積分變換的MATLAB求解(1)ppt課件

1、第15章 積分變換的MATLAB求解編者 Outlinen15.1 傅里葉變換傅里葉變換n15.2 拉普拉斯變換拉普拉斯變換n15.3 Z 變換變換15.1 傅里葉變換1.1.傅里葉變換的概念傅里葉變換的概念 假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù) 在在 上滿足以下條件：上滿足以下條件： 在任一有限區(qū)間上在任一有限區(qū)間上滿足滿足DirichletDirichlet條件；條件； 在在 上絕對可積，即積分上絕對可積，即積分 收斂，那么有收斂，那么有 成立，而左端的成立，而左端的 在它的延續(xù)點(diǎn)處，應(yīng)以在它的延續(xù)點(diǎn)處，應(yīng)以 來替代。在上述積分公式中，來替代。在上述積分公式中，我們稱積分運(yùn)算我們稱積分運(yùn)算 為取函數(shù)為取函數(shù)

2、的傅里的傅里葉變換，記為葉變換，記為 ，即即 其中其中 稱為稱為 的像函數(shù)，此時(shí)有的像函數(shù)，此時(shí)有 ，稱該積分運(yùn)算為取函數(shù)，稱該積分運(yùn)算為取函數(shù) 的傅里葉的傅里葉逆變換，記為逆變換，記為即即2.傅里葉變換的傅里葉變換的MATLAB符號求解符號求解 MATLAB符號運(yùn)算工具箱中提供了專門符號運(yùn)算工具箱中提供了專門的求取函數(shù)的傅里葉變換及逆變換的函數(shù)：的求取函數(shù)的傅里葉變換及逆變換的函數(shù)：fourier和和ifourier。3.傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì) 線性性質(zhì)：設(shè)線性性質(zhì)：設(shè) ， 是復(fù)常數(shù)，那么是復(fù)常數(shù)，那么 此即函數(shù)的線性組合的傅氏變換等于函此即函數(shù)的線性組合的傅氏變換等于函數(shù)的傅氏變

3、數(shù)的傅氏變換的相應(yīng)線性組合。同樣道理，傅氏逆變換也具有類似的線性性質(zhì)，即換的相應(yīng)線性組合。同樣道理，傅氏逆變換也具有類似的線性性質(zhì)，即 對稱性質(zhì)：假設(shè)對稱性質(zhì)：假設(shè) ，那么有，那么有位移性質(zhì)：設(shè)位移性質(zhì)：設(shè) ，那么有，那么有坐標(biāo)縮放性質(zhì)：設(shè)坐標(biāo)縮放性質(zhì)：設(shè) a 是不等于零的實(shí)常數(shù)，假設(shè)是不等于零的實(shí)常數(shù)，假設(shè) ，那么，那么乘積定理：設(shè)乘積定理：設(shè) 那么有那么有其中其中 分別表示分別表示 的復(fù)共軛函數(shù)。的復(fù)共軛函數(shù)。由上述乘積性質(zhì)可以引出一個(gè)非常重要的結(jié)論由上述乘積性質(zhì)可以引出一個(gè)非常重要的結(jié)論巴塞瓦巴塞瓦Parseval定理定理假設(shè)記假設(shè)記 ，那么有，那么有4. 多維傅里葉變換多維傅里葉變換

4、在在n 維空間中，設(shè)維空間中，設(shè)n 元函數(shù)元函數(shù) ，在，在 中有中有定義，它的定義，它的傅氏變換及其逆變換定義如下：傅氏變換及其逆變換定義如下：5.離散傅里葉變換離散傅里葉變換一維離散傅里葉變換一維離散傅里葉變換 在信號與系統(tǒng)中，分析延續(xù)時(shí)間信號可以采用延續(xù)傅里葉變換。但在大多數(shù)在信號與系統(tǒng)中，分析延續(xù)時(shí)間信號可以采用延續(xù)傅里葉變換。但在大多數(shù)情況下，數(shù)字系統(tǒng)只須處置有限長的離散信號，因此必需將延續(xù)時(shí)間信號離散化情況下，數(shù)字系統(tǒng)只須處置有限長的離散信號，因此必需將延續(xù)時(shí)間信號離散化，并建立對應(yīng)的傅里葉變換。，并建立對應(yīng)的傅里葉變換。 假設(shè)時(shí)間信號假設(shè)時(shí)間信號 的時(shí)限于的時(shí)限于 ，再經(jīng)過時(shí)域采樣

