模糊數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1、第六章模糊數(shù)學(xué)基礎(chǔ)6.1 概述6.1.1 傳統(tǒng)數(shù)學(xué)與模糊數(shù)學(xué)6.1.2 不相容原理6.2 模糊集合與隸屬度函數(shù)6.2.1 模糊集合及其運(yùn)算6.2.2 隸屬度函數(shù)6.3 模糊邏輯與模糊推理6.3.1 模糊邏輯6.3.2 模糊語(yǔ)言6.3.3 模糊推理第六章模糊數(shù)學(xué)基礎(chǔ)6.1 概述6.1.1 傳統(tǒng)數(shù)學(xué)與模糊數(shù)學(xué)6.1.2 不相容原理1965年，美國(guó)自動(dòng)化控制專家扎德(L.A.Zadeh)教授首先提出用隸屬度函數(shù)(membershipfunction)來(lái)描述模糊概念，創(chuàng)立了模糊集合論，為模糊數(shù)學(xué)奠定了基礎(chǔ)。不相容原理：“隨著系統(tǒng)復(fù)雜性的增加，我們對(duì)其特性作出精確而有意義的描述的能力會(huì)隨之降低，直到達(dá)到

2、一個(gè)閾值，一旦超過(guò)它，精確和有意義二者將會(huì)相互排斥”。這就是說(shuō)，事物越復(fù)雜，人們對(duì)它的認(rèn)識(shí)也就越模糊，也就越需要模糊數(shù)學(xué)。不相容原理深刻的闡明了模糊數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的必然性，也為三十多年來(lái)模糊數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史所證實(shí)。6.2 模糊集合與隸屬度函數(shù)6.2.1 模糊集合及其運(yùn)算一、模糊集合(FuzzySet§的定義傳統(tǒng)集合中的元素是有精確特性的對(duì)象，稱之為普通集合。例如，“8到12之間的實(shí)數(shù)”是一個(gè)精確集合C,C=實(shí)數(shù)r|8&r<12,用特征函數(shù)與表示其成員，如圖6.1(a)所示。1，其它%(r)=0，在模糊論域上的元素符合程度不是絕對(duì)的0或1,而是介于0和1之間的一個(gè)實(shí)數(shù)。(b

3、)812r例如，”接近10的實(shí)數(shù)”是一個(gè)模糊集合F=r|接近10的實(shí)數(shù)，用“隸屬度(Membership)"%(r)作為特征函數(shù)來(lái)描述元素屬于集合的程度。(a)圖6.1普通集合與模糊集合的對(duì)比模糊集合的定義如下：論域U上的一個(gè)模糊集合F是指，對(duì)于論域U中的任一元素uCU,都指定了0,1閉區(qū)間中的一個(gè)數(shù)%(u)C0,1與之對(duì)應(yīng)，(u)稱為u對(duì)模糊集合F的隸屬度。也可以表示成映射關(guān)系：%：U-0,1u一%(u)這個(gè)映射稱為模糊集合F的隸屬度函數(shù)(membershipfunction)0模糊集合有時(shí)也稱為模糊子集。U中的模糊集合F可以用元素u及其隸屬度(u)來(lái)表示：F=(u,NF(u)|u

4、M仍以前面提到的“年輕”、“中年”、“老年”為例，這三個(gè)年齡特征分別用模糊集合A、B、C表示，它們的論域都是U=0,100,論域中的元素都是年齡u,我們可以規(guī)定模糊集合A、B、C的隸屬度函數(shù)分別為aa(u)>bb(u)>io(u),如圖6.2所示。圖6.2“年輕”、“中年”、“老年”的隸屬度函數(shù)、模糊集合的表示1、離散論域如果論域U中只包含有限個(gè)元素，該論域稱為離散論域。設(shè)離散論域U=ui,U2,un,U上的模糊集合F可表示為nF八F(Ui),Ui(6.2.1)i1=f(Ui).Ui-Jf(U2)U2-"(Un)Un這只是一種表示法，表明對(duì)每個(gè)元素Ui所定義的隸屬度為NF

