函數(shù)連續(xù)習(xí)題課

1、函數(shù)的連續(xù)習(xí)題課函數(shù)的連續(xù)習(xí)題課一、基本內(nèi)容一、基本內(nèi)容二、例題選講二、例題選講左右連續(xù)左右連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間 a,ba,b上連續(xù)上連續(xù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)的的 性性 質(zhì)質(zhì)初等函數(shù)初等函數(shù)的連續(xù)性的連續(xù)性間斷點(diǎn)定義間斷點(diǎn)定義連連 續(xù)續(xù) 定定 義義0lim0 yx)()(lim00 xfxfxx 連續(xù)的連續(xù)的充要條件充要條件連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì)非初等函數(shù)非初等函數(shù)的連續(xù)性的連續(xù)性 振蕩間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn) 無(wú)窮間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn) 跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn) 可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)第一類(lèi)第一類(lèi) 第二類(lèi)第二類(lèi)一、基本內(nèi)容一、基本內(nèi)容1、連續(xù)的定義、連續(xù)的定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在在)(0 xU 內(nèi)有定

2、義內(nèi)有定義,如果當(dāng)自如果當(dāng)自變量的增量變量的增量x 趨向于零時(shí)趨向于零時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)的增量對(duì)應(yīng)的函數(shù)的增量y 也趨向于零也趨向于零,即即0lim0 yx 或或0)()(lim000 xfxxfx,那末就稱(chēng)函數(shù)那末就稱(chēng)函數(shù))(xf在在點(diǎn)點(diǎn) x0連續(xù)連續(xù),點(diǎn)點(diǎn) x0稱(chēng)為稱(chēng)為)(xf的連續(xù)點(diǎn)的連續(xù)點(diǎn).定義定義1定義定義2)()(lim00 xfxfxx :定定義義 .)()( , 0, 000 xfxfxx恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)定理定理.)()(00既左連續(xù)又右連續(xù)既左連續(xù)又右連續(xù)處處在在是函數(shù)是函數(shù)處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)xxfxxf.)(),()0(,),)(0000處右連續(xù)處右連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱(chēng)則

3、稱(chēng)且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxfxfxfbxxf 3、連續(xù)的充要條件、連續(xù)的充要條件2、單側(cè)連續(xù)、單側(cè)連續(xù);)(),()0(,()(0000處左連續(xù)處左連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱(chēng)則稱(chēng)且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxfxfxfxaxf :)(0條條件件處處連連續(xù)續(xù)必必須須滿(mǎn)滿(mǎn)足足的的三三個(gè)個(gè)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)xxf;)()1(0處有定義處有定義在點(diǎn)在點(diǎn)xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或間斷點(diǎn)或間斷點(diǎn)的不連續(xù)點(diǎn)的不連續(xù)點(diǎn)為為并稱(chēng)點(diǎn)并稱(chēng)點(diǎn)或間斷或間斷處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)則稱(chēng)則稱(chēng)要有一個(gè)不滿(mǎn)足要有一個(gè)不滿(mǎn)

4、足如果上述三個(gè)條件中只如果上述三個(gè)條件中只xfxxxf4、間斷點(diǎn)的定義、間斷點(diǎn)的定義(1) 跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn).)(),0()0(,)(0000的的跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)則則稱(chēng)稱(chēng)點(diǎn)點(diǎn)但但存存在在右右極極限限都都處處左左在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果xfxxfxfxxf (2)可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn).)()(),()(lim,)(00000的的可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)義義則則稱(chēng)稱(chēng)點(diǎn)點(diǎn)處處無(wú)無(wú)定定在在點(diǎn)點(diǎn)或或但但處處的的極極限限存存在在在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果xfxxxfxfAxfxxfxx 5、間斷點(diǎn)的分類(lèi)、間斷點(diǎn)的分類(lèi)第一類(lèi)間斷點(diǎn)：左、右極限都存在的間斷點(diǎn)。第一類(lèi)間斷點(diǎn)：左、右極限都存在的間斷點(diǎn)。

