正項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別方法

1、正項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別方法摘要:正項(xiàng)級數(shù)是級數(shù)內(nèi)容中的一種重要級數(shù),它的斂散性是其根本性質(zhì).正項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別方法雖然較多,但是用起來仍有一定的技巧,歸納總結(jié)正項(xiàng)級數(shù)斂散性判別的一些典型方法,比擬這些方法的不同特點(diǎn),總結(jié)出一些典型判別法的特點(diǎn)及其適用的正項(xiàng)級數(shù)的特征.根據(jù)不同級數(shù)的特點(diǎn)分析、判斷選擇適宜的方法進(jìn)行判別,才能事半功倍.關(guān)鍵詞：正項(xiàng)級數(shù)；收斂；方法；比擬；應(yīng)用1引言數(shù)項(xiàng)級數(shù)是伴隨著無窮級數(shù)的和而產(chǎn)生的一個(gè)問題,最初的問題可以追溯到公元前五世紀(jì),而到了公元前五世紀(jì),而到了公元17、18世紀(jì)才有了真正的無窮級數(shù)的理論.英國教學(xué)家GregoryJ(16381675)給出了級數(shù)收斂和發(fā)散兩

2、個(gè)術(shù)語從而引發(fā)了數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性廣泛而深入的研究,得到了一系列數(shù)項(xiàng)級數(shù)的判別法.因而,判斷級數(shù)的斂散性問題常常被看作級數(shù)的首要問題.我們在書上已經(jīng)學(xué)了很多種正項(xiàng)級數(shù)斂散性的判定定理,但書上沒有做過多的分析.我們在實(shí)際做題目時(shí),常會(huì)有這些感覺：有時(shí)不知該選用哪種方法比擬好；有時(shí)用這種或那種方法時(shí),根本做不出來,也就是說,定理它本身存在著一些局限性.因此,我們便會(huì)去想,我們常用的這些定理到底有哪些局限呢定理與定理之間會(huì)有些什么聯(lián)系和區(qū)別呢做題目時(shí)如何才能更好得去運(yùn)用這些定理呢這就是本文所要討論的.2正項(xiàng)級數(shù)斂散性判別法2.1 判別斂散性的簡單方法Q0由級數(shù)收斂的根本判別定理柯西收斂準(zhǔn)那么：級數(shù)

3、63;un收斂nT之寸名力,NN,nN,P伊Un4+Un+十/加|<8.取特殊的p=1,可qQ得推論：假設(shè)級數(shù)Zun收斂,那么limUn=0.n_nd,2.2 比擬判別法定理一(比擬判別法的極限形式)：oOoo設(shè)ZUn和Zv為兩個(gè)正項(xiàng)級數(shù),且有l(wèi)imUn=l,于是nnnn3n£VnQOQO(1)假設(shè)0<l<依,那么£口口與2vn同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散.n1ndoOoo(2)假設(shè)l=0,那么當(dāng)工vn收斂時(shí),可得工un收斂.n1n13假設(shè)l=,那么當(dāng)£vn發(fā)散時(shí),可得£un發(fā)散.n4n1正項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別法在高等數(shù)學(xué)課本中所涉及的主要有：比擬

4、判別法、比值判別法和根植判別法.由于比值法與根值法的固定模式,其使用較為方便.但比擬判別法在應(yīng)用時(shí),由于需要對原有級數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s,選擇與之比擬的對象級數(shù),學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)都感到難度較人.2.2.1 當(dāng)所求級數(shù)的通項(xiàng)中出現(xiàn)關(guān)于n的有理式時(shí),將借助無窮小量無窮大量階的概念來分析比擬判別法的使用,進(jìn)而給出如何選擇比擬對象的快捷方法.oOoO由于limUn#0時(shí),級數(shù)uun必發(fā)散.從而,只需考慮limUn=0時(shí),正項(xiàng)級數(shù)工un的斂n二nmn二nJ散性判別.借助“無窮小量階的比擬,即無窮小量趨丁零速度的比擬這一概念,上述的1、2、3可以等價(jià)理解為O0od1當(dāng)0<1<2,即Un與Vn是同階無窮小

5、量nTM時(shí),£Un與ZVn同斂散.n-1n-1QOQO2當(dāng)1=0且工vn收斂,即un是較vn的高階無窮小量nT8時(shí),必有工un收斂.n=1nWQOco3假設(shè)1=z且£vn發(fā)散,即un是較vn的低階無窮小量n->8時(shí),可得£un發(fā)n=1n=1散.這說明正項(xiàng)級數(shù)收斂與否最終取決于其通項(xiàng)趨于零的速度,即無窮小量階的大小.因此QO可以通過無窮小量或者無窮大量階的比擬,簡化2Un的通項(xiàng)un或?qū)n進(jìn)行適當(dāng)放縮,進(jìn)n1QO而利用級數(shù)的斂散性來判別zUn的斂散.n1Inn*n例1、判別級數(shù)£粵和£1一的斂散性.nmnnm2-n分析：在實(shí)際題目中,常見的