5、(Ui),并不是通常的求和運(yùn)算2、連續(xù)論域如果論域U是實(shí)數(shù)域，即UR,論域中有無(wú)窮多個(gè)連續(xù)的點(diǎn)，該論域稱為連續(xù)論域。連續(xù)論域上的模糊集合可表示為F=1(u)u(6.2.2)u.U這里的積分號(hào)也不是通常的含義，該式只是表示對(duì)論域中的每個(gè)元素u都定義了相應(yīng)的隸屬度函數(shù)為F(u)。三、模糊集合的基本運(yùn)算1、基本運(yùn)算的定義設(shè)A,B是同一論域U上的兩個(gè)模糊集合，它們之間包含、相等關(guān)系定義如下：A包含B,記作AnB,有A(u)_B(u),-uU(6.2.3)A等于B,記作A=B,有(u)=；b(u),-uU(6.2.4)顯然，人=8二人口8且人仁8。設(shè)A、B是同一論域U上的兩個(gè)模糊集合，隸屬度函數(shù)分別為H

6、人(3和建(6,它們的并、交、補(bǔ)運(yùn)算定義如下：A與B的交，記作AHB,有口a-b(u)=口a(u)b(u)=mina(u)&b(u),Vu=U(6.2.5)A與B的并，記作AUB,有Ja_b(u)-a(u)b(u)=max“uKu),Vu=U(6.2.6)A的補(bǔ)，記作A,有_(u)=1-a(u),-uU(6.2.7)A其中，min和八表示取小運(yùn)算，max和V表示取大運(yùn)算。圖6.3顯示了這三種運(yùn)算對(duì)應(yīng)的隸屬度函數(shù)。(a)A和B的交;(b)A和B的并；圖6.3模糊集合的三種運(yùn)算(c)A的補(bǔ)2.基本運(yùn)算定律論域U上的模糊全集E和模糊空集小定義如下：RE(u)=1,VuwU(u)=0,-uU設(shè)

7、A,B,C是論域U上的三個(gè)模糊集合，它們的交、恒等律：AA=A,A-A=A(6.2.(8)(6.2.(9)并、補(bǔ)運(yùn)算有下列定律:交換律：AB=BA,A-B=B-A人/上(A-B)C=A.(B.C)結(jié)合律：(A一B)一C=A一(B一C)A(B-C)=(A一B)'(A一C)分配律：A'(B一C)=(A-B)(A-C)吸收律:(A-B).A=A(A一B)-A=A同一律:對(duì)偶律(摩根律)A-B=A-B以上八條運(yùn)算定律，模糊集合和普通集合是完全相同的，但是普通集合的“互補(bǔ)律”對(duì)模糊集合卻不成立，如圖6.4所示，即AuA/E,acA*(a)圖6.4模糊集合的運(yùn)算不滿足“互補(bǔ)律”四、模糊關(guān)系

8、設(shè)有兩個(gè)集合A,B,A和B的直積AXB定義為AMB=（a,b）|aWA,bwB它是由序偶（a,b）的全體所構(gòu)成的二維論域上的集合。一般來(lái)說(shuō)AXBWBXA。設(shè)AXB是集合A和B的直積，以AXB為論域的模糊集合R稱為A和B的模糊關(guān)系。也就是說(shuō)對(duì)AXB中的任一元素（a,b）,都指定了它對(duì)R的隸屬度4（a,b）,R的隸屬度函數(shù)力可看作是如下的映射：%:aB>0,1（a,b），R（a,b）設(shè)Ri是X和Y的模糊關(guān)系,R2是Y和Z的模糊關(guān)系,那么Ri和R2的合成是X到Z的一個(gè)模糊關(guān)系，記作Ri。R2,其隸屬度函數(shù)為、R2（x,z）=襦聯(lián)（x,y）AR2（y,z）,寸（x,z）wXxZ（6.2.10）6

