最全最詳細(xì)抽象函數(shù)的對(duì)稱性、奇偶性與周期性常用結(jié)論

1、抽象函數(shù)的對(duì)稱性、奇偶性與周期性常用結(jié)論一.概念：抽象函數(shù)是指沒(méi)有給出具體的函數(shù)解析式或圖像，只給出一些函數(shù)符號(hào)及其滿足的條件的函數(shù)，如函數(shù)的定義域，解析遞推式，特定點(diǎn)的函數(shù)值，特定的運(yùn)算性質(zhì)等，它是高中函數(shù)部分的難點(diǎn)，也是大學(xué)高等數(shù)學(xué)函數(shù)部分的一個(gè)銜接點(diǎn)，由于抽象函數(shù)沒(méi)有具體的解析表達(dá)式作為載體,因此理解研究起來(lái)比較困難，所以做抽象函數(shù)的題目需要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力、豐富的想象力以及函數(shù)知識(shí)靈活運(yùn)用的能力1、周期函數(shù)的定義：對(duì)于f(x)定義域內(nèi)的每一個(gè)x，都存在非零常數(shù)T,使得f(x+T)=f(x)恒成立,則稱函數(shù)f(x)具有周期性，T叫做f(x)的一個(gè)周期，貝ykT(ke乙k豐0)也是f(

2、x)的周期，所有周期中的最小正數(shù)叫f(x)的最小正周期。分段函數(shù)的周期：設(shè)y=f(x)是周期函數(shù)，在任意一個(gè)周期內(nèi)的圖像為C:y=f(x),xe|a,bT=b-a。把y=f(x)沿x軸平移KT=K(b-a)個(gè)單位即按向量a=(kT,0)平移，即得y=f(x)在其他周期的圖像:y=f(x-kT),xeIkT+a,kT+b!of(x)二f(x)xe|a,b!f(x-kT)xekT+a,kT+bl2、奇偶函數(shù)：設(shè)y=f(x),xela,b或xelb,-ala,b 若f(-x)=-f(x),則稱y=f(x)為奇函數(shù)； 若f(-x)=f(x)則稱y=f(x)為偶函數(shù)。分段函數(shù)的奇偶性3、函數(shù)的對(duì)稱性：(

3、1) 中心對(duì)稱即點(diǎn)對(duì)稱： 點(diǎn)A(x,y)與B(2a一x,2b一y)關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱； 點(diǎn)A(a一x,b一y)與B(a+x,b+y)關(guān)于(a,b)對(duì)稱； 函數(shù)y=f(x)與2b-y=f(2a-x)關(guān)于點(diǎn)(a,b)成中心對(duì)稱； 函數(shù)b-y=f(a-x)與b+y=f(a+x)關(guān)于點(diǎn)(a,b)成中心對(duì)稱; 函數(shù)F(x,y)=0與F(2a-x,2b-y)=0關(guān)于點(diǎn)(a,b)成中心對(duì)稱。(2)軸對(duì)稱：對(duì)稱軸方程為：Ax+By+C=0。點(diǎn)A(x,y)切(x/,y/)=B(x-2A(Ax十By蟲),y-2B(Ax十B十C)關(guān)于直線Ax+By+C=0成軸對(duì)稱； 函數(shù)y=f(x)與y-2推論1、f(a+x)+

4、f(a-x)=2boy=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱推論2、f(x)+f(2a-x)=2boy=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱推論3、f(-x)+f(2a+x)=2boy=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱(二)兩個(gè)函數(shù)的圖象對(duì)稱性(相互對(duì)稱)(利用解析幾何中的對(duì)稱曲線軌跡方程理解)偶函數(shù)y=f(x)與y=f(-x)圖象關(guān)于Y軸對(duì)稱奇函數(shù)y=f(x)與y=-f(-x)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱函數(shù)函數(shù)y=f(x)與y=-f(x)圖象關(guān)于X軸對(duì)稱B(Ax+By+C)=f(x-2A(Ax+By+C)關(guān)于直線A2+B2JA2+B2Ax+By+C=0成軸對(duì)稱。 F(x,y)=0與F(x-2A(Ax+B

