空間解析幾何向量曲面曲線等

1、上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回第七章第七章 空間解析幾何空間解析幾何與向量代數(shù)與向量代數(shù)習(xí)題課習(xí)題課 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 典型例題典型例題上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容（一）向量代數(shù)（一）向量代數(shù)（二）空間解析幾何（二）空間解析幾何上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回向量的向量的線性運(yùn)算線性運(yùn)算向量的向量的表示法表示法向量積向量積數(shù)量積數(shù)量積混合積混合積向量的積向量的積向量概念向量概念（一）向量代數(shù)（一）向量代數(shù)上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回1 1、向量的概念、向量的概念定義定義:既有大小又有方向的量稱為向

2、量既有大小又有方向的量稱為向量.自由向量、自由向量、 相等向量、相等向量、 負(fù)向量、負(fù)向量、向徑向徑.重要概念重要概念:零向量、零向量、向量的模、向量的模、單位向量、單位向量、平行向量、平行向量、上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回(1) 加法：加法：cba 2 2、向量的線性運(yùn)算、向量的線性運(yùn)算dba ab(2) 減法：減法：cba dba (3) 向量與數(shù)的乘法：向量與數(shù)的乘法：設(shè)設(shè) 是一個數(shù)，向量是一個數(shù)，向量a與與 的乘積的乘積a 規(guī)定為規(guī)定為, 0)1( a 與與a同向，同向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 與與a反向，反向，|aa 上頁上頁下頁下頁返回返

3、回上頁上頁下頁下頁返回返回向量的分解式：向量的分解式：,zyxaaaa .,軸上的投影軸上的投影分別為向量在分別為向量在其中其中zyxaaazyxkajaiaazyx 在三個坐標(biāo)軸上的分向量：在三個坐標(biāo)軸上的分向量：kajaiazyx,向量的坐標(biāo)表示式：向量的坐標(biāo)表示式：向量的坐標(biāo)：向量的坐標(biāo)：zyxaaa,3 3、向量的表示法、向量的表示法上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回向量的加減法、向量與數(shù)的乘積等的坐標(biāo)表達(dá)式向量的加減法、向量與數(shù)的乘積等的坐標(biāo)表達(dá)式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa kba

4、jbaibazzyyxx)()()( kbajbaibazzyyxx)()()( kajaiazyx)()()( 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回222|zyxaaaa 向量模長的坐標(biāo)表示式向量模長的坐標(biāo)表示式222coszyxxaaaa 222coszyxyaaaa 222coszyxzaaaa 向量方向余弦的坐標(biāo)表示式向量方向余弦的坐標(biāo)表示式)1coscoscos(222 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回4 4、數(shù)量積、數(shù)量積 cos|baba 其其中中 為為a與與b的的夾夾角角(點(diǎn)積、內(nèi)積點(diǎn)積、內(nèi)積)zzyyxxbabababa 數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式數(shù)量積的

5、坐標(biāo)表達(dá)式ba 0 zzyyxxbababa222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回5 5、向量積、向量積 sin|bac 其其中中 為為a與與b的的夾夾角角c的方向既垂直于的方向既垂直于a，又垂直于，又垂直于b，指向符合，指向符合右手系右手系.(叉積、外積叉積、外積)kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量積的坐標(biāo)表達(dá)式向量積的坐標(biāo)表達(dá)式ba 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回zyxzyxbbbaaakjiba ba/z

6、zyyxxbababa cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa 6 6、混合積、混合積上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回直直 線線曲面曲面曲線曲線平平 面面參數(shù)方程參數(shù)方程旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面柱柱 面面二次曲面二次曲面一般方程一般方程參數(shù)方程參數(shù)方程一般方程一般方程對稱式方程對稱式方程 點(diǎn)法式方程點(diǎn)法式方程一般方程一般方程空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系（二）空間解析幾何（二）空間解析幾何上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回x橫軸橫軸y縱軸縱軸z豎軸豎軸 定點(diǎn)定點(diǎn)o1 1、空間直角坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系空間的點(diǎn)空間的點(diǎn)有序數(shù)組有序數(shù)組),(zyx上頁上頁下頁下

