機(jī)械振動課件(單自由度)

1、2單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動3令令 x 為位移，以質(zhì)量塊的靜平衡位置為位移，以質(zhì)量塊的靜平衡位置為坐標(biāo)原點，為坐標(biāo)原點，為靜變形。為靜變形。當(dāng)系統(tǒng)受到初始擾動時，由牛頓第當(dāng)系統(tǒng)受到初始擾動時，由牛頓第二定律，得：二定律，得： )(xkmgxm kmg 在靜平衡位置：在靜平衡位置： 固有振動或自由振動微分方程固有振動或自由振動微分方程 ： 0 kxxm 單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動0mx靜平衡位置靜平衡位置彈簧原長位置彈簧原長位置k0 x靜平衡位置靜平衡位置彈簧原長位置彈簧原長位置mk456固有振動或自由振動微分方程固有振動或自由振動微分方程 ： 0kxxm 令令 ：

2、mk0單位：弧度單位：弧度/秒（秒（rad/s） 020 xx 則有則有 ： 通解通解 ： )sin()cos()(0201tctctx ：21,cc任意常數(shù)，由初始條件決定任意常數(shù)，由初始條件決定 )sin(0 tA2221ccA211cctg振幅振幅 ： 初相位初相位 ： 固有頻率固有頻率單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動70 kxxm mk0020 xx 2221ccA211cctg)sin()cos()(0201tctctx )sin(0 tA單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動xt0A00/2T80 kxxm mk0020 xx 2221ccA211cctg系統(tǒng)固有的數(shù)值特

3、征，與系統(tǒng)是否正在振動著以及如系統(tǒng)固有的數(shù)值特征，與系統(tǒng)是否正在振動著以及如何進(jìn)行振動的方式都毫無關(guān)系何進(jìn)行振動的方式都毫無關(guān)系 ：0不是系統(tǒng)的固有屬性的數(shù)字特征，與系統(tǒng)過去所受到不是系統(tǒng)的固有屬性的數(shù)字特征，與系統(tǒng)過去所受到過的激勵和考察開始時刻系統(tǒng)所處的狀態(tài)有關(guān)過的激勵和考察開始時刻系統(tǒng)所處的狀態(tài)有關(guān) ：,A)sin()cos()(0201tctctx )sin(0 tA單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動9考慮系統(tǒng)在初始擾動下的自由振動考慮系統(tǒng)在初始擾動下的自由振動 )sin()cos()(0201tctctx )sin(0 tA設(shè)設(shè) 的初始位移和初始速度為：的初始位移和初始速度為：

4、 txx )(xx )()sin()cos(02011bbc )cos()sin(02012bbc 令令 ： )(sin)(cos)(0201 tbtbtx有有 ： xb 102xb 單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動)sin()cos()(00000txtxtx 10時刻以后的自由振動解為：時刻以后的自由振動解為： txtxtx000sincos零時刻的初始條件：零時刻的初始條件： 0)0(xx 0)0(xx20020 xxA0001xxtg 零初始條件下的自由振動：零初始條件下的自由振動： )sin(0 tA單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動11)sin()cos()(0000

5、0txtxtx 零初始條件下的自由振動：零初始條件下的自由振動： )sin(0 tA無阻尼的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)受到初始擾動后，其自由振動是以無阻尼的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)受到初始擾動后，其自由振動是以 為振動頻率的簡諧振動，并且永無休止。為振動頻率的簡諧振動，并且永無休止。 0初始條件的說明：初始條件的說明： 初始條件是外界能量轉(zhuǎn)入的一初始條件是外界能量轉(zhuǎn)入的一種方式，有初始位移即轉(zhuǎn)入了種方式，有初始位移即轉(zhuǎn)入了彈性勢能，有初始速度即轉(zhuǎn)入彈性勢能，有初始速度即轉(zhuǎn)入了動能。了動能。 單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動xt0A00/2T0 x12)sin()cos()(00000txtxtx 零初始條件下的

6、自由振動：零初始條件下的自由振動： )sin(0 tA無阻尼的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)受到初始擾動后，其自由振動是以無阻尼的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)受到初始擾動后，其自由振動是以 為振動頻率的簡諧振動，并且永無休止。為振動頻率的簡諧振動，并且永無休止。 0單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動1314固有頻率計算的另一種方式：固有頻率計算的另一種方式： 0 kxxm mk0kmg 在靜平衡位置：在靜平衡位置： gmk0則有：則有： 對于不易得到對于不易得到 m 和和 k 的系統(tǒng)，若能測出靜變形的系統(tǒng)，若能測出靜變形 ，則用，則用該式計算是較為方便的該式計算是較為方便的 。單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動0m

