2020屆湖南長沙一中高三月考試題四數(shù)學理試題解析版

1、2020屆湖南省長沙市一中高三月考試題（四）數(shù)學（理）試一、單選題1i1.設(shè)z2i,則|z|1 iA.0B.1C.1D.72【答案】C【解析】分析：利用復數(shù)的除法運算法則：分子、分母同乘以分母的共軻復數(shù)，化簡復數(shù)z,然后求解復數(shù)的模.1 i1i1i詳解：z2i2i2 i1i1ii2ii,則z1,故選c.點睛：復數(shù)是高考中的必考知識，主要考查復數(shù)的概念及復數(shù)的運算.要注意對實部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共輾復數(shù)這些重要概念，復數(shù)的運算主要考查除法運算，通過分母實數(shù)化轉(zhuǎn)化為復數(shù)的乘法，運算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分.2.若xR,則X31”是“X1”的（）A.

2、充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】分別求解兩個不等式再判斷即可.【詳解】因為yx3為增函數(shù)，故x31解得x1,又x1解得x1或x1,故X31”是“x1”的充分不必要條件.故選：A【點睛】本題主要考查了募函數(shù)與絕對值不等式的求解與充分不必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題型3,下列命題中，m,n表示兩條不同的直線，、表示三個不同的平面.若m,n/，則mn；若若m/，n/m/n;若/正確的命題是(A.B.C.D.【解析】對于，由線面垂直的判定定理知,直線m與平面內(nèi)的任意一條直線垂直,由nP知，存在直線b內(nèi)，使nPb,所以mb,mn,故正確；對于，平面與平面

3、可能相交，比如墻角的三個平面，故錯誤；對于，直線m與n可能相交，可能平行，可能異面，故錯誤；對于，由面面平行的性質(zhì)定理有p正確.故正確命題為，選C.4.將函數(shù)f(x)sin2x的圖像保持縱坐標不變，先將橫坐標縮短為原來,1一，一的一，再向右平移2一個單位長度后得到g(x),則g(x)的解析式為6A.g(x)sin(xC.g(x)sin(4xb.g(x)sin(x-)6D.g(x)sin(4x)6【解析】將函數(shù)fxsin2x的圖像保持縱坐標不變，先將橫坐標縮短為原來,1_一,的一得到y(tǒng)sin4x,再向右平移一個單位長度后26得到gx,g(x)sin4(x)sin(4x62),故選C.35.如圖，

4、在楊輝三角形中，斜線l的上方從1按箭頭所示方向可以構(gòu)成一個數(shù)列：1,3,3,4,6,5,10,，則這個數(shù)列的第19項為()C.58B.110鋸齒形”數(shù)列【解析】先對鋸齒形”的數(shù)列的奇數(shù)項找規(guī)律，求出通項公式，然后利用的第19項即為新數(shù)列的第10項即可求出結(jié)論.【詳解】設(shè)鋸齒形”的數(shù)列的奇數(shù)項構(gòu)成數(shù)列b41510所以可得bn2,b3b265bnbn133,b4b31064,又因為鋸齒形”數(shù)列白第19項即為新數(shù)列的第10項,故選：A本題考查了遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項公式，考查了疊加法求通項公式，屬于中檔題6 .已知一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（B.8A.一3【答案】DC.4，代入體

5、積【解析】由三視圖可知幾何體為四棱錐，俯視圖為底面，主視圖的高為棱錐的高公式計算可得選項.由三視圖可知該幾何體是底面為正方形的四棱錐,底面是邊長為2的正方形,棱錐的高故選：D.本題考查根據(jù)三視圖得出原幾何體，并且求其體積的問題，關(guān)鍵在于由三視圖準確地還原幾何體，屬于基礎(chǔ)題.7 .若等差數(shù)列an的公差為2,且a5是22與a6的等比中項，則該數(shù)列的前n項和Sn取最小值時，n的值等于（）A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】【詳解】因為a5是a2與a6的等比中項，2八2a5a2a6a26a?a?8a29,所以通項公式為ana2n2d92n22n13,令an得n6,所以該數(shù)列的前n項和Sn取最小值

