向量法求夾角

1、關(guān)于向量法求夾角現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第一頁(yè)，共36頁(yè)abABCD設(shè)異面直線a、b的夾角為cos = AB , CDcos| |=AB CDAB| |CD| | = AB , CD或 = AB , CD 利用兩條直線的方向向量的夾角的余弦的絕對(duì)值為兩直線的夾角的余弦而得。1 求直線和直線所成的角現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二頁(yè)，共36頁(yè)例1 正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F12的底面邊長(zhǎng)為1,側(cè)棱長(zhǎng)為,則這個(gè)棱柱的側(cè)面對(duì)角線 E1D與BC1所成的角是（ ）C1D1E1F1A1DBCFEAB1A.90 B. 60 C. 45 D. 30 (2002年全國(guó)高考） 解法一：連結(jié)FE1、FD 、BC1四邊形BFE1

2、C1是平行四邊形 FE1 BC1 FE1D是異面直線E1D與BC1所成的角或補(bǔ)角底長(zhǎng)為1，棱長(zhǎng)為231DE= FE13DF又 FDE1為等邊三角形 FE1D= 60 B現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三頁(yè)，共36頁(yè)解法2：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。C1D1E1F1A1DBCFEAB1zxy，0 ,23,23B，2, 3, 11C，0 , 3, 0D.2,23,211EBC1，2,23,21DE1.2,23,21cos , =BC1DE1BC1 DE1|BC1| |DE1|32321故 , BC1DE1= 60 E1D與BC1所成的角是60故應(yīng)選 B現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第四頁(yè)，共36頁(yè)一 法向量：如果一個(gè)向量所在直線垂直

3、于平面，則該向量是平面的一個(gè)法向量。1 證明線面平行二 法向量的主要作用取和直線平行的向量，驗(yàn)證該向量和法向量的點(diǎn)積是否為零。a設(shè)平面的法向量為n ,na 是 a 的方向向量.aa n = 0a a現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第五頁(yè)，共36頁(yè)例1.如圖,正方體ABCDA1B1C1D1中,E是的BB1中點(diǎn),求證:BD1平面A1C1 ECDBAB1C1D1A1EO法一：證明：連B1D1交A1C1于O連OEOD1= OB1B1E = BE OE BD1BD1平面A1C1 EOE 平面A1C1 EBD1平面A1C1 E現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第六頁(yè)，共36頁(yè)ECDC1D1BAA1B1zxy證法二：如圖所示建立直角坐標(biāo)系,且設(shè)正方

4、體的棱長(zhǎng)為2,D1(0,0,0),B(2,2,2),A1(2,0,0),C1(0,2,0),E(2,2,1)D1B=(2,2,2)A1E =(0,2,1)C1E=(2,0,1)設(shè)平面A1EC1的法向量為n = (x,y,z)nA1E =2y+ z =0nC1E =2x+ z =0令 x =1 時(shí)， z =2 ，y =1n = (1 ,1, 2 )D1B n = 0D1B nD1B 平面A1EC1 D1B 平面A1EC1現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第七頁(yè)，共36頁(yè)2 證明面面垂直如圖設(shè)n1,n2 分別是平面、的法向量n1n2n1 n2 = 0當(dāng)時(shí)a驗(yàn)證兩個(gè)平面的法向量的點(diǎn)積是否為零?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第八頁(yè)，共36頁(yè)

5、3、求直線和平面所成的角CBn設(shè)直線BA與平面的夾角為，n 為平面的法向量,Ag1n 與向量BA 的夾角為銳角g1當(dāng)12g=CBAng2n 與向量BA 的夾角為鈍角g2當(dāng)22g=現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第九頁(yè)，共36頁(yè)BACOEF例1 如圖所示,已知正四面體OABC，E、F分別是AB、OC的中點(diǎn)。 (1) 求OE與BF所成的角； （2）求BF與平面ABC所成的角。分析:(1)設(shè)OA =caOB = bOC =abc求出OE ,BF,然后可求cos OE ,BFBFOE | |OE | |BF =(2)可過(guò)點(diǎn)O作OO平面ABC于點(diǎn)O，O若OO與BF所成的角為20，則BF與平面ABC所成的角為2現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第

6、十頁(yè)，共36頁(yè)BACOEFabc解:(1)設(shè)正四面體OABC的棱長(zhǎng)為1,OA =caOB = bOC =則a b =c b =a c21| |= 1a| |=| |=bcOE21( + )abBF21cbOE BF = 21( + )ab( )21cb21( 21a c+21cb a b| |2b)12141412121現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十一頁(yè)，共36頁(yè)cos OE ,BFBFOE | |OE | |BF =23232132OE與BF所成的角為32arccos2BACOEFabc現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十二頁(yè)，共36頁(yè)（2）求BF與平面ABC所成的角。BACOEFabc(2)作OO平面ABC于點(diǎn)O，設(shè)OO與

