矩形的折疊問題(專題)

1、矩形的折疊問題矩形的折疊問題（復習課）（復習課） 幾何研究的對象是：幾何研究的對象是：圖形的形狀、大小、圖形的形狀、大小、位置關系；位置關系； 主要培養(yǎng)三方面的能力：主要培養(yǎng)三方面的能力：思維分析能力、思維分析能力、空間想象能力和邏輯推理能力；空間想象能力和邏輯推理能力； 折疊型問題的特點是：折疊型問題的特點是：折疊后的圖形具折疊后的圖形具有軸對稱圖形的性質；有軸對稱圖形的性質； 兩方面的應用：兩方面的應用：一、在一、在“大小大小”方面的方面的應用；二、在應用；二、在“位置位置”方面的應用。方面的應用。 折疊型問題在折疊型問題在“大小大小”方面的應用，通常有求方面的應用，通常有求線段的長，角的

2、度數，圖形的周長與面積的變化關線段的長，角的度數，圖形的周長與面積的變化關系等問題。系等問題。一、在一、在“大小大小”方面的應方面的應用用1、求線段與線段的大小關系、求線段與線段的大小關系例例1 如圖，如圖，AD是是ABC的中線，的中線， ADC=45，把把ADC沿沿AD對對折，點折，點C落在點落在點C的位置，求的位置，求BC與與BC之間的數量關系。之間的數量關系。ABCDC解解 由軸對稱可知由軸對稱可知 ADC ADC , ADC= ADC=45, CD=CD=BDBC D為為Rt BC= 2 BD= BC 22練習練習1 如圖，有一塊直角三角形如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊紙片，兩直

3、角邊AC=6，BC=8，現將直角邊現將直角邊AC沿直線沿直線AD折疊，折疊，使它落在斜邊使它落在斜邊AB上，且與上，且與AE重重合，則合，則CD等于（等于（ ） (A)2 (B)3 (C )4 (D)5ACBDE例例2 如圖，折疊矩形的一邊如圖，折疊矩形的一邊AD，點，點D落在落在BC邊上點邊上點F處，已知處，已知AB=8，BC=10，則，則EC的長是的長是 。BCADEF解解 設設EC=x，則，則DE=8-x，由軸對稱可，由軸對稱可知：知：EF=DE=8-x，AF=AD=10，又因，又因AB=8，故，故BF=6，故，故FC=BC-BF=4。在。在RtFCE中，中，42+x2=(8-x)2，解

4、之得，解之得x=3B練習練習2 如圖，在梯形如圖，在梯形ABCD中，中，DC AB，將梯形對折，使點，將梯形對折，使點D、C分別落在分別落在AB上的上的D、C處，處，折痕為折痕為EF。若。若CD=3，EF=4，則則AD+BC= 。ABDCFEDC2練習練習3 如圖，將矩形如圖，將矩形ABCD紙片紙片對折，設折痕為對折，設折痕為MN，再把，再把B點疊點疊在折痕線在折痕線MN上，若上，若AB= 3，則，則折痕折痕AE的長為（的長為（ ）。）。 (A) 3 3/2 (B) 3 3/4 (C ) 2 (D) 2 3ABCDBNGMEC2、求角的度數、求角的度數例例3 將長方形將長方形ABCD的紙片，的

5、紙片，沿沿EF折成如圖所示；已知折成如圖所示；已知 EFG=55，則則 FGE= 。BCADFEDCG70練習練習4 如圖，矩形如圖，矩形ABCD沿沿BE折疊，使點折疊，使點C落在落在AD邊上邊上的的F點處，如果點處，如果 ABF=60，則則 CBE等于（等于（ ）。）。 (A)15 (B)30 (C )45 (D)60ABCDEFA http:/ http:/ http:/ 如圖，折疊矩形如圖，折疊矩形ABCD一邊一邊AD，使點使點D落在落在BC邊的一點邊的一點F處，已知折處，已知折痕痕AE=5 5 cm，且，且tan EFC=3/4. (1)求證：求證：AFBFEC； (2)求矩形求矩形A

6、BCD的周長。的周長。BADCEF練習練習5 如圖，將矩形紙片如圖，將矩形紙片ABCD沿一對角線沿一對角線BD折疊一次（折痕折疊一次（折痕與折疊后得到的圖形用虛線表與折疊后得到的圖形用虛線表示），將得到的所有的全等三角示），將得到的所有的全等三角形（包括實線、虛線在內）用符形（包括實線、虛線在內）用符號寫出來。號寫出來。BADCEF練習練習6 如圖，矩形紙片如圖，矩形紙片ABCD，若把若把ABE沿折痕沿折痕BE上翻，使上翻，使A點恰好落在點恰好落在CD上，此時，上，此時，AE:ED=5:3，BE=5 5，求矩形求矩形的長和寬。的長和寬。ADCBEF答案：答案：ABD CDB, CDB EDB,

7、 EDB ABD, ABF EDF.答案：矩形的長為答案：矩形的長為10，寬為，寬為8。4、求線段與面積間的變化關系、求線段與面積間的變化關系例例5 5 已知一三角形紙片已知一三角形紙片ABCABC，面積為，面積為2525，BCBC的長為的長為1010， B B和和 C C都為銳角，都為銳角，M M為為ABAB上的一動點上的一動點(M(M與與A A、B B不重合不重合) )，過點，過點M M作作MNBCMNBC，交，交ACAC于點于點N N，設，設MN=x. MN=x. (1)(1)用用x x表示表示AMNAMN的面積的面積S SAAMN。 (2)AMN(2)AMN沿沿MNMN折疊，設點折疊，

