小學(xué)奧數(shù)教程之容斥原理

1、學(xué)習(xí)奧數(shù)的優(yōu)點(diǎn)1、激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，更容易讓學(xué)生體驗(yàn)成功，樹立自信。2、訓(xùn)練學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣和思維品質(zhì)。要使經(jīng)過奧數(shù)訓(xùn)練的學(xué)生，思 維更墩捷，考慮問題比別人更深層次。3、鍛煉學(xué)生優(yōu)良的意志品質(zhì)?？梢耘囵B(yǎng)持之以恒的耐心和克服困難的信心，以及戰(zhàn)勝難題的勇氣?？梢责B(yǎng)成堅(jiān)韌不拔的毅力4、獲得扎實(shí)的數(shù)學(xué)基本功，發(fā)揮創(chuàng)新精神和創(chuàng)造力的最大空間。容斥原理學(xué)生姓名授課日期教師姓名授課時長一:知識定位容斥原理中的知識點(diǎn)比較簡單，是計(jì)數(shù)問題中比較淺的一支。這個知識點(diǎn)經(jīng)常和 數(shù)論知識結(jié)合岀綜合型題Ll。這個原理本身并不是很難理解，不過經(jīng)常和數(shù)論知 識結(jié)合岀題，所以對學(xué)生的理解層次要求較高，學(xué)生必須充分

2、理解、吃透。1. 充分理解和掌握容斥原理的基本概念2. 利用圖形分析解決容斥原理問題授課批注：本講的知識點(diǎn)必須讓學(xué)生充分理解、吃透，這個原理本身并不是很難理解，不過經(jīng)常和數(shù)論 知識結(jié)合出題所以對學(xué)生的理解層次要求較髙。一.容斥原理的概念定義在一些計(jì)數(shù)問題中，經(jīng)常遇到有關(guān)集合元素個數(shù)的計(jì)算。我們用IAl表示有限集A 的元素個數(shù)。求兩個集合并集的元素的個數(shù)，不能簡單地把兩個集合的元素個數(shù) 相加，而要從兩個集合個數(shù)之和中減去重復(fù)訃算的元素個數(shù)，即減去交集的元素 個數(shù)，用式子可表示成：IAUBI = IAl + IBI-IA B,我們稱這一公式為包含與排除原理，簡稱容斥原理。圖示如右:A表示小圓部分，

3、B表示大圓部分，C表示大圓與小圓的公共部分， 記為：AQB,即陰影面積。用法：包含與排除原理告訴我們，要計(jì)算兩個集合A、E的并集AUB的元素的個數(shù), 可分以下兩步進(jìn)行：第一步：分別計(jì)算集合A、E的元素個數(shù)，然后加起來，即先求IAHBl （意思是 把A、B的一切元素都“包含”進(jìn)來，加在一起）；第二步：從上面的和中減去交集的元素個數(shù)，即減去C=AB（意思是“排除” 了重復(fù)計(jì)算的元素個數(shù)）二競賽考點(diǎn)1. 容斥原理的基本概念2. 與數(shù)論相結(jié)合的綜合型題Ll【試題來源】【題目】在一個炎熱的夏日，10個小學(xué)生去冷飲店每人都買了冷飲。其中6人買了汽水，6人買了可 樂，4人買了果汁，有3人既買了汽水又買了可樂

4、，1人既買了汽水又買了果汁，2人既買 了可樂又買了果汁。問：（1）三樣都買的有幾人？（2）只買一樣的有幾人？【答案】0,4【解析】（1）設(shè)三樣都買的學(xué)生有a人，那么6+6+4-3-l-2+a=10解得a=0,所以沒有人三種 東西都買了.去冷飲店的學(xué)生中除了買一樣的外，只有買兩樣?xùn)|西的，因?yàn)橘I兩樣?xùn)|西的有 3+1+2=6（人），所以買一樣?xùn)|西的學(xué)生有10-6=4（）.【知識點(diǎn)】容斥原理【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】3【試題來源】【題目】某班有學(xué)生46人，在調(diào)查他們家中是否有電子琴和小提琴時發(fā)現(xiàn)，有電子琴的22 人，兩種琴都沒有的14人，只有小提琴的與兩種琴都有的人數(shù)之比是5： 3。問：只有電子

5、 琴的有多少人？【答案】8【解析】46人中除去有電子琴的22人，剩下的24人不是兩種琴都沒有，就是只有小提琴. 所以只有小提琴的人數(shù)為24-14=10 ,所以兩種琴都有的人數(shù)為10×3÷5=6人，所以只有 電子琴的人數(shù)為14-6=8人.【知識點(diǎn)】容斥原理【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】2【試題來源】【題目】以105為分母的最簡真分?jǐn)?shù)共有多少個？它們的和為多少？【答案】48 24【解析】以105為分母的最簡真分?jǐn)?shù)的分子與105互質(zhì)，103二3X 5X7,所以也是求1到105 不是3、5、7倍數(shù)的數(shù)有多少個，3的倍數(shù)有35個，5的倍數(shù)有21個，7的倍數(shù)有15個, 15的倍數(shù)有7