7、x靜平衡位置靜平衡位置彈簧原長位置彈簧原長位置k15例：例： 提升機(jī)系統(tǒng)提升機(jī)系統(tǒng)重物重重物重 量量NW51047. 1 鋼絲繩的彈簧剛度鋼絲繩的彈簧剛度 cmNk/1078. 54重物以重物以 的速度均勻下降的速度均勻下降 min/15mv 求：求：繩的上端突然被卡住時，（繩的上端突然被卡住時，（1）重物的振動頻率，）重物的振動頻率，（2）鋼絲繩中的最大張力。）鋼絲繩中的最大張力。 單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動Wv16解：解：sradWgk/6 .190振動頻率振動頻率重物勻速下降時處于靜平衡位重物勻速下降時處于靜平衡位置，若將坐標(biāo)原點取在繩被卡置，若將坐標(biāo)原點取在繩被卡住瞬時重

8、物所在位置住瞬時重物所在位置 則則 t=0 時，有：時，有： 00 xvx 0)()6 .19sin(28. 1)sin()(00cmttvtx )sin()cos()(00000txtxtx 振動解：振動解： 單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動W靜平衡位置靜平衡位置kxWv17)( )6 .19sin(28. 1)sin()(00cmttvtx 振動解：振動解： 繩中的最大張力等于靜張力與因振動引起繩中的最大張力等于靜張力與因振動引起的動張力之和的動張力之和 ：)(1021. 2 1074. 01047. 1 555maxNkAWkATTs 動張力幾乎是靜張力的一半動張力幾乎是靜張力的

9、一半 由于由于 kmvvkkA0為了減少振動引起的動張力，應(yīng)當(dāng)降低升降系統(tǒng)的剛度為了減少振動引起的動張力，應(yīng)當(dāng)降低升降系統(tǒng)的剛度 單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動Wv18例：例： 重物落下，與簡支梁做完全非彈性碰撞重物落下，與簡支梁做完全非彈性碰撞梁長梁長 L，抗彎剛度，抗彎剛度 EJ求：求：梁的自由振動頻率和最大撓度梁的自由振動頻率和最大撓度單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動mh0l/2l/219解：解：由材料力學(xué)由材料力學(xué) ：自由振動頻率為自由振動頻率為 ： EJmgl483g0單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動取平衡位置取平衡位置以梁承受重物時的靜平以梁承受重物時的靜

10、平衡位置為坐標(biāo)原點建立衡位置為坐標(biāo)原點建立坐標(biāo)系坐標(biāo)系靜變形靜變形348mlEJmh0l/2l/2x靜平衡位置靜平衡位置)sin()cos()(00000txtxtx 20撞擊時刻為零時刻，則撞擊時刻為零時刻，則 t=0 時，有：時，有： 0 x則自由振動振幅為則自由振動振幅為 ：20020 xxA梁的最大擾度：梁的最大擾度： Amax單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動h22ghx20mh0l/2l/2x靜平衡位置靜平衡位置21例：圓盤轉(zhuǎn)動例：圓盤轉(zhuǎn)動圓盤轉(zhuǎn)動慣量圓盤轉(zhuǎn)動慣量 I在圓盤的靜平衡位置上任意選一根在圓盤的靜平衡位置上任意選一根半徑作為角位移的起點位置半徑作為角位移的起點位置0

11、kI Ik /0 扭振固有頻率扭振固有頻率020 單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動為軸的扭轉(zhuǎn)剛度，定義為使得圓盤為軸的扭轉(zhuǎn)剛度，定義為使得圓盤產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角所需的力矩產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角所需的力矩)/(radmN kkI由牛頓第二定律：由牛頓第二定律：22由上例可看出，除了選擇了坐標(biāo)不同之外，由上例可看出，除了選擇了坐標(biāo)不同之外，角振動角振動與與直線振直線振動動的數(shù)學(xué)描述是完全相同的。如果在彈簧質(zhì)量系統(tǒng)中將的數(shù)學(xué)描述是完全相同的。如果在彈簧質(zhì)量系統(tǒng)中將 m、k 稱為廣義質(zhì)量及廣義剛度，則彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的有關(guān)結(jié)論完稱為廣義質(zhì)量及廣義剛度，則彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的有關(guān)結(jié)論完全適用于角振動。以后不加特別聲明時，

12、彈簧質(zhì)量系統(tǒng)是廣全適用于角振動。以后不加特別聲明時，彈簧質(zhì)量系統(tǒng)是廣義的義的 。0 kxxm mk /0單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動0kI Ik /0 kI0mx靜平衡位置靜平衡位置彈簧原長位置彈簧原長位置k23從前面兩種形式的振動看到，單自由度無阻尼系統(tǒng)總包含著從前面兩種形式的振動看到，單自由度無阻尼系統(tǒng)總包含著慣性元件慣性元件和和彈性元件彈性元件兩種基本元件，慣性元件是感受加速度兩種基本元件，慣性元件是感受加速度的元件，它表現(xiàn)為系統(tǒng)的質(zhì)量或轉(zhuǎn)動慣量，而彈性元件是產(chǎn)的元件，它表現(xiàn)為系統(tǒng)的質(zhì)量或轉(zhuǎn)動慣量，而彈性元件是產(chǎn)生使系統(tǒng)恢復(fù)原來狀態(tài)的恢復(fù)力的元件，它表現(xiàn)為具有剛度生使系統(tǒng)恢復(fù)

