空間向量及其加減與數(shù)乘運(yùn)算用學(xué)習(xí)教案

1、空間向量空間向量(xingling)及其加減與數(shù)乘運(yùn)算及其加減與數(shù)乘運(yùn)算用用第一頁(yè)，共32頁(yè)。aABABaaABaAB平面平面(pngmin)向量向量空間空間(kngjin)向量向量具有具有(jyu)大小和方向大小和方向的量的量具有大小和方向的量具有大小和方向的量 幾何表示法幾何表示法幾何表示法幾何表示法字母表示法字母表示法 字母表示法字母表示法 向量的大小向量的大小 向量的大小向量的大小 長(zhǎng)度為零的向量長(zhǎng)度為零的向量 長(zhǎng)度為零的向量長(zhǎng)度為零的向量模為模為1的向量的向量模為模為1的向量的向量長(zhǎng)度相等且方向長(zhǎng)度相等且方向相反的向量相反的向量長(zhǎng)度相等且方向長(zhǎng)度相等且方向相反的向量相反的向量長(zhǎng)度相等

2、且方向相同長(zhǎng)度相等且方向相同 的向量的向量長(zhǎng)度相等且方向相同的長(zhǎng)度相等且方向相同的向量向量定義定義表示法表示法向量的模向量的模零向量零向量單位向量單位向量相反向量相反向量相等向量相等向量一：空間向量的基本概念一：空間向量的基本概念第1頁(yè)/共32頁(yè)第二頁(yè)，共32頁(yè)。ababOABb結(jié)論：空間任意兩個(gè)向量結(jié)論：空間任意兩個(gè)向量(xingling)都可以平移到同一個(gè)平面內(nèi)，都可以平移到同一個(gè)平面內(nèi)，內(nèi)，成為同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量?jī)?nèi)，成為同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量(xingling)。思考：空間任意兩個(gè)思考：空間任意兩個(gè)(lin )(lin )向量向量是否都可以平移到同一平面內(nèi)？為什是否都可以平移到同一平面內(nèi)

3、？為什么？么？O第2頁(yè)/共32頁(yè)第三頁(yè)，共32頁(yè)。說(shuō)明(shumng)空間向量的運(yùn)算空間向量的運(yùn)算(yn sun)就是平面向量就是平面向量運(yùn)算運(yùn)算(yn sun)的推廣的推廣2.凡是凡是(fnsh)只涉及空間任意兩個(gè)向量的問(wèn)題，平只涉及空間任意兩個(gè)向量的問(wèn)題，平面向量中有關(guān)結(jié)論仍適用于它們。面向量中有關(guān)結(jié)論仍適用于它們。第3頁(yè)/共32頁(yè)第四頁(yè)，共32頁(yè)。abba 加法交換律加法交換律加法(jif):三角形法則或平行四邊形法則減法(jinf):三角形法則加法加法(jif)結(jié)合律結(jié)合律()()abcabc 第4頁(yè)/共32頁(yè)第五頁(yè)，共32頁(yè)。例如例如(lr(lr):):a3a3a三、空間(kngji

4、n)向量的數(shù)乘運(yùn)算第5頁(yè)/共32頁(yè)第六頁(yè)，共32頁(yè)。加法加法(jif)交交換律：換律：a + b = b + a；加法加法(jif)結(jié)結(jié)合律：合律：(a + b) + c =a + (b + c)；abca + b + c abca + b + c a + b b + c 第6頁(yè)/共32頁(yè)第七頁(yè)，共32頁(yè)。（3）.空間向量空間向量(xingling)的數(shù)乘運(yùn)算滿足分配律的數(shù)乘運(yùn)算滿足分配律及結(jié)合律及結(jié)合律()( )()ababaaaaa 即： （）第7頁(yè)/共32頁(yè)第八頁(yè)，共32頁(yè)。五、共線五、共線(n xin)(n xin)向向量量: :零向量與任意零向量與任意(rny)(rny)向量共線向量

5、共線. .1.1.空間共線向量空間共線向量: :如果表示空間向量的如果表示空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合有向線段所在直線互相平行或重合, ,則這些則這些向量叫做共線向量向量叫做共線向量( (或平行向量或平行向量),),記作記作ba/2.2.空間共線向量定理空間共線向量定理: :對(duì)空間任意兩個(gè)對(duì)空間任意兩個(gè)向量向量 的充要條件是存在實(shí)的充要條件是存在實(shí)數(shù)使數(shù)使baobba/),(,ba由此可判斷空間中兩直線平行或三點(diǎn)由此可判斷空間中兩直線平行或三點(diǎn)(sn din)共共線問(wèn)題線問(wèn)題第8頁(yè)/共32頁(yè)第九頁(yè)，共32頁(yè)。中點(diǎn)公式中點(diǎn)公式(gngsh)： 若若P P為為ABAB中點(diǎn)中點(diǎn), , 則