6、時n的值等于68.假設(shè)有兩個分類變量X和Y的22列聯(lián)表如下：YXyiy2總計Xiai0a1X2c3c3總計6041對同一樣本，以下數(shù)據(jù)能說明X與丫有關(guān)系的可能性最大的一組為（）A.a45,c15B.a4,c2C.a35,c25D.a3,c3【答案】A【解析】由題意得，當一a與一相差越大時，X與Y有關(guān)系的可能性越大，即a1c3可得到答案.【詳解】ac由題意可得，當與3相差越大時，x與丫有關(guān)系的可能性越大，分析四組選J1III_LULIsJ項，A中的a,c的值最符合題意，故選A.【點睛】本題主要考查了獨立性檢驗的判定及應用，其中熟記獨立性檢驗的相關(guān)知識和K2的計算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問

7、題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題9.法國有個名人叫做布萊爾帕斯卡，他認識兩個賭徒，這兩個賭徒向他提出一個問題，他們說，他們下賭金之后，約定誰先贏滿5局，誰就獲得全部賭金700法郎，賭了半天,甲贏了4局，乙贏了3局，時間很晚了，他們都不想再賭下去了.假設(shè)每局兩賭徒輸贏1的概率各占-,每局輸贏相互獨立，那么這700法郎如何分配比較合理（）2A.甲400法郎，乙300法郎B.甲500法郎，乙200法郎C.甲525法郎，乙175法郎D.甲350法郎，乙350法郎【答案】C1【解析】通過分析甲可能獲勝的概率來分得獎金，假定再賭一局，甲獲勝的概率為-2若再賭兩局，甲才獲勝的概率為出獎金的分配金額.111一一

8、-,從而得甲獲勝的概率為2241一上111假定再賭一局，甲獲勝的概率為113甲獲勝的概率為113,424;若再賭兩局，甲才猶勝的概率為一，22243，甲應分得：700525（法郎），乙應分得：41700-175（法郎）4故選：C.【點睛】本題考查概率知識的實際應用，關(guān)鍵在于明確概率的原理，以達到理論聯(lián)系實際，屬于中檔題.10.已知E,F2是橢圓與雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且PF1PF?2e2線段PF1的垂直平分線過F2,若橢圓的離心率為0,雙曲線的離心率為e2,則e12的最小值為（）A.而B.3C.6D.732e2,再利用e12【解析】利用橢圓和雙曲線的性質(zhì)，用橢圓雙曲線的焦距長

9、軸長表示均值不等式得到答案又QFiPF2P24,FiPF2P2a2兩式相減，可得：a1a22c,Q2包ei22包42ca?a?c28ca24a2022ca22ca2FiP2c24,FiP2c2a2,2a1c4a1a2c2,c2a22ca2242里工.，c2a2a2Q22.c2a22a2cc2a22a2c2，當且僅當工瓦時等立，設(shè)橢圓長軸2ai,雙曲線實軸2a2,由題意可知：1F2|F2P2c,2e2，口，一二-的取小值為6,e2故選:C.【點睛】,一，一2e2-,工本題考查了橢圓雙曲線的性質(zhì)，用橢圓雙曲線的焦距長軸長表示是解題的關(guān)鍵,ei2意在考查學生的計算能力11.已知li,l2分別是函數(shù)f

10、(x)11nxi圖象上不同的兩點P,P2處的切線，li,l2分別與y軸交于點A,B,且l1與l2垂直相交于點P,則ABP的面積的取值范圍是()A.(0,1)B,(0,2)C,(0,)D,(1,)【答案】Alnx,0xi【解析】由題意得fxlnx.設(shè)lnx,x0P(xi,lnXi),P2(x2,Inx2)(x1i,0x2i),由導數(shù)的幾何意義可得切線li12的斜率八i分別為ki-,k2xii一,x2由條件可得kik2xix2ii,所以xix2i,故x2-xi又切線li的方程為yInx1i，(xxi),切線l2的方程為ylnx2xii，、,一(xx2),即x2ylnXxi(xi、，、人一),在兩切

