高一函數(shù)的奇偶性

1、 在日常生活中，我們可以觀察到在日常生活中，我們可以觀察到許多對稱現(xiàn)象，如：美麗的蝴蝶，盛許多對稱現(xiàn)象，如：美麗的蝴蝶，盛開的花朵，六角形的雪花晶體，以及開的花朵，六角形的雪花晶體，以及建筑物和它在水中的倒影建筑物和它在水中的倒影.四川曹家大院一景曹家多子院大門二道門水鏡臺曹家大院某院晉祠鼓樓晉祠碩亭太谷民居門墩石獅子xyOxyO f (x)=x2 f (x)=|x|x -2 -1 012 y 41014 x -2 -1 012 y 21012 問題：問題：1、對定義域中的每一個、對定義域中的每一個x，-x是否也在定義域內？是否也在定義域內？2、f(x)與與f(-x)的值有什么的值有什么關系？

2、關系？函函數(shù)數(shù)y=f(x)的的圖圖象象關關于于y軸對稱軸對稱1、對對定定義義域中的每一域中的每一 個個x，-x是也在定是也在定義義 域域內內；2、都有都有f(x)=f(-x) 如果如果對對于函于函數(shù)數(shù)f(x)的定的定義義域域為為A。如果如果對對任意任意的的xA，都有都有 f(-x)= f(x)，那那么稱么稱函函數(shù)數(shù)y=f(x)是偶函是偶函數(shù)數(shù)。 （1）下列說法是否正確，為什么？）下列說法是否正確，為什么？（1）若）若f (2) = f (2)，則函數(shù)，則函數(shù) f (x)是偶函數(shù)是偶函數(shù)（2）若）若f (2) f (2)，則函數(shù)，則函數(shù) f (x)不是偶函數(shù)不是偶函數(shù)（2）下列函數(shù)是否為偶函數(shù)，

3、為什么？）下列函數(shù)是否為偶函數(shù)，為什么？。（A）3 , 2, 1|24 xxxy（B）（C） 0101xxxxy（D）0,1 xRxxy且且 觀察下面兩個函數(shù)填寫表格觀察下面兩個函數(shù)填寫表格-30 xy123-1-2-1123-2-30 xy123-1-2-1123-2-3f(x)=x1( )f xx3210-1-2-3-1x-3-2012 3f(-3)= -3 =0 xy123-1-2-1123-2-3f(-x) -f(x)f(x)=xf(-1)= -1f(-2)= -2 =x-x表（表（3）-f(1)=-f(2)-f(3)=f(x)=x0 xy123-1-2-1123-2-31( )f x

4、x f(-3)= =-f(3)f(-1)= -1 =-f(1)f(-2)= =-f(2)f(-x) = -f(x)13210-2-3x1( )f xx-113121213-11213表（表（4）函數(shù)函數(shù)y=f(x)的圖象的圖象關于原點對稱關于原點對稱1、對定義域中的每一、對定義域中的每一 個個x，-x是也在定義是也在定義 域內；域內；2、都有、都有f(-x)=-f(x) 如果對于函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域為的定義域為A。如果對如果對任意任意一個一個xA，都有都有 f(-x)=- f(x)，那么稱函數(shù)那么稱函數(shù)f(x)是奇函數(shù)是奇函數(shù) 。 判定函數(shù)奇偶性基本方法判定函數(shù)奇偶性基本方法: 定

5、義法定義法: 先看先看定義域定義域是否是否關于原點對稱關于原點對稱, 再看再看f(-x)與與f(x)的關系的關系. 圖象法圖象法: 看圖象是否關于原點或看圖象是否關于原點或y軸對稱軸對稱. 如果一個函數(shù)如果一個函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函是奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么我們就說函數(shù)數(shù)，那么我們就說函數(shù)f(x)具有具有奇偶奇偶性性. 奇函數(shù)奇函數(shù) 偶函數(shù)偶函數(shù) 函數(shù)可劃分為函數(shù)可劃分為四類四類: 既奇又偶函數(shù)既奇又偶函數(shù) 非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)說明：說明： 1、根據(jù)函數(shù)的奇偶性、根據(jù)函數(shù)的奇偶性f(x)=0 xR非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)0 xy123-1-2-1123-2-3如：如：0 xy123-1-2

