專(zhuān)題六 距離空間基本概念(tou)

1、泛函分析基本內(nèi)容泛函分析基本內(nèi)容 一、引言 “實(shí)數(shù)的極限理論實(shí)數(shù)的極限理論”是是“數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析”（即有限維分析）（即有限維分析）的基礎(chǔ)的基礎(chǔ), 用用“極限思想極限思想”研究函數(shù)是實(shí)分析的主要特點(diǎn)。研究函數(shù)是實(shí)分析的主要特點(diǎn)。包括包括: 1）實(shí)數(shù)序列的極限概念：）實(shí)數(shù)序列的極限概念：xnx (n) 2）函數(shù)序列的各種收斂問(wèn)題）函數(shù)序列的各種收斂問(wèn)題: fn(x)f(x)(n) (一致收斂、一致收斂、處處收斂、幾乎處處收斂、近一致收斂、依測(cè)度收斂處處收斂、幾乎處處收斂、近一致收斂、依測(cè)度收斂等等) 3）函數(shù)的極限：）函數(shù)的極限：f(x)A （xx0 或或x） 這些這些“極限極限”概念的一個(gè)共性

2、概念的一個(gè)共性-“距離距離”概念的滲透概念的滲透(僅限于實(shí)直線上兩點(diǎn)之間的距離僅限于實(shí)直線上兩點(diǎn)之間的距離) )： |xn-x|0是指是指xn與與x之間的之間的“距離距離”無(wú)限地減??；無(wú)限地減??； |fn(x)-f(x)|0是指在是指在x點(diǎn)處兩個(gè)函數(shù)值點(diǎn)處兩個(gè)函數(shù)值fn(x)與與f(x)之間的之間的“距離距離”無(wú)限地減小。無(wú)限地減小。 |f(x)-A|0是指函數(shù)值是指函數(shù)值f(x)與數(shù)與數(shù)A之間的之間的“距離距離”無(wú)限無(wú)限地減小。地減小。二、泛函分析的基本內(nèi)容 在泛函分析中在泛函分析中, 將定義一種更具有一般意義的將定義一種更具有一般意義的抽象的抽象的“距離距離”概念概念，它將實(shí)直線上的，它將

3、實(shí)直線上的“數(shù)列的收斂數(shù)列的收斂”、“函函數(shù)列的收斂數(shù)列的收斂”及及 “函數(shù)的極限函數(shù)的極限”等概念都包括在等概念都包括在“按距按距離收斂離收斂”、“距離函數(shù)的極限距離函數(shù)的極限”等概念之中，并建立起等概念之中，并建立起“距離空間及其極限理論距離空間及其極限理論-按距離收斂、距離函數(shù)的極按距離收斂、距離函數(shù)的極限等限等”，使我們更容易認(rèn)識(shí)那些使我們更容易認(rèn)識(shí)那些“初看起來(lái)似乎毫無(wú)關(guān)初看起來(lái)似乎毫無(wú)關(guān)系的某些極限過(guò)程系的某些極限過(guò)程”之間的本質(zhì)聯(lián)系。之間的本質(zhì)聯(lián)系。 “泛函分析泛函分析”以以“距離空間及其極限理論距離空間及其極限理論” 為基礎(chǔ)，為基礎(chǔ)， 綜合運(yùn)用分析、代數(shù)和幾何的觀點(diǎn)和方法，研究

