二次函數(shù)典型例題

1、二次函數(shù)典型例題例1某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的產(chǎn)品，據(jù)市場分析，若按每千克50元銷售，一個月能銷售出500千克；銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10千克，針對這種產(chǎn)品的銷售情況，請解答以下問題：(1)當銷售單價定為每千克55元時，計算月銷售量和月銷售利潤；(2)設銷售單價為每千克x元，月銷售利潤為y元，求y與x的函數(shù)關系式(不必寫出x的取值范圍)；商店想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，銷售單價應定為多少？點撥:我們知道，銷售商品有一些基本數(shù)量關系，如：銷售額=單價送肖售件數(shù)，銷售利潤=銷售收入一銷售成本(銷售成本包括產(chǎn)品本身的成本和銷售過程中增

2、加的成本，而在我們的學習研究中，一般不計算銷售過程中增加的成本)等.根據(jù)題意，以50元/千克時，月銷售量為500千克(此時銷售收入為50X500=25000元)為標準，單價每增加1元，月銷售量就減少10千克，利用上面的基本數(shù)量關系，可以解決本題中的問題.解：(1)月銷售量為5005X10=450(千克)，月銷售利潤為(55-40)(5005X10)=6750(元)(2)yx500-10(x50)4050010(x50)即，y10x21400x40000(3)800010x21400x40000解得x60或x80,當x80時，月銷售量為50030X10=200.此時成本為40>200=80

3、00元，合題意.當x60時，月銷售量為50010X10=400.此時成本為40M00=16000>10000,不合題意.答：當銷售價格為55元/千克時，月銷售量為450千克，月銷售利潤為6750元；函數(shù)解析式為y10x21400x40000;當銷售成本不超過10000元，月銷售利潤達8000元時，銷售價應定為80元/千克.例2若一拋物線yax2與四條直線，x1,x2,y1,y2圍成的正方形有公共點.求a的取值范圍.點撥:對于二次函數(shù)yax2有，若|a超大，拋物線開口越小(反之|a超小,則開口越大)因此我們需要先作出由直線x1,x2,y1,y2所圍成的正方形，由它的位置決定拋物線的開口方向

4、，再用動態(tài)的觀點來看，拋物線與正方形有公共點時，開口最大的情況與開口最小的情況，以求a的取值范圍.解：作出由x1,x2,y1,y2所圍成的正方形ABCD,則A(1,2),B(1,1),C(2,1),D(2,2).易知，拋物線yax2必開口向上，即a>0.當yax2經(jīng)過c1點時開口最大，此時1=a.2,a.當拋物線yax經(jīng)過點A(1,2)時開口最小，41此時2=a.12,a2.a的取值范圍是1a2.4例3如圖所示，有一拋物線形涵洞，其函數(shù)解析式為yax2(a0),涵洞跨度AB=12m,內(nèi)部高度h4m,為了安全，汽車經(jīng)過涵洞時，載貨最高處與頂部之間的距離不能小于0.5m.現(xiàn)有一輛運貨車卡車欲

5、通過涵洞，經(jīng)測量該車寬度為4m,載貨最高處距地面2.5m.問該車能否通過，為什么？點撥:這是一道實際應用題，解題的時候要把實際生活中的問題抽象出來，找到或建立相應的數(shù)學模型，再加以解決.解：如圖所示，AB=12m,h4m./.A(-6,-4),B(6,-4).把點A(-6,-4)代、一O11O入函數(shù)yax得a(6)=-4,a-,y-x,依題息：二,車范4m,載貨99最高處距地面2.5m,C(2,1.5),D的橫坐標為2,縱坐標為y1x21224.；D(2,-),CD-1.519>0.5,能通過涵洞.9999918例4如圖，在矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=12厘米，點P從A出發(fā)，沿A

6、B邊向點B以1厘米/秒的速度移動，同時Q從點B出發(fā)沿BC邊向點C以2厘米/秒的速度移動.如果P,Q兩點在分別到達B,C兩點后就停止移動，回答下列問題：(1)運動開始后第幾秒鐘時，PBQ的面積等于8平方厘米？(2)設運動開始后第T秒鐘時，五邊形APQCD的面積為S平方厘米，寫出S與T的函數(shù)關系式，并指出自變量T的取值范圍；(3)T為何值時，S最??？求出S的最小值.點撥:觀察圖形有兩點是顯然但絕不能忽視的，一個是PBQ的面積與五邊形PQCDA的面積之和為定值(矩形ABCD的面積)，另一個是PBQ在變化過程中始終為直角三角形，即SPBQ=1PBBQ為不變函數(shù)關系.2解：設P,Q兩點的運動時間為t秒，

