一般形式的柯西不等式全面版

1、教學(xué)目標(biāo)：認(rèn)識(shí)一般形式的柯西不等式，會(huì)用函數(shù)思想方法證明一般形式的柯西不等式，并應(yīng)用其解決一些不等式的問題.教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)證明一般形式的柯西不等式，并能應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：理解證明中的函數(shù)思想.教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1. 提問：二維形式的柯西不等式、三角不等式？幾何意義？答案：(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2；x2+y2+x2+y2(x一x)2+(y一y)2X1122耳12122. 思考：如何將二維形式的柯西不等式拓廣到三維？四維呢？答案：(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2；(a2+b2+c2)(d2+e2+f2)(ad+be+cf)2。二、講授新課：1.一般形式的柯西不等式

2、：_提問：由平面向量的柯西不等式i&Bi(ab+ab+ab)212-討論：什么時(shí)候取等號(hào)？聯(lián)想：設(shè)B=ab+ab+ab,1122nnB2-AC0，可聯(lián)想到一些什么？ 討論：如何構(gòu)造二次函數(shù)證明n維形式的柯西不等式？要點(diǎn)：令(fx)=(a2+a2+a2)x2+2(ab+ab+ab)x+(b2+b2+b2)12n1122nn12nf(x)=(ax+b)2+(ax+b)2+(ax+b)20.1122nn又a2+2+a20，從而結(jié)合二次函數(shù)的圖像可知，A=2(ab+ab+ab)J2一4(a2+a2+a2)(b2+b2+b2)Wo1122nn12n12n即有要證明的結(jié)論成立. 分析什么時(shí)候等號(hào)成立？二次

3、函數(shù)(x)有唯一零點(diǎn)時(shí)，判別式A=0，這時(shí)不等式取等號(hào)；A=0oax+b=0ob=0或a=kb(i=1,2,，n)iiiii定理4：(一般形式的柯西不等式)：設(shè)n為大于1的自然數(shù)，a,b(i=1,2,ii為任意實(shí)數(shù)，貝I：工a2工b2(工ab)2，當(dāng)且僅當(dāng)b=0(i=1,2,，n)或存在iiiiii=1i=1i=1一個(gè)數(shù)k，使得a=kb(i=1,2,n)時(shí)等號(hào)成立。ii 探究：一般形式的三角不等式是怎樣的？(可以讓學(xué)生課后去探究)利用一般形式的柯西不等式，容易推導(dǎo)出一般形式的三角不等式：vx2+x2+x2+v2+y2+y2(x-y)2+(x-y)2+(x-y)212n、12n1122nn(x,

4、yeR,i=1,2,，n)ii具體證法為：展開Gx2+x2+號(hào)+丫y2+y22+”，然后由柯西不等式推出展開式中的，進(jìn)而完成全部證明。教學(xué)中可由學(xué)生探究具體證明過程，以加強(qiáng)其對(duì)一般形式柯西不等式與一般形式三角不等式之間聯(lián)系的認(rèn)識(shí)。變式：a2+a2+a2(a+a+a)2.(討論如何證明)12nn12n2.柯西不等式的應(yīng)用：C=b2+b2+b2，12n注意分類)nn則有，則n)例1、已知a,a，a為實(shí)數(shù)，求證:12ninii=1i=1分析：不等式的形式與一般的柯西不等式很接近，但必須經(jīng)過適當(dāng)變形才能看出兩者是完全一致的。因此，如何適當(dāng)變形是解決本題的關(guān)鍵。推論：在n個(gè)實(shí)數(shù)a，a，a的和為定值為S時(shí)

5、，它們的平方和不小于-S2，當(dāng)12nn1c且僅當(dāng)a=a=a時(shí)，平方和取最小值一S2。12nn 例2、已知a,b,c,d是不全相等的正數(shù)，證明：a2+b2+c2+d2ab+be+cd+da方法一：輪換對(duì)稱式，可以利用柯西不等式進(jìn)行證明，注意為什么等號(hào)不能成立？方法二：利用基本不等式 例3、已知3x+2y+z=1，求x2+y2+z2的最小值.分析：如何變形后構(gòu)造柯西不等式？一板演一變式： 練習(xí)：若x,y,zeR，且丄+丄+-=1，求x+-的最小值.+xyz23114 例4、若abe,求證：+.a-bb-ea-e思路：(a-e)(-+亠)=(a-b)+(b-e)(-+亠)(1+1)2=4a-bb-ea-bb-e三、課堂練習(xí)：yxvi1、設(shè)x1,x2，xo,貝y12nJn-1i=1i4192、設(shè)x,y，z為正實(shí)數(shù)，且x+y+z=10，求一+的最小值。xyz3、設(shè)x，y，zeR，求的最大值。X2+2y2+z24、求證n(n3)個(gè)正實(shí)數(shù)ai，a2，,an滿足(a2+a2+a2)2(n-1)(a4+a4+a4)12n12nx2y2z2.5、設(shè)x,y,z