7、頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回xyoz空空間間直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系共有一個原點(diǎn)共有一個原點(diǎn),三個坐標(biāo)軸三個坐標(biāo)軸,三個坐標(biāo)面三個坐標(biāo)面,八個卦限八個卦限.上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回 21221221221zzyyxxMM 它們距離為它們距離為設(shè)設(shè)),(1111zyxM、),(2222zyxM為為空空間間兩兩點(diǎn)點(diǎn)兩點(diǎn)間距離公式兩點(diǎn)間距離公式:上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回曲面方程的定義：曲面方程的定義：如果曲面如果曲面S與三元方程與三元方程0),( zyxF有下述關(guān)系：有下述關(guān)系：(1) 曲面曲面S上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程；上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程；那

8、那么么，方方程程0),( zyxF就就叫叫做做曲曲面面S的的方方程程，而而曲曲面面S就就叫叫做做方方程程的的圖圖形形.2 2、曲面、曲面(2) 不在曲面不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程；上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程；上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回研究空間曲面的兩個基本問題：研究空間曲面的兩個基本問題：（2）已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀）已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀.（1）已知曲面作為點(diǎn)的軌跡時，求曲面方程）已知曲面作為點(diǎn)的軌跡時，求曲面方程.1 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面定義：以一條平面曲線繞定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱之一周

9、所成的曲面稱之.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸軸.上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回方程特點(diǎn)方程特點(diǎn):0),()2(0),()1(00),(:2222 yzxfyLzyxfxLzyxfL方程為方程為軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面繞繞曲線曲線方程為方程為軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面繞繞曲線曲線設(shè)有平面曲線設(shè)有平面曲線上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回（2）圓錐面）圓錐面222zyx （1）球面）球面（3）旋轉(zhuǎn)雙曲面）旋轉(zhuǎn)雙曲面1222222 czayax1222 zyx上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回2 柱面柱面定

10、義：定義：平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線C移動的直線移動的直線L所形成的曲面稱之所形成的曲面稱之.這條定曲線叫柱面這條定曲線叫柱面的的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動直線叫，動直線叫柱面的柱面的母線母線.上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回從柱面方程看柱面的特征：從柱面方程看柱面的特征： 只只含含yx,而而缺缺z的的方方程程0),( yxF，在在空空間間直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中表表示示母母線線平平行行于于z軸軸的的柱柱面面，其其準(zhǔn)準(zhǔn)線線為為xoy面面上上曲曲線線C.(1) 平面平面 xy 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回(3) 拋物柱面拋物柱面 )0(22 ppyx(4)

11、 橢圓柱面橢圓柱面 12222 byax(2) 圓柱面圓柱面 222Ryx 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回3 二次曲面二次曲面定義定義:三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面.（1）橢球面）橢球面1222222 czbyaxzqypx 2222（2）橢圓拋物面）橢圓拋物面)(同號同號與與qp上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回zqypx 2222（3）馬鞍面）馬鞍面)(同號同號與與qp（4）單葉雙曲面）單葉雙曲面1222222 czbyax（5）圓錐面）圓錐面222zyx 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回3 3、空

12、間曲線、空間曲線 0),(0),(zyxGzyxF1 空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程 )()()(tzztyytxx2 空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回 22222)21()21(1yxyxz 2sinsin2121cos21tztytx如圖空間曲線如圖空間曲線一般方程為一般方程為參數(shù)方程為參數(shù)方程為上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回3 空間曲線在坐標(biāo)面上的投影空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 0),(0),(zyxGzyxF消去變量消去變量z后得：后得：0),( yxH設(shè)空間曲線的一般方程：設(shè)空間曲線的一般方程： 00),(zy

13、xH曲線在曲線在 面上的投影曲線為面上的投影曲線為xoy 00),(xzyR 00),(yzxT面上的投影曲線面上的投影曲線yoz面上的投影曲線面上的投影曲線xoz上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回如圖如圖:投影曲線的研究過程投影曲線的研究過程.空間曲線空間曲線投影曲線投影曲線投影柱面投影柱面上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回4 空間立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影空間立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影空間立體空間立體曲面曲面上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回4 4、平面、平面,CBAn ),(0000zyxMxyzon0MM1 平面的點(diǎn)法式方程平面的點(diǎn)法式方程0)

14、()()(000 zzCyyBxxA2 平面的一般方程平面的一般方程0 DCzByAx1 czbyax3 平面的截距式方程平面的截距式方程xyzoabc上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA4 平面的夾角平面的夾角222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 5 兩平面位置特征：兩平面位置特征：21)1( 0212121 CCBBAA21)2( /212121CCBBAA 1 1n2 2n 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回5 5、空間直線、空間直線0:11111 DzCyBxA0:22