7、依題意PB=AB-AP=6-t,BQ=2t.Sapbq=1(6-t)2t=t(6-t).t(6-t)=8,解得t=2,t=4;2(2)S=AB-BC-SPBQ=72-t(6-t)=t2-6t+72(0t6);一、，-2，一，(3)配萬，得S=t3+63.當t=3時，S最小=63答(1)運動開始2秒和4秒時，Sapbq=8.(2)S與t的函數(shù)關系為S=t2-6t+72,0t6.(3)當t=3時，S最小，最小為63.例5某瓜果基地市場部為指導該基地某種蔬菜的生產(chǎn)和銷售，在對歷年市場行情和生產(chǎn)情況調(diào)查的基礎上，對今年這種蔬菜上市后的市場售價和生產(chǎn)成本進行了預測，提供了兩個方面的的信息，如圖甲、乙.注

8、：甲，乙兩圖中的每個實心黑點所對應的縱坐標分別指相應月份的售價和成本，生產(chǎn)成本6月份最低，乙圖的圖象是拋物線.甲圖乙圖請你根據(jù)圖象提供的信息說明：(1)在3月份出售這種蔬菜，每千克的收益是多少元？(收益=售價-成本)(2)哪個月出售這種蔬菜，每千克的收益最大？說明理由.點撥(1)由圖甲可知，3月份出售這種蔬菜，每千克價格為5元，由圖乙可知，3月份這種蔬菜的成本價為每千克4元.故可輕松解決；在中可借助圖甲、圖乙確定出售價、成本價與月份x的關系式，將兩表達式相減，即為每千克這種蔬菜的收益是多少，再借助二次函數(shù)最值求法，則可解決問題.解：(1)由圖甲知，3月份這種蔬菜的售價為5元，由圖乙知，3月份這

9、種蔬菜的成本價為4元，故3月份這種蔬菜的收益為每千克1元；(3) 設圖甲中線段的表達式為Y甲二卜乂+0由圖象可知，點(3,5)和(6,3)在y甲=kx+b上，故有53kb36kb故y甲2X7.又圖乙中圖象是一條拋物線段，故，可設3其表達式為y乙ax2bxc.由圖乙知，其頂點坐標為(6,1),且點(3,4)在拋物線段上49a3bc故有62a4acb234a1解彳3a-,b4,c13.3一1c故y乙-x24x13.從而每千克這種蔬菜的收益為27/12yy甲y乙-x7(-x334x3)10一x312-(x210x)61(x5)2373.當x=5時,y值最大，且最大值為7元.3即5月份出售這種蔬菜，每

10、千克的收益最大，最大值為7元.3例6如圖甲所示，公園要建造圓形的噴水池，在水池中央垂直于水面處安裝一個柱子OA,。恰好在水面中心，OA=1.25m.由柱子頂端A處的噴頭向處噴水，水流在各個方向形狀相同的拋物線路線落下，為了使水流形狀較為漂亮，要求設計成水流在離OA距離為1m處達到距水面最大高度2.25m.一.甲r1J(1)如果不計其他因素，那么水池的半徑至少要多少米，才能使噴出的水流落不到池外？(2)若水流噴出的拋物線的形狀與相同，水池的半徑為3.5m,要使水流不落到池外，此時水流最大高度應達多少米(精確到0.1m)(提示:可建立如下坐標系：以OA所在的直線為y軸，過O點垂直于OA的直線為x軸，點O為原點.)點撥:此題的解題關鍵在于如何建立合適的坐標系，使得我們要求的數(shù)據(jù)在坐標系內(nèi)成為一些特殊點，而不是拋物線上的任意三點.解:(1)如圖乙以OA所在的直線為y軸，過O點垂直于OA的直線為x,點O為原點建立坐標系，設最高點為B,拋物線狀水流在水面上的點為點C,則依題意，O(0,0),A(0,1.25),頂點B(1,2.25),C(x,0).設拋物線為Ya(x1)22.25(a0,2把A點坐標代入得:1.25=A01225,A1水流所經(jīng)歷的路線解22析式為YX1225(X>0)則C點坐標為:0=X1225,Xi25X205舍去C(2.5,0)為水池邊