6、個，21的倍數(shù)有5個，35的倍數(shù)有3個，105的倍數(shù)有1個，所以105以內(nèi) 與105互質(zhì)的數(shù)有105-35-21-15+7+5+3-1=48個，顯然如果n與105互質(zhì),那么（105-n） 與n互質(zhì)，所以以105為分母的48個最簡真分?jǐn)?shù)可兩個兩個湊成1,所以它們的和為24.【知識點(diǎn)】容斥原理【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】2【試題來源】【題目】一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)甲答錯題目總數(shù)的乙答錯3道題，兩人都答錯的題目是題目總 數(shù)的;求甲、乙都答對的題目數(shù).【答案】8【解析】（法一）設(shè)共有n道題。由右圖知d即為所求，并有關(guān)系式 由知衛(wèi)是4和6的公倍數(shù)，即12的倍數(shù)。將弋入，有b = 3,由于b是非負(fù)c + b =

7、 3(2)6整數(shù)，所以 n=12» 由此求出 c=2, b=L a=l.X由 a+b+c十d=m 得到 d=n- (a+b÷c)=8(法二)顯然兩人都答錯的題目不多于3道，所以題目總數(shù)只可能是6、12、18,其中只有 12,能使甲答錯題目總數(shù)是整數(shù).【知識點(diǎn)】容斥原理【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】2【試題來源】某班有40需學(xué)生，其中有15人參加數(shù)學(xué)小組，18人參加航模小組，有10人兩個小組都參 加那么有多少人兩個小組都不參加？【答案】17【解析】至少參加一個小組的同學(xué)有15+18-10=23人，所以有40-23=17人兩個小組都不參 加?！局R點(diǎn)】容斥原理【適用場合】當(dāng)堂

8、例題【難度系數(shù)】1【試題來源】【題目】某班45個學(xué)生參加期末考試，成績公布后，數(shù)學(xué)得滿分的有10人，數(shù)學(xué)及語文均 得滿分的有3人，這兩科都沒有得滿分的有29人.那么語文成績得滿分的有多少人？【答案】9【解析】數(shù)學(xué)、語文至少有一門得滿分的學(xué)生有45-29=16人.所以語文成績得滿分的有16- 10+3=9 人.【知識點(diǎn)】容斥原理【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】2【試題來源】【題目】有一根長為180厘米的繩子，從一端開始每隔3厘米作一記號，每隔4厘米也作一記號，然后將標(biāo)有記號的地方剪斷.問繩子共被剪成了多少段？【答案】90【解析】只需先計(jì)算剪了多少刀，再加上1即為剪成的段數(shù).從一端開始，將繩上距離

9、這個端點(diǎn)整數(shù)厘米數(shù)的點(diǎn)編號，并將距離長度作為編號.有1180, 3的倍數(shù)有罟二60個，4的倍數(shù)有I=45個，而既是3的倍數(shù)，又是4的倍數(shù)的數(shù)一泄是12的倍數(shù)，所以這樣的數(shù)有罟15個 注意到180厘米處的無法標(biāo)上記號，所以剪了 (60-1) + (45-1)715-1)二89,所以繩子被剪成 89+1=90 段.【知識點(diǎn)】容斥原理【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】3【試題來源】【題目】50爼同學(xué)面向老師站成一行.老師先讓大家從左至右按1, 2, 3,，49, 50依次 報數(shù)：再讓報數(shù)是4的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)，接著又讓報數(shù)是6的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn).問：現(xiàn) 在面向老師的同學(xué)還有多少名？【答案】38【解析】

10、在轉(zhuǎn)過兩次后，而向老師的同學(xué)分成兩類：第一類是標(biāo)號既不是4的倍數(shù)，又不是6的倍數(shù)；第二類是標(biāo)號既是4的倍數(shù)又是6的倍 數(shù).150之間，4的倍數(shù)有2, 6的倍數(shù)有¥=8,即是4的倍數(shù)又是6的倍數(shù)的數(shù)一 定是12的倍數(shù)，所以有罟二4.于是，第一類同學(xué)有50-12-8+4=34人，第二類同學(xué)有4人，所以現(xiàn)在共有34+4=38名同學(xué) 而向老師.【知識點(diǎn)】容斥原理【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】2【試題來源】【題目】在游藝會上，有100名同學(xué)抽到了標(biāo)簽分別為1至IOo的獎券.按獎券標(biāo)簽號發(fā)放 獎品的規(guī)則如下：(1)標(biāo)簽號為2的倍數(shù)，獎2支鉛筆；（2）標(biāo)簽號為3的倍數(shù)，獎3支鉛筆；（3）標(biāo)簽號既

