) (Wc=p/2) 所設(shè)計濾波器的幅度函數(shù)所設(shè)計濾波器的幅度函數(shù)(hnsh)(hnsh)在通帶和阻帶都呈現(xiàn)出振蕩現(xiàn)象，且最大波紋大約為幅度的在通帶和阻帶都呈現(xiàn)出振蕩現(xiàn)象，且最大波紋大約為幅度的9%9%，這個現(xiàn)象稱為，這個現(xiàn)象稱為Gibbs Gibbs 現(xiàn)象?，F(xiàn)象。 第11頁/共53頁第十二頁，共54頁。d)e()e(21)e()( jjdjNWH

7、H由于所設(shè)計由于所設(shè)計(shj)濾波器的單位脈沖響應(yīng)濾波器的單位脈沖響應(yīng)dkwkhkhNN=M+1利用利用DTFT的性質(zhì)可得所設(shè)計的性質(zhì)可得所設(shè)計FIR濾波器的頻率響應(yīng)濾波器的頻率響應(yīng) H(ej )逼近逼近Hd(ej )的好壞，取決于窗函數(shù)的頻譜的好壞，取決于窗函數(shù)的頻譜WN(ej ) 窗函數(shù)的頻譜窗函數(shù)的頻譜第12頁/共53頁第十三頁，共54頁。)2/sin()2/sin(e)e (2/ )1(jjNWN2NN04N3N)(W矩形窗的幅度矩形窗的幅度(fd)函數(shù)函數(shù)W(W)1. W( )的主瓣寬度：的主瓣寬度：4 /N2. 旁瓣相對衰減為常數(shù)：旁瓣相對衰減為常數(shù)：3()20lg(0)WNAW

8、 =13dB第13頁/共53頁第十四頁，共54頁。jd(e)( )( )NHDTFT h k wk-j/2-j()/2d1( )e()ed2MMAW-j/2d1e( )()d2MAWj-j/2dd(e)( )eMHAj-j/2(e)( )eMNWWjj()d1(e )(e)d2NHWjjd1(e)(e)2NHWd1( )( )()d2AAW FIR濾波器的幅度濾波器的幅度(fd)函函數(shù)：數(shù)：第14頁/共53頁第十五頁，共54頁。102/cN 、當時：H(ejW)主要由主瓣的面積確定主要由主瓣的面積確定(qudng)。H(ejW)的波動由旁瓣引起。的波動由旁瓣引起。22/cN 、當時：d1( )

9、( )()d2AAW FIR濾波器的幅度函數(shù)：濾波器的幅度函數(shù)：第15頁/共53頁第十六頁，共54頁。3c 、當時：H(ejW)逐漸逐漸(zhjin)減小，形成了濾波器的過渡帶。減小，形成了濾波器的過渡帶。 FIR濾波器過渡帶的寬度和窗函數(shù)主瓣的寬度密切相關(guān)。濾波器過渡帶的寬度和窗函數(shù)主瓣的寬度密切相關(guān)。 d1( )( )()d2AAW FIR濾波器的幅度函數(shù)：濾波器的幅度函數(shù)：第16頁/共53頁第十七頁，共54頁。42/cN 、當時：H(ejW)完全由旁瓣的面積完全由旁瓣的面積(min j)確定。確定。 旁瓣的大小決定了旁瓣的大小決定了FIR濾波器在阻帶的衰減。濾波器在阻帶的衰減。 d1(

10、)( )()d2AAW FIR濾波器的幅度函數(shù)：濾波器的幅度函數(shù)：第17頁/共53頁第十八頁，共54頁。 矩形窗截斷產(chǎn)生的波峰矩形窗截斷產(chǎn)生的波峰(bfng)(bfng)大約是大約是9%9%，故用矩形窗設(shè)計出的濾波器阻帶最大衰減為：，故用矩形窗設(shè)計出的濾波器阻帶最大衰減為： 21dB d1( )( )()d2AAW FIR濾波器的幅度函數(shù)：濾波器的幅度函數(shù)：第18頁/共53頁第十九頁，共54頁。1. 窗函數(shù)的主瓣寬度決定窗函數(shù)的主瓣寬度決定(judng)了了H(ejW )過渡帶過渡帶(4/N)的的寬度寬度,窗函數(shù)長度窗函數(shù)長度N增大，過渡帶減小。增大，過渡帶減小。2. 旁瓣旁瓣的大小決定了的大