7、BF所成的角為20,則BF與平面ABC所成的角為2OOO=OC +COc=32CEc=32( )OEOCc= 21( + )ab32c31( + )abc+現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十三頁(yè)，共36頁(yè)BACOEFabcO| |2OO91( + )2abc+( + )91|a|2|b|2+|c|2 +2a bc b+2+2a c339132 | |OO36cos =OO,BFBFOO | |OO| |BF =( )21cb31( + )abc+2336cbbbaccbca2221212132現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十四頁(yè)，共36頁(yè)BACOEFabcOcbbbaccbca2221212132cos OO,BF211212

8rccos求BF與平面ABC所成的角32arccos232arcsin評(píng)析:利用向量討論線面關(guān)系不需作輔助線，但需要正確設(shè)出空間向量的基底，再利用多面體的性質(zhì)算出或找出其它的向量?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十五頁(yè)，共36頁(yè)baln1n2g4.法向量的夾角與二面角的平面角的關(guān)系 設(shè) , = gn1n2設(shè)a l b的平面角為 gbaln1n2gg兩個(gè)平面的法向量同時(shí)指向或背離?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十六頁(yè)，共36頁(yè)baln1n2gbaln1n2g 設(shè) , = gn1n2設(shè)a l b的平面角為 g兩個(gè)平面的法向量一個(gè)指向另一個(gè)背離?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十七頁(yè)，共36頁(yè)例1 如圖,在棱長(zhǎng)為1的正方體AB

9、CDA1B1C1D1中,AC與BD交于點(diǎn)E, C1B與CB1交于點(diǎn)F.(1) 求證：A1C平面BDC1(2) 求二面角BEFC的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)表示)證明:(1)以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則FEC1D1CDB1A1BAzxyC (0,1,0),A1(1,0,1), B (1,1,0),D (0,0,0),C1(0,1,1),A1C= (1,1, 1),C1D= (0, 1, 1),BD =(1, 1, 0)A1C C1D= 01+1=0A1C C1DA1C BD= 11+0=0A1C BDC1D BD=D A1C平面BDC1現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十八頁(yè)，共36頁(yè)解: (2)同

10、（1）可知,D1B平面AB1CzxyEFC1D1CDB1A1AB由(1) A1C平面BDC1即向量D1B 是平面AB1C的一個(gè)法向量。,A1C 是平面BDC1的一個(gè)法向量。A1C= (1,1, 1),D1B= (1,1, 1),cos , A1C D1BA1C D1B=| |A1C D1B| |31故二面角BEFC的為31arccos現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十九頁(yè)，共36頁(yè)例2.(2001年全國(guó)）如圖,在底面是直角梯形的四棱錐SABCD中, .21AD與面SBA所成的二面角的正切值。DBCAs解法1：延長(zhǎng)BA、CD相交于E,E連接SE,則SE是所求二面角的棱AD BCBC=2 AD EA=AB=SASE

11、SBSA面ABCDSABCBC ABBC 面SEBSB是SC在面SEB上的射影。ABC=90,SA面ABCD,求面SCDSA= BC=AB=1,現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十頁(yè)，共36頁(yè)EDBCAsSCSECSB是所求二面角的平面角.22ABSASB2BC=1SBC=90tan BSCSBBC22即所求二面角的正切值為22現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十一頁(yè)，共36頁(yè)DBCAszxy解法2 ：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系0 , 0 ,21D則,C(1,1,0), S(0,0,1)AD0 , 0 ,21且AD 是面SBA的法向量設(shè)平面SCD的法向量n =(x,y,z)DC0 , 1 ,21SD1, 0 ,21n DC =0n

12、 SD =0即021 yx021 zx現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十二頁(yè)，共36頁(yè)DBCAszxy即021 yx021 zx令x=1,則，21y21zn21,21, 1cosa= n AD|n|AD|36從而 tana22反思研究：求二面角大小可轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)平面的法向量的夾角大小，兩平面法向量的夾角與二面角的大小相等或互補(bǔ)，解題時(shí)要注意結(jié)合題目條件進(jìn)一步確定二面角的大小。現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十三頁(yè)，共36頁(yè)例3(2001年天津）如圖,以正四棱錐VABCD底面中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,其中oxBC, oyAB, E為VC的中點(diǎn),正四棱錐底面邊長(zhǎng)為2a,高為h.(1)求 cos BE ,DE（2