13、原來狀態(tài)的恢復(fù)力的元件，它表現(xiàn)為具有剛度或扭轉(zhuǎn)剛度度的彈性體。同一個系統(tǒng)中，若慣性增加，則使或扭轉(zhuǎn)剛度度的彈性體。同一個系統(tǒng)中，若慣性增加，則使固有頻率降低，而若剛度增加，則固有頻率增大。固有頻率降低，而若剛度增加，則固有頻率增大。 單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動0 kxxm mk /00kI Ik /0 kI0mx靜平衡位置靜平衡位置彈簧原長位置彈簧原長位置k24例：復(fù)擺（物理擺）例：復(fù)擺（物理擺）剛體質(zhì)量剛體質(zhì)量 m對懸點的轉(zhuǎn)動慣量對懸點的轉(zhuǎn)動慣量 0I重心重心 C 求：求：復(fù)擺在平衡位置附近做微振動時的微分方程和固有頻率復(fù)擺在平衡位置附近做微振動時的微分方程和固有頻率 單自由度

14、系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動mg0Ia0C25解：解：由動量矩定律由動量矩定律 ：0sin0mgaI 因為微振動：因為微振動：sin則有則有 ：00mgaI 00/Imga固有頻率固有頻率 ：實驗確定復(fù)雜形狀物體的轉(zhuǎn)動慣量的一個方法實驗確定復(fù)雜形狀物體的轉(zhuǎn)動慣量的一個方法 若已測出物體的固有頻率若已測出物體的固有頻率 ，則可求出，則可求出 ，再由移軸定，再由移軸定理，可得物質(zhì)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量：理，可得物質(zhì)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量： 00I20maIIc單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動mg0Ia0C26單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動例：彈簧質(zhì)量系統(tǒng)沿光滑斜面做自由振動例：彈簧質(zhì)量系

15、統(tǒng)沿光滑斜面做自由振動斜面傾角斜面傾角 300質(zhì)量質(zhì)量 m=1kg彈簧剛度彈簧剛度 k=49N/cm開始時彈簧無伸長，且速度為零開始時彈簧無伸長，且速度為零求：求： 系統(tǒng)的運(yùn)動方程系統(tǒng)的運(yùn)動方程m300k重力角速度取重力角速度取 9.8)/(70 1/1049 /20sradmk 27單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動解：解：x0以靜平衡位置為坐標(biāo)原點以靜平衡位置為坐標(biāo)原點建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系振動固有頻率：振動固有頻率：振動初始條件：振動初始條件：0030sin mgkx)(1 . 00cmx 考慮方向考慮方向)sin()cos()(00000txtxtx 00 x 初始速度：初始速度：

16、運(yùn)動方程：運(yùn)動方程：)()70cos(1 . 0)(cmttx m300k28單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動29 能量法能量法對于不計阻尼即認(rèn)為沒有能量損失的單自由度系統(tǒng)，也可以對于不計阻尼即認(rèn)為沒有能量損失的單自由度系統(tǒng)，也可以利用利用能量守恒原理能量守恒原理建立自由振動的微分方程，或直接求出系建立自由振動的微分方程，或直接求出系統(tǒng)的固有頻率。統(tǒng)的固有頻率。無阻尼系統(tǒng)為無阻尼系統(tǒng)為保守系統(tǒng)保守系統(tǒng)，其，其機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒，即動能，即動能 T 和勢能和勢能 V 之和保持不變之和保持不變 ，即：，即：constVT0VTdtd或：或：單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動3031

17、彈簧質(zhì)量系統(tǒng)彈簧質(zhì)量系統(tǒng) 動能：動能：221xmT 勢能：勢能：mgx （重力勢能）（重力勢能）（彈性勢能）（彈性勢能）dxxkx0)(0VTdtd0)( xkxxm dxxkmgxVx0 不可能恒為不可能恒為 0 x 0 kxxm 單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動kmg 221kxxkmgx221kx0mx靜平衡位置靜平衡位置彈簧原長位置彈簧原長位置k32如果將坐標(biāo)原點不是取在系統(tǒng)的靜平衡如果將坐標(biāo)原點不是取在系統(tǒng)的靜平衡位置，而是取在彈簧為自由長時的位置位置，而是取在彈簧為自由長時的位置 動能：動能：221xmT 勢能：勢能：xkxdxmgxV00 xkxxmgxxm 0VTdtd

