(完整版)數(shù)值線性代數(shù)答案

1、習(xí)題11.求下三角陣的逆矩陣的詳細(xì)算法。解設(shè)下三角矩陣L的逆矩陣為T我們可以使用待定法，求出矩陣T的各列向量。為此我們將T按列分塊如下:注意到我們只需運(yùn)用算法111,逐一求解方程注意考慮到內(nèi)存空間的節(jié)省，我們可以置結(jié)果矩陣T的初始狀態(tài)為單位矩陣。這樣，我們便得到如下具體的算法:算法(求解下三角矩陣L的逆矩陣T,前代法)預(yù)置歩置7=1forj=1:«far上二1:訊一1仗+1:七=丁址+1:場/)T匕+T(nJ')=L(n,n)眈(i3.證明：如果成是一個(gè)Gauss變換，則空二八滋；也是一個(gè)Gauss變換。解按Gauss變換矩陣的定義，易知矩陣W%是Gauss變換。下面我們只需

2、證明它是Gauss變換4的逆矩陣。事實(shí)上注意到氐=衛(wèi)人則顯然有&億二11從而有4.確定一個(gè)Gauss變換L,使2-2-3=743解比較比較向量恥廣和入呼可以發(fā)現(xiàn)Gauss變換L應(yīng)具有功能：使向量加廣的第二行加上第一行的2倍；使向量站）的第三行加上第一行的2倍。于是Gauss變換如下斗I2015.證明：如果Aw的有三角分解，并且是非奇異的，那么定理112中的L和U都是唯一的。證明設(shè)心昭產(chǎn)皿，其中兀耳都是單位下三角陣，兀耳都是上三角陣。因?yàn)锳非奇異的，于是注意到，單位下三角陣的逆仍是單位下三角陣，兩個(gè)單位下三角陣的乘積仍是單位下三角陣；上三角陣的逆仍是上三角陣，兩個(gè)上三角陣的乘積仍是上三角

3、陣。因此，上述等將是一個(gè)單位下三角陣與一個(gè)上三角陣相等，故此，它們都必是單位矩陣。即，從而即A的LU分解是唯一的。17.證明定理131中的下三角陣L是唯一的。證明因A是正定對稱矩陣，故其各階主子式均非零，因此A非奇異。為證明L的唯一性,不妨設(shè)有厶和厶使那么注意到：厶和厶是下三角陣，圧和圧為上三角陣，故它們的逆矩陣也分別是下三角陣和上三角陣。因此，寄®和哥憶廠只能是對角陣，即汕=砂宀P從而L2=ZjDn=(£)£)'D=I(DI)l=,D=D1=1于是得知19.若A=LLr是A的Cholesky分解，試證L的i階順序主子陣厶正好是A的i階順序主子陣時(shí)的Cho

4、lesky因子。證明將A和L作如下分塊其中：國“厶1為矩陣A和L的i階順序主子陣。搖=凡2。顯然故有*11二“昭。即'll是丄11的Colicky分解。23設(shè)_16484_32_41084L26881210?也一3344101230用平方根法證明A是正定的，并給出方程組心的解。解由Colicky分解可得A=LL其中顯然，L是非奇異矩陣。因此，對"0丘對仏"0.于是/加=汙莊貳0所以曲是正定的。由方程組Ly=b，解得八，再由方程組肝疋P，解得左=（口丄1）習(xí)題22.2證明：當(dāng)且僅當(dāng)忑和卩線性相關(guān)且心工°時(shí)，才有1工+凡日乩+14.證明因?yàn)閷θ我獾呢[疋于是,