9、.2.2隸屬度函數(shù)正確地確定隸屬度函數(shù)，是運(yùn)用模糊集合解決實(shí)際問(wèn)題的基礎(chǔ)，是能否用好模糊集合的關(guān)鍵。目前隸屬度函數(shù)的確定方法大致有以下幾種：模糊統(tǒng)計(jì)方法：用對(duì)樣本統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)的方法確定隸屬度函數(shù)。例證法：從有限個(gè)元素的隸屬度值來(lái)估計(jì)模糊子集隸屬度函數(shù)。專家經(jīng)驗(yàn)法：根據(jù)專家的經(jīng)驗(yàn)來(lái)確定隸屬度函數(shù)。機(jī)器學(xué)習(xí)法：通過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)訓(xùn)練得到隸屬度函數(shù)。目前常用的隸屬度函數(shù)有：三角形6.5所示，隸屬度函數(shù)的解析式為x<b或x>c(6.2.11)圖6.5三角形隸屬度函數(shù)圖6.6梯形隸屬度函數(shù)三角形隸屬度函數(shù)曲線如圖梯形梯形與三角形是最簡(jiǎn)單的兩種隸屬度函數(shù)，應(yīng)用也非常廣泛。梯形隸屬度函數(shù)如圖6.6所

10、示，解析式表示為F（X）=b-a1，d-xd-c0,(6.2.12)x<a或x>d正態(tài)型這是一種最主要、最常見(jiàn)的分布，表示為:良±2(6.2.13)其分布曲線如圖6.7所示:圖6.7正態(tài)型分布曲線如圖6.8所示，解析式表示為:(6.2.14)其中入>0,v>0。Sigmiod型如圖6.9所示，解析式為：1f(x)-(6.2.15)1e圖6.8r型隸屬度函數(shù)圖6.9Sigmoid型隸屬度函數(shù)6.3模糊邏輯與模糊推理6.3.1 模糊邏輯模糊命題的真值應(yīng)是隸屬度函數(shù)，其取值應(yīng)在區(qū)間0,1上連續(xù)取值。模糊命題是普通命題在概念上的拓廣。它對(duì)應(yīng)的邏輯是連續(xù)邏輯（或多值邏輯

11、），又稱為模糊邏輯。顯然,不僅普通命題能反映客觀世界，而模糊命題更是現(xiàn)實(shí)生活中常見(jiàn)的。隨著模糊邏輯的出現(xiàn)和發(fā)展，將對(duì)計(jì)算機(jī)科學(xué)、人工智能、模糊控制等方向的研究和發(fā)展起推動(dòng)作用。下面對(duì)模糊邏輯的運(yùn)算作一簡(jiǎn)單介紹。設(shè)有模糊命題X和Y,對(duì)應(yīng)的真值(隸屬度，也稱為模糊變量)x,yC0,1,稱：Xr、Y為模糊邏輯合取(交、與)，真值為xAy=min(x,y)XvY為模糊邏輯析取(并、或)，真值為xy=max(x,y)X為模糊邏輯否定(補(bǔ)、非)，真值為x=1-xXtY為模糊邏輯蘊(yùn)含，真值為xty=xyXhY為模糊邏輯恒等，真值為xy=(xvy)A(yvx)6.3.2 語(yǔ)言變量一、模糊數(shù)與語(yǔ)言變量模糊數(shù)和語(yǔ)