5、特點(diǎn)特點(diǎn):.,0右右極極限限都都存存在在處處的的左左函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn) x可去型可去型第一類(lèi)間斷點(diǎn)第一類(lèi)間斷點(diǎn)跳躍型跳躍型0yx0 x0yx0 x0yx無(wú)窮型無(wú)窮型振蕩型振蕩型第二類(lèi)間斷點(diǎn)第二類(lèi)間斷點(diǎn)0yx0 x第二類(lèi)間斷點(diǎn)第二類(lèi)間斷點(diǎn).)(,)(00類(lèi)類(lèi)間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)的的第第二二為為函函數(shù)數(shù)則則稱(chēng)稱(chēng)點(diǎn)點(diǎn)至至少少有有一一個(gè)個(gè)不不存存在在右右極極限限處處的的左左在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果xfxxxf.,)(,),(上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)則則稱(chēng)稱(chēng)處處左左連連續(xù)續(xù)在在右右端端點(diǎn)點(diǎn)處處右右連連續(xù)續(xù)并并且且在在左左端端點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)如如果果函函數(shù)數(shù)在在開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)間間baxfbxaxba 6、閉區(qū)間的連續(xù)

6、性、閉區(qū)間的連續(xù)性7、連續(xù)性的運(yùn)算性質(zhì)、連續(xù)性的運(yùn)算性質(zhì)定理定理.)0)()()(),()(),()(,)(),(000處處也也連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)則則處處連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)若若函函數(shù)數(shù)xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 定理定理1 嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù)續(xù)反函數(shù). .定理定理2).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 則則有有連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)若若8、初等函數(shù)的連續(xù)性、初等函數(shù)的連續(xù)性.)(,)(,)(,)(00000也也連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)而而函函數(shù)數(shù)且

7、且連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理3定理定理4 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.定理定理5 一切初等函數(shù)在其一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的內(nèi)都是連續(xù)的.定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.9、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理定理1(最值定理最值定理) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值有最大值和最小值.定理定理2(有界性定理有界性定理) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界在該區(qū)間上有界.定定理理3(零零點(diǎn)點(diǎn)定

8、定理理) 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在閉閉區(qū)區(qū)間間 ba, 上上連連續(xù)續(xù)，且且)(af與與)(bf異異號(hào)號(hào)(即即0)()( bfaf),那那末末在在 ba,內(nèi)內(nèi)至至少少有有函函數(shù)數(shù))(xf的的一一個(gè)個(gè)零零點(diǎn)點(diǎn),即即至至少少有有一一點(diǎn)點(diǎn) )(ba ，使使0)( f.定理定理 4(介值定理介值定理) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ba,連連續(xù)，且續(xù)，且 Aaf )( Bbf )(, 那末，對(duì)于那末，對(duì)于 A 與與 B 之間的任意一個(gè)數(shù)之間的任意一個(gè)數(shù) C，在，在 ba,內(nèi)至少有一點(diǎn)內(nèi)至少有一點(diǎn) ， 使得， 使得Cf )( )(ba .推論推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值在閉區(qū)間上連續(xù)

9、的函數(shù)必取得介于最大值M 與與 最小值最小值m之間的任何值之間的任何值.例例1.1,2cos1,1)(的的連連續(xù)續(xù)性性討討論論 xxxxxf 解解改改寫(xiě)寫(xiě)成成將將)(xf 1, 111,2cos1,1)(xxxxxxxf .), 1(),1 , 1(),1,()(內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在顯顯然然 xf二、例題選講二、例題選講,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x )(lim1xfx )1(lim1xx. 2 )(lim1xfx 2coslim1xx. 0)(lim)(lim11xfxfxx .1)(間間斷斷在在故故 xxf,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x )(lim1xfx 2coslim1xx. 0 )(lim1xfx )1(lim1x