11、小決定了FIR濾波器在濾波器在阻帶阻帶的衰減。的衰減。用矩形窗設(shè)計出的濾波器阻帶最大衰減為：用矩形窗設(shè)計出的濾波器阻帶最大衰減為： 20lg(9%) 21dB第19頁/共53頁第二十頁，共54頁。其他 001MkkwAp = 20lg(1 d dp) 0.82dB, As = 20lg(d ds ) 21dBd dp=d ds4/N|()|jH e第20頁/共53頁第二十一頁，共54頁。0.50.5cos(2 /)0 0 k MkMw k其他Ap =-20lg(1-dp) 0.056dB, As=-20lg(ds ) 44dBd dp=d ds第21頁/共53頁第二十二頁，共54頁。0.540

12、.46cos(2 /)0 0 k MkMw k其他Ap 0.019dB, As 53dBd dp=d dsN第22頁/共53頁第二十三頁，共54頁。0.420.5cos(2 /)0.08cos(4 /)0 0 k Mk MkMw k其他Ap ，As 74dBd dp=d dsN第23頁/共53頁第二十四頁，共54頁。此處此處 N N 為窗的長度為窗的長度(chngd)(chngd)。第24頁/共53頁第二十五頁，共54頁。dkwkhkhN(1) 確定確定(qudng)線性相位線性相位FIR濾波器類型：可選用濾波器類型：可選用I型或型或II型型其他01)(cjdeA d( )= M (2) 確定

13、理想濾波器的幅度確定理想濾波器的幅度(fd)函數(shù)函數(shù)Ad(W)和相和相位位fd(W)(3) 計算計算IDTFT得得hdk)5 . 0(SaccdMkkh(4) 截斷截斷hdk可以是漢寧可以是漢寧窗、哈明窗或窗、哈明窗或BlackmanBlackman窗窗第25頁/共53頁第二十六頁，共54頁。第26頁/共53頁第二十七頁，共54頁。00.250.50.751-80-60-52-200Square Hamming第27頁/共53頁第二十八頁，共54頁。00.250.50.751-100-75-60-40-200Square Blackman第28頁/共53頁第二十九頁，共54頁。200(1 1

14、2 / ) , 0( )Ik Mw kkMI 是一可調(diào)參數(shù)是一可調(diào)參數(shù)(c(cnsh)nsh)，調(diào)節(jié)窗函數(shù)的，調(diào)節(jié)窗函數(shù)的形狀。形狀。I0(x ): 零階第一類修正零階第一類修正(xizhng)貝塞爾函數(shù)貝塞爾函數(shù)。I0 0( (x ) )可用冪級數(shù)表示為：可用冪級數(shù)表示為：210!)2/(1)( nxxInn一般求一般求20項項就能達到所需精度。就能達到所需精度。第29頁/共53頁第三十頁，共54頁。0246810121416182000.51 =00246810121416182000.51 =10246810121416182000.51 =3第30頁/共53頁第三十一頁，共54頁。其中

15、其中(qzhng)，A= -20lg (mindp，ds )21 ,285. 295. 7spAAM21 , 05021 ),21(07886. 0)21(5842. 050 ),7 . 8(1102. 04 . 0AAAAAA第31頁/共53頁第三十二頁，共54頁。 B個元素的向量個元素的向量, 表示表示FIR濾波器在濾波器在B個頻帶中的個頻帶中的 幅度值。一般對通帶取值為幅度值。一般對通帶取值為1，阻帶取值為，阻帶取值為0。 B個元素的向量個元素的向量, 表示表示FIR濾波器在濾波器在B個頻帶中個頻帶中 的波動值。的波動值。返回參數(shù)返回參數(shù)及及，分別表示，分別表示FIR濾波器階數(shù)濾波器階數(shù)

16、M及及Kaiser窗的參數(shù)窗的參數(shù) 。返回參數(shù)返回參數(shù)和和是函數(shù)是函數(shù)fir1的調(diào)用參數(shù)。的調(diào)用參數(shù)。第32頁/共53頁第三十三頁，共54頁。是一長度為是一長度為N+1的向量的向量, 默認為默認為Hamming窗。窗。第33頁/共53頁第三十四頁，共54頁。(1) 由給定指標確定由給定指標確定(qudng)待逼近理想低通的待逼近理想低通的截頻截頻Wc 由于理想由于理想(lxing)(lxing)低通濾波器的低通濾波器的|H(ejW)|H(ejW)|在截頻在截頻WcWc處收斂于，因此常將截頻處收斂于，因此常將截頻WcWc取在過渡帶的中點取在過渡帶的中點 c =( p + s 第34頁/共53頁第