4、了綜合運(yùn)用分析、代數(shù)和幾何的觀點(diǎn)和方法，研究了“函函數(shù)的函數(shù)數(shù)的函數(shù)”、“函數(shù)空間函數(shù)空間”及及“各種函數(shù)空間之間的關(guān)各種函數(shù)空間之間的關(guān)系系”等內(nèi)容等內(nèi)容,歸屬于歸屬于“無(wú)窮維分析無(wú)窮維分析”。 泛函分析的主要內(nèi)容包括泛函分析的主要內(nèi)容包括: 三大空間及其線性算子理三大空間及其線性算子理論論, 三大基本定理，不動(dòng)點(diǎn)理論，最佳逼近理論及線性三大基本定理，不動(dòng)點(diǎn)理論，最佳逼近理論及線性算子譜論初步，抽象空間的微積分。算子譜論初步，抽象空間的微積分。三大空間：距離空間三大空間：距離空間 線性賦泛空間線性賦泛空間(巴拿赫空間巴拿赫空間) 內(nèi)積空間內(nèi)積空間(希爾伯特空間希爾伯特空間)2) 三大空間上的

5、線性算子理論：三大空間上的線性算子理論： 距離空間上的連續(xù)映射距離空間上的連續(xù)映射(算子算子) 巴拿赫空間上的線性算子與線性泛函、共軛算子巴拿赫空間上的線性算子與線性泛函、共軛算子 希爾伯特空間上的線性泛函與自共軛算子希爾伯特空間上的線性泛函與自共軛算子3) 三大基本定理：漢恩三大基本定理：漢恩-巴拿赫基本定理，巴拿赫基本定理， 一致有界定理，一致有界定理， 逆算子定理與閉圖象定理逆算子定理與閉圖象定理4）不動(dòng)點(diǎn)理論與最佳逼近理論）不動(dòng)點(diǎn)理論與最佳逼近理論5）線性算子譜論初步：線性算子的譜）線性算子譜論初步：線性算子的譜 自共軛算子譜自共軛算子譜6）抽象空間的微積分：抽象函數(shù)的導(dǎo)算子及微分理論

6、）抽象空間的微積分：抽象函數(shù)的導(dǎo)算子及微分理論 抽象函數(shù)的極值抽象函數(shù)的極值 抽象函數(shù)的積分抽象函數(shù)的積分距離與距離空間的定義距離與距離空間的定義專(zhuān)題六專(zhuān)題六 距離空間的基本概念距離空間的基本概念距離空間的極限理論距離空間的極限理論距離空間中的開(kāi)集、閉集與有界集距離空間中的開(kāi)集、閉集與有界集距離空間上的連續(xù)映射距離空間上的連續(xù)映射定義定義2 (2 (子空間）子空間）如果如果A A X X，且且A A按照按照X X中距離中距離 (x,y)(x,y) 也是一個(gè)距離空間，則稱(chēng)也是一個(gè)距離空間，則稱(chēng)A A為為X X的的子空間子空間.定義定義1 1 （距離與距離空間）（距離與距離空間）設(shè)設(shè)X是任一集合，

7、是任一集合， x,y X, 若若能定義實(shí)函數(shù)能定義實(shí)函數(shù) (x,y)，滿足距離公理：，滿足距離公理： 1) 非負(fù)性非負(fù)性： (x,y) 0， 2) 對(duì)稱(chēng)性：對(duì)稱(chēng)性： (x,y)= (y, x)， 3) 三角不等式：三角不等式： (x,y)(x,z)+ (z,y) ( z X) 則稱(chēng)則稱(chēng)X是是距離空間距離空間， (x,y)是距離空間是距離空間X中點(diǎn)中點(diǎn)x與與y的距離的距離 一、距離與距離空間的定義1.1.距離、距離空間及子空間的定義距離、距離空間及子空間的定義 注注: : 1 1）要證集合）要證集合X X是距離空間是距離空間, ,只要證明定義在只要證明定義在X X上的函數(shù)滿足距上的函數(shù)滿足距 離

