14基本不等式及其應(yīng)用

1、課題基本不等式及其應(yīng)用課型復(fù)習(xí)課時(shí)數(shù)3教學(xué)目標(biāo)1.了解基本不等式的證明過(guò)程；2.會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大(小)值問(wèn)題.重點(diǎn)會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大(小)值問(wèn)題難點(diǎn)會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大(小)值問(wèn)題教學(xué)方法自主合作探究教學(xué)媒體PPT劃、節(jié)教學(xué)過(guò)程學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖課堂自主導(dǎo)學(xué)知識(shí)梳理,a+b1 .基本不等式：Vab<一2(1)基本不等式成立的條件：a>0,b>0.(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).a+b.-一(3)其中一2一稱為正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù)，_強(qiáng)稱為正數(shù)a,b的幾何平均數(shù).2 .幾個(gè)重要的不等式(1)重要/、等式：a2+b2>2ab(a,

2、bCR).當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).(2)ab<92(a,bCR),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).<272,2/i、(3)22J(a,bCR),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).(4)-+a>2(a,b同號(hào))，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).、，ab3.利用基本不等式求最值已知x>0,y>0,則(1)如果積xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),x+y有最小值是24P(簡(jiǎn)記：積定和最小).(2)如果和x+y是定值s,那么當(dāng)且僅當(dāng)年4時(shí)，xy梳理知識(shí)，加強(qiáng)記憶。構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。數(shù)學(xué)教學(xué)案授課人：邱瑤時(shí)間：10月20日二s有最乂S是4(簡(jiǎn)記：和定積最大).診斷自測(cè)1 .判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打或“x”)

3、喳精彩PPT展示a+b(1)當(dāng)a>0,b0時(shí)，2->ab.(V).aa,a+b(2)兩個(gè)不等式a+b>2ab與一二學(xué)/茄成立的條件是相同的.(X)一一1,(3)函數(shù)y=x+工的取小值是2.(X)x(4)x>0且y>0是x+y>2的充要條件.(X)yx2 .若a,bCR,且ab>0,則下列不等式中，包成立的是(A.)a12+b2>2abB.a+b>2Vab知識(shí)點(diǎn)辨析。C.a+b>一ab»a+?b的最小值是()A.2C.4解析由題意：+；=2"+2=2+2+襄2+解析:a2+b22ab=(ab)20,.A錯(cuò)誤.對(duì)于自測(cè)

4、，鞏固提后b。B,C,當(dāng)a<0,b<0時(shí)，明顯錯(cuò)誤.baba對(duì)于D,.ab>0,22ab=2.答案D13. (2015鄭州模擬)設(shè)a>0,b>0.若a+b=1,貝廣十a(chǎn)2dMa=4,當(dāng)且僅當(dāng)b=a，即a=b=2時(shí)，取等號(hào)，所以最小值為4.答案C4 .（2014上海卷）若實(shí)數(shù)x,y滿足xy=1,則x2+2y2的最小值為.解析.x2+2y212M2y2=2.xy=272,當(dāng)且僅當(dāng)x=/2y時(shí)取“="，；x2+2y2的最小值為2m.答案2也5 .（人教A必修5P100A2改編）一段長(zhǎng)為30m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長(zhǎng)18m,則這個(gè)矩形的長(zhǎng)為m,寬為

5、m時(shí)菜園面積最大.解析設(shè)矩形的長(zhǎng)為xm,竟為ym.則x+2y=30,所以S=xy=1x（2y）v2,22y卜等1,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y,_15,一一即x=15,y：1!時(shí)取等號(hào)15答案15125自我檢測(cè)。初步運(yùn)用知識(shí)，總結(jié)題型方法，查漏補(bǔ)缺。知識(shí)運(yùn)用導(dǎo)練考點(diǎn)一利用基本不等式證明簡(jiǎn)單不等式【例11已知x>0,y>0,z>0.»、十iVz、,儀z/xv)求證：+_ir+_|_+i>8.裒xAyy；zz/證明,x>0,y>0,z>0,vz2/yzxz2Vxz：+x>>0,y+y>-y->0,xy2心丫一+0,zzz工2+心+乂；

