多元正態(tài)分布的參數(shù)估計與檢驗學習教案

1、會計學1多元多元(du yun)正態(tài)分布的參數(shù)估計與檢驗正態(tài)分布的參數(shù)估計與檢驗第一頁，共20頁。如果 維隨機向量(xingling) (隨機變量)pTpXXXX),(21 定義(dngy)(聯(lián)合)概率密度函數(shù)為 )()(21exp|)2(1),(121221 XVXVxxxfTpp則稱隨機向量 為 維正態(tài)隨機向量， Xp其中 稱為均值向量，為協(xié)方差矩陣(協(xié)差陣)，且V. 0 V對于一般情形, 0 V仍可定義多維正記為 。),(VNXp 態(tài)隨機向量，當 時，0 V第1頁/共19頁第二頁，共20頁。若令多元(du yun)正態(tài)分布的性質：（1）維正態(tài)分布由其均值(jn zh)向量和協(xié)方差陣唯一確

2、定(qudng)。p（2）對于任一 維向量 及 階非負定矩陣 ，（3）設 ， 是 常數(shù)矩陣，),(VNXp Apm b是 維向量，m).,(TpAVAbANY , bAXY 則p pV必存在 維正態(tài)隨機向量 。p),(VNXp 有前面的密度表示，而當 時，X0| V的分X布是退化的正態(tài)分布。第2頁/共19頁第三頁，共20頁。（4）為 維正態(tài)隨機(su j)向量的充要條件為對任Xp一 維向量(xingling) ，c 是一維正態(tài)隨機變量(su j bin lin)。XcT（5）設 為多維正態(tài)隨機向量，TTTXXX),(21 則 與 互不相關的充要條件是 與1X2X 相互獨立。1X2X注：0),(

3、 YXCov 若 ，則稱 與 互不相關。XY（6）設 ，),(VNXp 則 的充要條mV )(rank件是存在 矩陣 使得pm B)(VBBT BYX其中 。), 0(mmINYp第3頁/共19頁第四頁，共20頁。證明(zhngmng)充分性由性質(xngzh)3立得。下證必要性。由于(yuy) 是秩 為的非負定陣，則必存在正Vm交矩陣 使得U 000000000000001mTVUU 其中 。mii, 1, 0 第4頁/共19頁第五頁，共20頁。令,00000021 m 則有.00000002121DIIVUUImmpTmp 令)(0021 XUIWYZTmp第5頁/共19頁第六頁，共20頁

4、。則由性質(xngzh)3知 ，), 0(DNZp且 ,), 0(mmINY由上式可得.0002121YUZIUXmp 若記,021 UB它是 矩陣(j zhn)，即有mp BYX第6頁/共19頁第七頁，共20頁。（7）若 ,),(VNXp 且 ，0| V則).()()(21pXVXT 證明(zhngmng)由 可知(k zh) 是正定矩陣，0| VV所以(suy)21 V存在且為對稱矩陣，這樣)()(2121 XVVXT)()(2121 XVXVT令),(21 XVY則)., 0(ppINY,YYT 且第7頁/共19頁第八頁，共20頁。由性質(xngzh)3知 的每個分量 服從標準正態(tài)分布，

5、YiY且相互(xingh)獨立，故 分布(fnb)的定義知).(2pYYT 2 第8頁/共19頁第九頁，共20頁。在此給出多元(du yun)正態(tài)分布的參數(shù) 和 的估 V計。為簡單(jindn)計，僅考慮 的情形。0 V設 是來自多元正態(tài)總)(,21pnXXXn 體 的簡單樣本，),(VNp 令 nkkXnX11 nkTkkXXXXS1)(樣本均值向量樣本離差陣第9頁/共19頁第十頁，共20頁。定理(dngl)則 是設 是來自(li z)多元正)(,21pnXXXn 態(tài)總體(zngt) 的簡單樣本，),(VNp 且 ，0 VX 的極大似然估計，Sn1是 的極大似然估計。V定理則 是設 是來自多

6、元正)(,21pnXXXn 態(tài)總體 的簡單樣本，),(VNp 且 ，0 VX 的一致最小方差無偏估計，Sn11 是 的一致V最小方差無偏估計。第10頁/共19頁第十一頁，共20頁。（一）協(xié)差陣 已知時，均值(jn zh) 的檢驗V 設 是來自(li z)多元正態(tài)總)(,21pnXXXn 體 的簡單樣本，),(VNp 其中 已知。V考慮假設檢驗問題0100 ：，：HH令),()(010 XVXnDT則可以證明當成立時，即 時，0H0 )(2pD 第11頁/共19頁第十二頁，共20頁。而當 不成立(chngl)時，0H有偏大的趨勢(qsh)。D因此(ync)，對給定的顯著性水平 ， 當)()()(

7、21010pXVXnDT 時拒絕 ，0H否則接受 ，即拒絕域為0H )(:21pDDW 第12頁/共19頁第十三頁，共20頁。（二）協(xié)差陣 未知時，均值(jn zh) 的檢驗V 設 是來自(li z)多元正態(tài)總)(,21pnXXXn 體 的簡單(jindn)樣本，),(VNp 其中 未知。V考慮假設檢驗問題0100 ：，：HH令),()(010 XSXpnpnFT則可以證成立時，即 時，0H0 ),(pnpFF 明當?shù)?3頁/共19頁第十四頁，共20頁。而當 不成立(chngl)時，0H有偏大的趨勢(qsh)。F因此(ync)，對給定的顯著性水平 ， 當時拒絕 ，0H否則接受 ，即拒絕域為0H

8、 ),(:1pnpFFFW ),()()(1010pnpFXSXpnpnFT 第14頁/共19頁第十五頁，共20頁。（三）兩個正態(tài)總體(zngt)均值相等的檢驗設 是來自(li z)多元正態(tài)總)(,1211pnXXXn 體 的簡單(jindn)樣本，),(1VNp 考慮假設檢驗問題211210 ：，：HH)(,2212pnYYYn 是來自多元正態(tài)總 的簡單樣本，),(2VNp 且兩個樣本相互獨立，協(xié)方差陣 。0 V根據(jù)協(xié)方差陣 已知和未知分兩種情形：V第15頁/共19頁第十六頁，共20頁。（1）V已知檢驗(jinyn)統(tǒng)計量)()(12121YXVYXnnnnDT 可以證明(zhngmng)當

9、 成立時，即 時，0H21 )()()(212121pYXVYXnnnnDT 而當 不成立(chngl)時，0H有偏大的趨勢。 D因此，對給定的顯著性水平 ， 當?shù)?6頁/共19頁第十七頁，共20頁。時拒絕(jju) ，0H否則(fuz)接受 ，即拒絕域為0H )(:21pDDW )()()(2112121pYXVYXnnnnDT （2）V未知檢驗(jinyn)統(tǒng)計量)()() 2)() 1(121212121YXVYXnnnnppnnnnFT 第17頁/共19頁第十八頁，共20頁?？梢?ky)證明當 成立時，即 時，0H21 其中(qzhng) 是協(xié)方差陣 的估)(212121SSnnV 計量(jling)。V)1,(21 pnnpFF而當 不成立時，0H有偏大的趨勢。 F因此，對給定的顯著性水平 ， 拒絕域為 )1,(:211 pnnpFFFW 第18頁/共19頁第十九頁，共20頁。NoImage內(nèi)容(nirng)總結會計學。如果 維隨機向量 (隨機變量)