8、設點A A關于關于AMNAMN對稱的點為對稱的點為AA，AMNAMN與四邊形與四邊形BCMNBCMN重疊部分的面積為重疊部分的面積為y.y.試求出試求出y y與與x x的函數關系式，并寫出自變量的函數關系式，并寫出自變量X X的取值范圍；的取值范圍；當當x x為何值時，重疊部分的面積為何值時，重疊部分的面積y y最大，最大為多最大，最大為多少？少？練習練習7 如圖，把一張邊長為如圖，把一張邊長為a的正的正方形的紙進行折疊，使方形的紙進行折疊，使B點落在點落在AD上，問上，問B點落在點落在AD的什么位置時，的什么位置時，折起的面積最小，并求出這最小值。折起的面積最小，并求出這最小值。ABCDME

9、GNABCDMEGNFO解：解： 如圖，設如圖，設MN為折痕，折起部為折痕，折起部分為梯形分為梯形EGNM，B、E關于關于MN對對稱，所以稱，所以BEMN，且，且BO=EO，設，設AE=x，則，則BE= 。由由RtMOB ，得：，得： ，BM= = = .作作NFAB于于F，則有，則有RtMNF ,FM=AE=x,從從而而CN=BM-FM= = 。S梯形梯形BCNM= 。=(x-a/2)2+3/8 a2 . 當當x=a2 時，時，Smin=(38 )a2.例例6 將長方形將長方形ABCD的紙片，的紙片，沿沿EF折成如圖所示，延長折成如圖所示，延長CE交交AD于于H，連結，連結GH。求證：。求證

10、：EF與與GH互相垂直平分?；ハ啻怪逼椒帧CADFEDCGH二、在二、在“位置位置”方面的應用方面的應用 由于圖形折疊后，點、線、面等相應的位置由于圖形折疊后，點、線、面等相應的位置發(fā)生變化，帶來圖形間的位置關系重新組合。發(fā)生變化，帶來圖形間的位置關系重新組合。1、線段與線段的位置關系、線段與線段的位置關系證明：證明：由題意知由題意知FHGE，FGHE， 。又又 ，四邊形四邊形 是是 ，FE與與GH互相垂直平分?；ハ啻怪逼椒帧?、點的位置的確定、點的位置的確定例例7 已知：如圖，矩形已知：如圖，矩形AOBC，以以O為坐標原點，為坐標原點，OB、OA分別分別在在x軸，軸，y軸上，點軸上，點A坐

11、標為坐標為(0,3)，OAB=60，以，以AB為軸對折后，為軸對折后，使使C點落在點落在D點處，求點處，求D點坐標。點坐標。OABCDx y 解由題意知，解由題意知，OA=3，OAB=60，OB=3tan60=33 .RtACB RtADB, AD=AC=OB=33 .OABCDExy過點過點D作作Y軸垂線，垂足為軸垂線，垂足為E，在直角三角形在直角三角形AED中，中，ED= ，AE= ，故，故OE= 。故點故點D的坐標為（的坐標為（3/23 ，- 3/2）。）。練習練習8 如圖，在直角三角形如圖，在直角三角形ABC中，中，C=90，沿著沿著B點的一條直線點的一條直線BE折折疊這個三角形，使疊

12、這個三角形，使C點與點與AB邊上的邊上的一點一點D重合。當重合。當A滿足什么條件時，滿足什么條件時，點點D恰好是恰好是AB的中點？寫出一個你的中點？寫出一個你認為適當的條件，并利用此條件證認為適當的條件，并利用此條件證明明D為為AB中點。中點。ABCED條件：條件：A=30證明：證明：由軸對稱可得，由軸對稱可得，BCE BDE， BC=BD ，在在ABC中，中， C=90 ，A=30 ， BC= AB ， BD = AB ，即點即點D為為AB的中點。的中點。1 1、如圖，將矩形、如圖，將矩形ABCDABCD沿沿AEAE折疊，使點折疊，使點D D落落 在在BCBC邊上的邊上的F F點處。點處。（

13、1 1）若）若BAFBAF6060，求，求EAFEAF的度數；的度數；（2 2）若）若ABAB6cm6cm， ADAD10cm10cm， 求線段求線段CECE的的 長及長及AEFAEF的的 面積面積. .2 2、如圖，矩形紙片、如圖，矩形紙片ABCDABCD中，現將中，現將A A、C C重合，使重合，使紙片折疊壓平，設折痕為紙片折疊壓平，設折痕為EFEF。ABECDFG（1 1）連結）連結CFCF，四邊形，四邊形AECFAECF是是什么特殊的四邊形？為什么？什么特殊的四邊形？為什么？（2 2）若）若ABAB4cm4cm，ADAD8cm8cm，你能求出線段你能求出線段BEBE及折痕及折痕EFEF的的長嗎？長嗎？3 3、在平面直角坐標系中，矩形、在平面直角坐標系中，矩形OABCOABC的兩邊的兩邊OAOA、OCOC分別落在分別落在x x軸，軸，y y軸上，且軸上，且OA=4OA=4，0C=30C=3。（1 1）求對角線）求對角線OBOB所在直線的解析式；所在直線的解析式；OCABxy3 3、在平面直角坐標系中，矩形、