18、mgkxxm 設(shè)新坐標(biāo)設(shè)新坐標(biāo) kmgxy0 kyym 單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動221 kxmgx x0mx靜平衡位置靜平衡位置k33單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動34考慮兩個特殊位置上系統(tǒng)的能量考慮兩個特殊位置上系統(tǒng)的能量 靜平衡位置上，系統(tǒng)勢靜平衡位置上，系統(tǒng)勢能為零，動能達(dá)到最大能為零，動能達(dá)到最大021max2maxmaxVxmT最大位移位置，系統(tǒng)動最大位移位置，系統(tǒng)動能為零，勢能達(dá)到最大能為零，勢能達(dá)到最大2maxmaxmax210kxVTconstVT)sin()(0tAtxmk /0max0maxxx單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動maxmaxV

19、Tmax0max對于轉(zhuǎn)動：對于轉(zhuǎn)動：x 是廣義的是廣義的0mx靜平衡位置靜平衡位置k靜平衡位置靜平衡位置最大位移位置最大位移位置xmax0mxk35例：如圖所示是一個倒置的擺例：如圖所示是一個倒置的擺 擺球質(zhì)量擺球質(zhì)量 m剛桿質(zhì)量忽略剛桿質(zhì)量忽略 每個彈簧的剛度每個彈簧的剛度 2k求求:(1) 倒擺作微幅振動時的固有頻率倒擺作微幅振動時的固有頻率(2) 擺球擺球 時，測得頻率時，測得頻率 為為 ， 時，測時，測得頻率為得頻率為 ， 問擺球質(zhì)量為多少千克時恰問擺球質(zhì)量為多少千克時恰使系統(tǒng)處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)？使系統(tǒng)處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)？ kgm9 . 0fHZ5 . 1kgm8 . 1HZ75. 0

20、單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動lmak/2k/236解法解法1：廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo)動能動能2222121mlIT勢能勢能maxmaxUTmax0max220mlmglka 平衡位置平衡位置1cos1212122mglakV零平衡位置零平衡位置1單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動)(21 222mglka22222sin2112121 mglka22)(21 mglka lmak/2k/237解法解法2：平衡位置平衡位置2動能動能2222121mlIT勢能勢能cos212122mglakV0)(2222 mglkaml 0 UTdtd0)(2222mglkaml 220mlmglk

21、a 零平衡位置零平衡位置2單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動2sin2121 222mglka2222121 mglmglkamglmglka22)(21 lmak/2k/238單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動例：均質(zhì)圓柱例：均質(zhì)圓柱質(zhì)量質(zhì)量m，半徑，半徑R與地面純滾動與地面純滾動在在A、B點掛有彈簧點掛有彈簧確定系統(tǒng)微振動的固有頻率確定系統(tǒng)微振動的固有頻率k1abRk1k2k2AB39平面運(yùn)動剛體的動能平面運(yùn)動剛體的動能 剛體的平面運(yùn)動可以分剛體的平面運(yùn)動可以分解為隨質(zhì)心的平移和相對于質(zhì)心平移參考系的轉(zhuǎn)動。解為隨質(zhì)心的平移和相對于質(zhì)心平移參考系的轉(zhuǎn)動。根據(jù)柯希尼定理根據(jù)柯希尼定

22、理222121zCJmvT平面運(yùn)動剛體的動能等于剛體隨質(zhì)心平移的動平面運(yùn)動剛體的動能等于剛體隨質(zhì)心平移的動能與相對于質(zhì)心平移參考系的轉(zhuǎn)動動能之和。能與相對于質(zhì)心平移參考系的轉(zhuǎn)動動能之和。 iriiCivmvmT22i21)(2140單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動解：解：k1abRk1k2k2AB廣義坐標(biāo)：圓柱微轉(zhuǎn)角廣義坐標(biāo)：圓柱微轉(zhuǎn)角圓柱做一般運(yùn)動，由柯希圓柱做一般運(yùn)動，由柯希尼定理，動能：尼定理，動能：22)23(21mRT C點為運(yùn)動瞬心點為運(yùn)動瞬心勢能：勢能：CA點速度：點速度：)(aRvAB點速度：點速度：)(bRvB)(aRxA)(bRxB222221)(2(21)(2(2

23、1bRkaRkU任何質(zhì)點組的總動能都可以等于質(zhì)點組全任何質(zhì)點組的總動能都可以等于質(zhì)點組全部質(zhì)量集中質(zhì)心而運(yùn)動時的動能與質(zhì)點組部質(zhì)量集中質(zhì)心而運(yùn)動時的動能與質(zhì)點組中各質(zhì)點相對質(zhì)心運(yùn)動時的動能之和中各質(zhì)點相對質(zhì)心運(yùn)動時的動能之和 41單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動解：解：k1abRk1k2k2AB動能：動能：22)23(21mRT 勢能：勢能：C222221)(2(21)(2(21bRkaRkUmax0maxmaxmax,UT)1 ()1 (342/3)()( 222212222120RbkRakmmRbRkaRk)1 ()1 (3422210RbkRakm42單自由度系統(tǒng)自由振動單自由