11、線方程中，分別令xi0可得切線與y軸的交點分別為A(0,ln-(xlnxi(xxi),可得點工)xiP(i2xi2,ln%ix2)ABxP2%ixi22xi2xi(由于xiABP的面積的取值范圍是0,i.選a.iln為)，B(0,ilnxi),故|AB|2.點睛：(i)由于曲線的兩條切線垂直，故切點的橫坐標必為一個小于i,一個大于i,解題時要注意這一隱含條件.(2)三角形面積的最值問題可根據(jù)題意得到面積的表達式，然后根據(jù)表達式的特征，選擇是利用基本不等式求解還是利用函數(shù)知識求解，利用基本不等式時要注意不等式使用的條件.i2.設(shè)一個正三棱柱ABCDEF,每條棱長都相等，一只螞蟻從上底面ABC的某

12、頂點出發(fā)，每次只沿著棱爬行并爬到另一個頂點，算一次爬行，若它選擇三個方向爬行的概率相等，若螞蟻爬行i0次，仍然在上底面的概率為P0,則P0為(iiB.i0A.11D.10【答案】【解析】由題意，設(shè)第n次爬行后仍然在上底面的概率為Pn.若上一步在上面，再走2-一步要想不掉下去，只有兩條路，其概率為一Pn1；若上一步在下面，則第n1步31一不在上面白概率是1R1.如果爬上來，其概率是一1Pn1,兩種事件又是互斥的，可3，-21得Pn-Pn1-1Pn1，根據(jù)求數(shù)列的通項知識可得選項.33【詳解】由題意，設(shè)第n次爬行后仍然在上底面的概率為Pn.若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有兩條路，其概率為

13、若上一步在下面，則第n1步不在上面的概率是1P,1,n2.如果爬上來，其概一1一率是鼻1R1,n2,32111兩種事件又是互斥的，PnPn1-1Pn1，即PnPn13333c11c1Pn二二P1二，232一.1-，1，一，一,一，數(shù)列Pn一是以一為公比的等比數(shù)列，而23-2，P一，所以Pn310一，111,當n10時，P0,10232故選：D.【點睛】本題考查幾何體中的概率問題，關(guān)鍵在于運用遞推的知識，得出相鄰的項的關(guān)系，這是常用的方法，屬于難度題二、填空題13.設(shè)向量：=-2),且;則b+?h|=【解析】由題意可得Lu，由此解得、的值，可得;4J的坐標，從而求得b+2bI的值.【詳解】由題意

14、可得I*1,(2)-2.0,解得上2，所以Ir/1、門相，a-2l_(X+2J4)-(4.3)所以LI2h|=，16”二5,故答案是5.【點睛】該題所考查的是有關(guān)向量的問題，涉及到的知識點有平面向量的坐標運算，平面向量垂直的條件，平面向量數(shù)量積的運算以及向量的模的求解，正確應用公式是正確解題的關(guān)鍵.14 .有4名優(yōu)秀學生A、B、C、D全部被保送到甲、乙、丙3所學校，每名學生只能被保送到1所學校，每所學校至少1名，則不同的保送方案共有種.(填寫數(shù)字)【答案】36.【解析】根據(jù)題意首先把4名學生分為3組，則有C2種分法，再把分好的3組分到3個學3習小組，則有A種分法,進而再利用分步計數(shù)原理計算出答