6、>8而應(yīng)源=8,當(dāng)且僅當(dāng)xx'y，Vzzxyz'x=y=z時(shí)等號(hào)成立.【訓(xùn)練11已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=熟練運(yùn)用不等式的性質(zhì)。規(guī)律方法利用基本不等式證明新的不等式的基本思路是：利用基本不等式對(duì)所證明的不等式中的某變式訓(xùn)練=3+家(B+0些部分放大或者縮小，在含有三個(gè)字母的不等式證明中要注意利用對(duì)稱性.1.、111求證：一十:>9.abc證明.a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,1 11a+b+ca+b+ca+b+ca+b+c=a+bcbcacab=3+aabbcc掌握利用基本不等式求最值。深度思考解決與基本

7、不等式有關(guān)的最值問(wèn)題，你學(xué)會(huì)配湊”規(guī)律方法(1)利用基本不等式解決條件最值的關(guān)鍵是構(gòu)造和為定值或乘積為定值，主要有兩種思路：對(duì)條件使用基本不等式，建立所求目標(biāo)函數(shù)的不等式求解.條件變形，進(jìn)1一,3+2+2+2=9,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí)，取等號(hào).3考點(diǎn)二利用基本不等式求最值例2解下列問(wèn)題：(1)已知a>0,b>0,且4a+b=1,求ab的最大值;(2)若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,求3x+4y的最小值;5-1(3)已知x<4,求f(x)=4x2+4775的最大值；(4)已知函數(shù)f(x)=4x+1(x>0,a>0)在x=3時(shí)取得最小值，求a的值.解(1)法一.

8、a>0,b>0,4a+b=1,.1=4a+b>244ab=4Vab,一.1-11.一.當(dāng)且僅當(dāng)4a=b=1,即a=1b=1時(shí),等號(hào)成立.2O2相01,ab<I.所以ab的最大值為.法二va>0,b>0,4a+b=1,11|4a+b1.ab=44ab<4；=-,當(dāng)且僅當(dāng)4a=b=1,即a=1,b=1時(shí)，等號(hào)成立.所2O2.一一,，一1以ab的最大值為行.,31(2)由x+3y=5xy,#-+-=5(x>0,y>0),xy131則3x+4y=5(3x+4y)|-+yJ=加+等+3x卜1+3+2d2哼)1=1(13+12)=5,當(dāng)且僅當(dāng)嚕=3x,

9、即x=2y時(shí)，等號(hào)成立，ttx=2y,x-1'此時(shí)由3解得$1、x+3y=5xy,y=,一.51(3)因?yàn)閤<4,所以5-4x>0,則f(x)=4x-2+4x5一.1=(5-4x+)+3<2+3=1.當(dāng)且僅當(dāng)5-4x=54x1 1一聲，即x=1時(shí)，等號(hào)成立.故f(x)=4x2+不的最大值為1.Kxpdx+a>zpdxa=4g當(dāng)且僅當(dāng)4x=a，即4x2=a時(shí)£僅)取得最小值.又.x=3,.a=4X32=36.【訓(xùn)練2】(1)設(shè)0<x<I，則函數(shù)y=4x(52x)的最大值為.了嗎？(禾I用基本不等式求解最值問(wèn)題，要根據(jù)代數(shù)式或函數(shù)解析式的特征靈