5、IH4=H+llx當(dāng)且僅當(dāng)>o.由等式（E2.1）可知,當(dāng)且僅當(dāng)即，對任意的。弐內(nèi)兒二”勺，此式成立不外乎二種情形：或x=0；或廠°；或漳+爐二0且|創(chuàng)+|劇H0.即開和尹線性相關(guān)。22222.3證明：如果/二血宀心是按列分塊的，那么祖匸斗比+內(nèi)"+血證明因?yàn)?MMMJJ.-,Ml>shl-zzM=shlLij_ij-ii-ij-i.2.4證明祖見乞鳳嘰珂4亂益IMIIPIL-證明記目二外血：血，那么，根據(jù)第3題的結(jié)果我們有K=（郭®町利疏忖:卜制時(shí)根據(jù)Frobenius范數(shù)定義易知，對肚賞，|件=皿嘰=制2.于是|陥=廳件邙T幾=惻叫=測護(hù)|2.5設(shè)

6、化TR是由=maxAe定義的。證明卩產(chǎn)柳是矩陣范數(shù)，并且舉例說明卩不滿足矩陣范數(shù)的相容性。證明（1）證明是矩陣范數(shù)。因?yàn)橼?（&二丄maxk.AeRHxH顯然嗆滿足矩陣范數(shù)定義中的前三條：正定性、齊次性、三角不等式。下面我們證明還滿足“相容性”。對任意乩月ER®，記山二陽，月二陽，且v,(蟲£)=mas<Lab=-a用1円(2)一個(gè)卩不滿足矩陣范數(shù)的相容性的例子。，則AB=是優(yōu)&=2,吩22,代血）二5,從而2.6證明在酎上，當(dāng)且僅當(dāng)£是正定矩陣時(shí)，函數(shù)是一個(gè)向量范數(shù)。證明由于A是正定矩陣，不妨設(shè)°弋入乞A©亠血是A的特征

7、值，匚.血是其對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量，即顯然，匚L為是線性無關(guān)的。因此，時(shí)二spanLL釦.記。二鼻L盂,A二盹（占易凡），那么=XA=QAQr，且對任意丈，總有壯疋使命題的充分性是很顯然的。因?yàn)椴?（幾卻是時(shí)上的向量范數(shù)，貝V由其正定性可知A必為正定矩陣?，F(xiàn)在我們來證明命題的必要性。即假設(shè)衛(wèi)是正定矩陣，貝V函數(shù)攔對=玄話滿足向量范數(shù)定義的三條性質(zhì)：正定性。由A的正定性，正定性顯然成立。齊次性。對任意的，因?yàn)閼?yīng)/加戸=|口|伊屈衛(wèi)，故有/畫）=|叩列三角不等式。對于任意給定的兒，有TeR，使畑+M=（卞+刃0（工+刃=.j（x-y）TQTAQ（x+y）=矗+Xf心+刃=總g+亦應(yīng)用習(xí)題2.1的

8、結(jié)果，得即有2.7設(shè)岬是站上的一個(gè)向量范數(shù)，并且設(shè)證明：若rank=則是附上的一個(gè)向量范數(shù)。證明當(dāng)f皿(&“時(shí)，“CI當(dāng)且僅當(dāng)X是附上的零向量。再由假設(shè)IHI是腐上的一個(gè)時(shí)，def向量范數(shù)，于是可證得制衛(wèi)=1血1滿足:正定性。事實(shí)上，對任意雄卍，虬二|綢|"，而且HL二IWI二o當(dāng)且，因此齊次性。事實(shí)上，對所有的丈和代尺有H)II=IMI=HHIIIL=0因此有三角不等式。事實(shí)上，對所有的兀p丘疋有祖u+y)卜I如+朋1勻禺I田kM,b+<<IK+Mx.2.8若兇且皿"，證明證明首先用反證法，證明的存在性。設(shè)(I)奇異，則(1-A)x=0有非零解孟，且曲