8、公理?xiàng)l件。離公理?xiàng)l件。 2 2）距離空間即定義了距離的集合）距離空間即定義了距離的集合. .（距離空間（距離空間=集合集合+ +距離）距離） 3 3）要證）要證A A是是X X的子空間的子空間, ,只要證只要證X X上的距離對(duì)上的距離對(duì)A A中任兩點(diǎn)都適合中任兩點(diǎn)都適合1）直線R,按距離(x,y)=x-y -一維空間Rxx,x ,xxRinn214）全體n元有序數(shù)組集合:2.2.常見(jiàn)的幾個(gè)距離空間常見(jiàn)的幾個(gè)距離空間 222211yxyxy , x2）平面R2,按距離 -二維空間 233222211yxyxyxy , x3）空間R3,按距離 -三維空間三維空間 按距離 也構(gòu)成距離空間 niiiy

9、xyx12,iiniyxyx13max, 按距離 也構(gòu)成距離空間證證： z=(z1,z2,zn Rn (或或Cn)， i(x,y) 0, i(x,y)= i(y,x)211221121,niiiiiniiiyzzxyxyx21122112niiiniiiyzzx),(),(yzzx(Minkowski不等式不等式(k=2)niiiyxyx121, 按距離 -n維歐氏空間 上連續(xù)函數(shù)是b ,atxtxb ,aC-連續(xù)函數(shù)空間Ca,b tytxyxbat,max,按距離5 5）閉區(qū)間）閉區(qū)間a,b上的全體連續(xù)函數(shù)的集合上的全體連續(xù)函數(shù)的集合Ca,b：也構(gòu)成另一距離空間 badttytxyx,1按距

10、離)()()()(max)()(max,tytztztxtytxyxbatbat),(),()()(max)()(max,yzzxtytztztxbatbat證證： z=z(t) Ca,b，非負(fù)性與對(duì)稱(chēng)性顯然，非負(fù)性與對(duì)稱(chēng)性顯然 babadttytztztxdttytxyx)()(,1 ),(),()()(11yzzxdttytzdttztxbaba badttytxyx2122)(,按距離也構(gòu)成另一距離空間2121,i ,kx,x ,x ,xxmxin6）有界數(shù)列全體構(gòu)成的集合m（c m c是是m的子空間）的子空間）iiiyxsupy, x按距離函數(shù) -有界數(shù)列空間m021,xxxxxxcn

11、n7）收斂數(shù)列全體構(gòu)成的集合按距離函數(shù)-收斂數(shù)列空間ciiiyxsupy, x Mtx,AttxAB tytxsupy, xAt8）有界函數(shù)集合 構(gòu)成距離空間 -有界函數(shù)空間B(A)按函數(shù)yx ,yx ,y, x109)任一非空集合X按函數(shù) 構(gòu)成距離空間-離散距離空間注注: 在任一非空集合上都可以定義距離函數(shù)，使之成為距離空間。在任一非空集合上都可以定義距離函數(shù)，使之成為距離空間。 在同一集合中在同一集合中,可以構(gòu)據(jù)需要定義不同的距離函數(shù)使之成為不可以構(gòu)據(jù)需要定義不同的距離函數(shù)使之成為不 同的距離空間。同的距離空間。iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiyzyzzxzxyzzxyzzxyxy

12、x11)()(1)()(1證證：級(jí)數(shù)：級(jí)數(shù) 顯然收斂，故顯然收斂，故 (x,y)有意義，且有意義，且Szn,21iiiiii1211 (x,y) 0， (x,y) = (y,x)，iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiyzyzzxzxyzzxyzzxyxyx121121)()(1)()(21121),(),(),(yzzxyxCR,xSin或21iiiiiiy, x121110）全體序列集合-序列空間S 按函數(shù) 構(gòu)成距離空間 mXLXtftfXm可測(cè)，上在11）可測(cè)函數(shù)集合 dmtgtftgtfy, xX1按函數(shù) 構(gòu)成距離空間-可測(cè)函數(shù)空間m(X) 這里,把幾乎處處相等的函數(shù)看作是同