5、將，再經(jīng)過時(shí)域采樣將 離散化，就可以得離散化，就可以得到有限長離散信號，記為到有限長離散信號，記為 。設(shè)采樣周期為。設(shè)采樣周期為 ，那么時(shí)域采樣點(diǎn)數(shù)，那么時(shí)域采樣點(diǎn)數(shù) ，那么有，那么有 對上式的兩邊取傅里葉變換有對上式的兩邊取傅里葉變換有這就是這就是 在時(shí)域采樣后的延續(xù)傅里葉變換，也就是離散時(shí)間傅里葉變換，它在在時(shí)域采樣后的延續(xù)傅里葉變換，也就是離散時(shí)間傅里葉變換，它在頻域依然是延續(xù)的。頻域依然是延續(xù)的。多維離散傅里葉變換 假設(shè) 是一 矩陣 那么其二維離散傅里葉變換的定義如下：其對應(yīng)的逆變換為式中， 和 分別為正變換核和逆變換核， 為空間域采樣值， 為頻率采樣值。6.傅里葉變換的運(yùn)用傅里葉變換

6、的運(yùn)用非周期函數(shù)的頻譜：對于非周期函數(shù)非周期函數(shù)的頻譜：對于非周期函數(shù) ，稱，稱 的傅氏變換的傅氏變換 為為的頻譜函數(shù)，其模的頻譜函數(shù)，其模 稱為稱為 的頻譜。它是頻率的頻譜。它是頻率 的延續(xù)函數(shù)。譜線的延續(xù)函數(shù)。譜線即即 的圖像是延續(xù)變化的，所以稱之為幅值頻譜，它是一種延續(xù)譜。的圖像是延續(xù)變化的，所以稱之為幅值頻譜，它是一種延續(xù)譜。傅氏變換在求解微分、積分方程中的運(yùn)用：運(yùn)用傅氏變換在求解微分、積分方程中的運(yùn)用：運(yùn)用Fourier變換的先行性質(zhì)、微分變換的先行性質(zhì)、微分性質(zhì)和積分性質(zhì)，對欲求解的方程兩端取性質(zhì)和積分性質(zhì)，對欲求解的方程兩端取Fourier變換，將其轉(zhuǎn)化為像函數(shù)的代變換，將其轉(zhuǎn)化

7、為像函數(shù)的代數(shù)方程，經(jīng)過解代數(shù)方程與求數(shù)方程，經(jīng)過解代數(shù)方程與求Fourier逆變換就可以得到原方程的解。這種解法逆變換就可以得到原方程的解。這種解法如以以下圖如以以下圖 圖圖 微分、積分方程的微分、積分方程的Fourier變換解法變換解法傅氏變換在求解偏微分方程中的運(yùn)用：運(yùn)用傅氏變換在求解偏微分方程中的運(yùn)用：運(yùn)用Fourier變換求解偏微分方程的定解變換求解偏微分方程的定解問題類似于上圖所示的三個(gè)步驟，即先將定解問題中的未知函數(shù)看做某一自變量問題類似于上圖所示的三個(gè)步驟，即先將定解問題中的未知函數(shù)看做某一自變量的函數(shù)，對方程及定解條件關(guān)于該自變量取的函數(shù)，對方程及定解條件關(guān)于該自變量取Fou

8、rier變換，把偏微分方程和定解變換，把偏微分方程和定解條件化為像函數(shù)的常微分方程的定解問題；再根據(jù)這個(gè)常微分方程和相應(yīng)的定解條件化為像函數(shù)的常微分方程的定解問題；再根據(jù)這個(gè)常微分方程和相應(yīng)的定解條件，求出像函數(shù)；然后再取條件，求出像函數(shù)；然后再取Fourier逆變換，得到原定解問題的解。這里，要逆變換，得到原定解問題的解。這里，要求變換的自變量在求變換的自變量在 內(nèi)變換；如要求變換的自變量在內(nèi)變換；如要求變換的自變量在 內(nèi)變化，內(nèi)變化，那么根據(jù)定解條件的情形可運(yùn)用那么根據(jù)定解條件的情形可運(yùn)用Fourier正弦變換或正弦變換或Fourier余弦變換來求解該偏余弦變換來求解該偏微分方程的定解問題