24、度系統(tǒng)自由振動k1Rk2M m 例：例：鉛垂平面內(nèi)一個滑輪鉛垂平面內(nèi)一個滑輪- -質(zhì)量質(zhì)量- -彈簧系統(tǒng)彈簧系統(tǒng)確定系統(tǒng)微振動的固有頻率確定系統(tǒng)微振動的固有頻率滑輪為勻質(zhì)圓柱滑輪為勻質(zhì)圓柱 ，繩子不可伸，繩子不可伸長，且與滑輪間無滑動，繩右下長，且與滑輪間無滑動，繩右下端與地面固結(jié)。端與地面固結(jié)。 43單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動解：解：k1Rk2M m 廣義坐標(biāo)：質(zhì)量塊的垂直位移廣義坐標(biāo)：質(zhì)量塊的垂直位移 x動能：動能：x2222)2)(21(21)21(2121RxMRxMxmT2)8141(21xMMm2)83(21xMm2122)21(2121xkxkU勢能：勢能：212)

25、41(21xkk 44單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動解：解：k1Rk2M m 廣義坐標(biāo)：質(zhì)量塊的垂直位移廣義坐標(biāo)：質(zhì)量塊的垂直位移 x動能：動能：x2)83(21xMmT勢能：勢能：212)41(21xkkUmMkk83822120max0maxmaxmax,UTmMkk838221045單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動46 瑞利法瑞利法利用能量法求解固有頻率時，對于系統(tǒng)的動能的計算只考慮利用能量法求解固有頻率時，對于系統(tǒng)的動能的計算只考慮了慣性元件的動能，而忽略不計彈性元件的質(zhì)量所具有的動了慣性元件的動能，而忽略不計彈性元件的質(zhì)量所具有的動能，因此算出的固有頻率是實際值的上

26、限。這種簡化方法在能，因此算出的固有頻率是實際值的上限。這種簡化方法在許多場合中都能滿足要求，但有些工程問題中，彈性元件本許多場合中都能滿足要求，但有些工程問題中，彈性元件本身的質(zhì)量因占系統(tǒng)總質(zhì)量相當(dāng)大的比例而不能忽略，否則算身的質(zhì)量因占系統(tǒng)總質(zhì)量相當(dāng)大的比例而不能忽略，否則算出的固有頻率明顯偏高。出的固有頻率明顯偏高。單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動mkx047例如：彈簧質(zhì)量系統(tǒng)例如：彈簧質(zhì)量系統(tǒng)設(shè)彈簧的動能設(shè)彈簧的動能: 221xmTtt 系統(tǒng)最大動能：系統(tǒng)最大動能： 2max2maxmax2121xmxmTt系統(tǒng)最大勢能：系統(tǒng)最大勢能： 2maxmax21kxVmax0maxxx

27、tmmk 0若忽略若忽略 ，則，則 增大增大 tm0單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動2max)(21xmmttm彈簧等效質(zhì)量彈簧等效質(zhì)量 mtmkx048單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動49 等效質(zhì)量和等效剛度等效質(zhì)量和等效剛度方法方法1：選定廣義位移坐標(biāo)后，將系統(tǒng)得動能、勢能寫成如下形式：選定廣義位移坐標(biāo)后，將系統(tǒng)得動能、勢能寫成如下形式： 221xMTe 221xKVe 當(dāng)當(dāng) 、 分別取最大值時：分別取最大值時：x x則可得出：則可得出： maxTT maxVV eeMK /0 Ke：簡化系統(tǒng)的等效剛度：簡化系統(tǒng)的等效剛度Me：簡化系統(tǒng)的等效質(zhì)量：簡化系統(tǒng)的等效質(zhì)量 這里等

28、效的含義是指簡化前后的系統(tǒng)的動能和勢這里等效的含義是指簡化前后的系統(tǒng)的動能和勢能分別相等能分別相等 單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動50動能動能2221mlT 勢能勢能220mlmglka 22)(21mglkaV2mlMemglkaKe2單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動零平衡位置零平衡位置1lmak/2k/222)23(21mRT 5122221)(2()(2(21bRkaRkU單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動k1abRk1k2k2AB動能動能勢能勢能223mRMe2221)(2()(2(bRkaRkKe2/3)()( 22222120mRbRkaRk52單自由度系統(tǒng)

29、自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動k1Rk2M m x動能動能勢能勢能2)83(21xMmT212)41(21xkkUmMkk83822120MmMe831241kkKe53方法方法2：定義法：定義法等效剛度：等效剛度：使系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而需要在此使系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而需要在此坐標(biāo)方向上施加的力，叫做系統(tǒng)在這個坐標(biāo)上的坐標(biāo)方向上施加的力，叫做系統(tǒng)在這個坐標(biāo)上的等效剛度等效剛度等效質(zhì)量：等效質(zhì)量：使系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度而需要在使系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度而需要在此坐標(biāo)方向上施加的力，叫做系統(tǒng)在這個坐標(biāo)上此坐標(biāo)方向上施加的力，叫做系統(tǒng)在這個坐標(biāo)上的等效質(zhì)量的等

