函數(shù)奇偶性、對稱性、周期性知識點總結(jié)

1、抽象函數(shù)的對稱性、奇偶性與周期性常用結(jié)論一概念：抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式或圖像，只給出一些函數(shù)符號及其滿足的條件的函數(shù)，如函數(shù)的定義域，解析遞推式，特定點的函數(shù)值，特定的運算性質(zhì)等，它是高中函數(shù)部分的難點，也是大學高等數(shù)學函數(shù)部分的一個銜接點，由于抽象函數(shù)沒有具體的解析表達式作為載體,因此理解研究起來比較困難，所以做抽象函數(shù)的題目需要有嚴謹?shù)倪壿嬎季S能力、豐富的想象力以及函數(shù)知識靈活運用的能力1、周期函數(shù)的定義：對于f(x)定義域內(nèi)的每一個x，都存在非零常數(shù)T,使得f(x+T)=f(x)恒成立，則稱函數(shù)f(x)具有周期性，T叫做f(x)的一個周期，貝嘆卩(ke乙k豐0)也是f(x)

2、的周期，所有周期中的最小正數(shù)叫f(x)的最小正周期。分段函數(shù)的周期：設y=f(x)是周期函數(shù)，在任意一個周期內(nèi)的圖像為c：y=f(x),xela,bT=b-a。把y=f(x)沿x軸平移KT=K(b-a)個單位即按向量a=(kT,O)平移，即得y=f(x)在其他周期的圖像:y=f(x-kT),xekT+a,kT+biof(x)”fJ-kT)xeia,bxekT+a,kT+b2、奇偶函數(shù)：設y=f(x),xeL,b或xe1b,-a 若f(-x)=-f(x),則稱y=f(x)為奇函數(shù); 若f(-x)=f(x)則稱y=f(x)為偶函數(shù)。分段函數(shù)的奇偶性3、函數(shù)的對稱性：(1) 中心對稱即點對稱： 點A

3、(x,y)與0(2a-x,2b-y)關于點(a,b)對稱； 點A(a-x,b-y)與3(a+x,b+y)關于(a,b)對稱； 函數(shù)y=f(x)與2b-y=f(2a-x)關于點(a,b)成中心對稱； 函數(shù)b-y二f(a一x)與b+y二f(a+x)關于點(a,b)成中心對稱; 函數(shù)F(x,y)=0與F(2a-x,2b-y)=0關于點(a,b)成中心對稱。(2)軸對稱：對稱軸方程為：Ax+By+C=0。點人(x,y)與3(x/,y/)=B(x-2A(Ax+By+C)a2+b2"2B(Ax+By+C)A2+B2)關于直線Ax+By+C二0成軸對稱； 函數(shù)y=f(x)與y-2B(Ax+B+C)

4、=f(x-2A(Ax+B+C)關于直線A2+B2A2+B2Ax+By+C=0成軸對稱。 F(x,y)=0與F(x-2A(Ax+By+C),y-2B(Ax+B+C)=0關于直線A2+B2A2+B2Ax+By+C=0成軸對稱。二、函數(shù)對稱性的幾個重要結(jié)論(一)函數(shù)y=f(x)圖象本身的對稱性(自身對稱)若f(x+a)=±f(x+b)，則f(x)具有周期性;若f(a+x)=±f(b一x)，則f(x)具有對稱性：“內(nèi)同表示周期性，內(nèi)反表示對稱性”1、f(a+x)=f(bx)Oy=f(x)圖象關于直線x=(a+x)+(bx)二仝乜對稱22推論1：f(a+x)=f(ax)Oy=f(x)

5、的圖象關于直線x二a對稱推論2、f(x)=f(2ax)Oy=f(x)的圖象關于直線x二a對稱推論3、f(x)=f(2a+x)Oy=f(x)的圖象關于直線x二a對稱2、f(a+x)+f(bx)=2cOy=f(x)的圖象關于點(吐®,c)對稱推論1、f(a+x)+f(ax)=2bOy=f(x)的圖象關于點(a,b)對稱推論2、f(x)+f(2ax)=2bOy=f(x)的圖象關于點(a,b)對稱推論3、f(x)+f(2a+x)=2bOy=f(x)的圖象關于點(a,b)對稱(二)兩個函數(shù)的圖象對稱性(相互對稱)(利用解析幾何中的對稱曲線軌跡方程理解)1、偶函數(shù)y=f(x)與y=f(x)圖象關

