第5章 隨機(jī)變量及分布函數(shù)1

1、第一節(jié)第一節(jié) 隨機(jī)變量的概念隨機(jī)變量的概念n基本思想基本思想將樣本空間數(shù)量化將樣本空間數(shù)量化, ,即用數(shù)值來表示試驗的結(jié)果即用數(shù)值來表示試驗的結(jié)果n 有些隨機(jī)試驗的結(jié)果可直接用數(shù)值來表示有些隨機(jī)試驗的結(jié)果可直接用數(shù)值來表示. .例如例如: 在擲骰子試驗中在擲骰子試驗中,結(jié)果可用結(jié)果可用1,2,3,4,5,6來表示來表示 例如例如: 擲硬幣試驗擲硬幣試驗,其結(jié)果是用漢字其結(jié)果是用漢字“正面正面”和和“反面反面”來表來表示的示的可規(guī)定可規(guī)定: 用用 1表示表示 “正面朝上正面朝上” 用用 0 表示表示“反面朝上反面朝上”n 有些隨機(jī)試驗的結(jié)果不是用數(shù)量來表示，有些隨機(jī)試驗的結(jié)果不是用數(shù)量來表示，

2、但可數(shù)量化但可數(shù)量化 在前面的學(xué)習(xí)中在前面的學(xué)習(xí)中, ,我們用字母我們用字母A A、B B、C.C.表表示事件，并視之為樣本空間示事件，并視之為樣本空間的子集；針對等的子集；針對等可能概型，主要研究了用排列組合手段計算事可能概型，主要研究了用排列組合手段計算事件的概率。件的概率。 本章，將用隨機(jī)變量表示隨機(jī)事件，以便本章，將用隨機(jī)變量表示隨機(jī)事件，以便采用高等數(shù)學(xué)的方法描述、研究隨機(jī)現(xiàn)象。采用高等數(shù)學(xué)的方法描述、研究隨機(jī)現(xiàn)象。隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布Random Variable and Distribution隨機(jī)變量隨機(jī)變量n基本思想基本思想將樣本空間數(shù)量化將樣本空間數(shù)量化, ,即

3、用數(shù)值來表示試驗的結(jié)果即用數(shù)值來表示試驗的結(jié)果n 有些隨機(jī)試驗的結(jié)果可直接用數(shù)值來表示有些隨機(jī)試驗的結(jié)果可直接用數(shù)值來表示. .例如例如: 在擲骰子試驗中在擲骰子試驗中,結(jié)果可用結(jié)果可用1,2,3,4,5,6來表示來表示 例如例如: 擲硬幣試驗擲硬幣試驗,其結(jié)果是用漢字其結(jié)果是用漢字“正面正面”和和“反面反面”來表來表示的示的可規(guī)定可規(guī)定: 用用 1表示表示 “正面朝上正面朝上” 用用 0 表示表示“反面朝上反面朝上”Random Variablen 有些隨機(jī)試驗的結(jié)果不是用數(shù)量來表示，有些隨機(jī)試驗的結(jié)果不是用數(shù)量來表示， 但可數(shù)量化但可數(shù)量化 設(shè)箱中有設(shè)箱中有1010個球，其中有個球，其中有

4、2 2個紅球，個紅球，8 8個白個白 球；從中任意抽取球；從中任意抽取2 2個個, ,觀察抽球結(jié)果。觀察抽球結(jié)果。 特點特點：試驗結(jié)果數(shù)量化了，試驗結(jié)果與數(shù)建立了試驗結(jié)果數(shù)量化了，試驗結(jié)果與數(shù)建立了 對應(yīng)關(guān)系對應(yīng)關(guān)系X X表示取得的紅球數(shù)表示取得的紅球數(shù)可記為可記為 XX=2=2 記為記為記為記為 試驗結(jié)果的數(shù)量化試驗結(jié)果的數(shù)量化隨機(jī)變量的定義隨機(jī)變量的定義 1) 它是一個變量它是一個變量 2) 它的取值隨試驗結(jié)果而改變它的取值隨試驗結(jié)果而改變 3）隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值，表示一個）隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值，表示一個 隨機(jī)事件隨機(jī)事件n 隨機(jī)變量隨機(jī)變量n 隨機(jī)變量的兩個特征隨機(jī)變量的兩個特