30、效質(zhì)量 單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動54例：串聯(lián)系統(tǒng)例：串聯(lián)系統(tǒng)11kP22kP總變形：總變形： Pkk)11(21212121kkkkPKe 21111kkKe 在質(zhì)量塊上施加力在質(zhì)量塊上施加力 P彈簧彈簧1變形：變形： 彈簧彈簧2變形：變形： 根據(jù)定義：根據(jù)定義： 或或 P mk1k2單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動使系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而需要在此坐標(biāo)方向上使系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而需要在此坐標(biāo)方向上施加的力，叫做系統(tǒng)在這個坐標(biāo)上的等效剛度施加的力，叫做系統(tǒng)在這個坐標(biāo)上的等效剛度55例：并聯(lián)系統(tǒng)例：并聯(lián)系統(tǒng)兩彈簧變形量相等：兩彈簧變形量相等：受力不等：

31、受力不等：11kP 22kP 在質(zhì)量塊上施加力在質(zhì)量塊上施加力 P由力平衡：由力平衡：)(2121kkPPP 根據(jù)定義：根據(jù)定義：21kkPKe 并聯(lián)彈簧的剛度是原來各個彈簧剛度的總和并聯(lián)彈簧的剛度是原來各個彈簧剛度的總和 P mk1k2單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動 mk1k2使系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而需要在此坐標(biāo)方向上使系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而需要在此坐標(biāo)方向上施加的力，叫做系統(tǒng)在這個坐標(biāo)上的等效剛度施加的力，叫做系統(tǒng)在這個坐標(biāo)上的等效剛度56例：杠桿系統(tǒng)例：杠桿系統(tǒng)杠桿是不計質(zhì)量的剛體杠桿是不計質(zhì)量的剛體求：求：系統(tǒng)對于坐標(biāo)系統(tǒng)對于坐標(biāo) x 的等效質(zhì)量和等效剛度

32、的等效質(zhì)量和等效剛度 單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動k1k2m1m2l1l2l3xeeMK /0 57解法解法1：能量法：能量法動能：動能：212221)(2121xllmxmT 勢能：勢能：213221)(2121xllkxkV221221mllmMe 221231kllkKe 單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動2221221)(21xmllm2221231)(21xkllk 等效質(zhì)量：等效質(zhì)量：等效剛度：等效剛度：固有頻率：固有頻率：k1k2m1m2l1l2l3x221231kllkPKe 58解法解法2：定義法：定義法設(shè)使系統(tǒng)在設(shè)使系統(tǒng)在x方向產(chǎn)生單位加速度需要施加力方向

33、產(chǎn)生單位加速度需要施加力P2122111)() 1(lllmlmPl 221221mllmPMe 設(shè)使系統(tǒng)在設(shè)使系統(tǒng)在x坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移需要施加力坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移需要施加力P3132111)() 1(lllklkPl 單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動則在則在m1、m2上產(chǎn)生慣性力，對支座取矩：上產(chǎn)生慣性力，對支座取矩： 則在則在k1、k2處將產(chǎn)生彈性恢復(fù)力，對支點取矩：處將產(chǎn)生彈性恢復(fù)力，對支點取矩： P122llm 11m1x 11k132llk P1xk1k2m1m2l1l2l3x59單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動60 阻尼自由振動阻尼自由振動前面的自由振動都沒有考慮

34、運(yùn)動中阻力的影響，實際系統(tǒng)前面的自由振動都沒有考慮運(yùn)動中阻力的影響，實際系統(tǒng)的機(jī)械能不可能守恒，因為總存在著各種各樣的阻力。振的機(jī)械能不可能守恒，因為總存在著各種各樣的阻力。振動中將阻力稱為阻尼，例如摩擦阻尼，電磁阻尼，介質(zhì)阻動中將阻力稱為阻尼，例如摩擦阻尼，電磁阻尼，介質(zhì)阻尼和結(jié)構(gòu)阻尼。盡管已經(jīng)提出了許多數(shù)學(xué)上描述阻尼的方尼和結(jié)構(gòu)阻尼。盡管已經(jīng)提出了許多數(shù)學(xué)上描述阻尼的方法，但是實際系統(tǒng)中阻尼的物理本質(zhì)仍然極難確定。法，但是實際系統(tǒng)中阻尼的物理本質(zhì)仍然極難確定。最常用的一種阻尼力學(xué)模型是最常用的一種阻尼力學(xué)模型是粘性阻尼粘性阻尼。在流體中低速運(yùn)。在流體中低速運(yùn)動或沿潤滑表面滑動的物體，通常就