9、。微分方程的定解問題。15.2 拉普拉斯變換1.拉普拉斯變換的概念拉普拉斯變換的概念 設(shè)設(shè) 在在 上有定義，且積分上有定義，且積分 s 是是復(fù)參變量對復(fù)平面上某一范圍復(fù)參變量對復(fù)平面上某一范圍 s收斂，那么由這個(gè)積分確的函數(shù)收斂，那么由這個(gè)積分確的函數(shù)稱為函數(shù)稱為函數(shù) 的拉普拉斯變換，簡稱為的拉普拉斯變換，簡稱為 的拉氏變換，并記為的拉氏變換，并記為 ，即即上式中，上式中， 稱為稱為 的像函數(shù)，的像函數(shù)， 稱為稱為 的像原函數(shù)。的像原函數(shù)。假設(shè)假設(shè) 是是 的拉氏變換，的拉氏變換， 那么稱那么稱 為為 的拉氏逆變換或稱為像原函的拉氏逆變換或稱為像原函數(shù)，記為數(shù)，記為2.拉普拉斯變換的拉普拉斯變換

10、的MATLAB符號求解符號求解 MATLAB中提供了專門的拉氏變換及其逆變換的求解函數(shù)：中提供了專門的拉氏變換及其逆變換的求解函數(shù)：laplace和和ilaplace。3.拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的性質(zhì)線性性質(zhì)線性性質(zhì):設(shè)設(shè) ， 是復(fù)常數(shù)，那么是復(fù)常數(shù)，那么 此即函數(shù)的線性組合的拉氏變換等于函數(shù)的拉氏變換的相應(yīng)線性組合。同樣道此即函數(shù)的線性組合的拉氏變換等于函數(shù)的拉氏變換的相應(yīng)線性組合。同樣道理，拉氏逆變換也具有類似的線性性質(zhì)，即理，拉氏逆變換也具有類似的線性性質(zhì)，即微分性質(zhì)：假設(shè)微分性質(zhì)：假設(shè) ，此處假設(shè)，此處假設(shè) 存在且延續(xù)，那么存在且延續(xù)，那么積分性質(zhì)：設(shè)積分性質(zhì)：設(shè) ，那么，那么

11、位移性質(zhì)：假設(shè)位移性質(zhì)：假設(shè) ，那么有，那么有延遲性質(zhì)：假設(shè)延遲性質(zhì)：假設(shè) ，又，又 時(shí)時(shí) ，那么對于任一非負(fù)實(shí)數(shù)，那么對于任一非負(fù)實(shí)數(shù) ，有有 或或 類似性質(zhì)：設(shè)類似性質(zhì)：設(shè) ， ，那么，那么該性質(zhì)類似于傅里葉變換的坐標(biāo)縮放性質(zhì)。該性質(zhì)類似于傅里葉變換的坐標(biāo)縮放性質(zhì)。初值和終值定理：初值和終值定理：初值定理：假設(shè)初值定理：假設(shè) ，且，且 存在，那么有存在，那么有終值定理：假設(shè)終值定理：假設(shè) ，且，且 的一切奇點(diǎn)都在的一切奇點(diǎn)都在s 平面的左半部，那么平面的左半部，那么4.4.拉普拉斯的運(yùn)用拉普拉斯的運(yùn)用微分、積分方程的拉氏變換解法微分、積分方程的拉氏變換解法 : : 微分、積分方程的拉氏變換

12、解法如以以下圖所示微分、積分方程的拉氏變換解法如以以下圖所示偏微分方程的拉氏變換解法：運(yùn)用拉氏變換求解偏微分方程的定解問題完全類似于偏微分偏微分方程的拉氏變換解法：運(yùn)用拉氏變換求解偏微分方程的定解問題完全類似于偏微分方程的傅氏變換解法，只不過拉氏變換要求變換的自變量在方程的傅氏變換解法，只不過拉氏變換要求變換的自變量在 內(nèi)變化。因此內(nèi)變化。因此，這樣的定解問題可以運(yùn)用拉氏變換，也可以運(yùn)用傅氏正弦或余弦變換求解。，這樣的定解問題可以運(yùn)用拉氏變換，也可以運(yùn)用傅氏正弦或余弦變換求解。線性定常系統(tǒng)的復(fù)域分析：設(shè)線性定常系統(tǒng)的普通方式為線性定常系統(tǒng)的復(fù)域分析：設(shè)線性定常系統(tǒng)的普通方式為式中，式中， 。等

