基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

1、1.2.2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則公式二公式二: :1()()xx 是常數(shù)公式一公式一: : = 0 (C為常數(shù)為常數(shù))C算一算：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)算一算：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1) y=x4 ;(2) y=x-5 ;)3(xy ;1)4(2xy 注意公式中注意公式中,n的任意性的任意性.4x3-5x-62121 x-2x-3公式三公式三: :公式四公式四: :xxcos)(sinxxsin)(cos公式五公式五: :對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1(1 ) (log )(0,1 ).lnaxaax a1(2) (ln ).xx公式六公式六: :指數(shù)

2、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(2)().xxee (1 ) ( )ln (0 ,1 ).xxaa aaa.cos)(sin3xx公式.sin)(cos4xx 公式公式aaaxxln)(5 公式公式xxee )(6公式公式17(1)lnaog xxa公式xnx1)1(8 公式公式記記 一一 記記0()CC 公式1 為常數(shù)1()xx公式2 為常數(shù) 點(diǎn)評運(yùn)算的準(zhǔn)確是數(shù)學(xué)能力高低的重要標(biāo)志，要從思想上提高認(rèn)識，養(yǎng)成思維嚴(yán)謹(jǐn)、步驟完整的解題習(xí)慣，要形成不僅會求，而且要求對、求好的解題標(biāo)準(zhǔn) 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)yx2；(2)ycosx；(3)ylog3x；(4)ye0. 解析由求導(dǎo)公式得法則法則1:兩個

3、函數(shù)的和兩個函數(shù)的和(差差)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù),等于這兩等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(差差),即即:f(x) g(x) = f(x) g(x);應(yīng)用應(yīng)用1: 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)y=x3+sinx(2)y=x3-2x+3.xxycos32232yx一、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則一、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則法則法則2:兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于第一個函等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘第二個函數(shù)數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘第二個函數(shù),加上第一個函數(shù)乘第加上第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ,即即:應(yīng)用應(yīng)用2:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)y=(2x(1)y=(2x2 2+3)(3x-2)+

4、3)(3x-2)(2)y=(1+x(2)y=(1+x6 6)(2+sinx)(2+sinx)9818)23()32()23)(32(222xxxxxxyxxxxycos)1 ()sin2(665)()()()()()(xgxfxgxfxgxf法則法則3:兩個函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)兩個函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù),等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘第二個函數(shù)第二個函數(shù),減去第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)減去第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ,再再除以第二個函數(shù)的平方除以第二個函數(shù)的平方.即即:2)()()()()()()(xgxgxfxgxfxgxf應(yīng)用應(yīng)用3:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)33)2(2xxy(

5、1)y=tanxxxxxxxy2222cos1cossincos)cossin(222)3(36xxxy 點(diǎn)評1.多項(xiàng)式的積的導(dǎo)數(shù)，通常先展開再求導(dǎo)更簡便 2含根號的函數(shù)求導(dǎo)一般先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再求導(dǎo)例例2:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):322224(1)2312(2);(3);1(4)tan ;(5)(23) 1;1(6);(7);yxxyxxxyxyxyyxyxxx x答案答案:2(1)32;yx22 21(3);(1)xyx21(4);cosyx 326(5);1xxyx2314(2);yxx54(6);yx3(7);2yx題型一：導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用題型一：導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)

6、運(yùn)算法則的應(yīng)用(1)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)yx2sinxyx2(x21)練一練：練一練：（1）下列各式正確的是）下列各式正確的是（ ）6551).(cos).(sinsin)cos.(cos).(sin xxDxxCxxBA（為常數(shù)）為常數(shù)） C（2）下列各式正確的是（）下列各式正確的是（ ）3ln3)3.(3)3.(10ln).(log1).(logxxxxaxaDxCxBxA D(3) f(x)=80，則，則f (x)=_;(4)( ),( )_;(1)_xf xefxf則等于等于0 xee(5)(1)_aog xaxln1 假設(shè)某國家在假設(shè)某國家在20年期間的年通貨膨脹年期間的

7、年通貨膨脹率為率為5，物價，物價p（單位：元）與時間（單位：元）與時間t（單（單位：年）有函數(shù)關(guān)系位：年）有函數(shù)關(guān)系 ，其，其中中 為為t=0時的物價時的物價.假定某商品的假定某商品的 那么在第那么在第10個年頭，這種商品的價格上漲個年頭，這種商品的價格上漲的速度的大約是多少（精確到的速度的大約是多少（精確到0.01）？）？ 01 5%tp tp0p01p 解解:根據(jù)根據(jù)基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式表基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式表,有有05. 1ln05. 1)(ttp)/(08. 005. 1ln05. 1)10(10年元 p所以所以tptp%)51 ()(0因此因此,在第在第10個年頭個年頭,這種商品的價