5、征: :設(shè)隨機(jī)試驗的樣本空間為設(shè)隨機(jī)試驗的樣本空間為 S S，如果對于每一，如果對于每一個樣本點個樣本點 ，均有唯一的實數(shù)，均有唯一的實數(shù) 與與之對應(yīng)，稱之對應(yīng)，稱 為樣本空間為樣本空間上的隨機(jī)變量。上的隨機(jī)變量。Se Se )( 某個燈泡的使用壽命某個燈泡的使用壽命 。 某電話總機(jī)在一分鐘內(nèi)收到的呼叫次數(shù)某電話總機(jī)在一分鐘內(nèi)收到的呼叫次數(shù)Y.Y. 在在00，11區(qū)間上隨機(jī)取點，該點的坐標(biāo)區(qū)間上隨機(jī)取點，該點的坐標(biāo)X.X. 的可能取值為的可能取值為 0,+0,+ ) )Y Y 的可能取值為的可能取值為 0 0，1 1，2 2，3 3，.,.,X X 的可能取值為的可能取值為 00，11上的全體

6、實數(shù)。上的全體實數(shù)。隨機(jī)變量的實例隨機(jī)變量的實例 用隨機(jī)變量表示事件用隨機(jī)變量表示事件n 若若 是隨機(jī)試驗是隨機(jī)試驗E E的一個隨機(jī)變量，的一個隨機(jī)變量，S SRR，那么那么 XS S可表示可表示E E中的事件中的事件 如在擲骰子試驗中，用如在擲骰子試驗中，用 表示出現(xiàn)的點數(shù)表示出現(xiàn)的點數(shù), ,則則 “ “出現(xiàn)偶數(shù)點出現(xiàn)偶數(shù)點”可表示為：可表示為： “出現(xiàn)的點數(shù)小于出現(xiàn)的點數(shù)小于”可表示為：可表示為：n E中的事件通常都可以用中的事件通常都可以用X的不同取值來表示的不同取值來表示. 642 4 隨機(jī)變量的類型隨機(jī)變量的類型n 離散型離散型n 非離散型非離散型隨機(jī)變量的所有取值是有限個或可列個隨

7、機(jī)變量的所有取值是有限個或可列個隨即變量的取值有無窮多個，且不可列隨即變量的取值有無窮多個，且不可列其中連續(xù)型隨機(jī)變量是一種重要類型其中連續(xù)型隨機(jī)變量是一種重要類型離散隨機(jī)變量的概率分布離散隨機(jī)變量的概率分布 稱此式為稱此式為 的的分布律（列）分布律（列）或或概率分布概率分布（Probability distribution) 設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量 的所有可能取值是的所有可能取值是 ，而，而取值取值 的概率為的概率為12,nx xxkxkp即即 ), 2 , 1(, )( kxPpkk 離散隨機(jī)變量的概率分布的性質(zhì)離散隨機(jī)變量的概率分布的性質(zhì)1(ii), 2 , 1(,0)(i)1

8、 kkkkpkxPp 例例 設(shè)設(shè)X的分布律為的分布律為求求 P(0X2)P(0X2)=P(X=1) + P(X=2) =1/2+1/6=2/3分布律確定概率分布律確定概率解解 =P(抽得的兩件全為次品抽得的兩件全為次品)求分布律舉例求分布律舉例 例例1 1 設(shè)有一批產(chǎn)品設(shè)有一批產(chǎn)品2020件，其中有件，其中有3 3件次品，從中件次品，從中任意抽取任意抽取2 2件，如果用件，如果用X X表示取得的次品數(shù)，求隨機(jī)變表示取得的次品數(shù)，求隨機(jī)變量量X X的分布律及事件的分布律及事件“至少抽得一件次品至少抽得一件次品”的概率。的概率。解解X的可能取值為的可能取值為 0，1，2=P(抽得的兩件全為正品抽得

9、的兩件全為正品)190136220217 CCPX=1PX=21131722051190C CC 232203190CC =P(只有一件為次品只有一件為次品)PX=0故故 X X的分布律為的分布律為kp190136190511903而而“至少抽得一件次品至少抽得一件次品”=X1X1 = = X=1X=1 X=2X=2P P X1X1 = P= P X=1X=1 +P+P X=2X=2 注意：注意： X=1X=1 與與 X=2X=2 是互不相容的是互不相容的！952719054190319051 實際上，這仍是實際上，這仍是古典古典概型的計算題，只是表達(dá)事概型的計算題，只是表達(dá)事件的方式變了件的