35、認(rèn)為受到粘性阻尼。動或沿潤滑表面滑動的物體，通常就認(rèn)為受到粘性阻尼。 單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動6162粘性阻尼力與相對速度稱正比，即：粘性阻尼力與相對速度稱正比，即： cvPdc：為粘性阻尼系數(shù)，或阻尼系數(shù)：為粘性阻尼系數(shù)，或阻尼系數(shù) msN/單位：單位：0kxxcxm 動力學(xué)方程：動力學(xué)方程：02200 xxx 或?qū)憺椋夯驅(qū)憺椋簃k0kmc2固有頻率固有頻率相對阻尼系數(shù)相對阻尼系數(shù) mkc單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動建立平衡位置，并受力分析建立平衡位置，并受力分析mxcxm x0kx630kxxcxm tex022ncmmk令：令：特征方程：特征方程：特征根：特征

36、根：20mck21,222cckmmm 令：令：02nckmm或或21,21n 21,2001ncccc 64令：令：21,21n 022nccccmmk65動力學(xué)方程：動力學(xué)方程：02200 xxx mk0kmc2令：令：tex特征方程：特征方程：022002特征根：特征根：12002, 1 三種情況：三種情況：111欠阻尼欠阻尼過阻尼過阻尼臨界阻尼臨界阻尼單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動66第一種情況：第一種情況：1欠阻尼欠阻尼動力學(xué)方程：動力學(xué)方程：02200 xxx 特征方程：特征方程：022002特征根：特征根：12002, 1 di02, 1特征根：特征根：201d阻尼固有

37、頻率阻尼固有頻率有阻尼的自由振動頻率有阻尼的自由振動頻率 )sincos()(210tctcetxddt振動解：振動解：c1、c2：初始條件決定：初始條件決定單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動兩個復(fù)數(shù)根兩個復(fù)數(shù)根671欠阻尼欠阻尼)sincos()(210tctcetxddt振動解：振動解：設(shè)初始條件：設(shè)初始條件：0)0(xx0)0(xx)sincos()(00000txxtxetxdddt則：則：)sin()(0tAetxdt或：或：200020)(dwxxxA00001xxxtgd單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動681欠阻尼欠阻尼振動解：振動解：201d阻尼固有頻率阻尼固有頻

38、率阻尼自由振動周期：阻尼自由振動周期：ddT2T0：無阻尼自由振動的周期：無阻尼自由振動的周期阻尼自由振動的周期大于無阻尼自由振動的周期阻尼自由振動的周期大于無阻尼自由振動的周期 單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動2012201T)sin()sincos()(000000tAetxxtxetxdtdddt69tAe0tAe0dTt)(txAA01欠阻尼欠阻尼響應(yīng)圖形響應(yīng)圖形單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動振動解：振動解：)sin()sincos()(000000tAetxxtxetxdtdddt欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動=0 1時間時間位置位置7

39、0不同阻尼，振動衰減的快慢不同不同阻尼，振動衰減的快慢不同單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動不同阻尼大小下的振動衰不同阻尼大小下的振動衰減情況減情況：阻尼?。鹤枘嵝。鹤枘岽螅鹤枘岽笞枘岽?，則振動衰減快阻尼大，則振動衰減快阻尼小，則衰減慢阻尼小，則衰減慢71評價阻尼對振幅衰減快慢的影響評價阻尼對振幅衰減快慢的影響1ii與與 t 無關(guān)，任意兩個相鄰振幅之比均為無關(guān)，任意兩個相鄰振幅之比均為 衰減振動的頻率為衰減振動的頻率為 ，振幅衰減的快慢取決于，振幅衰減的快慢取決于 ，這兩個重要，這兩個重要的特征反映在特征方程的特征根的實部和虛部的特征反映在特征方程的特征根的實部和虛部 d0di02, 1

40、減幅系數(shù)減幅系數(shù)單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動定義為相鄰兩個振幅的比值：定義為相鄰兩個振幅的比值： )(00diiTttAeAedTe0)sin()sincos()(000000tAetxxtxetxdtdddttAe0tAe0dTt)(txAA072ddiiTTttiieAeAe000 )(1減幅系數(shù)：減幅系數(shù)：含有指數(shù)項，不便于工程應(yīng)用含有指數(shù)項，不便于工程應(yīng)用實際中常采用實際中常采用對數(shù)衰減率對數(shù)衰減率 ：diiT01lnln單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動tAe0tAe0dTt)(txAA0dTiie0173實驗求解實驗求解利用相隔利用相隔 j 個周期的兩個個周期的兩