8、格這種商品的價格約以約以0.08元元/年的速度上漲年的速度上漲. 三、解答題 6求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1)yx43x25x6； (2)yxtanx； (3)y(x1)(x2)(x3)； (3)解法1：y(x1)(x2)(x3) (x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3) (x1)(x2)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x2x1)(x3)(x1)(x2) (2x3)(x3)x23x23x212x11； 解法2：(x1)(x2)(x3)(x23x2)(x3) x36x211x6， y(x1)(x2)(x3)(x36x211x6)3x212x11；例3已知拋物線yax2bxc通過點(diǎn)(1

9、,1)，且在點(diǎn)(2，1)處與直線yx3相切，求a、b、c的值分析分析題中涉及三個未知量，已知中有三個獨(dú)立條題中涉及三個未知量，已知中有三個獨(dú)立條件，因此，要通過解方程組來確定件，因此，要通過解方程組來確定a、b、c的值的值解析解析因?yàn)橐驗(yàn)閥ax2bxc過點(diǎn)過點(diǎn)(1,1)，所以所以abc1. y2axb，曲線過點(diǎn)，曲線過點(diǎn)P(2，1)的切線的斜率為的切線的斜率為 4ab1.又曲線過點(diǎn)又曲線過點(diǎn)(2，1)，所以，所以4a2bc1.點(diǎn)評本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及運(yùn)算能力例例2.2.日常生活中的飲用水通常是通過凈化的。隨著水純?nèi)粘Ｉ钪械娘嬘盟ǔＪ峭ㄟ^凈化的。隨著水純凈度的提高，

10、所需凈化費(fèi)用不斷增加。已知將凈度的提高，所需凈化費(fèi)用不斷增加。已知將1噸水噸水凈化到純凈度為凈化到純凈度為 時所需費(fèi)用時所需費(fèi)用(單位單位:元元)為：為：5284( )(80100)100c xxx 求凈化到下列純凈度時求凈化到下列純凈度時 , 所需凈化費(fèi)用的瞬時所需凈化費(fèi)用的瞬時變化率：變化率： (1)90% (2)98%x解解：252845284 (100) 5284 (100)( )()100(100)xxc xxx 220 5284 ( 1)5284(100)(100)xx (90)52.84()(98)1321()cc 元元/ /噸噸 元元/ /噸噸1.2.3復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

11、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式11.( ),( )0;2.( ),( );3.( )sin ,( )cos ;4.( )cos ,( )sin ;5.( ),( )ln (0);6.( ),( );17.( )log,( )(0,1);ln8.nnxxxxaf xcfxf xxfxnxf xxfxxf xxfxxf xafxaa af xefxef xxfxaaxa 公式 若則公式 若則公式 若則公式 若則公式 若則公式 若則公式 若則且公式 若1( )ln ,( );f xxfxx則導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則：法則法則1:兩個函數(shù)的和兩個函數(shù)的和(差差)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù),等于這

12、兩個函數(shù)的等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和導(dǎo)數(shù)的和(差差),即即:( )( )( )( )f xg xf xg x法則法則2:兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘第二個函數(shù)第二個函數(shù),加上第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)加上第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ,即即:( )( )( ) ( )( )( )f xg xfx g xf x g x法則法則3:兩個函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)兩個函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù),等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘第二個函數(shù)乘第二個函數(shù),減去第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)減去第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ,再除以第二個函數(shù)的平方再除以第二個函數(shù)的平方

13、.即即:2( )( ) ( )( )( )( ( )0)( )( )f xfx g xf x g xg xg xg x練習(xí)練習(xí)1、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。(1) y= 5(2) y= x 4(3) y= x - -2(4) y= 2 x(5) y=log3x0 y34xy 3ln1xy 3322xxy2ln2xy ?2ln的導(dǎo)數(shù)呢如何求函數(shù)思考xy.,22ln2ln.ln,22的函數(shù)表示為自變量可以通過中間變量即的得到復(fù)合經(jīng)過和看成是由可以從而則若設(shè)xuyxxuuyxyuyxxu .2ln,xxgfufyxguxuufyuy過程可表示為復(fù)合那么這個的關(guān)系記作和的關(guān)系記作與如果把.

14、,3232,22等等而成復(fù)合和由函數(shù)例如得到的復(fù)合經(jīng)過可以看成是由兩個函數(shù)我們遇到的許多函數(shù)都xuuyxy指出下列函數(shù)是怎樣復(fù)合而成：指出下列函數(shù)是怎樣復(fù)合而成：2(1)sin2(2)31(3)cos(sin )(4)()1(5)sin(1).n myxyxxyxya bxyx ； ； ；練習(xí)練習(xí)1sin ,2yuux2,31yuuxx ,.mnyuuabxcos ,sinyuux1sin ,1yuux 二、復(fù)合函數(shù)的概念二、復(fù)合函數(shù)的概念三三. .復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則: :即復(fù)合函數(shù)即復(fù)合函數(shù)y y對對x x的導(dǎo)數(shù)等于的導(dǎo)數(shù)等于: :y y對對u u的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) 與與 u u