6、無窮大量有1nn,naaa0,anaa1等.其發(fā)散的速度：在n-*8時(shí),1nn«naa>0«ana>1oInnna1nn從而彳產(chǎn)"2Lf1結(jié)合比擬判別法的使用.故1中的比擬對象七的a的取值應(yīng)保證2-a>1,即0<a<1.n1,一(2)中的比擬對象一的a的取值應(yīng)保證a11,即a>2.a1ncdzn4lnn,也收nlnn1-2解：(1)可取a=,有l(wèi)im一一2n_/1又.一收斂,那么由比擬判別法可知3n45_n2n-Zn(2)可取a=3,有l(wèi)im21nn12n六也n2斂.二1=0.又£4收斂,那么由比擬判別法可知n4n收斂

7、.使用正項(xiàng)級數(shù)比擬判別法時(shí)需要熟記二1P-級數(shù)工以及等比級數(shù)工aqn(apn-1nnz4斂散性,再結(jié)合本文給出的利用階的概念對級數(shù)通項(xiàng)進(jìn)行放縮的方法.¥0,q#0)的便能較快捷地選定常用作比擬對象的P-級數(shù)或等比級數(shù)的具體形式,準(zhǔn)確判別出正項(xiàng)級數(shù)的斂散性.1同樣,我們可以利用等價(jià)無窮小來判斷正項(xiàng)級數(shù)的斂散性,仍需熟記二1P-級數(shù)£p的斂散性.2n=1n2.2.2當(dāng)所求級數(shù)通項(xiàng)中出現(xiàn)正弦函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)時(shí),利用不等式選取適當(dāng)?shù)谋葦M對象例2：判別級數(shù)£2nsin的斂散性.nm3n分析：考慮當(dāng)x>0時(shí),sinx<x,那么s<2p3n3rn22n=3n3n

8、3)nn一二2,而'nd3是公比q=2<1的收斂級數(shù),故原級數(shù)收斂.32.3根值判別法以及兩個(gè)推廣定理一(根值判別法的極限形式)6有正項(xiàng)級數(shù)7Unn=1假設(shè)limJun=l,那么n：二QO(1)當(dāng)l<1時(shí),工un收斂.n1QO(2)當(dāng)l>1時(shí),Zun發(fā)散.n12.3.1 一般的情況例1:判別級數(shù)'、.nd2n1的斂散性.解：由于limn'u7=limnlin)n=：-nn=：-.2n1n42n1n收斂.n1,*1,=limn=4<1,根據(jù)柯西判別法的推論,可得級n：二2n122.3.2根值判別法推廣,假設(shè)將判別極限在一定條件下將比原判別方法更為精

9、細(xì),limnun更改為limnumn或limnumn.i,那么相應(yīng)結(jié)果且應(yīng)用范圍也有所推廣.引理一：如果un>un+0(n=1,2,),那么級數(shù)工4收斂當(dāng)且僅當(dāng)級數(shù)ZmnUmn收斂.3引理二:設(shè)Zun與Zvn為兩個(gè)正項(xiàng)級數(shù),且存在正整數(shù)時(shí),不等式nz4n1numn平Mvmn+(i=0,1,2,m-m1)成立,那么假設(shè)級數(shù)Zvn收斂必有級數(shù)Zun收斂;假設(shè)級數(shù)zun發(fā)散必有級數(shù)vnvn發(fā)散.oO定理二：設(shè)£un為正項(xiàng)級數(shù),m為大于1的自然數(shù).假設(shè)級數(shù)通項(xiàng)滿足n=1.1-1un+"n(n=1,2,3,)limnumn=P,那么當(dāng)P<一時(shí)級數(shù)收斂；當(dāng)P一級數(shù)發(fā)散；而m