12、言變量的定義如下：連續(xù)論域U中的模糊數(shù)F是一個(gè)U上的正規(guī)凸模糊集合。這里所謂正規(guī)集合的含義就是其隸屬度函數(shù)的最大值是1,即maxNf(u)=1。凸集合的含義是：在隸屬度函數(shù)曲線上任意兩點(diǎn)之間，曲線上的任意一點(diǎn)所表示的隸屬度都大于或者等于兩點(diǎn)隸屬度中較小的一個(gè)，即在實(shí)數(shù)集合的任意區(qū)間a,b上，對(duì)于所有的xCa,b,都有2f(x)之min(邑F(a),牛(3),a,b=U,x=a,b(6.3.1)語(yǔ)言變量用一個(gè)有五個(gè)元素的集合(N,T(N),U,G,M)來(lái)表征，其中(1) N是語(yǔ)言變量的名稱，如年齡、數(shù)的大小等；(2) U為語(yǔ)言變量N的論域；(3) T(N)為語(yǔ)言變量的值X的集合，其中每個(gè)X都是論

13、域U上的模糊集合，如T(N)=T(年齡尸很年輕“仰經(jīng)“+中'年"啾老"領(lǐng)老”=X1+X2+X3+X4+X5(4) G為語(yǔ)法規(guī)則，用于產(chǎn)生語(yǔ)言變量N的值X的名稱，研究原子單詞構(gòu)成合成詞后詞義的變化，并求取其隸屬度函數(shù)。其中，用“或”、“與”、“非”作連接詞構(gòu)成的合成詞,可以按模糊邏輯運(yùn)算取真值，見(jiàn)6.3.1節(jié)；帶修飾詞算子的合成詞，其真值可以根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算出來(lái)。常用的算子有以下幾種：語(yǔ)氣算子，如“很”、“略”、“相當(dāng)”等;模糊化算子，如“大概”、“近乎”、“差不多”等；判定化算子，如“偏向”、“多半是”、“傾向于”等。(5) M是語(yǔ)義規(guī)則，根據(jù)語(yǔ)義規(guī)則給出模糊子集X

14、的隸屬度函數(shù)。以N=年齡為例，表征語(yǔ)言變量的五元素集合如圖6.10所示。語(yǔ)言變量N語(yǔ)法規(guī)則G語(yǔ)言值集合T（N）語(yǔ)義規(guī)則M方力歲）圖6.10表示年齡的語(yǔ)言變量例L.A.Zadeh在論域U=0,100歲內(nèi)給出了年齡的語(yǔ)言變量值”老”的模糊子集隸屬度函數(shù)為N老（x）x:二50x_50其中修飾詞的隸屬度函數(shù)為:叫aV,叫常a"a2,匕目當(dāng)a"；25,比匕較a=2a0.75,u,L稍微AA0.25現(xiàn)以60歲為例，通過(guò)隸屬度函數(shù)分別計(jì)算它屬于“極老”、“非常老”、“相當(dāng)老”、“比較老”、“略老”、“稍微老”的程度為N極老（60）=曜（60）4=（0.8）4=0.41邑非常老(60)=日

15、老(60)2=(0.8)2=0.64打目當(dāng)老(60)=日老(60)125=(0.8)1.25=0.757比較老(60)=老(60)075=(0.8產(chǎn)5=0.845口略老(60)=老(60)0.5=(0.8)0.5=0.89囁微老(60)=N老(60)°.25=(0.8嚴(yán)=0.946二、模糊語(yǔ)句1、模糊直言語(yǔ)句模糊直言語(yǔ)句的句型為“x是A”，其中x是對(duì)象的名稱，A是論域U上的一個(gè)模糊子集。2、模糊條件語(yǔ)句常用的模糊條件語(yǔ)句的句型有：“若A則B”型，也記為ifAthenB;“若A則B否則C”型，也t己為ifAthenBelseC;“若A且B則C”型，也記為ifAandBthenC。6.3