13、）記面BC V為a,面DCV為b,BED是二面角aVC b的平面角,求BED。zyxOCDAVEB解:(1)依題意:B(a, a,0),C(a, a,0),D(a,a,0)2,2,2haaEBE2,2,23haaDE2,23,2haa現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十四頁(yè)，共36頁(yè)zyxOCDAVEBBE2,2,23haaDE2,23,2haaBE DE42322ha| |BE又2222223haa221021ha | |DE2222223haa221021ha cos =BE ,DEDEBE | |BE| |DE 2222106haha現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十五頁(yè)，共36頁(yè)zyxEOCDBAV(2) BED是二面

14、角aVC b的平面角BE CVBE CV =0又由C(a, a,0),V(0, 0, h)CV =(a, a, h),BE又2,2,23haaBE CV2223222haa=0ah2cos BE ,DE2222106hahacos BE ,DE222221026aaaa31 BED= BE ,DE31arccos31arccos現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十六頁(yè)，共36頁(yè)鞏固 練習(xí)例1 (2002年新教材高考題)如圖所示,正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長(zhǎng)為a,側(cè)棱長(zhǎng)為a2(1) 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,并寫出點(diǎn)A、B、A1、C1的坐標(biāo)；(2)求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角。11ACBBCA1解:(1)

15、如圖以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)O,以AB所在的直線為oy軸,y以AA1所在直線為oz軸,z以經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且與平面ABB1A1垂直的直線為ox軸,建立空間直角坐標(biāo)系,由已知得xA(0,0,0),B(0,a,0)A1(0,0, )a2aaaC2,2,231現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十七頁(yè)，共36頁(yè)zxyACBB1C1A1(2) 取A1B1的中點(diǎn)M,于是有MaaM2,2, 0連MC1、AM,有MC10 , 0 ,23aAB=(0,a,0),AA1a2, 0 , 0由于MC1 AB=0MC1 AA1=0MC1 平面ABB1A1AC1 與AM所成的角就是AC1 與側(cè)面ABB1A1所成的角。AC1aaa2,2,23aaa2,2,

16、23AMaa2,2, 0AC1 AM22240aa249a現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十八頁(yè)，共36頁(yè)zxyACBB1C1A1MAC1AMaa2,2, 0AC1 AM22240aa249aaaa2,2,23|AC1|又2222443aaaa3|AM|2224aaa23cos , =AC1AM249aa3a2323 AC1 與側(cè)面ABB1A1所成的角為30評(píng)析:本題主要考查空間直角坐標(biāo)系的概念，空間點(diǎn)和向量的坐標(biāo)表示以及向量夾角的計(jì)算方法，考查運(yùn)用向量研究空間圖形的數(shù)學(xué)思想方法。現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十九頁(yè)，共36頁(yè)B1C1BA1C例2(2003年全國(guó))如圖直三棱柱ABCA1B1C1底面是等腰直角三角形,ACB=

17、90,側(cè)棱AA1=2,D、E分別是CC1與A1B的中點(diǎn),點(diǎn)E在平面ABD上的射影是ABD的重心G.求A1B與平面ABD所成的角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)AEDG解:連結(jié)BG,則BG是BE在面ABD上的射影即A1BG是A1B與ABD所成的角。如圖所示建立直角坐標(biāo)系,坐標(biāo)原點(diǎn)為C設(shè)CA=2a,則 A(2a,0,0 ), B(0, 2a, 0 ),D(0, 0 , 1 ),E(a, a , 1 ),31,32,32aaG32,3,3aaGEBD=(0, 2a, 1 )GE 由BD32322a=0 得 a= 1現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三十頁(yè)，共36頁(yè)B1C1BA1CAEDGzxy B(0,2,0),A1(

18、2,0,2)31,32,32,GBA1=(2, 2 ,2),BG31,34,32 cosA1BG=BA1 BG|BA1| |BG|21313231437A1B與平面ABD所成的角是37arccos現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三十一頁(yè)，共36頁(yè)EOCDBAS3.正四棱錐SABCD的棱長(zhǎng)為2，底面的邊長(zhǎng)為, 3E是SA的中點(diǎn)，求異面直線BE和SC所成的角。解法1：設(shè)O為底面的中心，連EO則 EOSCSCEO21則BEO為異面直線BE和SC所成的角SCEO2122126BO又 BD面SAC BDOE tan BEOEOBO3 BEO = 60異面直線BE和SC所成的角為60現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三十二頁(yè)，共36頁(yè)EODBAS解2：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系z(mì)yxC2, 3SAAB,22SO0 ,23,23B0 ,23,23, A0 ,23,23,C22, 0 , 0,S42,43,43EBE42,433,43SC22,23,23現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三十三頁(yè)，共36頁(yè)EODBASzyxCBE42,433,43SC22,23,23BE SC=1BE| |=| |=SC22cos =BE , SC22121 = 120B