復變函數與積分變換21學習教案

1、會計學1復變函數與積分復變函數與積分(jfn)變換變換21第一頁，共56頁。第1頁/共55頁第二頁，共56頁。第2頁/共55頁第三頁，共56頁。設設 z = x+iy, w = u+iv 其確定其確定(qudng)了自變量為了自變量為x和和y的兩個二元實變函數的兩個二元實變函數 u ,v .例如例如, 考察函數考察函數 w = z2.令令 z = x+iy, w = u+iv , 則則u+iv = (x+iy)2 = x2-y2+i2xy ,因而函數因而函數 w = z2 對應對應(duyng)于兩個二元函數于兩個二元函數:u = x2-y2, v = 2xy第3頁/共55頁第四頁，共56頁。

2、 在以后的討論中, E常常是一個平面區(qū)域(qy), 并且, 如無特別聲明, 所討論的函數均為單值函數.二、二、 映射映射(yngsh)的概念的概念 函數 w=f (z) 在幾何上可以看做是把 z平面上的一個點集E(定義(dngy)集合)變到 w平面上的一個點集G (函數值集合)的映射(或變換). 如果 E 中的點 z 被映射 w=f (z) 映射成 G中的點 w, 則 w 稱為 z 的象(映象), 而 z 稱為 w 的原象.xuEGZzwW=f(z)vyW第4頁/共55頁第五頁，共56頁。設函數設函數(hnsh)w = z =x iy ; u=x , v=-yxyOuvOABCz1z2ABCw

3、1w2第5頁/共55頁第六頁，共56頁。設函數設函數(hnsh) w = z2 = (x+iy)2 = x2-y2+i2xy , 有有 u = x2-y2, v = 2xyxyOuvOz1z2w2z3w3w1第6頁/共55頁第七頁，共56頁。則稱函數則稱函數(映射映射)w=f(z)是一一是一一的的. 此時此時, 我們也稱集合我們也稱集合E與集與集合合G是一一對應的是一一對應的.第7頁/共55頁第八頁，共56頁。2. 復變函數復變函數(hnsh)的極限的極限函數函數(hnsh)的極限定義的極限定義 設函數設函數(hnsh) w = f (z)定義在定義在 z0的去心鄰域的去心鄰域 0|z-z0|

4、0, 相應地必有一正數相應地必有一正數d (e) (0 d r), 使得當使得當 0 |z-z0|d 時有時有| f (z)-A |e ,則稱則稱A為為f (z)當當 z趨向于趨向于z0時的極限時的極限, 記作記作或記作當或記作當 zz0 時時 , f (z)A.第8頁/共55頁第九頁，共56頁。幾何幾何(j h)(j h)意意義義: : xyOz0dzOuvAef(z)第9頁/共55頁第十頁，共56頁。等價等價(dngji)(dngji)定定義：義： 設設 f (z) = u(x,y) + iv(x,y) , A = u0+iv0 , z0 = x0+iy0 , 則則運算運算(yn (yn

5、sun)sun)性質：性質： 第10頁/共55頁第十一頁，共56頁。當當 z0 時的極限時的極限(jxin)不存在不存在例例1 證明證明(zhngmng)函函數數證證 令令 z = x + i y, 則則由此得由此得讓讓 z 沿直線沿直線(zhxin) y = k x 趨于零趨于零, 我們有我們有故極限不存在故極限不存在. 第11頁/共55頁第十二頁，共56頁。3. 函數函數(hnsh)的連續(xù)性的連續(xù)性定義定義2.3 則說 f (z)在 z0 處連續(xù)(linx). 如果 f (z) 在區(qū)域D內處處連續(xù)(linx), 我們說 f (z) 在D內連續(xù)(linx).函數函數(hnsh) f (z)

6、= u(x, y) + iv(x, y)在在 z0 = x0 + iy0處連續(xù)的充要條件是處連續(xù)的充要條件是 u(x, y)和和 v(x, y)在在 (x0, y0)處連續(xù)處連續(xù).性質：性質： (1)(1)連續(xù)函數的四則運算仍然連續(xù)；連續(xù)函數的四則運算仍然連續(xù)； (2)(2)連續(xù)函數的復合函數仍然連續(xù)；連續(xù)函數的復合函數仍然連續(xù)； 第12頁/共55頁第十三頁，共56頁。有理分式函數有理分式函數其中其中P(z)和和Q(z)都是多項式都是多項式, 在復平在復平面分母面分母(fnm)不為零的點也是連續(xù)不為零的點也是連續(xù)的的.第13頁/共55頁第十四頁，共56頁。(4)有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域(qy)D上