6、于Y軸對稱2、奇函數(shù)y=f(x)與y=-f(x)圖象關于原點對稱函數(shù)3、函數(shù)y=f(x)與y=-f(x)圖象關于X軸對稱4、互為反函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y二f-1(x)圖象關于直線y二x對稱5.函數(shù)y=f(a+x)與y=f(bx)圖象關于直線x=對稱ba推論1:函數(shù)y=f(a+x)與y=f(ax)圖象關于直線x二0對稱推論2:函數(shù)y=f(x)與y=f(2ax)圖象關于直線x二a對稱推論3:函數(shù)y=f(x)與y=f(2a+x)圖象關于直線x二-a對稱(三)抽象函數(shù)的對稱性與周期性1、抽象函數(shù)的對稱性性質(zhì)1若函數(shù)y=f(x)關于直線x=a軸對稱，則以下三個式子成立且等價：(1)f(a+x)=f(a

7、x)(2)f(2ax)=f(x)(3)f(2a+x)=f(x)t生質(zhì)2若函數(shù)y=f(x)關于點(a,0)中心對稱，則以下三個式子成立且等價：(1)f(a+x)=f(ax)(2)f(2ax)=f(x)(3)f(2a+x)=f(x)易知，y=f(x)為偶(或奇)函數(shù)分別為性質(zhì)1(或2)當a=0時的特例。2、復合函數(shù)的奇偶性定義1、若對于定義域內(nèi)的任一變量X,均有fg(x)=fg(x),則復數(shù)函數(shù)y=fg(x)為偶函數(shù)。定義2、若對于定義域內(nèi)的任一變量x,均有fg(x)=fg(x),則復合函數(shù)y=fg(x)為奇函數(shù)。說明：(1) 復數(shù)函數(shù)fg(x)為偶函數(shù)，則fg(x)=fg(x)而不是fg(x)=

8、fg(x)，復合函數(shù)y=fg(x)為奇函數(shù)，則fg(x)=fg(x)而不是fg(x)=fg(x)。(2) 兩個特例：y=f(x+a)為偶函數(shù)，則f(x+a)=f(x+a)；y=f(x+a)為奇函數(shù)，則f(x+a)=f(a+x)(3) y=f(x+a)為偶(或奇)函數(shù)，等價于單層函數(shù)y=f(x)關于直線x=a軸對稱(或關于點(a，0)中心對稱)3、復合函數(shù)的對稱性性質(zhì)3復合函數(shù)y=f(a+x)與y=f(bx)關于直線x=(ba)/2軸對稱性質(zhì)4、復合函數(shù)y=f(a+x)與y=f(bx)關于點(ba)/2,0)中心對稱推論1、復合函數(shù)y=f(a+x)與y=f(ax)關于y軸軸對稱推論2、復合函數(shù)y

9、=f(a+x)與y=f(ax)關于原點中心對稱4、函數(shù)的周期性若a是非零常數(shù)，若對于函數(shù)y=f(x)定義域內(nèi)的任一變量x點有下列條件之一成立，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且2|a|是它的一個周期。f(x+a)=f(xa)f(x+a)=f(x) f(x+a)=l/f(x)f(x+a)=l/f(x)5、函數(shù)的對稱性與周期性性質(zhì)5若函數(shù)y=f(x)同時關于直線x=a與x=b軸對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T=2|a-b|性質(zhì)6、若函數(shù)y=f(x)同時關于點(a,0)與點(b,0)中心對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T=2|a-b|性質(zhì)7、若函數(shù)y=f(x)既關于點(a,0)中心對稱，又關

10、于直線x=b軸對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T=4|ab|6、函數(shù)對稱性的應用(1)若y=f(x)關于點(h,k)對稱，則x+x/二2h,y+y/二2k，即f(x)+f(x/)二f(x)+f(2h-x)二2kf(x)+f(x)+f(x)+f(2h一x)+f(2h一x)+f(2h一x)=2nk12nnn-11(2)例題1、f(x)二-關于點(；,，)對稱：f(x)+f(1-x)二1;ax+yja224x一1f(x)=一2x+1關于(0,1)對稱：f(x)+f(-x)=22x+1f(x)=(awR,x豐0)關于(丄丄)對稱:f(x)+f(丄)=1xa+122x2、奇函數(shù)的圖像關于原點(0,0

11、)對稱：f(x)+f(一x)=0o3、若f(x)=f(2a-x)或f(a-x)=f(a+x),貝Uy=f(x)的圖像關于直線x=a對稱。設f(x)=0有n個不同的實數(shù)根，則x+x+x=x+(2ax)+x+(2ax)+x+(2ax)=na.12n1122nn22(當n=2k+1時，必有x=2a一x,nx=a)111（四）常用函數(shù)的對稱性三、函數(shù)周期性的幾個重要結(jié)論1、f(x土T)=f(x)(T豐0)oy=f(x)的周期為T,kT(keZ)也是函數(shù)的周期2、f(x+a)=f(x+b)oy=f(x)的周期為T=ba3、f(x+a)=-f(x)oy=f(x)的周期為T=2a4、_1f(x)oy=f(x