9、,于是0<IM=H-MIINI，從而Mil-1.這與假設(shè)矛盾?，F(xiàn)在來證明命題中的不等式。注意到：山匸1,且I=(J-A)(l-A)-1=(1-A)-1故有1=|(z-L-血-)-1!>|(z-&J|(1-制)2.9設(shè)料是由向量范數(shù)料誘導(dǎo)出的矩陣范數(shù)。證明：若恥尺戦非奇異，則證明因?yàn)獒凳窍蛄糠稊?shù)誘導(dǎo)的矩陣范數(shù)，故切=1,且對PGd眄和keRINhlKhKII且當(dāng)陸II<p|x，有于是對施改，有時(shí)，有現(xiàn)在只需證明：存在祇龍且岡不妨假設(shè)，使KIHIII二1,使IK=IH'll即可。根據(jù)算子范數(shù)的定義，我們b/MT，顯然闊卜1，且T-TTX.再取綜合(E2.2)和(E

10、2.3)得2.12證明對任意的矩陣范數(shù)都有H711-1，并由此導(dǎo)出汛£)>1證明由定理2.1.6（1）可知，對任意矩陣范數(shù)都有寂（刈勻團(tuán)，而卩“，于是從而血&=h|制討葉屮忖12.13若川和A+E都是非奇異的，證明證明因?yàn)殄鴟鬥|忖十釘|比+耳）一1gi二+（+總）由1）二（丿+童尸瓦4J所以，根據(jù)矩陣范數(shù)的相容性可得習(xí)題31設(shè)用正則化方法求對應(yīng)的LS問題的解.2_34nb=156丄解由定理3.1.4可知，LS問題的解就是下列正則化方程組解:即解得：2（-1，1）2.設(shè)求對應(yīng)的LS問題的全部解._i31r2000,b=11000丄解由定理3.1.4可知，LS問題的解就是

11、下列正則化方程組解:_631f39333131111311丄經(jīng)初等行變換得其同解方程組從而_13_打1也百01572_25jt-j3211L3J-3-433J其中冷，可丘丘3.設(shè)忑°4'/4)，求一個(gè)Householder變換H和一個(gè)正數(shù)塔使得&=(1k460Of.解由于2范數(shù)具有正交不變性，故二1呂上于是口=712+42+62+32+42-l2-42-62=5.于是尹二忌=(1了460嚇令v=x-y=(J-10034)那么可以驗(yàn)證滿足該題的要求.4.確定=和$=范0使得解由2范數(shù)具有正交不變性，故于是12lc從而qr5i2_-1F112"鋼汕_12-5_1

12、69_12-5_L2L2JL26J10.設(shè)AERmxn且存在XwR"使得對每一個(gè)二盟均極小化-汕I。證明:AXA=AAXf=AX.解由矩陣奇異值分解定理知，設(shè)恥站”的秩心曲期,則存在朋階正交陣Q和段階正交陣尸，使其中：丟m羽；幾1M土九=°是衛(wèi)的非零特征值全體?？梢宰C明矩陣不亡艮吶，且事實(shí)上，由定理3.1.4可知,對任一火RJ"是葉引min.的解。L-1_b=PL2一_0_0_0_另外，axa=qdptpQrQDPr=QDPr=AS-1_0jZ00AX=QDPtPQt-于是我們有AXA=&12利用等于')一Z?；=|j4z一御;+(j4a一占)+u

13、證明：如果，那么ATAx=Arb.證明令泛函如果XE甩，那么對恥丈且同廠1,當(dāng)応尺且閥充分小時(shí)八5汕對,從而由了連續(xù)性有由WE卅的任意性，貝y必有=0,即才'曲=山咯習(xí)題41.設(shè)方程組療）的系數(shù)矩陣為_2-11_2-2_11匚A2=1111-2221證明：對國來說，Jacobi迭代不收斂，而G-S迭代收斂；而對&來說，Jacobi迭代收斂，而G-S迭代不收斂。解對于國，則有從而，-上-g-_01-1-1.匸=-10,u=0-1-2-1-1000-11201212-102從而，即有由定理4.2.1知，Jacobi迭代法不收斂；G-S迭代收斂。D=ag(l,U),L=-10-2-2