7、的連續(xù)函數必有界上的連續(xù)函數必有界例題例題(lt)1 (lt)1 討論討論的連續(xù)性。的連續(xù)性。x002222第14頁/共55頁第十五頁，共56頁。第15頁/共55頁第十六頁，共56頁。第二章第二章 解析解析(ji x)函數函數2.2 解析函數解析函數(hnsh)的概念的概念1 1 復變函數復變函數(hnsh)(hnsh)的導數的導數 定義：定義：存在存在, 則就說則就說f (z)在在 z0可導可導, 此極限值就稱為此極限值就稱為f (z)在在 z0 的的導數，記作導數，記作應該注意：上述定義中應該注意：上述定義中 的方式是任意的。的方式是任意的。0z 第16頁/共55頁第十七頁，共56頁。如果

8、如果 f (z) 在區(qū)域在區(qū)域(qy)D內處處可導內處處可導, 就說就說 f (z) 在內可導在內可導.例例1 求求 f (z) = z2 的導數的導數(do sh)。解 因為(yn wi)所以f (z) = 2z .復變函數的導數具有與實函數同樣的復變函數的導數具有與實函數同樣的求導法則求導法則 。（即（即f (z) = z2 在復平面處處可導。）在復平面處處可導。）第17頁/共55頁第十八頁，共56頁。第18頁/共55頁第十九頁，共56頁。例例2 問問 f (z) = x +2yi 是否是否(sh fu)可導可導?解解 這里這里(zhl)所以所以(suy) f (z) = x + 2yi

9、的導數不存在的導數不存在.（即（即 f (z) = x + 2yi 在整個復平面處處不可導在整個復平面處處不可導.）第19頁/共55頁第二十頁，共56頁?？蓪Э蓪?連續(xù)。連續(xù)。第20頁/共55頁第二十一頁，共56頁。例例3 討論討論(toln)的可導性。的可導性。解：解：所以(suy)在復平面上除原點外處處在復平面上除原點外處處(chch)不不可導?？蓪А５?1頁/共55頁第二十二頁，共56頁。2. 解析函數解析函數(hnsh)的的概念概念函數在一點函數在一點(y din)解析解析在該點可導。在該點可導。反之不一定反之不一定(ydng)成立。成立。在區(qū)域內：在區(qū)域內：例如例如 f (z) =

10、z2 在整個復平面上解析；在整個復平面上解析；僅在原點可導，故在整個復平面上不解析；僅在原點可導，故在整個復平面上不解析；f (z) = x +2yi在整個復平面上不解析。在整個復平面上不解析。定義定義2.52.5否則稱為奇點否則稱為奇點 。第22頁/共55頁第二十三頁，共56頁。例例 討論討論(toln)函數函數 f (z)=1/z 的解析性的解析性.解：故 f (z)=1/z 除 z = 0外處處(chch)解析；z = 0 是它的一個(y )奇點。解析函數的性質：解析函數的性質：(1) 兩個解析函數的和、差、積、商仍為解析函數；兩個解析函數的和、差、積、商仍為解析函數；(2) 兩個解析函

11、數的復合函數仍為解析函數；兩個解析函數的復合函數仍為解析函數；(3) 一個解析函數不可能僅在一個點或一條曲線上解析；一個解析函數不可能僅在一個點或一條曲線上解析； 所所 有解析點的集合必為開集。有解析點的集合必為開集。第23頁/共55頁第二十四頁，共56頁。第24頁/共55頁第二十五頁，共56頁。問題問題(wnt)：對函數：對函數 f (z) = u(x,y) + iv(x,y)，如何如何(rh)判別其解析（可導）性？判別其解析（可導）性？換句話說：換句話說：第25頁/共55頁第二十六頁，共56頁。第26頁/共55頁第二十七頁，共56頁。例: 設二元函數(hnsh)f(x,y)=x2sin2y

12、, 則第27頁/共55頁第二十八頁，共56頁。iv)微分微分(wi fn)的概念的概念 設函數設函數w=f(z)在在z0可導可導, 則有則有 Dw=f(z0+Dz)-f(z0)=f (z0)Dz+r(Dz)Dz,因此因此, |r(Dz)Dz|是是|Dz|的高階無窮小量的高階無窮小量, 而而f (z0)Dz是函數是函數w=f(z)的改變量的改變量Dw的線性部分的線性部分, 稱為稱為(chn wi)函數函數w=f(z)在點在點z0的微分的微分, 記作記作 dw=f (z0)Dz (*)如果函數在如果函數在z0的微分存在的微分存在, 則稱函數則稱函數f(z)在在z0可微可微.第28頁/共55頁第二十

13、九頁，共56頁。 dw=f (z0)Dz(*) 特別(tbi), 當f(z)=z時, 由(*)得dz=Dz. 于是 dw=f (z)dz,即由此可見由此可見, 函數函數w=f(z)在在z0可導與在可導與在z0可微是等可微是等價價(dngji)的的.如果如果f(z)在區(qū)域在區(qū)域D內處處可微內處處可微, 則稱則稱f(z)在在D內可微內可微.第29頁/共55頁第三十頁，共56頁。2.3 函數(hnsh)可導與解析的充要條件第30頁/共55頁第三十一頁，共56頁。 在工程中在工程中, 往往是要用復變函數來解決實際問題往往是要用復變函數來解決實際問題. 而實而實際問題中遇到的復變函數際問題中遇到的復變函

