數(shù)學(xué)物理方法第二章復(fù)變函數(shù)的積分ppt課件

1、數(shù)學(xué)物理方法復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分n路積分n柯西定理n不定積分n柯西公式n本章小結(jié)路積分n路積分的概念和性質(zhì)實變函數(shù)復(fù)變函數(shù)定義性質(zhì)iniixbaxxfdxxfi10)()(liminiizCzzfdzzfi10)()(limbabadxxfcdxxcf)()(CCdzzfcdzzcf)()(bababagdxfdxdxgfCCCgdzfdzdzgfabbadxxfdxxf)()(CCdzzfdzzf)()(dxfdxfdxfbabccadzfdzfdzfCCCC2121路積分n路積分的計算n思路n化復(fù)為實n公式InC f(z) dz = C(u +iv)(dx +idy)n = C(u

2、dx-vdy)+iC(udy+vdx)n公式IInC f(z) dz = C(u +iv)(eidr +i r eid)n = C ei(udr-vrd)+i(urd+vdr)路積分n例題1n沿圖所示的三條曲線分別計算復(fù)變函數(shù)Czdz從O到B的定積分。解：zdzzdzzdzABOABOA)()()(2010ixdixiyiydii223) 2221(212)2()2(20 xixdxixzdzOBixdxi2)1 (2320221zdzzdzzdzCBOCBOCi 223路積分n例題2n沿圖所示的三條曲線分別計算復(fù)變函數(shù)C z2dz從O到B的定積分。解：dzzdzzdzzABOABOA222)

3、()()()(220210ixdixiydiy)112 (31i)2()2(2202xixdxixdzzOB33120321)2 ()1 (ixdxidzzdzzdzzCBOCBOC222)112 (31i路積分n例題3n沿圖所示的三條曲線分別計算復(fù)變函數(shù)C Re(z) dz從O到B的定積分。解：xdzxdzxdzABOABOA)()(02010ixxdiyd2)2(20 xixxdxdzOBixdxi2)1 (2021xdzxdzxdzCBOCBOCi 22路積分n例題4n沿圖所示的三條曲線分別計算復(fù)變函數(shù)z-1dz從O到B的定積分。解：iiADdeedzz01idzzdzzdzzdzzCD

4、BCABABCD1111drrdeedrraiia11101iiiADdeedzz21i柯西定理n積分規(guī)律的探究n歸納n如果函數(shù)f(z)在單連通區(qū)域內(nèi)解析，則路積分與路徑無關(guān)，完全由起點和終點決定。n猜測n如果函數(shù)f(z)在閉單連通區(qū)域B上解析，則沿B上任一分段光滑閉合曲線 l的路積分有：ldzzf0)(0)(2121LLLLlfdzfdzfdzfdzdzzfn 證明見教材）柯西定理n推廣n規(guī)律n閉復(fù)連通區(qū)域上的解析函數(shù)沿外邊界線逆時針積分等于沿所有內(nèi)邊界線逆時針積分之和。n公式 illidzzfdzzf)()(n統(tǒng)一表述n解析函數(shù)沿所有邊界線正向積分為零；n起點和終點固定時，積分路徑在解析區(qū)

5、域中連續(xù)變形不改變路積分的值?？挛鞫ɡ韓例題n計算積分dzazInL)( n解：n如a不在L內(nèi)，I = 0n當(dāng)a在L內(nèi)時，n 如 n 0，I = 0；n 如 n 無限次可導(dǎo)。n應(yīng)用n理論上n模數(shù)原理：f(z)在閉區(qū)域解析，|f(z)|在邊界上取最大值；n劉維定理：全平面上有界的解析函數(shù)必為常數(shù)。n計算上n簡化路積分的計算?？挛鞴絥應(yīng)用舉例n例1n問題：計算回路積分 分析：與柯西公式比較，可知f(z)=cosh(z),a = -1解：由柯西公式2|1coshzdzzz)(2)(afidzazzfL1cosh2)1cosh(21cosh2|iidzzzz柯西公式n例2n問題：計算回路積分 分析：與推廣的柯西公式比較， 可知f(z)=sinh(z)，a = 0，n = 1 解：由推廣的柯西公式1|2sinhzdzzz)(2)()(1afnidzazzfnLn?。╥iidzzzz20cosh2)0(sinh2sinh1|2柯西公式n例3n問題：計算回路積分 分析：與柯西公式比較， 可知f(z)= ，a =1|)2(1zdzzzn例4n問題：計算回路積分2|)1(1zdzzz 分析：本章小結(jié)n路積分n復(fù)變函數(shù)的路積分可分解為2個線積分；n一般情況下，路積分與積分路徑有關(guān)；n柯西定理