16、.3 模糊推理模糊推理的兩種重要推理規(guī)則：廣義前向推理法(GeneralizeModusPonens簡(jiǎn)稱GMP)前提1:如果x是A,則y是B前提2:x是A/結(jié)論：那么y是B，廣義后向推理法(GeneralizeModusTollens,簡(jiǎn)稱GMT)前提1:如果x是A,則y是B前提2:y是B，結(jié)論：那么x是A/1975年Zadeh利用模糊變換關(guān)系，在廣義前向推理法的基礎(chǔ)上，提出了模糊邏輯推理的合成規(guī)則，建立了統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型，用于對(duì)各種模糊推理作統(tǒng)一處理。其推理規(guī)則為：前提：如果x是A,則y是B事實(shí)：x是A，結(jié)論：那么y是B'=A'AtB)即結(jié)論B，可用A與由A到B的推理關(guān)系進(jìn)行合

17、成而得到，其中的算子“表示模糊關(guān)系的合成運(yùn)算，(A-B)表示由A到B進(jìn)行推理的關(guān)系或者條件，即“如果x是A,那么y是B”的簡(jiǎn)化表示方法。有時(shí)(A-B)也可寫成Ra-b,其隸屬度函數(shù)被定義為a歸(x,y)-a(x)>Jb(Y)(6.3.2)那么BA«AtB)的隸屬度函數(shù)為(6.3.3)%，(y)=v%，(x)AN(x,y)x=v%，(x)ANa(x)t%(y)x如何實(shí)現(xiàn)合成運(yùn)算，有各種不同的方法，這決定于對(duì)蘊(yùn)含運(yùn)算的定義一、Zadeh模糊假言推理法Zadeh把(AB)定義成(AB)=1A(1-A+B)或者(AB)=(AAB)V(1-A)(6.3.4)對(duì)于后者，其隸屬度函數(shù)為(6.

18、3.5)晨但(x,y)=j(x)穌(y)=L(x)A%(y)v1L(x)把(6.3.5)代入(6.3.3)式，便得到了結(jié)論B，的隸屬度函數(shù)。二、Mamdani推理法Mamdani則把(A一B)定義成(A-B)=AAB。下面是Mamdani推理法的具體過(guò)程。設(shè)U1,U2,.,Un為n個(gè)有界論域，記Ui=a,bi。每個(gè)論域按一定規(guī)則分為li個(gè)凸模糊子集Aij,其隸屬度函數(shù)記為以仆供)。記S=Aij|j=1,2,.,li0則我們將模糊規(guī)則集表示為：mnOR(IF(AND(xiISAj)THENYISBj)(6.3.6)其中m為模糊規(guī)則數(shù)，n為輸入變量個(gè)數(shù)，A,BS0如果有事實(shí)"ifxiis

19、a1andx2isa2and.xnisan”，則結(jié)論“YisB'”可以這樣得出:由前提和第j條模糊規(guī)則可得到推理結(jié)果為Bj',則%(z)=%(日)九).%(an)，(z)(6.3.7)其中j=1,2.m,"A”表示min操作。經(jīng)(6.3.6)式推理后的結(jié)論B'可綜合推理結(jié)果B；,B2,.,Bm得到：，(z)=%(z)v,(z)口.一、,(6.3.8)其中“V”表示max操作。最終系統(tǒng)的輸出可以由“重心法”求出：m、口B(4),乙zou1,zi為常數(shù)。(6.3.9)一(4)i1圖6.11所示的是規(guī)則數(shù)為3(m=3),變量個(gè)數(shù)為2(n=2)的Mamdani推理過(guò)程Z0圖6.11Mamdani推理過(guò)程三、模糊加權(quán)推理法在模糊加權(quán)型推理法中，模糊規(guī)則集的結(jié)論表示為wj/zj,即將式(6.3.6)表示為：mnOR(IF(AND(XiISAj)THENYISWj/Zj)(6.3.10)其中m為模糊規(guī)則數(shù)，n為輸入變量個(gè)數(shù)，ACS,z為常數(shù)。Wj/z是構(gòu)成模糊集合的一個(gè)元素，Wj表示權(quán)重，并不表示zj的等級(jí)，應(yīng)看作模糊規(guī)則自身的加權(quán)，即模糊規(guī)則的重視度