矩與協(xié)方差矩陣

1、,mina be).()1(2YDxy )(200XbaYE (); 0,1o XYYX不相關(guān)不相關(guān); 0),Cov(,2o YXYX不相關(guān)不相關(guān)).()()(,3oYEXEXYEYX 不相關(guān)不相關(guān)2() =E YabX均方誤差：第四章第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征第第4節(jié)節(jié) 矩與協(xié)方差矩陣矩與協(xié)方差矩陣一、協(xié)方差矩陣的定義一、協(xié)方差矩陣的定義二、二、n維正態(tài)變量的概率密度維正態(tài)變量的概率密度三、總體矩三、總體矩四、四、n維正態(tài)變量的性質(zhì)維正態(tài)變量的性質(zhì)一、協(xié)方差矩陣的定義一、協(xié)方差矩陣的定義中心矩中心矩的二階混合的二階混合維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量設(shè)設(shè)),(21nXXXn, 2 ,

2、1, )()(),Cov( 都存在都存在njiXEXXEXEXXcjjiijiij 則稱矩陣則稱矩陣 nnnnnncccccccccC212222111211.協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣維隨機(jī)變量的維隨機(jī)變量的為為 nC對稱對稱.),(21為例為例以二維隨機(jī)變量以二維隨機(jī)變量XX.)()(2)()1(21exp121),(2222221221121211222121 xxxxxxf由于由于引入矩陣引入矩陣,21 xxX.21 12(,)XX的協(xié)方差矩陣11122122ccCcc二、二、n維正態(tài)變量的概率密度維正態(tài)變量的概率密度,22212121 212121221det1CC.)1(12121212

3、222221 )()(1XCXT.)()(2)(1122222212211212112 xxxx 2211212121222211),(det1xxxxC由于由于的概率密度可寫成的概率密度可寫成于是于是),(21XX.)()(21exp)(det)2(1 ),(1212221 XCXCxxfT.)()(2)()1(21exp121),(2222221221121211222121 xxxxxxf推廣：推廣：示為示為的概率密度可表的概率密度可表維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量),(21nXXXn,)()()(2121 nnXEXEXE.212222111211 nnnnnncccccccccC,),(21T

4、nxxxX 其中其中),(21nxxxf.)()(21exp)(det)2(11212 XCXCTn“總體總體” X 一般地一般地, 我們所研究的總體我們所研究的總體, 即研究對象的某項數(shù)即研究對象的某項數(shù)量指標(biāo)量指標(biāo) X , 其取值在客觀上有一定的分布其取值在客觀上有一定的分布, 稱為稱為總體的總體的分布分布. 以后不區(qū)分總體與相應(yīng)的隨機(jī)變量，統(tǒng)稱為以后不區(qū)分總體與相應(yīng)的隨機(jī)變量，統(tǒng)稱為總體總體X。., 2 , 1),(,階矩階矩階原點矩階原點矩kkXkXEYXk簡稱簡稱的的稱它為稱它為存在存在若若是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量和和設(shè)設(shè) ., 3 , 2,)(階中心矩階中心矩kXkXEXEk的的稱它為

5、稱它為存在存在若若 ., 2 , 1,),(階混合矩階混合矩lkYXlkYXElk 的的和和稱它為稱它為存在存在若若., 2 , 1, ,)()( 階混合中心矩階混合中心矩lkYXlkYEYXEXElk 的的和和稱它為稱它為存在存在若若三、矩三、矩（總體矩總體矩）的定義的定義,4.在實際應(yīng)用中 高于階的矩很少使用.)(3機(jī)變量的分布是否有偏機(jī)變量的分布是否有偏主要用來衡量隨主要用來衡量隨三階中心矩三階中心矩XEXE . )( 4近近的的陡陡峭峭程程度度如如何何機(jī)機(jī)變變量量的的分分布布在在均均值值附附主主要要用用來來衡衡量量隨隨四四階階中中心心矩矩XEXE “樣本樣本” X1 ,X2, , Xn

6、（帶目的）加工為統(tǒng)計量（帶目的）加工為統(tǒng)計量:g(X1 ,X2, , Xn)樣本均值樣本均值 niiXnX11反映了總體均值反映了總體均值 E(X)的信息的信息“樣本矩樣本矩” P136,11 nikikXnA反映了總體反映了總體K階矩階矩E(Xk)的信息的信息, 2 , 1 k,)(11 nikikXXnB反映反映總體總體K階階中心矩中心矩的信息的信息, 3 , 2 k)(11122 niiXnXn反映了總體方差反映了總體方差的信息的信息 niiXXnS122)(11 niiXXnS1211 niiXnXn12211;11 niixnx;, 2 , 1 ,11 kxnanikik., 3 ,

7、 2 ,)(11 kxxnbnikik niixxns122)(11;11122 niixnxn niixxns12)(11; )(11122 niixnxn12, , , , (),nXXXiid XE X設(shè)且111nPPkkXn1則： X=，即A辛欽大數(shù)定理辛欽大數(shù)定理:四、四、 n維正態(tài)變量的性質(zhì)維正態(tài)變量的性質(zhì)(P51,73,77,78,112,138)例例1),9 , 2(),4 , 1 (,) 1 (NYNXYX獨立，設(shè)的分布；求：YX 2解：解：的分布；求：YX 202)2() 1 (EYEXYXE259444)2(DYDXYXD)25, 0(2NYX 則：13 32214254

8、-25 ),(224)2()2(XYDYDXYXCOVDYDXYXD)13, 0(2NYX 則：)5 . 0 ; 9 , 4 ; 2 , 1 (),()2(NYX解解 . ),( , 0, 20, 10),21(76),( ),( 2數(shù)數(shù)的協(xié)方差矩陣及相關(guān)系的協(xié)方差矩陣及相關(guān)系求求其它其它函數(shù)為函數(shù)為的聯(lián)合密度的聯(lián)合密度設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量YXyxxyxyxfYX yxyxfxXEdd),()( xyxyxxdd )21(7610202 xxxd767121023 ,79 例例2yxxyxxXEdd )21(76)(1020222 ,7039 ,49023757039)(

9、2 XD故故xyxyxyYEdd )21(76)(10202 因為因為,78 xyxyxyYEdd )21(76)(1020222 ,2134 ( 2 YD故故xyxyxxyXYEdd )21(76)(10202 ,2117 )()()(),(Cov YEXEXYEYX 故故,147178752117 ),( 的協(xié)方差矩陣為的協(xié)方差矩陣為于是于是YX.147461471147149023 的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù)與與YX)()(),(CovYDXDYXXY .6915 作業(yè)：作業(yè)： P116 26(2)，28,32,33， 36三、小結(jié) 2.正態(tài)變量是最重要的隨機(jī)變量正態(tài)變量是最重要的隨機(jī)變量