13、一函數(shù) dmtgthtgthdmthtfthtfdmtgtftgtfXXX111 tgthtgththtfthtftgtftgtf111),(),(),(ghhfgf證證：)()(Xmthh12）可測(cè)集ER上的p冪可積函數(shù)f (x)的全體構(gòu)成的集合 EppdmtxtxEL)()()(按函數(shù) 構(gòu)成距離空間pEpdmtytxyx1)()(),(-p冪L可積函數(shù)空間Lp(E)這里,把幾乎處處相等的函數(shù)看作是同一函數(shù)證證： pEppEppEpdmtydmtxdmtytxyx111)()()()(),(故故 (x,y)有意義。有意義。 z=z(t) Lp(E)pEppEpdmtytztztxdmtytx

14、yx11)()()()()()(),(pEppEpdmtytzdmtztx11)()()()(),(),(yzzx(Minkowski不等式不等式)(Minkowski不等式不等式)13）p冪可和序列的全體構(gòu)成的集合 121,.),.,(ipiipxl按函數(shù)構(gòu)成距離空間-p冪可和序列空間lp111p,y, xpipii證證：,111111pipipipipipiiyx故故 (x,y)有意義。有意義。 z=( 1, 2, n) lppipiiiipipiiyx1111,yzzxpipiipipii,1111(Minkowski不等式不等式) ELp附注：附注：空間空間 的重要性質(zhì)的重要性質(zhì) （l

15、p也有同樣性質(zhì)）也有同樣性質(zhì)） ELgfELfpp, ELgELfpp, ELp2) 對(duì)于線性運(yùn)算是封閉的，即 ELELmEp則如果,) 1 則令證：設(shè),1,1,fBfEAELfpBpABAEdmdmfdmfdmfdmfmEdmfEp ELgfp ELfdmfdmfppEppE證：ppppppgfgfgfgf2,max2EEppppEdmgdmfdmgf2 ELp3) 滿足Holder不等式和Minkowski不等式 ELf nxxxxnnn，或lim定理定理1（極限的性質(zhì)）（極限的性質(zhì)） 設(shè)（設(shè)（X,d)是距離空間，是距離空間，xn X.1) xn收斂收斂其極限唯一其極限唯一 )(,) 3k

16、xxxxnxxkknnnn2) xn收斂收斂xn一定是有界的一定是有界的 二、距離中的極限理論1.1.極限定義與性質(zhì)極限定義與性質(zhì) 定義定義3(極限極限) 設(shè)設(shè)(X,d)是一個(gè)距離空間是一個(gè)距離空間, xn X, x X,如果如果 (xn,x)0 (n),則稱(chēng)點(diǎn)列則稱(chēng)點(diǎn)列xn按距離按距離 收斂于收斂于x,也稱(chēng)也稱(chēng)xn為距離空間為距離空間(X,d)中的一個(gè)極限為中的一個(gè)極限為x的收斂點(diǎn)列的收斂點(diǎn)列,注：注：在距離空間中，在距離空間中，0),(limlimxxxxnnnn記作記作: : ),(),(),(yxxxyxnn),(, 0 xxNnNn時(shí)，當(dāng)),(, 0 xxNnNxxnn),(,xxx

17、xKknKkNKkknnk證：證：2. 2. 常見(jiàn)距離空間中點(diǎn)列收斂的意義常見(jiàn)距離空間中點(diǎn)列收斂的意義 kxxxxxxxxnknkkk,21)()(2)(1),.2 , 1(0)(nikxxiki(1) (1) 歐氏距離空間歐氏距離空間Rn,21121,niiiyxyxkxxkxxiikik00,12)(),.2 , 1()(nikxxikin維向量序列維向量序列xk即按坐標(biāo)收斂于即按坐標(biāo)收斂于x (2) (2) 連續(xù)函數(shù)空間連續(xù)函數(shù)空間Ca,b, tytxyxbat,max,txxtxxkk 0max,txtxxxkbatk txtxNkNNkbat,max, 0有當(dāng) txtxbatNnNn