13、式左邊是系統(tǒng)輸出變量及其各階導(dǎo)數(shù)，等式右邊是系統(tǒng)輸入變量。等式左邊是系統(tǒng)輸出變量及其各階導(dǎo)數(shù)，等式右邊是系統(tǒng)輸入變量及其各階導(dǎo)數(shù)，且等式左右兩邊的系數(shù)均為實(shí)數(shù)。假設(shè)輸入信號及其各階導(dǎo)數(shù)，且等式左右兩邊的系數(shù)均為實(shí)數(shù)。假設(shè)輸入信號 和輸出信號和輸出信號 及其各階導(dǎo)數(shù)在及其各階導(dǎo)數(shù)在 時(shí)的值均為時(shí)的值均為0 0，那么對方程兩端均進(jìn)展拉氏變換，并記，那么對方程兩端均進(jìn)展拉氏變換，并記 ， 那么有那么有我們稱在輸入鼓勵(lì)、輸出呼應(yīng)的初始條件為零的前提下，輸出的拉氏變換我們稱在輸入鼓勵(lì)、輸出呼應(yīng)的初始條件為零的前提下，輸出的拉氏變換 與輸與輸入的拉氏變換入的拉氏變換 的比稱為該系統(tǒng)的傳送函數(shù)。的比稱為該系

14、統(tǒng)的傳送函數(shù)。15.3 Z 變換1.Z 變換的概念 假設(shè)延續(xù)函數(shù) 是可拉氏變換的，那么其拉氏變換定義為 由于 時(shí)，有 ，故上式亦可寫成 對于采樣信號 ，設(shè)其表達(dá)式為故采樣信號 的拉氏變換為上式中， 為采樣周期。為便于運(yùn)用，令變量 ，那么 記作取 T=1 ，那么可得到 的Z 變換式假設(shè)給定Z 變換式子 那么其Z 逆變換的數(shù)學(xué)表示為2. Z 變換的變換的MATLAB符號求解符號求解 MATLAB符號運(yùn)算工具箱中提供了專門用于求解符號運(yùn)算工具箱中提供了專門用于求解Z變換及其逆變換的函數(shù)變換及其逆變換的函數(shù)：ztrans和和iztrans3. Z 變換的性質(zhì)變換的性質(zhì)線性性質(zhì)線性性質(zhì) :假設(shè)假設(shè) ，

15、是常數(shù)，那么是常數(shù)，那么實(shí)數(shù)位移性質(zhì)：假設(shè)實(shí)數(shù)位移性質(zhì)：假設(shè) ，那么有，那么有 以及以及 其中其中 k 為正整數(shù)。為正整數(shù)。復(fù)數(shù)位移性質(zhì)：假設(shè)復(fù)數(shù)位移性質(zhì)：假設(shè) ，那么有，那么有終值定理：假設(shè)終值定理：假設(shè) ，且函數(shù)序列，且函數(shù)序列 為有限值為有限值 ，且極限且極限 存在，那么函數(shù)序列的終值存在，那么函數(shù)序列的終值4. Z4. Z變換的運(yùn)用變換的運(yùn)用復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算 思索如下定義的復(fù)變函數(shù)積分思索如下定義的復(fù)變函數(shù)積分其中，其中， 為二維平面內(nèi)的走行方向?yàn)槟鏁r(shí)針的封鎖曲線，假設(shè)積分線為順時(shí)針的為二維平面內(nèi)的走行方向?yàn)槟鏁r(shí)針的封鎖曲線，假設(shè)積分線為順時(shí)針的，那么應(yīng)該講被積函數(shù)乘以，那么應(yīng)該講被積函數(shù)乘以 。這時(shí)假設(shè)該封鎖曲線內(nèi)包圍。這時(shí)假設(shè)該封鎖曲線內(nèi)包圍 個(gè)奇點(diǎn)個(gè)奇點(diǎn) ，那么可以分別求出這些奇點(diǎn)上的留數(shù)為，那么可以分別求出這些奇點(diǎn)上的留數(shù)為 ，這時(shí)上述復(fù)變函數(shù)積分的，這時(shí)上述復(fù)變函數(shù)積分的值等于值等于 乘以這些留數(shù)的和，即乘以這些留數(shù)的和，即對比對比Z Z