10、x. 0)(lim)(lim11xfxfxx .1)(連連續(xù)續(xù)在在故故 xxf.), 1()1,()(連連續(xù)續(xù)在在 xf例例2.11lim)(22的的連連續(xù)續(xù)性性討討論論 tttxxxf解解時(shí)時(shí)， t )1 (11lim)(22 tttxxxf . 1,1, 1,0, 1,1xxx x =1、- -1是第一類(lèi)跳躍間斷點(diǎn)。其它點(diǎn)均連續(xù)。是第一類(lèi)跳躍間斷點(diǎn)。其它點(diǎn)均連續(xù)。時(shí)時(shí)， t )2(11lim)(22 tttxxxf . 1,1, 1,0, 1,1xxx x =1、- -1是第一類(lèi)跳躍間斷點(diǎn)。其它點(diǎn)均連續(xù)。是第一類(lèi)跳躍間斷點(diǎn)。其它點(diǎn)均連續(xù)。例例3 1 , )ln(1 , 1 1 , )(22

11、 xxxbxxxaxf設(shè)設(shè)求求a,b的值的值解解 f(- -10)lnb， f(- -1- -0)a+1， f(- -1)1則則 a=0，b=e連連續(xù)續(xù)，在在1 x例例4 BxgxxxxxxAxfBxgAxf )()(lim,)(lim, 0)(lim000則則設(shè)設(shè),ln)(lnlim 0Axfxx 由于由于,ln)(ln)(lim0ABxfxgxx ABxfxgxxxgxxeexfln)(ln)()(00lim)(lim 則則 BxgxxAxf )()(lim0 從而從而證證例例5：求下列極限：求下列極限22202coscoslim) 1 (xxxx 22202cos2coscos1lim

12、xxxxx 原式原式xxxxxxxx2cos22cos12cos12cos22022cos22cos11lim xxxxe2cos22cos12lim20 2e 解解 xxx2csc00coslim)2( xxx2sin1001cos1lim 原式原式xxxe200sin)1(coslim 21 e 1cos1cossin10021cos1lim xxxxx解解hxhxhsin)sin(lim)3(0 2sin)2cos(21lim 0hhxhh 原原式式22sin)2cos(lim0hhhxh xcos xcos 解解haaxhxh 0lim)4()1(1lim0 hxhaah原式原式haa

13、hhx1lim 0 )1 (loglim10ttaatahxh 令令aaxln eaaxlog1 解解aaxln 例例6).()21(1 , 0),1()0(,1 , 0)( ffffxf 使得使得證明必有一點(diǎn)證明必有一點(diǎn)且且上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間設(shè)設(shè)證明證明),()21()(xfxfxF 令令.21, 0)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則xF),0()21()0(ffF ),21()1()21(ffF 討論討論:, 0)0( F若若, 0 則則);0()210(ff , 0)21( F若若,21 則則);21()2121(ff 則則若若, 0)21(, 0)0( FF )21()0(FF2)0(

14、)21(ff . 0 由零點(diǎn)定理知由零點(diǎn)定理知,. 0)(),21, 0( F使使.)()21(成立成立即即 ff 綜上綜上,1 , 021, 0 必有一點(diǎn)必有一點(diǎn).)()21(成立成立使使 ff 例例7).()(2 , 0),2()0(,2 , 0)( fafaaffaxf 使得使得證明必有一點(diǎn)證明必有一點(diǎn)且且上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間設(shè)設(shè)證明證明),()()(xfaxfxF 令令., 0)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則axF),0()()0(fafF ),()2()(afafaF 0)()0( aFF 即即討論討論:, 0)0( F若若, 0 則則);0()0(faf , 0)( aF若若, a 則則);()(afaaf 則則若若, 0)()0( aFF0)()0( aFF由零點(diǎn)定理知由零點(diǎn)定理知,. 0)(), 0( Fa 使使.)()(成立成立即即 faf 綜上綜上,2 , 0, 0aa 必有一點(diǎn)必有一點(diǎn).)()(成成立立使使 faf 例例8).3 , 2(),2 , 1(0316271521 xxxxx另另一一個(gè)個(gè)根根根根有有一一個(gè)個(gè)證證明明方方程程證明證明