18、有對(duì)當(dāng)對(duì), 0, 0 tx txn函數(shù)列函數(shù)列xk(t)在在a,b上上一致收斂于一致收斂于x(t)(3) (3) 有界數(shù)列空間有界數(shù)列空間m,iiiyxsupy, x,21)()(2)(1nknkkkxx kxxkiik0sup,)(,.)2 , 1(0)(ikki, 2 , 1)(ikki點(diǎn)列點(diǎn)列 xk 即按坐標(biāo)收斂即按坐標(biāo)收斂x, , 且對(duì)且對(duì)i是一致是一致) ) xxk按坐標(biāo)收斂于點(diǎn)列(4) (4) 序列空間序列空間S,iiiiiiy, x1211,21)()(2)(1nknkkkxx0121,)()(1ikiikiiikxx, 2 , 10)(ikiki(5) 可測(cè)函數(shù)空間m(X) ，

19、tftfnffXmfftftfmnnnn00),()()(Xdmtgtftgtfgf)()(1)()(),( txptxn冪平均收斂于以函數(shù)列(7) p冪L可積函數(shù)空間Lp(E)(p 1),pEpdmtytxyx1)()(),( txtxxxnn ndmtxtxxxpEpnn0,1 ndmtxtxpEn0 xpxk冪平均收斂于按坐標(biāo)以點(diǎn)列(6) p冪可和序列空間lp (p 1),pipiiyx11,21)()(2)(1nknkkkxx0),(11)(pipikikxxkipiki01)(定義定義4(4(開(kāi)球開(kāi)球( (或點(diǎn)的鄰域或點(diǎn)的鄰域) )與閉球與閉球) ) 設(shè)(X,d)是距離空間, x0

20、X, r0 XxrxxxrxS,002) 稱(chēng)集合稱(chēng)集合 是以是以x x0 0為中心，為中心，r r為半徑的為半徑的閉球閉球r ,xS0注注：對(duì)于不同的距離空間對(duì)于不同的距離空間X，x0及的意義不同，從而開(kāi)球及的意義不同，從而開(kāi)球S(x0,r)或閉球或閉球 的意義也不同的意義也不同.例如：例如：1.1.距離空間中的開(kāi)球（點(diǎn)的鄰域）、閉球距離空間中的開(kāi)球（點(diǎn)的鄰域）、閉球 三、距離空間的開(kāi)集、閉集及有界集1 1）稱(chēng)集合）稱(chēng)集合S(x0,r)=x (x,x0)1 1時(shí)，時(shí)，, 1),(,0),(,),(1 , 1),(,),(,00000000 xxXxxxxxXxxxxXxxrxxXxxxxXxx

21、rxxXxxrxS2.2.距離空間中的有界集、開(kāi)集與閉集距離空間中的有界集、開(kāi)集與閉集直線上點(diǎn)集有關(guān)概念直線上點(diǎn)集有關(guān)概念推廣推廣距離空間中點(diǎn)集的有關(guān)概念距離空間中點(diǎn)集的有關(guān)概念定理定理2(開(kāi)集的性質(zhì)開(kāi)集的性質(zhì)) 設(shè)設(shè)X距離空間距離空間. (1) 空集空集 與全空間與全空間X是開(kāi)集。是開(kāi)集。 (2) X中任意多個(gè)開(kāi)集的并是開(kāi)集。中任意多個(gè)開(kāi)集的并是開(kāi)集。 (3) X中有限個(gè)開(kāi)集的交是開(kāi)集。中有限個(gè)開(kāi)集的交是開(kāi)集。定義定義5(5(有界集有界集) ) 設(shè)設(shè)A X,若存在一個(gè)開(kāi)球若存在一個(gè)開(kāi)球S(x0,r) A， 則稱(chēng)則稱(chēng)A是是X中的中的有界集有界集.定義定義6(6(內(nèi)點(diǎn)與開(kāi)集內(nèi)點(diǎn)與開(kāi)集) ) 設(shè)設(shè)

