musicespritmvdr算法的譜估計(jì)

1、課程(論文)題目：MUSIC、ESPRIT、MVDR算法的譜估計(jì)內(nèi)容：1算法原理1.1 MUSIC算法MUSIC算法利用信號(hào)子空間和噪聲子空間的正交性，構(gòu)造空間譜函數(shù)，通過譜峰搜索，估計(jì)信號(hào)頻率。由APAHg=0,i=K+1,.,M且矩陣AHA可逆得(AhA)AHAPAHa=PAHa=0,i=K+1,.,M。又由于矩陣P為正定的對(duì)角矩陣，方程兩邊可再同時(shí)左乘P,，推出aH(%J訪=0,k=1,2,，K,i=K+1,.,M。這就表明，信號(hào)頻率向量aQ與噪聲子空間的特征向量正交。信號(hào)角頻率的估計(jì)可以由掃描函數(shù)Pmusic9)的K個(gè)峰值位置確定。-11,1PMusicg)=-佃=Fewt產(chǎn)a(切)G

2、a(缶)GGa(s)1.2 ESPRIT算法ESPRIT算法即基于旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)的信號(hào)參數(shù)估計(jì)。連續(xù)M個(gè)時(shí)刻的觀測值可表示為向量形式x(n)=As(n)+v(n)。定義隨機(jī)過程y(n)=x(n+1),且向量y(n)和矩陣中分別為y(n)=y(n)y(n-1)IIIy(n-M+1)1r,4=diagej&e&HIejt>,則y(n尸Ag(n)+v(n+1)。向量x(n)的自相關(guān)矩陣為Rxx=Ex(n)xH(n)APAh+仃2VI,向量x(n)和y(n)的互相關(guān)矩陣為Rxy=Ex(n)yH(n)=APMAH+。2VZ。對(duì)Rxx進(jìn)行特征分解，找到Rxx的最小特征值九min=%之%

3、之由2Am)。定義矩陣：2H2HHCxx=Rxx-<TvI=Rxx%inI=APA,Cxy=Ry仃VZ=Rxy<inZ=AP*A可以通過求解方程式|Cxx-九Cxy|=0來求得到矩陣Cxx,Cxy的廣義特征值。當(dāng)>u=ej®,k=1川，K時(shí),矩陣(Cxx-九Cxy)是奇異的；而兒*ej£*,k=1川，K時(shí),(Cxx-九Cxy)是滿秩的。矩陣對(duì)Cxx,Cxy的廣義特征值恰為e儂jmejt>,這些根的相位即為信號(hào)的頻率估計(jì)。1.3MVDR算法MVDR算法即最小方差無失真響應(yīng)算法，是有別于經(jīng)典功率譜估計(jì)和參數(shù)模型估計(jì)的另一類信號(hào)頻率估計(jì)方法。定義向量x(n

4、)M=Jx(n)x(n-1)HIx(n-M+1)，假k定信號(hào)通過一個(gè)M抽頭的FIR濾波器W(z)=Ew(k)z,則輸出信號(hào)為：k=0yn=xn*an八wkxn-k=xTwk=02y(n)的功率可以表小為p=E|y(n)=Ewxxw=wExxw=wRxxw。為求得濾波器的系數(shù)，需要滿足在對(duì)給定的某一頻率劭處，x(n)無失真地通過，且p最小。此時(shí)，Rxxa'iwMVDR=H1P=H1a-iRxxai1則PMVDR'-H1,，,，L二，二a-RxxaPmvdr(6)并不是真正意義上的功率譜，但a'iRxxai它描述了信號(hào)真正譜的相對(duì)強(qiáng)度，可以由此估計(jì)信號(hào)頻率2算法實(shí)現(xiàn)采用空間

5、譜估計(jì)的典型代表MUSIC算法，ESPRIT算法和MVDR算法，對(duì)含有高斯白噪聲的復(fù)正弦信號(hào)進(jìn)行頻率估計(jì)。選取的信號(hào)數(shù)p=3,陣元數(shù)M=10,采樣數(shù)N=1000。待檢測信號(hào)的歸一化頻率為L=0.10,f2=0.20,f3=0.45,仿真的待檢測信號(hào)為：111上2可142力22加3eeeS=._j2二耳（M4）_j2二f2（M）_j2二f3（M）ee假設(shè)0聲2聲3都是零均值，方差為1的白噪聲，采樣數(shù)為N,且彼此之間相互獨(dú)立，則陣列響應(yīng)矩陣為e-j2?-j2鼻ee-j2加3V假定口聲vi,i-I1,M】為零均值，方差為1的高斯白噪聲，采樣數(shù)為N,則待檢測信號(hào)引入的噪聲為v=*rrVm于是仿真信號(hào)為