10、方式變了故故 從一批次品率為從一批次品率為p p的產(chǎn)品中，有放回抽樣直到抽的產(chǎn)品中，有放回抽樣直到抽到次品為止。求抽到次品時，已抽取的次數(shù)到次品為止。求抽到次品時，已抽取的次數(shù)X X的分布的分布律。律。 解解 記記A Ai i= =“第第i i次次取到正品取到正品”,i=1,2,3,i=1,2,3, 則則 A Ai i , , i=1,2,3,i=1,2,3, 是相互獨立的！是相互獨立的！ 且且X X的的所有所有可能取值為可能取值為 )(121kkAAAAP( ( X=k )X=k )對應(yīng)著事件對應(yīng)著事件 kkAAAA121例例設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為的分布律為2( ) ,1,2,3,

11、3kP Xkbk試確定常數(shù)試確定常數(shù)b.解解由分布律的性質(zhì)由分布律的性質(zhì),有有11223()()2313kkkbP Xkb例例232113bb1.2b 幾種常見的離散型分布幾種常見的離散型分布 1p p P 0 1 X 則稱則稱X服從服從參數(shù)為參數(shù)為p 的二點分布或的二點分布或(0-1)分布分布,背景背景樣本空間只有兩個樣本點的情況樣本空間只有兩個樣本點的情況 都可以用兩點分布來都可以用兩點分布來 描述。描述。如：上拋一枚硬幣。如：上拋一枚硬幣。 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X X的分布律為的分布律為:例例設(shè)一個袋中裝有設(shè)一個袋中裝有3 3個紅球和個紅球和7 7個白球，現(xiàn)在從中個白球，現(xiàn)在從中隨機(jī)抽取

12、一球，如果每個球抽取的機(jī)會相等，隨機(jī)抽取一球，如果每個球抽取的機(jī)會相等，并且用數(shù)并且用數(shù)“1”1”代表取得紅球，代表取得紅球，“0”0”代表取得代表取得白球，則隨機(jī)抽取一球所得的值是一個離散型白球，則隨機(jī)抽取一球所得的值是一個離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量10X（取得紅球）（取得白球）其概率分布為其概率分布為3(1)10P X 7(0)10P X 即即X X服從兩點分布。服從兩點分布。(1)0,1, 2., ;kknknP XknkCpp 其中其中0 p 0, 則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的的泊松分布泊松分布XP( )n 定義定義n 服務(wù)臺在某時間段內(nèi)接待的服務(wù)次數(shù)服務(wù)臺在某時間段內(nèi)接待的服務(wù)次數(shù)

13、X X；n 交換臺在某時間段內(nèi)接到呼叫的次數(shù)交換臺在某時間段內(nèi)接到呼叫的次數(shù)Y;Y;n 礦井在某段時間發(fā)生事故的次數(shù)礦井在某段時間發(fā)生事故的次數(shù); ;n 顯微鏡下相同大小的方格內(nèi)微生物的數(shù)目；顯微鏡下相同大小的方格內(nèi)微生物的數(shù)目；n 單位體積空氣中含有某種微粒的數(shù)目單位體積空氣中含有某種微粒的數(shù)目 體積相對小的物質(zhì)在較大的空間內(nèi)的稀疏分布，都可以看作泊松分布,其參數(shù) 可以由觀測值的平均值求出。n 實際問題中若干實際問題中若干R.v.XR.v.X是服從或近似服從是服從或近似服從 PoissonPoisson分布的分布的 已知某電話交換臺每分鐘接到的呼喚次數(shù)已知某電話交換臺每分鐘接到的呼喚次數(shù)X

14、X服從服從4 的泊松分布，分別的泊松分布，分別 求（求（1 1）每分鐘內(nèi)恰好接到）每分鐘內(nèi)恰好接到3 3次呼喚的概率；（次呼喚的概率；（2 2）每分鐘不超過）每分鐘不超過4 4次的概率次的概率(4)(0)(1)(2)(3)(4)P XP XP XP XP XP X4,3k()!kP Xkek344(3)3!P Xe例例解解0.195630.628838二項分布的泊松近似二項分布的泊松近似設(shè)在貝努利模型中，設(shè)在貝努利模型中， 表示事件表示事件A在在n次試驗中出次試驗中出現(xiàn)的次數(shù)，現(xiàn)的次數(shù)， 為為A出現(xiàn)的概率，如果滿足出現(xiàn)的概率，如果滿足n np0lim nnnp ekppCkPkknknknkn