15、案【詳解】因為4名學生分配到3個學習小組，每個小組至少有1學生，所以首先把4名學生分為3組,則有一個組有2人，共有C：種分法，再把分好的3組分到3個學習小組，則有A3種分法，所以共有C2A36種分法.故答案為:36.【點睛】本題主要考查了分配問題，解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握分步計數(shù)原理與分步計數(shù)原理，一般是先分組再分配，屬于基礎(chǔ)題.15 .定義在R上的連續(xù)函數(shù)fX滿足f12,且fX在R上的導函數(shù)fX1,則不等式fXX1的解集為.【答案】x|x1【解析】設(shè)hxfxx1,則h/xf/x10,即hxfxx1是單調(diào)遞減函數(shù)，而h1f1110,所以fxx1等價于fxx10,即hxh1,所以x1,故不等

16、式的解集為xx：1,應填答案xx：-1.點睛：本題的解答過程中，充分借助題設(shè)條件，巧妙地構(gòu)造函數(shù)hxfxx1,從而借助導數(shù)的求導法則及導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，判斷出該函數(shù)的單調(diào)遞減函數(shù)，進而為解不等式創(chuàng)造出模型.解答本題的難點在于怎樣觀察并構(gòu)造出函數(shù)，然后再用導數(shù)知識判斷其單調(diào)性，進而將不等式進行等價轉(zhuǎn)化.16 .如圖，在ABC中，已知角A、B、C對應的邊分別為a,b,c,其中a4,且absinAsinBcbsinC,d是AC邊上一點，若ABAD,則CBD的周長的取值范圍是【答案】2.3,.32【解析】由已知等式利用正弦定理化簡得到三邊的關(guān)系式，利用余弦定理求出cosA,進而確定出角A的值，得

17、出ABD為等邊三角形，求CBD的周長的取值范圍得以轉(zhuǎn)化為求AC的范圍，再運用正弦定理，運用三角函數(shù)的值域求得范圍【詳解】設(shè)CBD的周長為l,由正弦定理得ababc2bc,即c2b2a2bc,222-1cosAbca2bcABBD,.ABD為等邊三角形,lBDDCBCADDCBCACBC.AC在ABC中，由正弦定理得：sinABC,AC2sinABC,sin一3ABCsinABC1,7322sinABC2，石芯2sinABCAC2向，l2,3,.32.故答案為：2.3,.32.【點睛】此題考查運用正弦、余弦定理，求解三角形，關(guān)鍵在于得到等邊三角形，將所求的周長的范圍轉(zhuǎn)化為求三角形的邊的范圍，再運

18、用正弦定理，轉(zhuǎn)化為求角的三角函數(shù)值的范圍,屬于中檔題.三、解答題17.已知正項數(shù)列an的前n項和為Sn,且an1是4與Sn的等比中項(1)求an的通項公式；n11n二一八一(2)求數(shù)列的刖2n項和T2n.anan1【答案】(1)an2n1-4n1一-一,”一22【解析】(1)由題息得：an14Sn,，當n2時，an114sli.，得anan1anan120.可得數(shù)列an是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式的解法可求得；n(2)1n2n12n11142n112n1T2n114n14n1,可求得答案(1)由題意得:2,an14Sn,，當n2時,2an114Sn1.，得anan1

19、aan120.an0,anan12n2,當n1時,an是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，an2n1.n(2)anan12nn12n12n112n1anan12n12n1T2n14n114n14i14n14n4n1n4n1【點睛】本題考查由數(shù)列的前項的和求數(shù)列的通項，裂項求和法求數(shù)列的和，關(guān)鍵在于先將anan1式子進行處理，然后再將整個式子按裂項相減法的步驟化簡即可得到結(jié)果,注意的是裂項之后還剩哪些項，搞清楚，屬于中檔題18.如圖，四棱錐PABCD的底面是菱形，平面PADE分別是AD,AB的中點，AB6,DPAP5,BAD區(qū)電n11）求證:ACPE;（2）求直線PB與平面POE所成角的正弦值【答