41、個峰值峰值 進(jìn)行求解進(jìn)行求解jiijiijln1得：得：20012diiT01lnln20122 ddT當(dāng)當(dāng) 較小時（較小時（ ） 2 . 02單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動)()(1211jijiiiiij2 212tAe0tAe0dTt)(txAA074第二種情況：第二種情況：1 過阻尼過阻尼動力學(xué)方程：動力學(xué)方程：02200 xxx 特征方程：特征方程：022002特征根：特征根：12002, 1 *02, 1 特征根：特征根：120* 兩個不等的負(fù)實根兩個不等的負(fù)實根 振動解：振動解：c1、c2：初始條件決定：初始條件決定)()(*2*10tshctchcetxt單自由度系統(tǒng)

42、自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動2xxeeshx2xxeechx751 過阻尼過阻尼振動解：振動解：設(shè)初始條件：設(shè)初始條件：0)0(xx0)0(xx則：則：)()(*2*10tshctchcetxt)()(*000*00tshxxtchxetxt一種按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動，沒有振動發(fā)生一種按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動，沒有振動發(fā)生 單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動響應(yīng)圖形響應(yīng)圖形)(tx0 xt076第三種情況：第三種情況：1 臨界阻尼臨界阻尼動力學(xué)方程：動力學(xué)方程：02200 xxx 特征方程：特征方程：022002特征根：特征根：12002, 1 02, 1 特征根：特征根：二重根二

43、重根振動解：振動解：c1、c2：初始條件決定：初始條件決定)()(210tccetxt單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動77振動解：振動解：)()(210tccetxt1 臨界阻尼臨界阻尼0)0(xx0)0(xx則：則：仍然是按指數(shù)規(guī)律衰減仍然是按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運(yùn)動的非周期運(yùn)動)()(00000txxxetxt kmc2臨界阻尼系數(shù)臨界阻尼系數(shù)crckmccr2單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動設(shè)初始條件：設(shè)初始條件：響應(yīng)圖形響應(yīng)圖形)(tx0 xt078tx(t)2 . 014 . 1臨界也是按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運(yùn)動，但比過阻尼衰減快些臨界也是按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運(yùn)動，

44、但比過阻尼衰減快些 三種阻尼情況比較：三種阻尼情況比較：111欠阻尼欠阻尼過阻尼過阻尼臨界阻尼臨界阻尼欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動過阻尼是一種按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動，沒有振動發(fā)生過阻尼是一種按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動，沒有振動發(fā)生 kmccr279小結(jié)：小結(jié)：0kxxcxm 動力學(xué)方程動力學(xué)方程1欠阻尼欠阻尼1過阻尼過阻尼1臨界阻尼臨界阻尼)sincos()(00000txxtxetxdddt201d)()(*000*00tshxxtchxetxt120* 按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動 )()(00000txxxetxt 按指數(shù)規(guī)律衰

45、減的非周期運(yùn)動，比過阻尼衰減快按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運(yùn)動，比過阻尼衰減快 振幅衰減振動振幅衰減振動80例：阻尼緩沖器例：阻尼緩沖器靜載荷靜載荷 P 去除后質(zhì)量塊越過去除后質(zhì)量塊越過平衡位置得最大位移為初始平衡位置得最大位移為初始位移的位移的 10 求：求：緩沖器的相對阻尼系數(shù)緩沖器的相對阻尼系數(shù) 單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動kcx0 x0Pm平衡位置平衡位置81解：解：由題知由題知 0)0(x 設(shè)設(shè)0)0(xx)sincos()(00000txxtxetxdddt求導(dǎo)求導(dǎo) ：textxdtdsin)(0020設(shè)在時刻設(shè)在時刻 t1 質(zhì)量越過平衡位置到達(dá)最大位移，這時速度為：質(zhì)量越過

46、平衡位置到達(dá)最大位移，這時速度為： 0sin)(102010textxdtddt1即經(jīng)過半個周期后出現(xiàn)第一個振幅即經(jīng)過半個周期后出現(xiàn)第一個振幅 x121010011)(exextxxt單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動kcx0 x0Pm平衡位置平衡位置21010011)(exextxxt82由題知由題知 %102101exx解得：解得：59. 0單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動83例：例：單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動剛桿質(zhì)量不計剛桿質(zhì)量不計求：求：（1）寫出運(yùn)動微分方程）寫出運(yùn)動微分方程（2）臨界阻尼系數(shù)，阻尼固有頻率）臨界阻尼系數(shù)，阻尼固有頻率小球質(zhì)量小球質(zhì)量 mlakcmb84解：解：單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動阻尼固有頻率：阻尼固有頻率：無阻尼固有頻率：無阻尼固有頻率：m廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo)0bbkaacllm 力矩平衡：力矩平衡：0222kbcaml 220mlkbmklb0222mlca0222mlcakmmlbca22201d42222421aclkmbml1mkablccr22受力分析受力分析acbklm 02200 xxx 0kxxcxm lakcmb85單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動86 等效粘性阻尼等效粘性阻尼 阻尼在所有振動系統(tǒng)中是客觀存在的阻尼在所有振動系統(tǒng)中是客觀存