15、nnn!)1(lim)(lim則則實際應(yīng)用中實際應(yīng)用中當(dāng)當(dāng)n n較大較大,p,p較小，較小，npnp適中時，即適中時，即可用泊松公式近似替換二項概率公式可用泊松公式近似替換二項概率公式ekppCkknkkn!)1 (二項分布的泊松近似二項分布的泊松近似np若某人做某事的成功率為若某人做某事的成功率為1%，他重復(fù)努力，他重復(fù)努力400次，次，則至少成功一次的概率為則至少成功一次的概率為400110 =1 0.990.9820P XP X 成功次數(shù)服從二項概率成功次數(shù)服從二項概率 (400,0.01)B有百分之一的希望，就要做百分之百的努力有百分之一的希望，就要做百分之百的努力 ( )baP ax

16、bf x dx第三節(jié)第三節(jié) 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)n 定義定義 設(shè)設(shè) 為一隨機(jī)變量，若存在非負(fù)實函為一隨機(jī)變量，若存在非負(fù)實函數(shù)數(shù) f (x) , 使對任意實數(shù)使對任意實數(shù) a b ，有，有 則稱則稱 為連續(xù)型隨機(jī)變量，為連續(xù)型隨機(jī)變量， f (x) 稱為稱為 的的概率密度函數(shù)概率密度函數(shù),簡稱簡稱概率密度概率密度. 連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)在實數(shù)域內(nèi)處處連續(xù)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)在實數(shù)域內(nèi)處處連續(xù)P(X=a)=0P(a X b)= P(aX b)=P(a X b)=P(aXb)( )baf x dx X X取值在某區(qū)間的概率等于密度函數(shù)在此

17、區(qū)間取值在某區(qū)間的概率等于密度函數(shù)在此區(qū)間上的定積分上的定積分第三節(jié)第三節(jié) 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布因此，連續(xù)型隨機(jī)變量取任意指定實數(shù)值因此，連續(xù)型隨機(jī)變量取任意指定實數(shù)值a的概率為的概率為02112( )xxP xXxf x dx1x2xn 密度函數(shù)在區(qū)間上的積分密度函數(shù)在區(qū)間上的積分 = = 隨機(jī)變量在區(qū)間上取值的概率隨機(jī)變量在區(qū)間上取值的概率概率密度函數(shù)的性質(zhì)概率密度函數(shù)的性質(zhì)( )0,(,)f xx n 非負(fù)性非負(fù)性( )1f x dxn 規(guī)范性規(guī)范性( )f x1Px cos( )20Xaxxf x隨機(jī)變量的概率密度為其它(0)4PX求解解 Step1: 利用

18、密度函數(shù)的性質(zhì)求出利用密度函數(shù)的性質(zhì)求出 a( )1f x dx22( )cos1f x dxaxdx12a 4012(0)cos424PXxdx例：已知密度函數(shù)求概率例：已知密度函數(shù)求概率 Step2: 密度函數(shù)在區(qū)間的積分得到此區(qū)間的概率密度函數(shù)在區(qū)間的積分得到此區(qū)間的概率幾個常見的連續(xù)型分布幾個常見的連續(xù)型分布 1.均勻分布均勻分布若連續(xù)型隨機(jī)變量若連續(xù)型隨機(jī)變量 的概率密度為的概率密度為1()0axbfxba其 它則稱則稱X在區(qū)間在區(qū)間 （a，b）上服從均勻分布記為）上服從均勻分布記為 X U (a, b)n 定義定義 0 a bxX“等可能等可能”地取區(qū)間（地取區(qū)間（a,b）中的值，

19、這里的）中的值，這里的“等可等可能能”理解為：理解為：X落在區(qū)間（落在區(qū)間（a,b)中任意等長度的子區(qū)中任意等長度的子區(qū)間內(nèi)的可能性是相同的?；蛘哒f間內(nèi)的可能性是相同的?；蛘哒f它落在子區(qū)間內(nèi)的概它落在子區(qū)間內(nèi)的概率只依賴于子區(qū)間的長度而與子區(qū)間的位置無關(guān)率只依賴于子區(qū)間的長度而與子區(qū)間的位置無關(guān)。 0 a bx（） c d ( )1dcdcP cXdf x dxdcdxbaban 意義意義2.2.指數(shù)分布指數(shù)分布若連續(xù)型隨機(jī)變量若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為的概率密度為0( )(000 xexf xx為常數(shù)）n 定義定義則稱則稱X X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的指數(shù)分布的指數(shù)分布. .例例設(shè)設(shè)X