5、y+C),y-2B(Ax+By+C)=0關(guān)于直線A2+B2A2+B2Ax+By+C=0成軸對(duì)稱。二、函數(shù)對(duì)稱性的幾個(gè)重要結(jié)論(一)函數(shù)y=f(x)圖象本身的對(duì)稱性(自身對(duì)稱)若f(x+a)=±f(x+b)，則f(x)具有周期性；若f(a+x)=±f(b-x)，則f(x)具有對(duì)稱性：“內(nèi)同表示周期性，內(nèi)反表示對(duì)稱性”1、f(a+x)=f(b-x)oy=f(x)圖象關(guān)于直線x=(a土x)+(b-x)=凹對(duì)稱22推論1：f(a+x)=f(a-x)oy=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱推論2、f(x)=f(2a-x)oy=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱推論3、f(-x)=f(2a

6、+x)oy=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱2、f(a+x)+f(b-x)=2coy=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(仝乞,c)對(duì)稱4、互為反函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y二f-1(x)圖象關(guān)于直線y二x對(duì)稱ba5.函數(shù)y=f(a+x)與y=f(bx)圖象關(guān)于直線x=-對(duì)稱推論1:函數(shù)y=f(a+x)與y=f(ax)圖象關(guān)于直線x二0對(duì)稱推論2:函數(shù)y=f(x)與y=f(2ax)圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱推論3:函數(shù)y=f(x)與y=f(2a+x)圖象關(guān)于直線x=-a對(duì)稱(三)抽象函數(shù)的對(duì)稱性與周期性1、抽象函數(shù)的對(duì)稱性性質(zhì)1若函數(shù)y=f(x)關(guān)于直線x=a軸對(duì)稱，則以下三個(gè)式子成立且等價(jià)：(1) f(a+x)=

7、f(ax)(2) f(2ax)=f(x)(3) f(2a+x)=f(x)性質(zhì)2若函數(shù)y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)中心對(duì)稱，則以下三個(gè)式子成立且等價(jià)：(1) f(a+x)=f(ax)(2) f(2ax)=f(x)(3) f(2a+x)=f(x)易知，y=f(x)為偶(或奇)函數(shù)分別為性質(zhì)1(或2)當(dāng)a=0時(shí)的特例。2、復(fù)合函數(shù)的奇偶性定義1、若對(duì)于定義域內(nèi)的任一變量X,均有fg(x)=fg(x),則復(fù)數(shù)函數(shù)y=fg(x)為偶函數(shù)。定義2、若對(duì)于定義域內(nèi)的任一變量x,均有fg(x)=fg(x),則復(fù)合函數(shù)y=fg(x)為奇函數(shù)。說(shuō)明：(1) 復(fù)數(shù)函數(shù)fg(x)為偶函數(shù)，則fg(x)=fg(x)而不

8、是fg(x)=fg(x),復(fù)合函數(shù)y=fg(x)為奇函數(shù)，則fg(x)=fg(x)而不是fg(x)=fg(x)。(2) 兩個(gè)特例：y=f(x+a)為偶函數(shù)，則f(x+a)=f(x+a)；y=f(x+a)為奇函數(shù)，則f(x+a)=f(a+x)(3) y=f(x+a)為偶(或奇)函數(shù)，等價(jià)于單層函數(shù)y=f(x)關(guān)于直線x=a軸對(duì)稱(或關(guān)于點(diǎn)(a,0)中心對(duì)稱)3、復(fù)合函數(shù)的對(duì)稱性性質(zhì)3復(fù)合函數(shù)y=f(a+x)與y=f(bx)關(guān)于直線x=(ba)/2軸對(duì)稱性質(zhì)4、復(fù)合函數(shù)y=f(a+x)與y=f(bx)關(guān)于點(diǎn)(ba)/2,0)中心對(duì)稱推論1、復(fù)合函數(shù)y=f(a+x)與y=f(ax)關(guān)于y軸軸對(duì)稱推論