11、是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)可重復(fù)領(lǐng)獎；（4）其他標(biāo)簽號均獎1支鉛筆.那么游藝會為該項(xiàng)活動準(zhǔn)備的獎品鉛筆共有多少支？【答案】232【解析】1Io0, 2的倍數(shù)有罟與0, 3的倍數(shù)有斗目二33個，因?yàn)榧仁?的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)的數(shù)一泄是6的倍數(shù)，所以標(biāo)簽為這樣的數(shù)有 罟 二16個.于是，既不是2的倍數(shù),又不是3的倍數(shù)的數(shù)在1Ioo中有100-50-33+16=33.所以，游藝會為該項(xiàng)活動準(zhǔn) 備的獎品鉛筆共有：50×2÷33× 3+33X1=232支.【知識點(diǎn)】容斥原理【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】2【試題來源】【題目】有若干卡片，每張卡片上寫著一個數(shù)，它是3的倍數(shù)或4

12、的倍數(shù)，英中標(biāo)有3的倍2 3數(shù)的卡片占一，標(biāo)有4的倍數(shù)的卡片占二，標(biāo)有12的倍數(shù)的卡片有15張.那么，這些卡3 4片一共有多少張？【答案】36【解析】設(shè)這些卡片的總數(shù)為“1”，而標(biāo)有12的倍數(shù)的卡片既屬于3的倍數(shù)又屬于4的倍數(shù).'2" h3h所以有- + -15 = Hr,解得“1”對應(yīng)36張.34即這些卡片一共有36張.【知識點(diǎn)】容斥原理【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】2【試題來源】【題目】東河小學(xué)畫展上展出了許多幅畫，其中有16幅畫不是六年級的，有15幅畫不是五年級的現(xiàn)知道五、六年級共有25幅畫，那么其他年級的畫共有多少幅？【答案】3【解析】將東河小學(xué)分成3個部分，六年級

13、、五年級、英他年級，那么有五年級和其他年級 共作畫16幅，六年級和其他年級共作畫15幅.而五、六年級共作畫25幅，所以苴他年級 的IEJ共有（16+15-25） ÷2=3 帽.【知識點(diǎn)】容斥原理【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】2【試題來源】【題目】在從1至IOOO的自然數(shù)中，既不能被5除盡，又不能被7除盡的數(shù)有多少個?【答案】686【解析】1IOOO之間，5的倍數(shù)有=200個,7的倍數(shù)有二142個，因?yàn)榧仁?的倍數(shù)，又是7的倍數(shù)的數(shù)一左是35的倍數(shù)，所以這樣的數(shù)有罟二28個.所以既不能被5除盡，又不能被7除盡的數(shù)有1000-200-142+-28=686個. 【知識點(diǎn)】容斥原理【適用

14、場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】1【試題來源】【題目】五年級三班學(xué)生參加課外興趣小組，每人至少參加一項(xiàng)其中有25人參加自然興 趣小組，35人參加美術(shù)興趣小組，27人參加語文興趣小組，參加語文同時又參加美術(shù)興趣 小組的有12人，參加自然同時又參加美術(shù)興趣小組的有8人，參加自然同時又參加語文興 趣小組的有9人，語文、美術(shù).自然3科興趣小組都參加的有4人.求這個班的學(xué)生人數(shù)【答案】62【解析】設(shè)參加自然興趣小組的人組成集合A,參加美術(shù)興趣小組的 人組成集合日，參加語文興趣小組的人組成集合C. =25, IBI =35, C=27, BC=12, IAelBI =8, AC 二9, IAnBnq二4.4us

15、uq 二 4+B+q-ab 卜 WnqIBnq+4Bq.所以，這個班中至少參加一項(xiàng)活動的人有25+35+27-12-8-9+4二62,而這個班每人至少參加 一項(xiàng)即這個班有62人.【知識點(diǎn)】容斥原理 【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】2【試題來源】【題目】如圖，已知甲、乙、丙3個圓的面積均為30,甲與乙、 乙與丙、甲與丙重合部分的面積分別為6, 8, 5,而3個圓覆蓋 的總而積為73.求陰影部分的而積.【答案】58【解析】設(shè)甲圓組成集合A,乙圓組成集合B,丙圓組成集合C.IAI = IBI = ICI=30, AB=6, BC=8, AC=5, IAUBUCI=73, 而 Bc=+z?I-ICI-