20、X服從參數(shù)為服從參數(shù)為3 3的指數(shù)分布，求它的密度函數(shù)的指數(shù)分布，求它的密度函數(shù) 及及2360( 12)31xPXedxe 和和(1)P X 330( )00 xexf xx解解X X的概率密度的概率密度3311(1)( )3xP Xf x dxedxe( 12)PX 2112()( )xxP xXxf x dx第四節(jié)第四節(jié) 隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量的分布函數(shù) 設(shè)設(shè)X X為一隨機(jī)變量為一隨機(jī)變量, ,則對任意實數(shù)則對任意實數(shù)x x，(Xx)(Xx)是一個隨機(jī)事件，稱是一個隨機(jī)事件，稱為為分布函數(shù)分布函數(shù)定義域定義域為為（，）；）；值域值域為為 ，。，。F(x)F(x)是一個是一個普通的函數(shù)普

21、通的函數(shù)！n 對任意隨機(jī)變量都有：對任意隨機(jī)變量都有：P（aXb）=P(Xb) P(Xa)n 分布函數(shù)的定義分布函數(shù)的定義( )()F xP Xx分布函數(shù)的計算o 離散型o 連續(xù)型一般，若 X 是連續(xù)型隨機(jī)變量，則分布函數(shù) 連續(xù)，且概率密度函數(shù)( )()iixxF xP XxP ( )()( )xF xP Xxf x dx( )( )f xF x( )F x概率密度函數(shù)和分布函數(shù)的關(guān)系概率密度函數(shù)和分布函數(shù)的關(guān)系n 積分關(guān)系積分關(guān)系n 導(dǎo)數(shù)關(guān)系導(dǎo)數(shù)關(guān)系( )( )xF xf x dx( )F xP Xx( )xf x dx( )( )( )f xxF xf x若在 處連續(xù)，則例例1 1（離散型

22、）：已知（離散型）：已知 X X 的分布律為的分布律為XP10121111231212求求X X的分布函數(shù)，的分布函數(shù)，并畫出它的圖形。并畫出它的圖形。0 (1)1 2 ( 10)( )5 6 (01)1112 (12)1 (2)xxF xP Xxxxx 1(1, 5 )()40其 它fx 解解 當(dāng)當(dāng) x 1 時時1( )( )00 xF xf x dxdx01 2 3 4 5yxx當(dāng)當(dāng)1 5 時時151551( )( )( )( )( )1100(5 1)144xxF xf x dxf x dxf x dxf x dxdx所以所以011( )(1) 15415xF xxxx0 1 51,0,

23、0;0,1)(3xxexFx例，已知分布函數(shù)，求密度函數(shù)求當(dāng) 時的密度函數(shù)0 x33( )( )(1)3xxf xF xee 分布函數(shù)表示事件的概率分布函數(shù)表示事件的概率n P（Xb）=F(b)n P（aXb）=F(b) F(a)n P（Xb）=1 P（Xb）=1 - F(b)P P（a aX Xb b）=P(X =P(X b)-P(Xa)= F(b)- F(a) b)-P(Xa)= F(b)- F(a)分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)的性質(zhì)n F(x)是單調(diào)不減函數(shù)是單調(diào)不減函數(shù)n 0 F(x) 1, 0 F(x) 1, 且且 ()lim( )0,()lim( ) 1xxFF xFF x 12xx若1

24、2()()F xF xn F(x)處處左連續(xù)處處左連續(xù)(0)( )F xF x分布函數(shù)分布函數(shù) F(x)F(x)的的圖形圖形nF(x)是單調(diào)不減函數(shù)是單調(diào)不減函數(shù)21( )1F xx是不是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)？是不是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)？不是不是 因為因為 lim( )0 xF x函數(shù)函數(shù) 21 (0)( )1 1 (0)xG xxx可作為分布函數(shù)可作為分布函數(shù)第五節(jié)第五節(jié) 正態(tài)分布正態(tài)分布 Normal Distribution2( ,)XN 22()21( ),( 0)2xf xe 為常數(shù) 則稱則稱X X服從參數(shù)為服從參數(shù)為2, 正態(tài)分布， 記為n 若連續(xù)型隨機(jī)變量若連續(xù)型隨機(jī)變量X X的概率密度為的概率密度為);21,(21 e 正態(tài)分布的密度函數(shù)的性質(zhì)與圖形正態(tài)分布的密度函數(shù)的性質(zhì)與圖形關(guān)于關(guān)于 x = x = 對稱對稱（- - ， ）升，（）升，（ ，+ + ）降）降12f最大（ ）n 單調(diào)性單調(diào)性n 對稱性對稱性n 拐點拐點中間高中間高兩邊低兩邊低y-+21x2，對密度曲線的影響對密度曲線的影響 12122