20、案】（1）證明見解析3：2)士而986【解析】（1）連接BD,由菱形的性質(zhì)可得:AC結(jié)合三角形中位線的性質(zhì)可知：OE/BD，故OEAC,再由平面PAD平面ABCD可彳#ACOP,得AC平面POE,可得證;（2）由題意結(jié)合菱形的性質(zhì)易知OPOPOB,OAOB,以點O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz,求得平面POE的一個法向量，向量PB,根據(jù)線面角的空間向量坐標公式可求得直線PB與平面POE所成角的正弦值.(1)連接BD,由菱形的性質(zhì)可得：ACBD,結(jié)合三角形中位線的性質(zhì)可知：OE/BD,故OEAC,DPAP5,POAD,.平面PAD平面ABCD,AD平面PADI平面ABCD,PO

21、平面PAD,PO底面ABCD,AC底面ABCD，故ACOP,且OPOEO,故AC平面POE,PE平面POE,ACPE.(2)由題意結(jié)合菱形的性質(zhì)易知OPOA,OPOB,OAOB,以點O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz,則P0,0,4,B0,3.3,0,O0,0,0,E3,33,022ir設(shè)平面POE的一個法向量為mx,y,zir據(jù)此可得平面POE的一個法向量為m3,1,0,uuvOPuuvOE4zuuu_而PB0,3百，4,設(shè)直線PB與平面POE所成角為sinuuuurPBm3.3所以直線PB與平面POE所成角的正弦值為【點睛】PB836129.本題考查空間的線線垂直的證明，線

22、面角的計算，注意在求線面角時，線面角的正弦值是平面的法向量與線向量所成的余弦值的絕對值，這個問題是易錯點，屬于中檔題2219.已知橢圓C：與1,設(shè)直線l：xty是橢圓C的一條切線，兩點a2b2M2,%和N2坐在切線l上.（1）若P1,1,F20,1,P31,乎，F(xiàn)41，3中恰有三點在橢圓C上，求橢圓C的方程;(2)在(1)的條件下，證明：當t,變化時，以MN為直徑的圓恒過定點，并求出【答案】（1）2y21(2)證明見解析；定點（土3，0）【解析】（1）由于E,P4關(guān)于y軸對稱，得C過P3,橢圓的標準方程;（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程消去x得t24y22t240.由直線與橢圓相切得：24t2,再由

23、M、N在切線上，代入可得yy2,yiy2，代入以MN為直徑的圓的方程中,可得定點(1)由于F3,P4關(guān)于y軸對稱,34b21b2P?在C上，1b71a34b22ab2橢圓C的方程為y21.(2)2x聯(lián)立7消去x得t22t0.由直線與橢圓相切得:ty4t2,N在切線上,ty1ty2y224t117y2而以MN為直徑的圓的方程為yyy20,3,2知，C不過4b2yoxyy30,令y0,貝Ux230,廣，tx.3過定點73,0.【點睛】本題主要考查直線與橢圓的綜合應用能力，具體涉及到求曲線過定點，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化.對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性.綜合性強，屬于難度題220.已知

24、函數(shù)fxlnx1ax,a0.（1）討論函數(shù)fx的單調(diào)性;x0（2）若函數(shù)fx在區(qū)間（-1,0）有唯一零點x0,證明:【答案】（I）見解析；（n）見解析.【解析】試題分析：（I）求導得fx22ax2ax1x10,0,0,三種情況討論可得單調(diào)區(qū)間（n）由（1）及f00可知：僅當極大值等于零，即fx10且fX102所以2ax02ax010,且f%2In%1a%0,消去a得lnx01x00,構(gòu)造函數(shù)，證明單調(diào)且零點存在且唯一即可2x012試題解析：（I）fx2ax型一在x，x1,x1x122令gx2ax2ax1,4a8a4aa2,若0,即0a2,則gx0,當x1,時，fx0,fx單調(diào)遞增，1右0,即a