10、活變形，湊積或和為常數(shù)的形式；條件最值問(wèn)題要注意常數(shù)的代換，湊成基本不等式的形式求解最值)行1”的代換求目標(biāo)函數(shù)最值.(2)有些題目雖然不具備直接用基本不等式求最值的條件，但可以通過(guò)添項(xiàng)、分離常數(shù)、平方等手段使之能運(yùn)用基本不等式.常用的方法還有：拆項(xiàng)法、變系數(shù)法、湊因子法、分離常數(shù)法、換元法、整體代換法(2)設(shè)x>1,則函數(shù)y=lx±5r2-)的最小值為xII(3)(2014閩南四校聯(lián)考)設(shè)a>0,若關(guān)于x的不等式x+j4在xC(0,+8)上恒成立，則a的最小值為()A.4B,2C.16D.15解析(1)因?yàn)?Vx<2,所以5-2x>0,所以y=4x(52x)

11、=2X2x(52x)c2x+5-2x225I2/=,一,，一5，當(dāng)且僅當(dāng)2x=52x,即xj時(shí)等號(hào)成立，故函數(shù)y一一,，一25=4x(52x)的取大值為才(2)因?yàn)閤>1,所以x+1>0,2.(x+5(x+2)x+7x+10所以y=±，七=x+1x+1.2.變式訓(xùn)練，注意思考方法。x+1+5x+1+44=11=x+1+-+5x+1x+12、/(x+”xx；4l+5=9,當(dāng)且僅當(dāng)x+1即戶1時(shí)等號(hào)成立，故函數(shù)丫”產(chǎn)植最小值為9.(3)因?yàn)閤>0,a>0,所以x+a>2/,要使x+a>4xx在xC(0,+oo)上恒成立，則需2g>4,所以a>

12、;4,從而a的最小值為4,故選A.答案(1)25(2)9A考點(diǎn)三基本不等式的實(shí)際應(yīng)用【例3】(2014銀川模擬)運(yùn)貨卡車以每小時(shí)x千米的速度勻速行駛130千米，按交通法規(guī)限制50<x<100(單位：千米/時(shí)).假設(shè)汽油的價(jià)格是每升2元，而汽車每小x2時(shí)耗油+366升，司機(jī)的工資是每小時(shí)14元.(1)求這次行車總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式；（2）當(dāng)x為何值時(shí)，這次行車的總費(fèi)用最低，并求出最低費(fèi)用的值.解（1）設(shè)所用時(shí)間為t=130(h),130V=X2X>2“c360；+14X130,x50,100.所以，這次行車總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式是y=130X182X130360x,x50,1

13、00.丫=號(hào)0+蒜,x50,100).130X182X130(2)y=x-+6x>26回，當(dāng)且僅當(dāng)130X182X130x=360x,即x=18、,10時(shí)，等號(hào)成立.故當(dāng)x=180千米/時(shí)，這次行車的總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用的值為2610元.【訓(xùn)練3】（2014福建卷）要制作一個(gè)容積為4m3,高為1m的無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器.已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是（）A.80元C.160元解析設(shè)底面矩形的長(zhǎng)和寬分別為am,bm,則ab-2=4（m）.容器的總造價(jià)為20ab+2（a+b）x10=80+20（a+b）80+40癡=160（元）（當(dāng)且僅當(dāng)a=

14、b時(shí)等號(hào)成立）.故選C.答案C學(xué)會(huì)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題加以解決。規(guī)律方法有關(guān)函數(shù)最值的實(shí)際問(wèn)題的解題技巧（1）根據(jù)實(shí)際問(wèn)題抽象出函數(shù)的解析式，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值；（2）設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)；（3）解應(yīng)用題時(shí)，一定要注意變量的實(shí)際意義及其取值范圍；在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，若等號(hào)取不到，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解.鞏固練習(xí)。體系拓展導(dǎo)思1 .基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能，常常用于比較數(shù)(式)的大小或證明不等式，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是分析不等式兩邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇好利用基本不等式的切入點(diǎn).2 .對(duì)于基本不等式，不僅要記住原始形式，而且還要掌握它的幾種變形形式及公式的逆用等，例如：ab=92<9,Vab<99(a>0,b>0)等，