9、2、復(fù)合函數(shù)y=f(a+x)與y=f(ax)關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱4、函數(shù)的周期性若a是非零常數(shù)，若對(duì)于函數(shù)y=f(x)定義域內(nèi)的任一變量x點(diǎn)有下列條件之一成立，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且2|a|是它的一個(gè)周期。 f(x+a)=f(xa) f(x+a)=f(x) f(x+a)=l/f(x) f(x+a)=l/f(x)5、函數(shù)的對(duì)稱性與周期性性質(zhì)5若函數(shù)y=f(x)同時(shí)關(guān)于直線x=a與x=b軸對(duì)稱，貝V函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T=2|ab|性質(zhì)6、若函數(shù)y=f(x)同時(shí)關(guān)于點(diǎn)(a，0)與點(diǎn)(b，0)中心對(duì)稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T=2|ab|性質(zhì)7、若函數(shù)y=f(x)既關(guān)于點(diǎn)(a，

10、0)中心對(duì)稱，又關(guān)于直線x=b軸對(duì)稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T=4|ab|6、函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用(1)若y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(h,k)對(duì)稱，則x+x/二2h,y+y/二2k，即f(x)+f(x/)二f(x)+f(2h-x)二2kf(x)+f(x)HFf(x)+f(2h一x)+f(2h一x)HFf(2h一x)=2nk12nnn-11(2)例題1、f(x)二-關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱：f(x)+f(1-x)二1;ax+寸a224x一1f(x)=一2x+1關(guān)于(0,1)對(duì)稱：f(x)+f(-x)=22x+1f(x)=(aeR,x豐0)關(guān)于(丄丄)對(duì)稱：f(x)+f(丄)=1xa+122x2、奇函數(shù)的圖像關(guān)于

11、原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱：f(x)+f(-x)=0。3、若f(x)=f(2ax)或/(a-x)=f(a+x),貝Uy=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱。設(shè)f(x)=0有n個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則x+x+x=x+(2ax)+x+(2ax)+x+(2ax)=na.12n1122nn22(當(dāng)n=2k+1時(shí)，必有x=2ax,nx=a)111（四）常用函數(shù)的對(duì)稱性三、函數(shù)周期性的幾個(gè)重要結(jié)論1、f(x土T)=f(x)(T豐0)oy=f(x)的周期為T，kT(keZ)也是函數(shù)的周期2、f(x+a)=f(x+b)oy=f(x)的周期為T=b-a3、f(x+a)=一f(x)oy=f(x)的周期為T=la4、oy=f(x)

12、的周期為T=2a5、f(x+a)_1f(x)oy=f(x)的周期為T=2a6、=1-f(x)1+f(x)=f(x)的周期為T=3a7、y=f(x)的周期為T=2a8、f(x+a)=1+f(x)oy1-f(x)=f(x)的周期為T=4a9、f(x+2a)=f(x+a)f(x)oy=f(x)的周期為T=6a10、若p>0,f(px)=f(px一y),則T=-p.11、y=f(x)有兩條對(duì)稱軸x=a和x=b(b>a)oy=f(x)周期T=2(b一a)推論：偶函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=f(a-x)oy=f(x)周期T二2a12、y=f(x)有兩個(gè)對(duì)稱中心(a,0)和(b,0)(b&

13、gt;a)oy二f(x)周期T=2(b-a)推論：奇函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=f(a-x)oy=f(x)周期T二4a13、y=f(x)有一條對(duì)稱軸x=a和一個(gè)對(duì)稱中心(b,0)(b>a)of(x)的T=4(b-a)四、用函數(shù)奇偶性、周期性與對(duì)稱性解題的常見(jiàn)類型靈活應(yīng)用函數(shù)奇偶性、周期性與對(duì)稱性，可巧妙的解答某些數(shù)學(xué)問(wèn)題，它對(duì)訓(xùn)練學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力有重要作用下面通過(guò)實(shí)例說(shuō)明其應(yīng)用類型。1. 求函數(shù)值例1.(1996年高考題)設(shè)f(x)是(一8,+8)上的奇函數(shù)，f(2+X)=-f(x),當(dāng)00X<1時(shí)，f(x)=x,則f(7.5)等于(-0.5)(A) 0.5;(B