10、m_1當(dāng)P=一時(shí),級數(shù)的斂散性不能判定.4mQO.定理三：設(shè)£un為正項(xiàng)級數(shù),m為大于1的自然數(shù).如果limrnLmn=P其中n1n.i=0,1,2,mn1-mn、11一1.,1那么當(dāng)P<一時(shí)級數(shù)收斂；當(dāng)P一級數(shù)發(fā)散；而當(dāng)P=一時(shí),級數(shù)的斂散性不能判定.4定理二、三給出的判別法較根值判別法更為精細(xì).定理的應(yīng)用不再詳細(xì)舉例,比方對級數(shù)3二3-二n、en及丁n1n13n,值或根值判別法不能判別其斂散性,但用本文的定理二或定理三其斂散性即可判別.2.4達(dá)朗貝爾判別法(比值判別法)及其推廣00定理三(比值判別法的極限形式)：有正項(xiàng)級數(shù)zun(u>0),且limRnnn-,nWun

11、oO1)當(dāng)l<1時(shí),級數(shù)zun收斂.n1oo2)當(dāng)i>1時(shí),級數(shù)unun發(fā)散.n42.4.1 一般的情況例1:判別級數(shù)的斂散性.解:由于lim"n二Un,、八,:-ni,貝爾判別法的推論知,級數(shù)Un收斂.n4n2.4.2 比值判別法的推廣,在借鑒比值判別法的根底上,通過對構(gòu)成正項(xiàng)級數(shù)的解析式進(jìn)行分析給出了判斷正項(xiàng)級數(shù)斂散性的一種方法.定理一：設(shè)y=f(x)是取值為正且可導(dǎo)的函數(shù).1)如果存在負(fù)數(shù)a,使得當(dāng)x足夠大時(shí)有-f-ca,那么正項(xiàng)級數(shù)Zf(n)收斂;fXnR2)如果存在正數(shù)b,使得當(dāng)X足夠大時(shí)有f->b,那么正項(xiàng)級數(shù)Zf(n)發(fā)散;fXn=0oO3)如果不存在

12、滿足以上條件的實(shí)數(shù),那么正項(xiàng)級數(shù)Zf(n)可能收斂,也可能發(fā)散.5n=D定理一的應(yīng)用不再詳細(xì)舉例,比方對級數(shù)£一二、£一工和工一一的斂散性那么可用上nm2ndinnn1inn述的定理.52.5比式與根式審斂法的推廣正項(xiàng)級數(shù)的審斂法有很多種,其中以達(dá)朗貝爾比值審斂法與柯西根值審斂法是最根底也是使用頻率最高的兩種方法.一般情況下,這兩種審斂法都是分開來使用,事實(shí)上將這兩種方法結(jié)合在一起也可以得到一種新的審斂法.定理一：設(shè)wn=unvn,un0,vn之0(n=1,2,).假設(shè)lim§un=u,limn-=v.那么n"n"Vn001)當(dāng)uv<1時(shí)

13、,級數(shù)ZWn收斂；n1002)當(dāng)uv>1時(shí),級數(shù)Wwn發(fā)散；6n1oO例1:判定級數(shù)、n1tan2nJ2n1ni的斂散性.解：設(shè)unn2n1,vn=n1tan12nL.那么limnunn一n1=lim=一n<2n12lim-vn-n-：Vn1=limn舉二冗n1tan2n.i丸ntan2n=limn舉二ji12n11二2n一2n1一一<1,所以原級數(shù)400“n1tann=4收斂.6上述判別法的出現(xiàn),極大地拓寬了級數(shù)斂散性的判別范圍,2.6積分判別法簡化了級數(shù)的問題.定理一積分判別法：設(shè)f為1,收上非負(fù)減函數(shù),那么正項(xiàng)級數(shù)zfn與反常積分同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散.：1.例1：證實(shí)調(diào)和

14、級數(shù)、發(fā)散.n注n一,一,-1,二1.二1-解：將原級數(shù)工1換成積分形式4dx,由于fdx=lnx產(chǎn)=0=",即nmn1x1x二11f1dx發(fā)散,根據(jù)積分判別法可知,調(diào)和級數(shù)2.7拉貝判別法以及其推廣定理一拉貝判別法的極限形式8:設(shè)£un為正項(xiàng)級數(shù),且極限n1limn1nSCUn1=r存在,Un1當(dāng)r>1時(shí),級數(shù)£un收斂;n1QO2當(dāng)r<1時(shí),級數(shù)工un發(fā)散.n11.1.1 活用拉貝判別法一13<2n-1例1、判斷級數(shù)Z的斂散性.n324<2n解：由于n1un1un十1n(4n+3)L12n港廳(2n+2)<1nTg所以原級數(shù)是發(fā)散