14、00-22U=0-1從而0-2B=-10-2-20-22G=2-3進(jìn)而det(AZ-5)=det(G9=A(A-2)2顯然，成成=2-故由定理4.2.1知，Jacobi迭代法收斂；G-S迭代不收斂。2. 設(shè)氏卩筑滿足證明對任意的站涉疋，迭代格式五帥1)=加丘)十G舟=0丄.最多迭代戲次就可得方程組忑=+g的精確解。證明由于戍切二°，故月的所有特征值均為零。于是存在正交矩陣尸及矩陣h=p-lJtip=Q.使B=P1JP，注意到宀于是:另一方面，記：嚴(yán)二卅m*從而，尹、腫譏冷嚴(yán)“，即3. 考慮線性代數(shù)方程組Ah=b這里10a#二010£K01(1) 區(qū)為何值時(shí)，衛(wèi)是正定的？(2

15、) 皿為何值時(shí)，Jacobi迭代收斂？(3) 區(qū)為何值時(shí)，G-S迭代收斂？解(1)對稱矩陣衛(wèi)正定的充分必要條件是其特征值均為正數(shù)。而衛(wèi)的特征多項(xiàng)式為能t/Z&二仏1尸圧仇尤1)乂一1仇1+Q于是山的特征值為："T+爼血=1-塔欲使它們均大于零，貝y-13C1.(2)由于Jacobi迭代矩陣為00-a5=000-a00月的特征多項(xiàng)式為det(A7ck2Aq)(Z+a)其特征值為：人二°，弘二弘二，于是月譜半徑戸3)=|空|.由定理4.2.1可知,Jacobi迭代收斂當(dāng)且僅當(dāng)寂3)-圈1.從而當(dāng)風(fēng)白時(shí)，Jacobi迭代收斂。(3)由于G-S迭代矩陣為00aG=00000

16、-心其特征多項(xiàng)式為=（X-a2）22特征值為：弘嘰二0,憑=»從而皿）=空丨故由定理4.2.1可知，當(dāng)VI時(shí)，G-S迭代收斂。注意：（2）和（3）中的區(qū)可以是復(fù)數(shù)。5若衛(wèi)是嚴(yán)格對角占優(yōu)的或不可約對角占優(yōu)的，則G-S迭代法收斂。證明若貝是嚴(yán)格對角占優(yōu)的或不可約對角占優(yōu)的，則必有碼嚴(yán)°,因此D_L非奇異?，F(xiàn)在來證明：G-S迭代矩陣的譜半徑小于1。假設(shè)囚王1,則由川的假設(shè)知，久也是嚴(yán)格對角占優(yōu)或不可約對角占優(yōu)的，因此而由于這說明迭代矩陣心U不存在模大于等于1的特征值。因此，（，從而G-S迭代收斂。8若存在對稱正定陣P,使B=P-HrPH為對稱正定陣，試證迭代法+b,上二0丄2收斂

17、。證明設(shè)幾是日的任一特征值,是刀關(guān)于幾的特征向量，于是=vTPv-vrHrPHv=(l-A2>rFv因占都是正定陣，故即囚燈.由幾的任意性得知p（w故迭代法收斂。9對Jacobi方法引進(jìn)迭代參數(shù)凡，即昭1=忑-也弋心-3）或者5二（7-也抵+価屯稱為Jacobi松馳法（簡稱J0R方法）證明：當(dāng)肛的Jacobi方法收斂時(shí)，J0R方法對*心1收斂.證明對于應(yīng)氏三匕,AwDLU，則Jacobi迭代矩陣月和J0R迭代矩陣瓦分別是呂二D-'（L+®二f-Er'a由于Jacobi迭代收斂當(dāng)且僅當(dāng)g3）V1,即B的任一特征值燈.現(xiàn)設(shè)人是Jacobi迭代矩陣衣的一個(gè)特征值，非零