15、222 DzCyBxA 00:22221111DzCyBxADzCyBxAL1 空間直線的一般方程空間直線的一般方程xyzo1 2 L上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回xyzosL0M M 3 空間直線的參數(shù)方程空間直線的參數(shù)方程pzznyymxx000 2 空間直線的對稱式方程空間直線的對稱式方程 ptzzntyymtxx000),(0000zyxM,pnms 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回直線直線:1L111111pzznyymxx 直線直線:2L222222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmL

16、L 兩直線的夾角公式兩直線的夾角公式4 兩直線的夾角兩直線的夾角上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回5 兩直線的位置關(guān)系：兩直線的位置關(guān)系：21)1(LL 0212121 ppnnmm21)2(LL/212121ppnnmm pzznyymxxL000: 0: DCzByAx6 直線與平面的夾角直線與平面的夾角上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回222222|sinpnmCBACpBnAm 直線與平面的夾角公式直線與平面的夾角公式)20( 7 直線與平面的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系 L)1(pCnBmA L)2(/0 CpBnAm上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下

17、頁返回返回二、典型例題二、典型例題例例1 1解解共面共面且且，使使，求一單位向量求一單位向量，已知已知bancnnkjickjbia,22,2000 ,0kzj yi xn 設(shè)設(shè)由題設(shè)條件得由題設(shè)條件得10 ncn 0ban 0 020221222zyzyxzyx解得解得).323132(0kjin 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回例例2 2解解.401284, 0405:角的平面方程角的平面方程組成組成且與平面且與平面求過直線求過直線 zyxzxzyx過已知直線的平面束方程為過已知直線的平面束方程為, 0)4(5 zxzyx , 04)1(5)1( zyx即即.1 , 5 ,

18、1 n其其法法向向量量.8, 4, 1 n又又已已知知平平面面的的法法向向量量上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回由題設(shè)知由題設(shè)知114cosnnnn 222222)1(5)1()8()4(1)8()1()4(51)1( ,2723222 即即由此解得由此解得.43 代回平面束方程為代回平面束方程為. 012720 zyx上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回例例3 3解解.1243:,12:)1 , 1 , 1(210LxzxyLxzxyLM都相交的直線都相交的直線且與兩直線且與兩直線求過點(diǎn)求過點(diǎn) 將兩已知直線方程化為參數(shù)方程為將兩已知直線方程化為參數(shù)方程為 1243:

19、,12:21tztytxLtztytxL的交點(diǎn)分別為的交點(diǎn)分別為與與設(shè)所求直線設(shè)所求直線21, LLL上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回).12 , 43 ,()1,2 ,(222111 tttBtttA和和,)1 , 1 , 1(0三三點(diǎn)點(diǎn)共共線線與與BAM).(00為為實實數(shù)數(shù)故故 BMAM 即有即有,00對對應(yīng)應(yīng)坐坐標(biāo)標(biāo)成成比比例例于于是是BMAM,1)12(1)1(1)43(1211212121 tttttt上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回, 2, 021tt解之得)3 , 2 , 2(),1, 0 , 0(BA ,)3 , 2 , 2()1 , 1 ,

20、1(0上上同同在在直直線線和和點(diǎn)點(diǎn)LBM的方程為的方程為故故 L.211111 zyx上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回例例4 4解解.02:01012:上的投影直線的方程上的投影直線的方程在平面在平面求直線求直線 zyxzyxzyxL的的平平面面束束方方程程為為過過直直線線 L, 0)1()12( zyxzyx . 0)1()1()1()2( zyx即即 L上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回, 014 即即41 故故,代代入入平平面面束束方方程程將將 . 013 zyx得得所求投影直線方程為所求投影直線方程為.02013 zyxzyx, 垂直于平面垂直于平面又又.