25、2,則gx0,僅當x時，等號成立，2當x1,時，fx0,fx單調(diào)遞增.若0,即a2,則gx有兩個零點xaJaa2_,xa/a2x入22a2a1 .1由g1g010,g0得1x1-x20,2 2fX單調(diào)遞增;當x1,X1時，gx0,fx0Xi,X2時,0,0,fX單調(diào)遞減;X2,時,0,0,X單調(diào)遞增.綜上所述,a2時，f1,上單調(diào)遞增;2時，fx在1,2a2a上單調(diào)遞增,2a2aa2上單調(diào)遞減.（n）由（1）及f00可知：僅當極大值等于零，即fXi0時，符合要求.此時，Xi就是函數(shù)X在區(qū)間1,0的唯一零點X0.所以2ax；2ax02X0X01又因為InX021ax0所以1nX01x。2X010

26、,令X0t,則Int再由（1)又因為所以eInt知:2tt1八0,2t1,一,則ht22t2t120.ht單調(diào)遞減,點晴：本題考查函數(shù)導數(shù)與單調(diào)性.確定零點的個數(shù)問題:可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點個數(shù)，如果函數(shù)較為復雜，可結(jié)合導數(shù)知識確定極值點和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象.方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理.恒成立問題以及可轉(zhuǎn)化為恒成立問題的問題，往往可利用參變分離的方.注意利用數(shù)形結(jié)合法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值處理.也可構(gòu)造新函數(shù)然后利用導數(shù)來求解的數(shù)學思想方法.*、21.據(jù)長期統(tǒng)計分析，某貨物每天的需求量rrN在17與26之間，日需求量r（件）的頻率

27、Pr分布如下表所示:需求量r17181920212223242526頻率Pr0.120.180.230.130.100.080.050.040.040.03已知其成本為每件5元，售價為每件10元.若供大于求，則每件需降價處理，處理價每件2元.假設(shè)每天的進貨量必需固定.（1）設(shè)每天的進貨量為XnXn16n,n1,2,L,10,視日需求量nr16i,i1,2,L,10的頻率為概率Pi1,2,L,10，求在每天進貨量為Xn的條件下，日銷售量Zn的期望值EZn（用Pi表示）；（2）在（1）的條件下，寫出EZn和EZn1的關(guān)系式，并判斷Xn為何值時，日利潤的均值最大？n10【答案】（1）當10n09時，

28、EZn16iP16nP；當n10時，i1in110EZ1016iP.i110（2）EZn1EZnP；Xn20時，日利潤均值最大in1【解析】（1）分日需求量與進貨量的大小關(guān)系，確定日銷售量，從而得出日銷售量Zn的期望值；n110(2)由(1)可得EZn116iP16n1P,可得EZn和EZn1i1in2的關(guān)系，設(shè)每天進貨量為Xn時，日利潤為n,則En5EZn316nEZn8EZn316n,分析En1En正負可得出日利潤均值的最大值(1)當日需求量rXn時，日銷售量Zn為r；當日需求量rXn時，日銷售量Zn為Xn,故日銷售量Zn的期望值為:當n1時，每天的進貨量為X116117,根據(jù)貨物的日需求

29、量的頻率表得，此時的日銷售量為17件,EZ1161P1P2LP10當n2時，每天的進貨量為X216218,根據(jù)貨物的日需求量的頻率表得,此時日銷售量為17件的概率為Pi,日銷售量為18件的概率為BP3LP0,EZ2161P1162P2P3LP0；當n3時，每天的進貨量為X316319,根據(jù)貨物的日需求量的頻率表得,此時日銷售量為17件的概率為P1,日銷售量為18件的概率為耳，日銷售量為19件的概率為P3P4LP0,EZ3161P162P，163P3P4L九；LL,同理可得:EZ9161P1162P2163P316EZ10161P1162P2163P31610P。；10所以當10n09時,Zn161610時,i1inEZ101016i1iP.(2)EZn1n116i11016161016in1EZn10Pi.in1設(shè)每天進貨量為Xn時