6、：X=S*A+v2.1 MUSICWft利用MUSIC算法進(jìn)行頻率估計(jì)時(shí)，首先求出仿真信號(hào)的自相關(guān)矩陣R=X*X'/N然后對(duì)自相關(guān)矩陣進(jìn)行特征值分解得到特征值空間U和特征向量空間D,然后對(duì)特征值空間U進(jìn)行升序排序，取較小的M-p個(gè)特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量組成噪聲子空問G,然后求得PMUSIC'，1W0,0.51music算法程序段如下所示：R=X*X'/N;UD=eig(R);d,index=sort(diag(D);U=U(:,index);fori=-N:Na=exp(-j*2*pi*0:M-1'*(i*0.5/N);Pmusic(i+1+N)=abs(1/(

7、a'*U(:,1:end-p)*U(:,1:end-p)'*a);endplot(omg,10*log10(Pmusic/max(Pmusic);%畫出MUSIC算法圖形2.2 ESPRI饃法ESPRIT算法要先構(gòu)造相關(guān)矩陣Rxx和Rxy,然后對(duì)Rxx進(jìn)行特征值分解得到最小特征信人min即為噪聲的方差仃v2,通過對(duì)矩陣對(duì)Cxx,Cxy進(jìn)行廣義特征值分解，最接近單位圓的K個(gè)特征值相位即為信號(hào)的頻率估計(jì)。ESPRIT算法程序段如下所示：S1=U(1:end-1,8:10);S2=U(2:end,8:10);S12=S1S2;UuDd=eig(S12'*S12);dd,ind

8、=sort(diag(Dd);Uu=Uu(:,ind);dt=-Uu(1:3,1:3)*inv(Uu(4:6,1:3);dd=eig(dt);t_esprit=asin(-angle(dd)/(2*pi);plot(t_esprit,000,'*','color','red')%畫出ESPRIT算法圖形，紅色表示2.3 MVDR算法MVDR算法要先求自相關(guān)矩陣Rxx,然后將峰搜索矩陣a(叫)帶入最小方差譜估計(jì)公式PMVDR'=H1,一10,0.51aRxxa通過觀察譜峰得到信號(hào)的頻率估計(jì)值。MVDR算法程序段如下所示：fori=-N:Na

9、=exp(-j*2*pi*0:M-1'*(i*0.5/N);Pmvdr(i+N+1)=abs(1/(a'*inv(R)*a);endplot(omg,10*log10(Pmvdr/max(Pmvdr),'-','color','black')2.4 程序流程圖各算法程序流程圖如下所示:2.4.1MUSIC算法圖圖2.4.2ESPRIT算法圖2.4.3MVDR算法3仿真結(jié)果使用MATLAB軟件進(jìn)行仿真，得出MUSIC算法、ESPRIT算法、MVDR算法的仿真圖形分別如圖3.1、圖3.2、圖3.3所示。為了將這三種算法的譜估計(jì)效果更加

10、直觀地比較，將三種算法的仿真結(jié)果圖形放在一張圖中進(jìn)行比較，如圖3.4所示。另外，MUSIC算法得出的頻率估計(jì)為f=0.10,f2=0.20,f3=0.45,運(yùn)算時(shí)間time=1.415;ESPRIT算法的頻率估計(jì)為f1=0.10,f2=0.20,f3=0.47,運(yùn)算時(shí)間time=0.0251;MVDR算法的頻率估計(jì)為f1=0.10,f2=0.20,f3=0.45,運(yùn)算時(shí)間time=0.0910。圖3.2ESPRIT仿真結(jié)果圖3.1MUSIC仿真結(jié)果圖3.4各種算法仿真比較結(jié)果圖3.3MVDR仿真結(jié)果4算法比較由仿真圖形和運(yùn)算時(shí)間可以看出，MUSIC算法、ESPRIT算法和MVDR算法都可以實(shí)現(xiàn)對(duì)含噪復(fù)正弦信號(hào)的頻率估計(jì)，而且能夠克服DFT中存在能量泄漏和柵欄效應(yīng)，誤差較小。三種方法中，MVDR算法實(shí)現(xiàn)最為簡單，在較小的運(yùn)算次數(shù)時(shí)快捷且準(zhǔn)確度高，但是運(yùn)算量會(huì)隨著采樣點(diǎn)數(shù)的增大而急劇增大；MUSIC算法最為常規(guī)，而且能夠?qū)崿F(xiàn)超分辨，有效的克服了工程應(yīng)用中由于先驗(yàn)信息不足而導(dǎo)致的分辨率降低問題，但是運(yùn)算量也是很大，不利于次數(shù)較大的頻率估計(jì)；ESPRI