17、三十五頁，共54頁。(2) 由給定指標確定由給定指標確定(qudng)Kaiser窗的參數(shù)窗的參數(shù)N和和b0114. 0101p05. 0pAd01. 010s05. 0sAdA= 20lg(mind dp，d ds )=As=40dB3 .22285. 295. 7spAMI型線性相位型線性相位(xingwi)濾波器階數(shù)必須是偶數(shù)，取濾波器階數(shù)必須是偶數(shù)，取M=243953. 3)21(07886. 0)21(5842. 04 . 0AA第35頁/共53頁第三十六頁，共54頁。(3) 設(shè)計設(shè)計(shj)截頻截頻Wcp的的I型線性相位型線性相位FIR低通濾波低通濾波器器其他01)(cdjeA)

18、5 . 0(SaccMk d( )= M dee )(21j)(jdddkAkh()d2525 0.4Sa 0.4(12) h kh k wkkwk第36頁/共53頁第三十七頁，共54頁。單位單位(dnwi)脈沖響應(yīng)脈沖響應(yīng)設(shè)計設(shè)計(shj)結(jié)果結(jié)果增益增益(zngy)響應(yīng)響應(yīng) G(W)= 20lg |H(ejW)|第37頁/共53頁第三十八頁，共54頁。 p, s ，Ap=0.3dB, As=50dB。由由As確定截斷所用確定截斷所用(su yn)窗函數(shù)窗函數(shù):Hamming窗或窗或Kaiser窗窗1) 由過渡帶寬度確定由過渡帶寬度確定(qudng)濾波器濾波器長度長度Nps750N 可選可

19、選I型型濾波器，取濾波器，取N=51；或選；或選IV型濾波器，取型濾波器，取N=502) 由給定指標確定待逼近理想高通的截頻由給定指標確定待逼近理想高通的截頻 c2/ )(spc一、采用一、采用Hamming窗截斷，設(shè)計過程如下窗截斷，設(shè)計過程如下3) 確定線性相位確定線性相位FIR濾波器類型：濾波器類型：ps7N 第38頁/共53頁第三十九頁，共54頁。4) 設(shè)計設(shè)計(shj)截頻截頻Wcp的線性相位的線性相位FIR高通濾波器高通濾波器由由As確定截斷確定截斷(ji dun)所用窗函數(shù)所用窗函數(shù):Hamming窗或窗或Kaiser窗窗一、采用一、采用Hamming窗截斷，設(shè)計窗截斷，設(shè)計(s

20、hj)過程如下過程如下采用采用I型線性相位濾波器，型線性相位濾波器，N=51，M=50其他 021)e(ccjdAd()= M p, s ，Ap=0.3dB, As=50dB。第39頁/共53頁第四十頁，共54頁。4) 設(shè)計設(shè)計(shj)截頻截頻Wcp的線性相位的線性相位FIR高通濾波高通濾波器器由由As確定截斷確定截斷(ji dun)所用窗函數(shù)所用窗函數(shù):Hamming窗或窗或Kaiser窗窗一、采用一、采用(ciyng)Hamming窗截斷，設(shè)計過程如窗截斷，設(shè)計過程如下下采用采用I型線性相位濾波器，型線性相位濾波器，N=51，M=50dee )(21j)(jd2ddkAkhdee21j5

21、 . 0j2cckM)5 . 0(Sa5 . 0ccMkMkd截斷，得截斷，得I型線性相位型線性相位FIR高通濾波器的單位脈沖響應(yīng)高通濾波器的單位脈沖響應(yīng)hk=hdkw51k p, s ，Ap=0.3dB, As=50dB。第40頁/共53頁第四十一頁，共54頁。4) 設(shè)計設(shè)計(shj)截頻截頻Wcp的線性相位的線性相位FIR高通濾波器高通濾波器由由As確定截斷確定截斷(ji dun)所用窗函數(shù)所用窗函數(shù):Hamming窗窗或或Kaiser窗窗一、采用一、采用(ciyng)Hamming窗截斷，設(shè)計過程如下窗截斷，設(shè)計過程如下采用采用IV型線性相位濾波器，型線性相位濾波器，N=50，M=49其