22、X X是距離空間是距離空間, ,G X,x0 X.(1)若存在若存在x0的鄰域的鄰域(開(kāi)球開(kāi)球)S(x0,r) G,則稱(chēng)則稱(chēng)x0為為G的的內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)。(2) 如果如果G的每個(gè)點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)則稱(chēng)的每個(gè)點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)則稱(chēng)G為為開(kāi)集開(kāi)集例例1 1 任一任一開(kāi)球開(kāi)球S(xS(x0 0,r),r)都是開(kāi)集。都是開(kāi)集。 證證: x S(x0,r) (x,x0)r, 取取0r- (x,x0), y S(x, ) (x,y)r- (x,x0)(y,x0)(y,x)+ (x,x0)0, x0的鄰域的鄰域S(x0, )內(nèi)總含有內(nèi)總含有A中異于中異于x0的點(diǎn)，的點(diǎn)，則稱(chēng)則稱(chēng)x0為為A的的極限點(diǎn)極限點(diǎn)( (或聚點(diǎn)或聚點(diǎn)) )。

23、(2) A=x|x是是A的聚點(diǎn)的聚點(diǎn)稱(chēng)為稱(chēng)為A的導(dǎo)集的導(dǎo)集(3) 集合集合A=A A 稱(chēng)稱(chēng)為為A的的閉包閉包。(4) 如果如果0,使使S(x0, )內(nèi)除內(nèi)除x0之外之外, 不含不含A中任何其他點(diǎn)，中任何其他點(diǎn)，則稱(chēng)則稱(chēng)x0為為A的的孤立點(diǎn)孤立點(diǎn)。 孤立點(diǎn)的全體所成集合稱(chēng)為孤立點(diǎn)的全體所成集合稱(chēng)為孤孤立點(diǎn)集立點(diǎn)集.(x是是A的孤立的孤立點(diǎn)點(diǎn)x A，x A)定理定理3 (閉集的性質(zhì)閉集的性質(zhì)) 設(shè)設(shè)X距離空間距離空間.(1) 空集空集 與全空間與全空間X都是閉集。都是閉集。(2) X中有限個(gè)閉集的并是閉集。中有限個(gè)閉集的并是閉集。(3) X中任意多個(gè)閉集的交是閉集。中任意多個(gè)閉集的交是閉集。定理定

24、理4 (閉集的充要條件閉集的充要條件) 設(shè)設(shè)X是距離空間，是距離空間，A X, 則則 A是閉集是閉集 A AA=A對(duì)對(duì) xn A，xnx, 有有x A證證: (1) “” (反證法反證法) 設(shè)設(shè) x0 A但但x0 Ax0 A且且x0 AC , A閉閉AC開(kāi)開(kāi)S(x0, ) ACS(x0, ) A= x0不是不是A的極限點(diǎn)的極限點(diǎn)x0 A, 矛盾矛盾. “” 設(shè)設(shè)A AAC (A)C, x ACx (A)Cx A x不是不是A的極限點(diǎn)的極限點(diǎn) S(x, ), 使使S(x, ) A= S(x, ),使使S(x, ) ACx是是AC的內(nèi)點(diǎn)的內(nèi)點(diǎn) AC開(kāi)開(kāi)A閉閉 (2) “” A閉閉A AA=A A=

25、A “” A=A, A A A=AA AA閉閉 (3) “” A閉閉A AA的所有極限點(diǎn)都屬于的所有極限點(diǎn)都屬于A x=limxn A “” xn A, xnx, x AA A2),(),2,(, 0)(1001010 xxxxxSAxAx2),(),2,(2112121xxxxxSAxAx),(),(),(211020 xxxxxx是閉集的極限點(diǎn)是AAAAxAxxxxSAx)(),(0002020110010,2),()2,(, 0)(xxxxxSAxAxAxAxAAAx111或是閉集若AAAAAxAx)(01定理定理5 設(shè)設(shè)X是距離空間是距離空間, A X, 則則A與與A都是閉集。都是閉集