6、則12 OPOAOBOABP3.A、B、P三點(diǎn)三點(diǎn)(sn din)共線的充共線的充要條件要條件A、B、P三點(diǎn)三點(diǎn)(sn din)共線共線APt AB A(1)OP xOyOB x y 第9頁(yè)/共32頁(yè)第十頁(yè)，共32頁(yè)。六、共面向六、共面向(min xin)(min xin)量量: :1.1.共面向量共面向量: :平行于同一平面平行于同一平面(pngmin)(pngmin)的向量的向量, ,叫做共面向量叫做共面向量. .NoImage注意注意(zh y)：空間任意兩個(gè)向量是共面的，：空間任意兩個(gè)向量是共面的，但空間任意三個(gè)向量但空間任意三個(gè)向量既可能共面，也可能不共面既可能共面，也可能不共面db

7、ac第10頁(yè)/共32頁(yè)第十一頁(yè)，共32頁(yè)。由平面由平面(pngmin)向量基本定理知，如果向量基本定理知，如果 ， 是平面是平面(pngmin)內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，那么那么對(duì)于這一平面對(duì)于這一平面(pngmin)內(nèi)的任意向量?jī)?nèi)的任意向量 ，有且有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)只有一對(duì)實(shí)數(shù) ， 使使 如果空間向量如果空間向量(xingling) 與兩不共線向量與兩不共線向量(xingling) ， 共共面，那么可將三個(gè)向量面，那么可將三個(gè)向量(xingling)平移到同一平面平移到同一平面 ，則，則有有 byxpapb那么那么(n me)什么情況下三個(gè)向量共面呢？什么情況下三個(gè)向量共面呢

8、？2211eea1e2e12aa1e2e第11頁(yè)/共32頁(yè)第十二頁(yè)，共32頁(yè)。反過(guò)來(lái)，對(duì)空間反過(guò)來(lái)，對(duì)空間(kngjin)任意兩個(gè)不共線的向量任意兩個(gè)不共線的向量 ， ，如果如果 ，那么向量，那么向量 與向量與向量 , 有什么位有什么位置關(guān)系？置關(guān)系？abbyxpab共線，分別與 bbya, a x確定的平面內(nèi)，都在 bbya, ax確定的平面內(nèi)，并且此平行四邊形在 ba共面，與即確定的平面內(nèi)，在bbbyap,aaxpabABPp Cp共面共面第12頁(yè)/共32頁(yè)第十三頁(yè)，共32頁(yè)。2.共面向量定理：如果兩個(gè)不共線共面向量定理：如果兩個(gè)不共線(n xin)向量向量 ， ，pxayb abp ab

9、 那么那么(n me)(n me)向量向量 與向量與向量 ， 共面的充要條件是共面的充要條件是存在存在(cnzi)(cnzi)實(shí)數(shù)對(duì)實(shí)數(shù)對(duì)x,yx,y使使abABPp C第13頁(yè)/共32頁(yè)第十四頁(yè)，共32頁(yè)。OAabBCPp C3.空間空間(kngjin)四點(diǎn)四點(diǎn)P、A、B、C共面共面 存存在在唯唯一一實(shí)數(shù)對(duì)實(shí)數(shù)對(duì),（）使得xyAPxAByAC(1) 其中，OPxOAyOBzOCxyz第14頁(yè)/共32頁(yè)第十五頁(yè)，共32頁(yè)。例例1、給出以下命題：、給出以下命題：（1）兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)、終點(diǎn)相同；）兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)、終點(diǎn)相同；（2）若空間向量）若空間向量 滿足滿足 ，則

10、，則 ；（3）在正方體）在正方體 中，必有中，必有 ；（4）若空間向量）若空間向量 滿足滿足 ，則，則 ；（5）空間中任意兩個(gè)單位向量必相等。）空間中任意兩個(gè)單位向量必相等。其中不正確命題的個(gè)數(shù)是（其中不正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4a b 、ab| |ab1111ABCDABC D11ACACm n p 、 、,mn np mp C第15頁(yè)/共32頁(yè)第十六頁(yè)，共32頁(yè)。化簡(jiǎn)結(jié)果的向量：列向量表達(dá)式，并標(biāo)出，化簡(jiǎn)下已知平行六面體DCBAABCD ；BCAB ；AAADAB21CCADAB) (31AAADABABCDABCD例2第16頁(yè)/共32頁(yè)第十七頁(yè)，共32頁(yè)。ABC

11、DA B C D例2已知平行六面體，化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，并標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量：；BCAB 解：ABCDABCDBCAB AC；AAADABAAADABAAAC CCAC AC第17頁(yè)/共32頁(yè)第十八頁(yè)，共32頁(yè)。ABCDA B C D例2已知平行六面體，化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，并標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量：21CCADAB設(shè)M是線段(xindun)CC的中點(diǎn)，則解：21CCADABCMAC AMABCDABCDM第18頁(yè)/共32頁(yè)第十九頁(yè)，共32頁(yè)。) (31AAADAB設(shè)G是線段(xindun)AC靠近點(diǎn)A的 三等分點(diǎn)，則GABCDA B C D例2已知平行六面體，化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，并標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向