12、)的周期為T=2a5、f(x)oy=f(x)的周期為T=2a6、7、=f(x)的周期為T=3ay=f(x)的周期為T=2a8、f(x+a)=1+f(x)oy1-f(x)=f(x)的周期為T=4a9、f(x+2a)=f(x+a)-f(x)oy=f(x)的周期為T二6a10、若p>0,f(px)=f(px-2),貝Ut=-P.11、y=f(x)有兩條對稱軸x=a和x=b(b>a)oy=f(x)周期T=2(b-a)推論：偶函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=f(a-x)oy=f(x)周期T二2a12、y=f(x)有兩個對稱中心(a,0)和(b,0)(b>a)oy=f(x)周期T=2(

13、b-a)推論：奇函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=f(a-x)oy=f(x)周期T=4a13、y=f(x)有一條對稱軸x=a和一個對稱中心(b,0)(b>a)of(x)的T=4(b-a)四、用函數(shù)奇偶性、周期性與對稱性解題的常見類型靈活應用函數(shù)奇偶性、周期性與對稱性，可巧妙的解答某些數(shù)學問題，它對訓練學生分析問題與解決問題的能力有重要作用下面通過實例說明其應用類型。1.求函數(shù)值例1.(1996年高考題)設f(x)是(-«,+«)上的奇函數(shù)，f(2+x)=-f(x),當0Jx<1時，f(x)=x，則f(7.5)等于(-0.5)(A) 0.5;(B) -0.5;(C

14、) 1.5;(D) -1.5.例2.(1989年北京市中學生數(shù)學競賽題)已知f(x)是定義在實數(shù)集上的函數(shù)，且f(x+2)1-f(x)=1+f(x)，f(1)二2+再,求f(1989)的值.f(1989)二畐-2。2、比較函數(shù)值大小例3.若f(x)(xeR)是以2為周期的偶函數(shù)，當xet),1時，f(x)二x盂,試比較f(!|)、f罟)、f(罟)的大小.解：f(x)(xeR)是以2為周期的偶函數(shù)，又Tf(x)二x盂在b,1上是增函數(shù)，且c116141宀1、“16、“14101“98、“104、173、求函數(shù)解析式0<<<<1,/()<f()<f()，即f(&

15、lt;f()<f().1719151719151719154.(1989年高考題)設f(x)是定義在區(qū)間(-卩+)上且以2為周期的函數(shù)，對keZ,用I表示區(qū)間(2k1,2k+1),已知當xeI時，f(x)二x2.求f(x)在I上的解k0k析式.解：設xe(2k1,2k+1),/.2k1<x<2k+11<x2k<1/xeI時，有f(x)=x2,.由一1<x一2k<1得f(x一2k)=(x一2k)20f(x)是以2為周期的函數(shù)，af(x2k)二f(x),.f(x)二(x2k)2.例5.設f(x)是定義在(-2,+)上以2為周期的周期函數(shù)，且f(x)是偶函數(shù)

16、，在區(qū)間b,3上，f(x)=2(x3)2+4求xe1,2時，f(x)的解析式.解：當xel3,2，即一xe2,3,f(x)=f(x)=2(x3)2+4=2(x+3)2+4又f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，于是當xe1,2,即一3<x4<2時，有/(x)=f(x4)nf(x)=2(x4)+32+4=2(x1)2+4(1<x<2).af(x)=2(x1)2+4(1<x<2).4、判斷函數(shù)奇偶性例6.已知f(x)的周期為4,且等式f(2+x)=f(2x)對任意xeR均成立,判斷函數(shù)f(x)的奇偶性.解：由f(x)的周期為4,得f(x)=f(4+x)，由f(2+x)

17、=f(2-x)得f(-x)=f(4+x)，:.f(-x)=f(x),故f(x)為偶函數(shù).5、確定函數(shù)圖象與x軸交點的個數(shù)例7.設函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x滿足f(2+x)=f(2-x)，f(7+x)=f(7-x)且/(0)二0,判斷函數(shù)f(x)圖象在區(qū)間L30,30上與x軸至少有多少個交點.解：由題設知函數(shù)f(x)圖象關于直線x=2和x=7對稱，又由函數(shù)的性質(zhì)得f(x)是以io為周期的函數(shù).在一個周期區(qū)間b,io)上，f(0)二0,f(4)二f(2+2)二f(2-2)二f(0)二0且/(x)不能恒為零,故f(x)圖象與x軸至少有2個交點.而區(qū)間L30,30)有6個周期，故在閉區(qū)間L30,30上f