14、) -0.5;(C) 1.5;(D) 1.5.例2.(1989年北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)已知f(x)是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，且f(x+2)1-f(x)=1+f(x),f(1)二2+打,求f(1989)的值.f(1989)二込-2。2、比較函數(shù)值大小例3.若f(x)(xeR)是以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)xet),1時(shí)，f(x)二x盂,試比較f(!|)、f罟)、f(罟)的大小.解：f(x)(xeR)是以2為周期的偶函數(shù)，又Tf(x)二x盂在b,l上是增函數(shù)，且c116141宀1、“16、“14101“98、“104、173、求函數(shù)解析式0<<<<1f()<f()<f

15、()，即f(<f()<f().1719151719151719154.(1989年高考題)設(shè)f(x)是定義在區(qū)間(-卩+)上且以2為周期的函數(shù)，對(duì)keZ，用I表示區(qū)間(2k-1,2k+1),已知當(dāng)xeI時(shí)，f(x)二x2.求f(x)在I上的解k0k析式.解：設(shè)xe(2k1,2k+1),/.2k1<x<2k+11<x2k<1/xeI時(shí)，有f(x)=x2,.由一1<x一2k<1得f(x一2k)=(x一2k)20f(x)是以2為周期的函數(shù)，af(x2k)二f(x),.f(x)二(x2k)2.例5設(shè)f(x)是定義在(-®+Q上以2為周期的周期函

16、數(shù)，且f(x)是偶函數(shù)，在區(qū)間b,3上，f(x)=2(x3)2+4.求xe11,2時(shí)，f(x)的解析式.解：當(dāng)xeL3,2，即一xeb,3，f(x)二f(x)二2(x3)2+4二2(x+3)2+4又f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，于是當(dāng)xe1,2，即一3<x4<2時(shí),有f(x)=f(x-4)nf(x)=-2l(x一4)+3】+4=-2(x一1)2+4(1<x<2).f(x)=-2(x-1)2+4(1<x<2).4、判斷函數(shù)奇偶性例6.已知f(x)的周期為4,且等式f(2+x)=f(2-x)對(duì)任意xeR均成立,判斷函數(shù)f(x)的奇偶性.解：由f(x)的周期為4

17、,得f(x)=f(4+x)，由f(2+x)=f(2-x)得f(-x)=f(4+x),f(-x)=f(x),故f(x)為偶函數(shù).5、確定函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)例7.設(shè)函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x滿足f(2+x)=f(2-x)，f(7+x)=f(7-x)且/(0)=0,判斷函數(shù)f(x)圖象在區(qū)間I一30,30上與x軸至少有多少個(gè)交點(diǎn).解：由題設(shè)知函數(shù)f(x)圖象關(guān)于直線x=2和x=7對(duì)稱，又由函數(shù)的性質(zhì)得f(x)是以10為周期的函數(shù).在一個(gè)周期區(qū)間b,io)上，f(0)=0,f(4)=f(2+2)=f(2-2)=f(0)=0且/(x)不能恒為零，故f(x)圖象與x軸至少有2個(gè)交點(diǎn).而區(qū)間1一30,3

18、0)有6個(gè)周期，故在閉區(qū)間1一30,30上f(x)圖象與x軸至少有13個(gè)交占八、6、在數(shù)列中的應(yīng)用例8在數(shù)列t中，a=打,a=二(n>2)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并計(jì)算n1n1an-1a+a+a+a1591997分析：此題的思路與例2思路類似.1+tga1tga1+a解：令a=tga,則a=1121一a11+aa=231-a2兀1+tg°47)兀I-tg(才7)兀=tg(2X4P)/.an-1兀=tg(n1)x+a,于是a1+a=n1an-1兀=tg(n-1)4+Q不難用歸納法證明數(shù)列的通項(xiàng)為：an/兀兀、=tg(n一+a)，且以4為周期.44于是有1,5，9-1997是以4為公差