15、的.2.7.2拉貝判別法在判別的范圍上比比式判別法更廣泛,是根據(jù)n1un1Un及其極限與1的大小關(guān)系來鑒別斂散性.但是對有些級數(shù)仍無法判別其斂散性,如Z2n!許多作者對這些判別法作了研究與推廣.:一u1定理2:設(shè)Zun為正項(xiàng)級數(shù),滿足=1-n4unn1-fngn;-nln1n+1hlimnlnn1fn=r,那么有n_.1)假設(shè)r>1,g(n)<0,od那么£un收斂;n42)假設(shè)r<1,g(n)之0,oO那么£un發(fā)散.7n1文獻(xiàn)4中判別正項(xiàng)級數(shù)oO£un斂散性的一個(gè)主要定理如下:n1定理3:n為正項(xiàng)級數(shù)且滿足un±un1當(dāng)：->

16、1時(shí),那么級數(shù)oOZun收斂;n12當(dāng)：M1時(shí),那么級數(shù)Zun發(fā)散.8n1顯然,定理2是上述的定理的改良.事實(shí)上,由定理r二12知fn='',那么nlnn1un_L=1unn1nlnn1+g(n)+0|(nln(n+1/nlnn1n1_r-nlnn1gn+onlnn1(nln(n+1)nlnn1這里令w(n)=-+rnIn(n+1)g(n).故1假設(shè)r>1,gnw0,那么必有wn戶1；1r-12假設(shè)r<1gn,那么只要再假設(shè)gn期足gn之+,就有wnE1.n1nInn1二2n-1!1例1:判定級數(shù)Z:的斂散性.n2n!2n1解：由于22un/_2n+卜2n+2n1n

17、+1_!n+n+!un2n,112nn-1nn3n!n2_2n+Xn+卜n-1_26n+523-2n22n3-2n22n3'由定理2的變形形式可知,limnfn=limn-=-,故此級數(shù)收斂.n二n:2n22n32易見此方法較4中例1的方法簡便.2.8 對數(shù)判別法2.8.1 簡單的對數(shù)判別法U文獻(xiàn)9給出了判別正項(xiàng)級數(shù)斂散性的一種對數(shù)判別法的極限形式,就是比擬limun與1n二Inn8的大小來鑒別級數(shù)zun的斂散性.n12.8.2 非正常積分與正項(xiàng)級數(shù)的對數(shù)判別法由于級數(shù)與反常積分在本質(zhì)上是相同的,都是“求和運(yùn)算,只不過是對兩種不同的變量求和,因此,文獻(xiàn)9將反常積分的對數(shù)審斂法推廣到級數(shù)

18、中去,從而得到正項(xiàng)級數(shù)斂散性的對數(shù)審斂法.第一對數(shù)審斂法是計(jì)算lim心%與0的大小,第二對數(shù)審斂法是計(jì)算nJn1 1一limln-ln一與0的大小來鑒別斂放性.Un1Un2.8.3 正項(xiàng)級數(shù)比值對數(shù)判別法而文獻(xiàn)11那么是巧用麥克勞林級數(shù)展開式ln1+a=-1fJ+oan給出了一種比值對數(shù)判別法.對數(shù)判別法和非正常積分與正項(xiàng)級數(shù)的對數(shù)判別法分別給出了兩種不同形式對數(shù)判別法的,根據(jù)級數(shù)的形式選擇適宜的判別法,與非正常積分與正項(xiàng)級數(shù)的對數(shù)判別法比擬對數(shù)判別法主要適用于判別哥指形級數(shù)的斂散性.2.9 其他判別法2.9.1 阿貝爾判別法設(shè)級數(shù)Zanbn,假設(shè)an為單調(diào)有界數(shù)列,且級數(shù)Zbn收斂,那么級數(shù)

19、Zanbn收斂.2.9.2 狄利克雷判別法設(shè)級數(shù)Zanbn,假設(shè)&為單調(diào)遞減,且lim烝=0又級數(shù)的局部和數(shù)列有界,那么級數(shù)n二aanbn收斂.3正項(xiàng)級數(shù)斂散性判別方法比擬3.1 當(dāng)級數(shù)可化為含參數(shù)的一般式、通項(xiàng)為等差或等比值或通項(xiàng)為含二項(xiàng)以上根式的四那么運(yùn)算且通項(xiàng)極限無法求出時(shí),可以選用正項(xiàng)級數(shù)的充要條件即判別斂散性的簡單方法進(jìn)行判斷.3.2當(dāng)級數(shù)表達(dá)式型如1一,Unun為任意函數(shù)、級數(shù)一般項(xiàng)如含有sine,cose等三角函數(shù)的因子可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s,算出或lim匕-1=1,limnj:.unj:.un并與幾何級數(shù)、P級數(shù)、調(diào)和級數(shù)進(jìn)行比擬limu±,lim河不易n二unn