18、(x)圖象與x軸至少有13個交占八、6、在數(shù)列中的應用例8.在數(shù)列t中，a=朽,a二工一(n>2)，求數(shù)列的通項公式，并計算n1n1一an-1a+a+a+a15919971+tga1tga-tg(+a)分析：此題的思路與例2思路類似.1+a解：令a1=tga,則a二1121一a11+aa=231-a2兀1+tg(4-)兀1-tg(47)兀=堆(2X4)a=tgn-1兀(n1)x+a41+a1an-1兀=tg(n一1)4+/兀兀、不難用歸納法證明數(shù)列的通項為：an=tg(7n-4心，且以4為周期.于是有1，5，9-1997是以4為公差的等差數(shù)列,1997由1997=1+(n1)x4得總項數(shù)

19、為500項,a+a+aHFa=500xa=500*3.159199717、在二項式中的應用例9.今天是星期三，試求今天后的第9292天是星期幾？分析：轉(zhuǎn)化為二項式的展開式后，利用一周為七天這個循環(huán)數(shù)來進行計算即可解：/9292=(91+1)92=C09192+C19191+C90912+C9191+1929292929292=(7x13+1)92=C0(7x13)92+C1(7x13)91+C90(7x13)2929292+C91(7x13)+192因為展開式中前92項中均有7這個因子，最后一項為1,即為余數(shù)，故9292天為星期四.8、復數(shù)中的應用1、/3-、”，、,八例10.(上海市1994

20、年高考題)設z=-+i(i是虛數(shù)單位)，則滿足等式zn=z,厶厶且大于1的正整數(shù)n中最小的是()(A)3；(B)4；(C)6；(D)7.1v'3.分析：運用z=-+丁i方幕的周期性求值即可.解：/Zn=ZZ(Zn-1一1)=0二Zn-1=1,Z3=1,.n-1必須是3的倍數(shù)，即n-1=3k(keN),n=3k+1(keN).k=1時,n最小,(n)=4.故選擇(B)min9、解“立幾”題例11.ABCDABCD是單位長方體，黑白二蟻都從點A出發(fā)，沿棱向前爬行，每走1111一條棱稱為“走完一段”。白蟻爬行的路線是AA1TA1D1T,黑蟻爬行的路線是ABTBB1T.它們都遵循如下規(guī)則：所爬

21、行的第i+2段所在直線與第i段所在直線必須是異面直線(其中ieN).設黑白二蟻走完第1990段后，各停止在正方體的某個頂點處,這時黑白蟻的距離是()(A)1；(B)巨；(C)朽；(D)0.解：依條件列出白蟻的路線AATADTDCTCCTCBT111111BATAAT，立即可以發(fā)現(xiàn)白蟻走完六段后又回到了A點可驗證知：黑白二蟻走完六段后必回到起點，可以判斷每六段是一個周期.1990=6x331+4，因此原問題就轉(zhuǎn)化為考慮黑白二蟻走完四段后的位置，不難計算出在走完四段后黑蟻在D點，白蟻在C點，故所求距離是J2.例題與應用例1：f(x)是R上的奇函數(shù)f(x)=f(x+4)，x£0,2時f(x

22、)=x,求f(2007)的值例2：已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足f(x+2)1f(x)=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009)的值。故f(2009)=f(251X8+1)=f(1)=2例3：已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x)=f(4-x)，且當xwL2,0時，f(x)=2x+1，則當xwk6】時求f(x)的解析式f(999+x)=f(999x)，1例4：已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足f(x+999)=-芮試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性.例5：已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x)=f(4-x),且當xwL2,0時，f(x)是減函數(shù)，求證當xwU,6時f(x)為增函

23、數(shù)例6：f(x)滿足f(x)=-f(6-x)，f(x)=f(2-x)，若f(a)=-f(2000)，aW5,9且f(x)在5,9上單調(diào)求a的值.例7：已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，f(x)=f(4x),f(7+x)=f(7x),f(0)=0,求在區(qū)間1000,1000上f(x)=0至少有幾個根？解：依題意f(x)關于x=2,x=7對稱，類比命題2(2)可知f(x)的一個周期是10故f(x+10)=f(x)f(10)=f(0)=0又f(4)=f(0)=0即在區(qū)間(0,10上，方程f(x)=0至少兩個根又f(x)是周期為10的函數(shù)，每個周期上至少有兩個根，c2000因此方程f(x)=0在區(qū)間1000,1000上至少有1+2=401個根.例1、函數(shù)y=f(x)是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，那么y=f(x