18、向量卩是其對應(yīng)的特征向量，則有Av=Bv=V-DlAv即有（-X）v=DlAv進(jìn)而Bv=7-曲一1衛(wèi)卩=（1-吠1-A）v即若人是Jacobi迭代矩陣占的一個(gè)特征值，則（H）便是乞的一個(gè)特征值.當(dāng)取定：幾勺，并假定久二密斗優(yōu)云斗01，注意到1-|1-（1-二1-（1-曲1-尸+&護(hù)-1-1-2o?（l反）十a(chǎn)?'（1_十a(chǎn)?2/?2=2a?（l-口）一少"+（cs2+p2'）>2（u（l-cf）-2d?2+2aaf=2a?l一a）蘭Q即盅的所有特征值模小于1,從而昨"<，即JOR迭代收斂.10證明：若川是具有正對角元的實(shí)對稱矩陣，則JOR

19、方法收斂的充分必要條件是/及20-A均為正定對稱矩陣.證明由于園的對角元都是正數(shù)，故D=沁仗小心的對角元為正數(shù)，故1丄z也=1-1_1顯然，矩陣與占曲相似，兩者有相同的特征值。同時(shí)，它與A有著相同的實(shí)對稱性。因此，兩個(gè)矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)。11必要性。設(shè)J0R迭代收斂，即化那么，矩陣（/-必加的特征值在區(qū)間（-叮）12_j.丄內(nèi),于是得出的特征值位于區(qū)間內(nèi)，這就是說"腫是正定的，而它與用具有相同的正定性，因此曲也是正定的.1111LaLa另外，實(shí)對稱矩陣-血）ADT的特征值完全由（、HADT的特征值所生成，11_所以-0AD7的特征值將全部位于區(qū)間。£內(nèi)，因此是正定的。注意

20、到_11_i_i_21-EA*=曲刁（站£>0因此矩陣2D-A也是正定的。充分性。一方面，因?yàn)?1_i1=a）AD所以氏）與川一樣是正定矩陣。即（一盅）的特征值均大于0.即氏的特征值均小于1.另一方面，由于丿正定，而且1111品入2D-A）D=D1兔）D"所以，矩陣Q+殆是正定的，即特征值全部為正數(shù)，即盅的特征值均大于一1.結(jié)合兩方面的結(jié)果，得知：”3"白，即J0R迭代收斂.11.證明：若系數(shù)矩陣園是嚴(yán)格對角占優(yōu)的或不可約對角占優(yōu)的，且松馳因子3丘（°1）,則SOR收斂。證明若矩陣園是嚴(yán)格對角占優(yōu)的或不可約對角占優(yōu)的，則必有滋，因此D非奇異?，F(xiàn)假定

21、某個(gè)復(fù)數(shù)W-1，貝V矩陣+宙-1)口-兀應(yīng)-時(shí)也是嚴(yán)格對角占優(yōu)的或不可約對角占優(yōu)的。不妨假設(shè)兀"+嬌，且1,于是就有X+3-1|3-|Apa?-g+曲一1)2+0?_甜2(茂2+#2)=L-2c<l-少)+(l-Q?+0°-亦(£?+儼)=+研)_2%1_勁+(1_少尸二1-勁L+護(hù)+a?(Q2+j0a)-2q+1-Q)=1_勁|(口_1尸從而因此得到>0.R+彷一12>|ApQ2>O?2|X+a?-1|>|A|fy>a?.于是由園的嚴(yán)格對角占優(yōu)或不可約嚴(yán)格對角占優(yōu)可知a+®-vD-仏-畝也是嚴(yán)格對角占優(yōu)或不可約對角占優(yōu)的。因此，仏+0-1)口-兄應(yīng)-說/是非奇異的。而det(AZ-二det(A；-(5-gZ)_1(1十D十血口卩=det(D-迅)t)det(Z+a?1)DAoZ-厲27)工0.因此，幾不是SOR迭代矩陣的特征值。由幾的任意可知，亠的特征值都將滿足門，于是從而sor迭代收斂。習(xí)題51.證明等式(5.1.4)證明考慮慎心二工*-陸兀在方程組奴=占的解向量汕處的Taylor展式，貝惰注意到：池，于是上式可寫為3.試證明當(dāng)最速下降法在有限步求得極小值時(shí)，最后一步迭代的下降方向必是