14、數, 通常都是某個實變函數延拓而來通常都是某個實變函數延拓而來的的. 即即, 如果原來有一個實變函數如果原來有一個實變函數f(x), 自變量是實數自變量是實數, 函數值函數值也是實數也是實數, 則將則將x用一個復數代替用一個復數代替, 就產生了一個自變量和函就產生了一個自變量和函數值都是復數的復變函數數值都是復數的復變函數. 事實上我們只關心這樣的復變函數事實上我們只關心這樣的復變函數. 比如說：比如說：實變函數實變函數f(x)=x2-x+1, 則相應的延拓的復變函數就是則相應的延拓的復變函數就是f(z)=z2-z+1. 經常經常(jngchng)就是實變函數中的基本初等函數及組就是實變函數中

15、的基本初等函數及組合構成的初等函數延拓到復變函數合構成的初等函數延拓到復變函數.第31頁/共55頁第三十二頁，共56頁。 假設f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函數, 我們也可以將它看作(kn zu)是變量x,y的二元函數, 則對x求偏導和對y求偏導, 得兩個公式第32頁/共55頁第三十三頁，共56頁。u(x,y) 與與 v(x,y) 在該點可微在該點可微, 并且并且(bngqi)滿足滿足柯西柯西-黎曼黎曼(Cauchy-Riemann)方程。方程。第33頁/共55頁第三十四頁，共56頁。定理定理3.8 函數函數f (z) = u(x,y) + iv(x,y) 在其定

16、義域在其定義域D內解析的充內解析的充要條件是：要條件是： （1）u(x,y) 與與 v(x,y) 在在D內可微內可微, （2）u(x,y) 與與 v(x,y) 在在D內滿足內滿足(mnz)Cauchy-Riemann方程方程.定理定理3.7 函數函數f (z) = u(x,y)+iv(x,y)定義在區(qū)域定義在區(qū)域D內一點內一點z =x+iy 可導的充分必要條件是可導的充分必要條件是:（1） u(x,y)與與v(x,y)在點在點(x,y)可微可微, （2）u(x,y)與與v(x,y)在點在點(x,y) 滿足滿足(mnz)Cauchy-Riemann方程方程 。第34頁/共55頁第三十五頁，共56

17、頁。推論推論(tuln(tuln) ) ：例題例題(lt)1 (lt)1 解：解：例題(lt)2 判斷下列函數在何處可導, 在何處解析:第35頁/共55頁第三十六頁，共56頁。解： 得 u=x, v=-y, 所以(suy)在復平面在復平面(pngmin)內處處不可導內處處不可導, 處處不解處處不解析；析；2) 由w = z Re(z) = x2 + ixy, 得u = x2, v = xy, 所以(suy)當且僅當當且僅當 x = y = 0時時,因而函數僅在因而函數僅在z = 0可導可導, 但在復平面內任何地方都不解但在復平面內任何地方都不解析析.第36頁/共55頁第三十七頁，共56頁?？芍?/p>

18、柯西-黎曼方程不滿足, 所以w=z在復平面(pngmin)內處處不可導, 處處不解析第37頁/共55頁第三十八頁，共56頁。第38頁/共55頁第三十九頁，共56頁。第39頁/共55頁第四十頁，共56頁。第40頁/共55頁第四十一頁，共56頁。2.4 初等(chdng)函數3.1 指數函數(zh sh hn sh) 定義(dngy)： 性質： 第41頁/共55頁第四十二頁，共56頁。3.2 三角函數(snjihnsh)定義(dngy)： 性質(xngzh)：(1)Euler 公式仍然成立： (2)全平面解析函數，(3)各種三角恒等式仍然成立(半角公式除外) (4)sin z為奇函數，cos z為偶函數第42頁/共55頁第四十三頁，共56頁。例如(lr)(7)定義其他(qt)的三角函數：第43頁/共55頁第四十四頁，共56頁。3.3 雙曲函數(hnsh)定義(dngy)： （1）全平面(pngmin)解析函數： （2）以2i為基本周期的周期函數：（3）chz為偶函數, shz為奇函數。（4）與三角函數的關系：第44頁/共55頁第四十五頁，共56頁。例題(lt)1解方程解：第45頁/共55頁第四十六頁，共56頁。3.4 對數函數(du sh hn sh)定義(dngy)： 記： 多值性多值性-主值支主值支例如(lr)：第46頁/共55頁第四十七頁，共56頁。性質(xngzh)：(