19、的等差數(shù)列，a=a=a=a，由1997=1+(n一1)x4得總項(xiàng)數(shù)為500項(xiàng)，1591997a+a+a+a=500xa=500、：3.159199717、在二項(xiàng)式中的應(yīng)用例9.今天是星期三，試求今天后的第9292天是星期幾？分析：轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式的展開式后，利用一周為七天這個(gè)循環(huán)數(shù)來(lái)進(jìn)行計(jì)算即可解：/9292=(91+1)92=C09192+C19191+C90912+C91-91+1929292929292=(7X13+1)92=C0(7X13)92+C1(7X13)91+C90(7X13)2929292+C91(7x13)+192因?yàn)檎归_式中前92項(xiàng)中均有7這個(gè)因子，最后一項(xiàng)為1,即為余數(shù)，故

20、9292天為星期四.8、復(fù)數(shù)中的應(yīng)用例10.(上海市1994年高考題)設(shè)z=-2+耳i(i是虛數(shù)單位)，則滿足等式zn=z,22且大于1的正整數(shù)n中最小的是()(A)3；(B)4；(C)6；(D)7.1v'3.分析：運(yùn)用z=-2+亍i方幕的周期性求值即可.解：/Zn=Z,Z(Zn-1-1)=0二Zn-1=1，Z3=1,.n1必須是3的倍數(shù)，即n-1=3k(keN),n=3k+1(keN).k=1時(shí),n最小,(n)=4.故選擇(B)min9、解“立幾”題例ll.ABCDABCD是單位長(zhǎng)方體，黑白二蟻都從點(diǎn)A出發(fā)，沿棱向前爬行，每走1111一條棱稱為“走完一段”。白蟻爬行的路線是AATAD

21、T,黑蟻爬行的路線是111ABTBBT.它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第i+2段所在直線與第i段所在直線必1須是異面直線(其中ieN).設(shè)黑白二蟻?zhàn)咄甑?990段后，各停止在正方體的某個(gè)頂點(diǎn)處,這時(shí)黑白蟻的距離是()(A)1；(B)邁；(C)3；(D)0.解：依條件列出白蟻的路線AATADTDCTCCTCBT111111BATAAT,立即可以發(fā)現(xiàn)白蟻?zhàn)咄炅魏笥只氐搅薃點(diǎn)可驗(yàn)證知：黑白二蟻?zhàn)?完六段后必回到起點(diǎn)，可以判斷每六段是一個(gè)周期.1990=6x331+4，因此原問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為考慮黑白二蟻?zhàn)咄晁亩魏蟮奈恢茫浑y計(jì)算出在走完四段后黑蟻在D點(diǎn)，白蟻在C點(diǎn)，故所求距離是心2.例題與應(yīng)用例1：f(x

22、)是R上的奇函數(shù)f(x)=f(x+4)，x£0,2時(shí)f(x)=x,求f(2007)的值例2：已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足f(x+2)1f(x)=1+f(x),f(1)=2，求f(2009)的值。故f(2009)=f(251X8+1)=f(1)=2例3：已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x)=f(4-x)，且當(dāng)xeL2,0時(shí)，f(x)=2x+1，則當(dāng)xek6時(shí)求f(x)的解析式f(999+x)=f(999x)，1例4：已知f(x)是定義在仆的函數(shù)，且滿足f(x+999)=-帀試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性.例5：已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x)=f(4-x),且當(dāng)x

23、2,0時(shí)，f(x)是減函數(shù)，求證當(dāng)xebj時(shí)f(x)為增函數(shù)例6：f(x)滿足f(x)=-f(6-x)，f(x)=f(2-x)，若f(a)=-f(2000)，aW5,9且f(x)在5,9上單調(diào)求a的值.例7：已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，f(x)=f(4x),f(7+x)=f(7x),f(0)=0,求在區(qū)間1000,1000上f(x)=0至少有幾個(gè)根？解：依題意f(x)關(guān)于x=2,x=7對(duì)稱，類比命題2(2)可知f(x)的一個(gè)周期是10故f(x+10)=f(x)f(10)=f(0)=0又f(4)=f(0)=0即在區(qū)間(0,10上，方程f(x)=0至少兩個(gè)根又f(x)是周期為10的函數(shù)，每個(gè)周期上至少有兩個(gè)根，c2000因此方程f(x)=0在區(qū)間1000,1000上至少有1+210-=401個(gè)根.例1、函數(shù)y=f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，那么y=