20、二,fUn=1,等此類無法判斷級數(shù)收斂性或進(jìn)行有關(guān)級數(shù)的證實(shí)問題時(shí),應(yīng)選用比擬判別法.比擬判別法使用的范圍比擬廣泛,適用于大局部無法通過其他途徑判別其斂散性的正項(xiàng)級數(shù).且具體的當(dāng)所求級數(shù)的通項(xiàng)中出現(xiàn)關(guān)于n的有理式時(shí),將借助無窮小量無窮大量階的概念來分析比擬判別法的使用,如2.2中的例1；當(dāng)所求級數(shù)通項(xiàng)中出現(xiàn)正弦函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)時(shí),利用不等式選取適當(dāng)?shù)谋葦M對象如2.2中的例2.3.3當(dāng)級數(shù)含有n次哥,形如an或通項(xiàng)Un或級數(shù)含有多個(gè)聚點(diǎn)時(shí),可選用根值判別法.且值判別法更為精細(xì),且應(yīng)用范圍也有所推廣.1,一一一,一二即分母含有含lnx的函數(shù),分子為1,nlnn2.3中給出的定理二、三給出的判別法較根

21、這兩種判別法都是比式與根式審斂2.5中的例1,用3.4 當(dāng)級數(shù)含有階n次哥,型如a!或an或分子、分母含多個(gè)因子連乘除時(shí),選用比值判別法.3.5 凡能由比式判別法鑒別收斂性的級數(shù),它也能由根式判別法來判斷,而且可以說,根式判別法較之比式判別法更有效,但是他們有一定的局限性.一般情況下,分開來使用,事實(shí)上將這兩種方法結(jié)合在一起也可以得到一種新的判別法：法的推廣.極大地拓寬了級數(shù)斂散性的判別范圍,簡化了級數(shù)的問題.如比式與根式審斂法的推廣比擬簡單的判斷出它的斂散性.113.6 當(dāng)級數(shù)表達(dá)式型如一,un為含有l(wèi)nn的表達(dá)式或一可以找到原函數(shù),或級數(shù)un為unun1上非負(fù)單調(diào)遞減函數(shù),Un含有sinx

22、,cosx等三角函數(shù)的因子可以找到原函數(shù),可以選用積分判別法.3.7 當(dāng)級數(shù)同時(shí)含有階層與n次哥,形如an與a!時(shí),或使用比值、根式判別法時(shí)極限等于1或無窮無法判斷其斂散性的時(shí)候,選用拉貝判別法.雖然拉貝判別法在判別的范圍上比比式判別法更廣泛,但是對有些級數(shù)仍無法判別其斂散性,如2.7中例1.因此,給出了拉貝判別法的推廣,它比拉貝判別法的判別范圍廣泛,對于2.7中例1它可以很容易的就判別出其收斂性.3.8 對于通項(xiàng)中含有n!en因子及討通項(xiàng)中含有(n-1)!n"的正項(xiàng)級數(shù)斂散性時(shí),拉貝判別法不易施行.就這類,f#況,我們應(yīng)用2.8給出的比值對數(shù)判別法,該方法避開了求極限等繁瑣過程,應(yīng)

23、用更為方便.3.9 當(dāng)通項(xiàng)是由兩個(gè)局部乘積而成,其中一局部為單調(diào)遞減且極限趨于0的數(shù)列,另一局部為局部和有界的數(shù)列,如含有sinx,cosx等三角函數(shù)等,或形如£sin(un),un任意函數(shù),那么可以選用阿貝爾判別法和狄利克雷判別法.阿貝爾判別法也可以看成狄利克雷判別法的特殊形式.例：設(shè)zbn收斂,那么級數(shù)Z3n1一Zbnln3等都12n收斂.4正項(xiàng)級數(shù)斂散性判別方法的總結(jié)判斷正項(xiàng)級數(shù)的一般順序是先檢驗(yàn)通項(xiàng)的極限是否為0,假設(shè)不為0那么發(fā)散,假設(shè)為0那么判斷級數(shù)的局部和是否有界,有界那么收斂,否那么發(fā)散.假設(shè)級數(shù)的一般項(xiàng)可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s那么使用比擬判別法,或可以找到其等價(jià)式用等價(jià)判別法.當(dāng)通項(xiàng)具有一定的特點(diǎn)時(shí),那么根據(jù)其特點(diǎn)選擇適用的方法,如比值判別法、根式判別法、比式與根式審斂法的推廣或拉貝判別法.當(dāng)上述方法都無法使用時(shí),根據(jù)條件選擇積分判別法、柯西判別法、對數(shù)判別法.當(dāng)無法使用根式判別法時(shí),通?？梢赃x用比值判別法,當(dāng)比值