15、對對x x的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) 的乘積的乘積. .復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù) 和和 的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為：的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為：( )( )xyf ug x xuxyyu( ( )yf g x( )ug x( )yf u或或 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟:第一步，分層（從外向內(nèi)分解成基本函第一步，分層（從外向內(nèi)分解成基本函 數(shù)用到中間變量數(shù)用到中間變量u u）；）；第二步，層層求導(dǎo)（將分解所得的基本第二步，層層求導(dǎo)（將分解所得的基本函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)）；函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)）；第三步，做積還原（將各層基本函數(shù)的第三步，做積還原（將各層基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相乘，并將中間變量導(dǎo)數(shù)相乘，并將中間變量u u還原為原來的還

16、原為原來的自變量自變量x x）。）。.復(fù)合而成與由2uy 23 xu其實(shí)，其實(shí)， 是一個復(fù)合函數(shù)，是一個復(fù)合函數(shù)，2) 23 ( xy問題：問題：的導(dǎo)數(shù)？如何求2)23(xyyxy2(32) x24129xx1218 x;xu3uyu2;46 x分析三個函數(shù)解析式以及導(dǎo)數(shù)分析三個函數(shù)解析式以及導(dǎo)數(shù) 之間的關(guān)系之間的關(guān)系:,xxuyuyxuxuyyy 例例1：求：求xy2sin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)分析：分析：解解1：(sin 2)(2 sinc o s)yxxxx )sinsincos(cos2xxxx解解2：xy2sin可由y=sinu,u=2x復(fù)合而成2,cosxuuuyxuuyxy=2cos2xx

17、uxuuy2cos2cos2.x2cos2xxxx2cos)2(sincos)(sin?練習(xí)練習(xí)設(shè)設(shè) y = (2x + + 1 1)5，求求 y 解解把把 2x + + 1 看成中間變量看成中間變量 u，函數(shù)函數(shù) y = u5，和，和 u = 2x + + 1復(fù)合而成，復(fù)合而成，,5)(45uuyu . 2)12( xux所以所以.)12(102544 xuuyyxux將將 y = (2x + + 1)5 看成是由看成是由由于由于例例2設(shè)設(shè) y = sin2 x，求求 y 解解這個函數(shù)可以看成是這個函數(shù)可以看成是 y = sin x sin x, 可利可利用乘法的導(dǎo)數(shù)公式，用乘法的導(dǎo)數(shù)公式，

18、將將 y = sin2 x 看成是由看成是由 y = u2，u = sin x 復(fù)合而成復(fù)合而成. 而而,2)(2uuyu .cos)(sinxxux 所以所以.cossin2cos2xxxuuyyxux 這里，這里，我們用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法我們用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法.求求 y ,12xy 設(shè)設(shè)解解將中間變量將中間變量 u = 1 - - x2 記在腦子中記在腦子中.211() .22 (1)uyuux 也也在在心心中中運(yùn)運(yùn)算算這樣可以直接寫出下式這樣可以直接寫出下式221(1)2 (1)xxyxx .12xx 例例 3練習(xí)練習(xí)3 3：設(shè)：設(shè) f f ( (x x) ) = sin= sinx x2 2

19、 ，求求 f f ( (x x).).解解22( )cos()xfxxx 22 cosxx 【解析】103311(25 )(2)sinsin1yxyxxx求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（）例解：(2)y=(sin3x+sinx3)=(sin3x)+(sinx3)=3sin2x(sinx)+cosx3(x3)=3sin2xcosx+3x2cosx3. 103311(25 )(2)sinsin1yxyxxx求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（）例【解析】233(31)142yx求曲線在點(diǎn)（， ）處的例切線方程。復(fù)習(xí)檢測復(fù)習(xí)檢測復(fù)習(xí)檢測復(fù)習(xí)檢測當(dāng)堂檢測當(dāng)堂檢測1函數(shù)函數(shù)y=(5x4)3的導(dǎo)數(shù)是（的導(dǎo)數(shù)是（ ） （A）y3(5x4)

20、2 （B）y9(5x4)2 （C）y15(5x4)2 （D）y12(5x4)2C2函數(shù)函數(shù) yAcos(x+)（A0）的導(dǎo)數(shù)）的導(dǎo)數(shù)是（是（ ） （A）y=Asin(x+) （B）y=Asin(x+) （C）y=Acos(x+) （D）y=Asin(x+)D3函數(shù)函數(shù)y=sin(x2+1)cos3x的導(dǎo)數(shù)是的導(dǎo)數(shù)是（ ） （A）y=cos(x2+1)sin3x （B）y=2xcos(x2+1)3sin3x （C）y=2xcos(x2+1)+3sin3x （D）y=cos(x2+1)+sin3xB4函數(shù)函數(shù)y=(1+cosx)3是由是由 兩兩個函數(shù)復(fù)合而成個函數(shù)復(fù)合而成y=u3, u=1+cosx 5函數(shù)函數(shù)y=3sin2xl在點(diǎn)在點(diǎn)(，1)處的切線方處的切線方程是程是 .y=1 6求求 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) 32yaxbxc2233221()(2)3(2) 3()yaxbxxaxbaxbaxbxcax