26、。010011),()2,(,xxxSxSxAx，由于若是閉集AAAAAx)(0( (同上同上) )證證: :要證明要證明A及及A都是閉集都是閉集, ,只要證明只要證明( (A) ) A,(,(A) ) A. .注注：在直線：在直線R R上上, ,只有空集只有空集 與與R R既既是開(kāi)集又是閉集是開(kāi)集又是閉集; 而在距離空間中除了空集而在距離空間中除了空集 和全空間和全空間X既是開(kāi)集又既是開(kāi)集又 是閉集外是閉集外,還可能存在其他既開(kāi)又閉的集合還可能存在其他既開(kāi)又閉的集合. 例如例如, , 離散距離空間離散距離空間X中中, ,任何子集任何子集A都既開(kāi)又閉都既開(kāi)又閉. . 事實(shí)上事實(shí)上, ,設(shè)設(shè)x

27、X, 則則 S(x,1/2)=x是開(kāi)集是開(kāi)集, , 從而從而 A= x是開(kāi)集是開(kāi)集; ; 而而AC X是開(kāi)集是開(kāi)集, , 故故A A = x又是閉集又是閉集例例2 2 任一任一閉球閉球S(xS(x0 0,r),r)都是閉集；都是閉集；證證:rxxxxnn),(lim),(00,(,(00rxSrxSxrxxxxrxSxnnnn),(lim,(00是閉集是閉集. 三、距離空間上的連續(xù)映射定義定義9 9( (映射連續(xù)映射連續(xù), ,一致連續(xù)一致連續(xù)) ) 設(shè)設(shè)(X, 1)與與(Y, 2)是兩個(gè)距是兩個(gè)距離空間離空間, 定義映射定義映射T:XY, x0 X.(1)如果對(duì)如果對(duì)0,0,使得當(dāng)使得當(dāng) (x

28、, x0) 時(shí)時(shí),有有 1(Tx, Tx0)0, 0, x1, x2 X, 當(dāng)當(dāng) (x1,x2) 時(shí)時(shí), 有有 1(Tx1,Tx2)0, x,y X, 1(f(x),f(y)=| (x,x0)- (y,x0)|(x,y) 取取 = 0, 當(dāng)當(dāng) (x,y) 時(shí)時(shí), 就有就有 1(f(x),f(y)0, 0, 使得當(dāng)使得當(dāng) (x, x0) 時(shí)時(shí),有有 1(Tx, Tx0)0, N, nN時(shí)時(shí), (xn,x0) , 從而從而 1(Txn,Tx0)0, 0, 使得當(dāng)使得當(dāng) (x, x0) 時(shí)時(shí),有有 1(Tx, Tx0)0, 對(duì)對(duì)n0, xn: (xn,x0)0, 構(gòu)造構(gòu)造Y中開(kāi)集中開(kāi)集G=S(Tx0, ) Tx0 Gx0 T-1(G) 由假設(shè)由假設(shè),G開(kāi)集開(kāi)集,有有T-1(G)是開(kāi)集是開(kāi)集 x0是是T-1(G)的內(nèi)點(diǎn)的內(nèi)點(diǎn) S(x0, ) T-1(G) T(S(x0, ) G=S(Tx0, )T在在x0連續(xù)連續(xù)T在在X內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù) (2) F閉閉FC開(kāi)開(kāi),T-1(FC)開(kāi)開(kāi), (T-1(F)C=T-1(FC)開(kāi)開(kāi)T連續(xù)連續(xù)3 拓?fù)溆成渫負(fù)溆成洌ɑ颍ɑ蛲哂成渫哂成洌┡c）與拓?fù)渫咄負(fù)渫?定義定義10 設(shè)設(shè)X與與Y都是距離空間，