6、-1123-2-3y=3x+1y=x2+2x0 xy123-1-2-1123-2-3如：如：y=02 2、奇、偶函數(shù)定義的逆命題也成立、奇、偶函數(shù)定義的逆命題也成立，即，即 若若f(x)f(x)為奇函數(shù)，則為奇函數(shù)，則f(-x)=-f(x)有成立有成立. . 若若f(x)f(x)為偶函數(shù)，則為偶函數(shù)，則f(- -x)=f(x)有成立有成立. .3、奇、偶函數(shù)性質：、奇、偶函數(shù)性質： 偶函數(shù)的偶函數(shù)的 定義域關于原點對稱定義域關于原點對稱 圖象關于圖象關于y軸對稱軸對稱 奇函數(shù)的奇函數(shù)的 定義域關于原點對稱定義域關于原點對稱 圖象關于原點對稱。圖象關于原點對稱。如果一個函數(shù)是偶如果一個函數(shù)是偶函

7、數(shù)函數(shù),則則它的圖象它的圖象關于關于y軸對稱軸對稱。y=x2偶函數(shù)的圖像特征偶函數(shù)的圖像特征反過來，反過來，如果一個函數(shù)的圖如果一個函數(shù)的圖象關于象關于y軸對稱，軸對稱，則則這個函數(shù)為偶函這個函數(shù)為偶函數(shù)數(shù)。2( )f xx1 ,2x,是偶函數(shù)嗎？是偶函數(shù)嗎？問題：問題：0 x123-1-2-3123456y不是。不是。性質：偶函數(shù)的定義域關于原點對稱性質：偶函數(shù)的定義域關于原點對稱解解：y=x2例：例：性質：性質：偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上單調性相反。偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上單調性相反。( ),1,f xx x 問題：問題： 是奇函數(shù)嗎？是奇函數(shù)嗎？-30 xy123-1-2-1123

8、-2-3解：解：不是。不是。性質：奇函數(shù)的定義域關于原點對稱。性質：奇函數(shù)的定義域關于原點對稱。性質：性質：奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上單調性一致奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上單調性一致例：例：y=x30六、應用六、應用:例例1 判斷下列函數(shù)的奇偶性判斷下列函數(shù)的奇偶性 1.y=-2x2+1,xR; 2.f(x)=-xx; 3.y=-3x+1; 4.f(x)=x2,x-3,-2,-1,0,1,2; 5.y=0,x-1,1;xxxxf 11)1()(.622x11x)x( f . 7 是偶函數(shù)是偶函數(shù)是奇函數(shù)是奇函數(shù)不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)非

9、奇非偶函數(shù)亦奇亦偶函數(shù)亦奇亦偶函數(shù)既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)例例3 如圖是奇函數(shù)如圖是奇函數(shù)y=f(x)圖象圖象的一部分，試畫出函數(shù)在的一部分，試畫出函數(shù)在y軸軸左邊的圖象。左邊的圖象。xy0例例4 已知已知y=f(x)是是R上的奇函數(shù)，當上的奇函數(shù)，當x0時，時，f(x)=x2 +2x-1 ，求函數(shù)的表達式。，求函數(shù)的表達式。是是奇奇函函數(shù)數(shù)、證證明明函函數(shù)數(shù)例例 )0()0()(222xxxxxxxf練習練習：判斷下列函數(shù)的奇偶性：2541)()4(1)()3()()2()()1(xxfxxxfxxfxxf (1)解：定義域為R f(-x)=(-x)4=f(x)即f(-x)=f(x)f(x)偶函數(shù)(2)解：定義域為R f(-