21、 0)1()1(2)1(1)2( 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回例例5 5解解.,1101:求旋轉(zhuǎn)曲面的方程求旋轉(zhuǎn)曲面的方程軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周繞繞直線直線zzyxL ), 1(111zyM設(shè)直線上一點(diǎn)設(shè)直線上一點(diǎn),11zy 有有位置位置到達(dá)到達(dá)旋轉(zhuǎn)后旋轉(zhuǎn)后),(), 1(111zyxMzyM由于高度不變由于高度不變,1zz 有有,1不不因因旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而改改變變軸軸的的距距離離到到和和又又rzMM上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回2121yr 故故,22yx ,11yzz 由于由于故所求旋轉(zhuǎn)曲面方程為故所求旋轉(zhuǎn)曲面方程為. 1222 zyx上頁上頁下頁下頁返回返

22、回上頁上頁下頁下頁返回返回一一、 選選擇擇題題： 1 1、 若若a，b為為共共線線的的單單位位向向量量， 則則它它們們的的數(shù)數(shù)量量積積 ba （ ）. . （A A） 1 1； （B B）- -1 1； （C C） 0 0； （D D）),cos(ba. .2 2、 向向量量 ba與與二二向向量量a及及b的的位位置置關(guān)關(guān)系系是是（ ）. .（A A） 共共面面； （B B）共共線線；（C C） 垂垂直直； （D D）斜斜交交 . .測測 驗驗 題題 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回3 3、設(shè)設(shè)向向量量Q與與三三軸軸正正向向夾夾角角依依次次為為 ,，當(dāng)當(dāng) 0cos 時時，有有（

23、）4 4、設(shè)設(shè)向向量量Q 與與三三軸軸正正向向夾夾角角依依次次為為 ,當(dāng)當(dāng) 1cos 時時有有（ ）面面面面面面面；面；xozQDxozQCyozQBxoyQA )(;)(;)()(面面面面面面面；面；xoyQDxozQCyozQBxoyQA)(;)(;)()( 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回5 5、 2)( （ ）（A A）22 ； （B B）222 ；（C C）22 ； （D D）222 . .6 6、 設(shè)平面方程為、 設(shè)平面方程為0 DCzBx， 且， 且0, DCB， 則則 平面平面（ ）. .（A A） 軸軸平行于平行于 x；（B B） 軸軸平行于平行于 y；（C

24、C） 軸軸經(jīng)過經(jīng)過 y；（D D） 軸軸垂直于垂直于 y. .上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回7 7、設(shè)直線方程為、設(shè)直線方程為 00221111DyBDzCyBxA且且 0,221111 DBDCBA, ,則直線則直線（ ）. .（A A） 過原點(diǎn)；過原點(diǎn)； （B B）軸軸平行于平行于 z； （C C）軸軸垂直于垂直于 y； （D D）軸軸平行于平行于 x. .8 8、曲曲面面052 xyzxyz與與直直線線351 yx 710 z的的交交點(diǎn)點(diǎn)是是（ ）. .（A A）)4,1,2(,)3,2,1( ；（B B）)3,2,1(；（C C）)4,3,2(；（D D）.)4,1,

25、2( 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回9 9、已知球面經(jīng)過、已知球面經(jīng)過)1,3,0( 且與且與xoy面交成圓周面交成圓周 01622zyx，則此球面的方程是，則此球面的方程是（ ）. . （A A）0166222 zzyx； （B B）016222 zzyx； （C C）0166222 zzyx； （D D）0166222 zzyx. .1010、下列方程中所示曲面是雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面的是、下列方程中所示曲面是雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面的是 （ ）. . （A A）1222 zyx； （B B）zyx422 ； （C C）14222 zyx； （D D）1169222 zyx. .上頁上頁下

26、頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回二、二、 已知向量已知向量ba,的夾角等于的夾角等于3 ，且，且5,2 ba，求，求)3()2( baba . .三、三、 求向量求向量4 , 3, 4 a在向量在向量1,2,2 b上的投上的投影影 . .四、四、 設(shè)平行四邊形二邊為向量設(shè)平行四邊形二邊為向量;1 , 3, 1 a 3 , 1, 2 b，求其面積，求其面積 . .五、五、 已 知已 知,ba為 兩 非 零 不 共 線 向 量 ， 求 證 ：為 兩 非 零 不 共 線 向 量 ， 求 證 ：)()( baba)(2 ba. .上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回六、六、 一動點(diǎn)與點(diǎn)一動點(diǎn)與點(diǎn))0,0,1(M的距離是它到平面的距離是它到平面4 x的的距離的一半，試求該動點(diǎn)軌跡曲面與距離的一半，試求該動點(diǎn)軌跡曲面與yoz面的交線面的交線方程方程 . .七、七、 求直線求直線L：,85213 tztytx在三個坐標(biāo)面上及平面在三個坐標(biāo)面上及平面: 083