公開課：圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用

1、圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用2019-11-27學(xué)習(xí)完圓錐曲線的方程和性質(zhì)后，課本上有一則閱讀材料圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用，使我們了解了圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)這一常見現(xiàn)象，這一節(jié)課我們進(jìn)一步對(duì)它進(jìn)行證明和探究，并對(duì)它在數(shù)學(xué)解題和生產(chǎn)科技等方面的應(yīng)用有了更深的認(rèn)識(shí)。一、圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)1、橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過(guò)橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上；（見圖1.1）橢圓的這種光學(xué)特性，常被用來(lái)設(shè)計(jì)一些照明設(shè)備或聚熱裝置例如在F處放置一個(gè)熱源，那么紅外線也能聚焦于F處，對(duì)F處的物體加熱.12、雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線一個(gè)焦2點(diǎn)發(fā)出的2光，經(jīng)過(guò)雙曲線反射后，反射光線的反向延

2、長(zhǎng)線都匯聚到雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)上；（見圖1.2）雙曲線這種反向虛聚焦性質(zhì)，在天文望遠(yuǎn)鏡的設(shè)計(jì)等方面，也能找到實(shí)際應(yīng)用3、拋物線的光學(xué)性質(zhì)：從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過(guò)拋物線反射后，反射光線都平行于拋物線的軸（如圖1.3）拋物線這種聚焦特性，成為聚能裝置或定向發(fā)射裝置的最佳選擇例如探照燈、汽車大燈等反射鏡面的縱剖線是拋物線，把光源置于它的焦點(diǎn)處，經(jīng)鏡面反射后能成為平行光束，使照射距離加大，并可通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)拋物線的對(duì)稱軸方向，控制照射方向衛(wèi)星通訊像碗一樣接收或發(fā)射天線，一般也是以拋物線繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)得到的，把接收器置于其焦點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸跟蹤對(duì)準(zhǔn)衛(wèi)星，這樣可以把衛(wèi)星發(fā)射的微弱電磁波訊號(hào)射線，最大限度地

3、集中到接收器上，保證接收效果；反之，把發(fā)射裝置安裝在焦點(diǎn)，把對(duì)稱軸跟蹤對(duì)準(zhǔn)衛(wèi)星，則可以使發(fā)射的電磁波訊號(hào)射線能平行地到達(dá)衛(wèi)星的接收裝置，同樣保證接收效果最常見的太陽(yáng)能熱水器，它也是以拋物線鏡面聚集太陽(yáng)光，以加熱焦點(diǎn)處的貯水器的BD百©正確2團(tuán)1.1E1.3園1.2要探究圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，首先必須將這樣一個(gè)光學(xué)實(shí)際問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)行解釋論證。二、問(wèn)題轉(zhuǎn)化及證明21圓錐曲線的切線與法線的定義切線：設(shè)直線l與曲線c交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)直線l連續(xù)變動(dòng)時(shí)，P，Q兩點(diǎn)沿著曲線漸漸靠近，一直到P，Q重合為一點(diǎn)M，此時(shí)直線l稱為曲線c在點(diǎn)M處的切線。法線：過(guò)M與直線l垂直的直線稱為曲線c在點(diǎn)

4、M處的法線。此時(shí)，我們可以借助圓錐曲線的切線和法線，對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化：2.2圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的證明1. 圓錐曲線的切線方程：1. 若點(diǎn)P(x,y)是橢圓丈+22=1上任一點(diǎn)，則橢圓過(guò)該點(diǎn)的切線方程為:00a2b2xxyy+=1。a2b22. 若點(diǎn)P(x,y)是雙曲線乂-21=1上任一點(diǎn)，則雙曲線過(guò)該點(diǎn)的切線方程為：00a2b2xxyy0=1a2b23. 若點(diǎn)P(x,y)是拋物線y2=2px上任一點(diǎn)，則拋物線過(guò)該點(diǎn)的切線方程是00yy=p(x+x)002. 證明：定理1：橢圓上一個(gè)點(diǎn)P的兩條焦半徑的夾角被橢圓在點(diǎn)P處的法線平分1.已知：如圖，橢圓C的方程為乂+蘭=1，F(xiàn),F分別是其左、右焦點(diǎn),

5、a2b212l是過(guò)橢圓上一點(diǎn)P(x,y)的切線，1'為垂直于l且過(guò)點(diǎn)P的橢圓的法線,交x軸于D，設(shè)ZFPD=a,ZFPD=P，求證：a=B.定理2：雙曲線上一個(gè)點(diǎn)P的兩條焦半徑的夾角被雙曲線在點(diǎn)P處的切線平分2已知：雙曲線C的方程為乂-21=1，F(xiàn)，F(xiàn)分別是其左、右焦點(diǎn)，l是過(guò)雙a2b212曲線C上的一點(diǎn)P(x,y)的切線，交x軸于點(diǎn)D,設(shè)ZFPD=a，ZFPD=00012求證：a=0定理3：拋物線上一個(gè)點(diǎn)P的焦半徑與過(guò)點(diǎn)P且平行于軸的直線的夾角被拋物線在點(diǎn)P處法線平分。3.已知：拋物線C的方程為為y2=2px(p>o)，直線l是過(guò)拋物線上一點(diǎn)P(x,y)00的切線，交X軸于D，

6、ZDPF=a,ZPDF=丫，反射線PQ與/所成角記為0，求證：a=0三、圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)的應(yīng)用1. 設(shè)拋物線C:y2=x,一光線從點(diǎn)A(5,2)射出，平行C的對(duì)稱軸，射在C上的P點(diǎn)，經(jīng)過(guò)反射后，又射到C上的Q點(diǎn)，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為,Q點(diǎn)的坐標(biāo)為.2. 雙曲線C:乂-蘭=1，又AGC，已知A(4,2込)，F(xiàn)(4,0)，若由F射至A88的光線被雙曲線C反射，反射光通過(guò)P(8，k)，則k=.3. 已知橢圓C：+丄=1，F(xiàn)、F為分別是其左25912右焦點(diǎn)，點(diǎn)Q(2,1),M是C上的動(dòng)點(diǎn)，則|MF+|MQ|的取值范圍.14. 已知雙曲線C：x2-21=1,F、F為分別是31、29其左右焦點(diǎn)，點(diǎn)Q(4,9),M是C上的動(dòng)點(diǎn)，則2IMF|+|MQ|的取值范圍25. 已知拋物線C：y2=4x,F是其焦點(diǎn)，點(diǎn)Q(2,1),M是C上的動(dòng)點(diǎn)，則|MF|+|MQ|的取值范圍_6. 已知l是過(guò)橢圓C：蘭+蘭=1上一動(dòng)點(diǎn)P的橢圓C的動(dòng)切線，過(guò)C的左焦點(diǎn)1612F作l的垂