16、IAB-BC-AC+AC.有 73=30×3-6-8-5+ABC,即IArlBrlq二2,即甲、乙、丙三者的公 共面積（部分而積）為2那么只是甲與乙（），乙與丙（），甲與丙（） 的公共的而積依次為6-2=4, 8-2=6, 5-2=3,所以有陰影部分（.、部分之和）的面積為 73-4-6-3-2=58.【知識點(diǎn)】容斥原理【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】3【試題來源】【題目】四年級一班有46名學(xué)生參加3項(xiàng)課外活動.其中有24人參加了數(shù)學(xué)小組，20人 參加了語文小組，參加文藝小組的人數(shù)是既參加數(shù)學(xué)小組也參加文藝小組人數(shù)的3. 5倍， 又是3項(xiàng)活動都參加人數(shù)的7倍，既參加文藝小組也參加語文

17、小組的人數(shù)相當(dāng)于3項(xiàng)都參 加的人數(shù)的2倍，既參加數(shù)學(xué)小組又參加語文小組的有10人.求參加文藝小組的人數(shù).【答案】21【解析】設(shè)參加數(shù)學(xué)小組的學(xué)生組成集合A，參加語文小組的學(xué)生組成集合B,參加文藝小 組的學(xué)生組成集合G.三者都參加的學(xué)生有Z人.有 IAUBUCI=46,A=24,B=20,C=3.5,AC=7ABC,BC=2AC, IqnBI 二 io.因?yàn)?IAUBUq=IAI+b+c-Ar）BITAnq-IBrIq+1AnBnq ,所以46=24+20÷7x-10-2x-2x+x解得X二3,即三者的都參加的有3人.那么參加文藝小組的有3 ×7=21 人.【知識點(diǎn)】容斥原理

18、【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】3【試題來源】【題目】圖書室有100本書，借閱圖書者需在圖書上簽名已知這100本書中有甲、乙、丙 簽名的分別有33, 44和55本，其中同時有甲、乙簽名的圖書為29本，同時有甲、丙簽劃 的圖書為25本，同時有乙、丙簽名的圖書為36本問這批圖書中最少有多少本沒有被甲.乙.丙中的任何一人借閱過？【答案】33【解析】設(shè)甲借過的書組成集合A,乙借過的書組成集合B,丙借過的書組 成集合C.=33, B=44, c=55, IAnBl二29, Plnq=25, IBnq= 36.本題只需算出甲、乙、丙中至少有一人借過的書的最大值，再將其與100作差即可.IAUBUq=IAl

19、+b+c - PInBl-PInq TBnq+1AnBnCl,當(dāng) IAnBnq 最大 時，IAUBUq有最大值.也就是說當(dāng)三人都借過的書最多時，甲、乙、丙中至少有一人借過的書最多.而ab q最大不超過.冏、IAnBljBnqj4q 6個數(shù)中的最小值， 所以AZCl最大為25.此時IAUBUq二33+44+55-29-25-36+25二67,即三者至少有一人借過的書最多為67本，所 以這批圖書中最少有33本沒有被甲、乙、丙中的任何一人借閱過.【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】3【試題來源】【題目】如圖，5條同樣長的線段拼成了一個五角星.如果每條線段 上恰有1994個點(diǎn)被染成紅色，那么在這個五角星上

20、紅色點(diǎn)最少有多 少個？【答案】9960【解析】如下圖，下圖中“O"位置均有兩條線段通過，也就是交點(diǎn)，如 果這些交點(diǎn)所對應(yīng)的線段都在“ O ”位宜恰有紅色點(diǎn)，那么在五角星上重 疊的紅色點(diǎn)最多，所以此時顯現(xiàn)的紅色點(diǎn)最少，有1994X5-(2-1) × 10=9960 個.【知識點(diǎn)】容斥原理【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】2【試題來源】【題目】甲、乙、丙同時給100盆花澆水.已知甲澆了 78盆，乙澆了 68盆，丙澆了 58盆， 那么3人都澆過的花最少有多少盆？【答案】4【解析】只考慮甲乙兩人情況，有甲、乙都澆過的最少為：78+68-100=46盆，此時甲單獨(dú)澆 過的為78-46=32盆，乙單獨(dú)澆過的為68-46=22盆：欲使甲、乙、丙三人都澆過的花最少時，應(yīng)將丙澆過的花盡量分散在兩端。于是三者都澆過 花最少為58-32-22=4盆.【知識點(diǎn)】容斥原理【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】3【試題來源】【題目】甲.乙、丙都在讀同-一本故事書，書中有100個故事每個人都從某一個故事開 始，按順序往后讀已知甲讀了 75個故事，乙讀了 60個故事，丙讀了 52個故事那么甲、乙、丙3人共同讀過的故事最少有多少個？【答案】12甲40 I 甲.乙35(乙25丙52【解析】只考慮甲乙兩人情況，有甲、乙都讀過的最少為:75+60-100=35個，此時甲單獨(dú)讀過的為75-35