12、量：) (31AAADABABCDABCDM解：31ACAG第19頁(yè)/共32頁(yè)第二十頁(yè)，共32頁(yè)。例3：已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1， 求滿足(mnz)下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1111111 )3(2 )2(ACxADABACACxBDADACxCCDAAB1111 ) 1 (第20頁(yè)/共32頁(yè)第二十一頁(yè)，共32頁(yè)。例3：已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1， 求滿足(mnz)下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1CCDAAB1111 ) 1 (解. 1 1111xACCCCBABACxCCDAAB1111 ) 1 (第21頁(yè)/共32頁(yè)第二十二頁(yè)，共32頁(yè)。

13、例3：已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1， 求滿足(mnz)下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1112 )2(BDAD 111BDADAD)(111BDBCAD111CDAD 1AC1112 )2(ACxBDAD. 1x解：第22頁(yè)/共32頁(yè)第二十三頁(yè)，共32頁(yè)。例3：已知平行六面體 ABCD-A1B1C1D1， 求滿足(mnz)下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D111 ) 3 (ADABAC)()()(11ADAAABAAABAD)( 21AAABAD12AC. 2x111ACxADABAC解：第23頁(yè)/共32頁(yè)第二十四頁(yè)，共32頁(yè)。 1.下列命題中正確的有：下列命題中正確

14、的有：(1)pxaybpab 與與、 共共面面 ; ;(2) pabpxayb 與與、 共共面面；(3) MPxMAyMBPMAB 、 、 共共面面；(4) PMA BMPxMAyMB 、 、 、 共共面面；A.1個(gè)個(gè)B.2個(gè)個(gè)C.3個(gè)個(gè)D.4個(gè)個(gè)例例4:B不共線與ba不共線與ba第24頁(yè)/共32頁(yè)第二十五頁(yè)，共32頁(yè)。2.對(duì)于空間中的三個(gè)向量對(duì)于空間中的三個(gè)向量它們一定是：它們一定是：A.共面向量共面向量B.共線向量共線向量C.不共面向量不共面向量D.既不共線又不共面向量既不共線又不共面向量2MAMBMAMB 、A第25頁(yè)/共32頁(yè)第二十六頁(yè)，共32頁(yè)。3.已知點(diǎn)已知點(diǎn)M在平面在平面ABC內(nèi)

15、，并且對(duì)空間任內(nèi)，并且對(duì)空間任意一點(diǎn)意一點(diǎn)O， ,則則x的值為：的值為：OMxOAOBOC 111133331.1. 0.3.3ABCDD第26頁(yè)/共32頁(yè)第二十七頁(yè)，共32頁(yè)。4.已知已知A、B、C三點(diǎn)不共線，對(duì)平面外一點(diǎn)三點(diǎn)不共線，對(duì)平面外一點(diǎn)O，在下列條件下，點(diǎn)，在下列條件下，點(diǎn)P是否與是否與A、B、C共面？共面？212(1);555OPOAOBOC (2)22OPOAOBOC ；第27頁(yè)/共32頁(yè)第二十八頁(yè)，共32頁(yè)。例例5.如圖，已知平行四邊形如圖，已知平行四邊形ABCD，過(guò)平，過(guò)平面面AC外一點(diǎn)外一點(diǎn)O作射線作射線OA、OB、OC、OD，在，在四條射線上分別四條射線上分別(fnbi

16、)取點(diǎn)取點(diǎn)E、F、G、H，并，并且使且使求證：求證：四點(diǎn)四點(diǎn)E、F、G、H共面；共面；平面平面EG/平面平面AC.,OEOFOGOHkOAOBOCODOBAHGFECD第28頁(yè)/共32頁(yè)第二十九頁(yè)，共32頁(yè)。例例5 (課本例課本例)已知已知 ABCD ，從平面，從平面(pngmin)AC外一點(diǎn)外一點(diǎn)O引向量引向量 A,OEkOA OFkOB OGkOC OHkOD 求證求證(qizhng)：四點(diǎn)：四點(diǎn)E、F、G、H共面；共面；平面平面(pngmin)AC/平面平面(pngmin)EG.BCDOEFGH證明：證明：四邊形四邊形ABCD為為 ACABAD （）EGOGOE kOCkOA ()k O

17、COA kAC （）代入）代入()k ABAD ()k OBOAODOA OFOEOHOE 所以所以 E、F、G、H共面。共面。EFEH 第29頁(yè)/共32頁(yè)第三十頁(yè)，共32頁(yè)。例例5 已知已知 ABCD ，從平面，從平面AC外一點(diǎn)外一點(diǎn)O引向量引向量 ,OEkOA OFkOB OGkOC OHkOD 求證：四點(diǎn)求證：四點(diǎn)E、F、G、H共面；共面；平面平面AC/平面平面EG。證明證明(zhngmng)：由面面平行判定由面面平行判定(pndng)定理的推論定理的推論得：得：EFOFOE kOBkOA ()k OBOA kAB 由由知知EGkAC /EGAC/EFAB/EGAC面面面面ABCDOEFGH第30頁(yè)