22、他 021)e(ccjdAd()= M p, s ，Ap=0.3dB, As=50dB。第41頁/共53頁第四十二頁，共54頁。4) 設(shè)計設(shè)計(shj)截頻截頻Wcp的線性相位的線性相位FIR高通濾波高通濾波器器由由As確定確定(qudng)截斷所用窗函數(shù)截斷所用窗函數(shù):Hamming窗窗或或Kaiser窗窗一、采用一、采用Hamming窗截斷，設(shè)計過程窗截斷，設(shè)計過程(guchng)如如下下采用采用IV型線性相位濾波器，型線性相位濾波器，N=50，M=49dee )(21j)(jd2ddkAkhdeje21j5 . 0j2cckM()5 .0()5 .0(coscMkMk截斷，得截斷，得IV

23、型線性相位型線性相位FIR高通濾波器的單位脈沖響應(yīng)高通濾波器的單位脈沖響應(yīng)hk=hdkw50k p, s ，Ap=0.3dB, As=50dB。第42頁/共53頁第四十三頁，共54頁。用用Hamming窗設(shè)計窗設(shè)計(shj)的的Wcp FIR HP濾波器的幅度響應(yīng)濾波器的幅度響應(yīng)00.40.60.8111080530Gain response of highpass FIR filterNormalized frequencyGain, dBtype I type IVI 型型 N=51 IV型型 N=50第43頁/共53頁第四十四頁，共54頁。由由As確定截斷所用確定截斷所用(su yn)窗

24、函數(shù)窗函數(shù):Hamming窗或窗或Kaiser窗窗二、采用二、采用Hamming窗截斷，利用窗截斷，利用(lyng)MATLAB實實現(xiàn)現(xiàn)%Program:利用利用(lyng)hamming窗設(shè)計窗設(shè)計FIR高通濾波器高通濾波器%filter specificationWp=0.67*pi;Ws=0.53*pi;Ap=0.3;As=50;%determine the length of the filter N=ceil(7*pi/(Wp-Ws);N=mod(N+1,2)+N;M=N-1;fprintf(N=%.0fn,N);%generate windoww=hamming(N); p, s

25、，Ap=0.3dB, As=50dB。第44頁/共53頁第四十五頁，共54頁。由由As確定截斷確定截斷(ji dun)所用窗函數(shù)所用窗函數(shù):Hamming窗或窗或Kaiser窗窗二、采用二、采用Hamming窗截斷，利用窗截斷，利用(lyng)MATLAB實現(xiàn)實現(xiàn)%cutoff frequency of ideal highpass filterWc=(Wp+Ws)/2;k=0:M;hd=-(Wc/pi)*sinc(Wc*(k-0.5*M)/pi);hd(0.5*M+1)=hd(0.5*M+1)+1;h=hd.*w;omega=linspace(0,pi,512);mag=freqz(h,1,

26、omega);magdb=20*log10(abs(mag);plot(omega/pi,magdb); p, s ，Ap=0.3dB, As=50dB。第45頁/共53頁第四十六頁，共54頁。由由As確定截斷確定截斷(ji dun)所用窗函數(shù)所用窗函數(shù):Hamming窗窗或或Kaiser窗窗三、采用三、采用Kaiser窗截斷窗截斷(ji dun)，利用，利用MATLAB實現(xiàn)實現(xiàn)%Program:利用利用(lyng)Kaiser窗設(shè)計窗設(shè)計FIR高通濾波器高通濾波器Ap=0.3;As=50;Rp=1-10.(-0.05*Ap);Rs=10.(-0.05*As);f=0.53,0.67;a=0,

27、1;dev=Rp,Rs;M,Wc,beta,ftype = kaiserord(f,a,dev);%使濾波器為使濾波器為I型型M=mod(M,2)+M;h = fir1(M,Wc,ftype,kaiser(M+1,beta)omega=linspace(0,pi,512);mag=freqz(h,1,omega);plot(omega/pi,20*log10(abs(mag); p, s ，Ap=0.3dB, As=50dB。第46頁/共53頁第四十七頁，共54頁。N=42, Ap =0.034 dB, As = 52.4 dB p, s ，Ap=0.3dB, As=50dB00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-140-120-100-80-60-40-20020采用采用(ciyng)Hamming窗：窗：I 型型 N=51 IV型型 N=50第47頁/共53頁第四十八頁，共54頁。課堂課堂(ktng)小結(jié)小結(jié)11）根據(jù)阻帶衰減）根據(jù)阻帶衰減(shui jin)確定窗函數(shù)的類型確定窗函數(shù)的類型4）確定理想濾波器的）確定理想濾波器的幅度幅度函數(shù)函數(shù)Ad(