133函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)（共83張）

1、1.3.3 函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)一、函數(shù)一、函數(shù)y=f(x)y=f(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a,ba,b上的最值上的最值1.1.取得最值的條件取得最值的條件: :在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b上函數(shù)上函數(shù)y=f(x)y=f(x)的圖象是一條的圖象是一條_的曲線的曲線. .2.2.結(jié)論結(jié)論: :函數(shù)函數(shù)y=f(x)y=f(x)必有最大值和最小值必有最大值和最小值, ,函數(shù)的最值在函數(shù)的最值在_或或_取得取得. .連續(xù)不斷連續(xù)不斷極值極值點點區(qū)間端點區(qū)間端點思考思考: :如果在開區(qū)間如果在開區(qū)間(a,b)(a,b)上的函數(shù)上的函數(shù)y=f(x)y=f(x)只有一個極值且為只有一個極值且為極小值極小值, ,

2、那么函數(shù)在開區(qū)間那么函數(shù)在開區(qū)間(a,b)(a,b)上有最值嗎上有最值嗎? ?提示提示: :有最小值有最小值, ,無最大值無最大值. .若若x x0 0是函數(shù)的極值點是函數(shù)的極值點, ,則函數(shù)在則函數(shù)在(a,x(a,x0 0) )是減函數(shù)是減函數(shù), ,在在(x(x0 0,b),b)是增函數(shù)是增函數(shù), ,故故f(x)f(x)在在x x0 0處取得最小值處取得最小值. .二、求函數(shù)二、求函數(shù)y=f(x)y=f(x)在在a,ba,b上的最值的步驟上的最值的步驟1.1.求函數(shù)求函數(shù)y=f(x)y=f(x)在在a,ba,b內(nèi)的內(nèi)的_._.2.2.將函數(shù)將函數(shù)y=f(x)y=f(x)的各的各_與與_比較比

3、較, ,其中最大的一個是最大值其中最大的一個是最大值, ,最小的一個是最小值最小的一個是最小值. .極值極值極值極值端點處的函數(shù)值端點處的函數(shù)值f(a),f(b)f(a),f(b)判斷：判斷：( (正確的打正確的打“”“”，錯誤的打，錯誤的打“”)”)(1)(1)函數(shù)的極大值一定是函數(shù)的最大值函數(shù)的極大值一定是函數(shù)的最大值.( ).( )(2)(2)開區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無最值開區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無最值.( ).( )(3)(3)函數(shù)函數(shù)f(x)= f(x)= 在區(qū)間在區(qū)間-1,1-1,1上有最值上有最值.( ).( )1x提示：提示：(1)(1)錯誤錯誤. .最大值也可能是端點的值最大值也

4、可能是端點的值. .(2)(2)正確正確. .在開區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)無極值且端點無函數(shù)值在開區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)無極值且端點無函數(shù)值, ,故無故無最值最值. .(3)(3)錯誤錯誤. .函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)在在-1,1-1,1上不連續(xù)上不連續(xù), ,所以函數(shù)既無最大值所以函數(shù)既無最大值也無最小值也無最小值. .答案：答案：(1)(1) (2) (3) (2) (3)【知識點撥知識點撥】1.1.對函數(shù)最值的兩點說明對函數(shù)最值的兩點說明(1)(1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最值，開區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)不閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最值，開區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)不一定有最值一定有最值. .若有唯一的極值，則此極值必是函

5、數(shù)的最值若有唯一的極值，則此極值必是函數(shù)的最值. .(2)(2)函數(shù)的最大值和最小值是一個整體性概念函數(shù)的最大值和最小值是一個整體性概念. .2.2.函數(shù)極值與最值的關(guān)系函數(shù)極值與最值的關(guān)系(1)(1)函數(shù)的極值是函數(shù)在某一點附近的局部概念，函數(shù)的最大函數(shù)的極值是函數(shù)在某一點附近的局部概念，函數(shù)的最大值和最小值是一個整體性概念值和最小值是一個整體性概念. .(2)(2)函數(shù)的最大值、最小值是比較整個定義區(qū)間的函數(shù)值得出函數(shù)的最大值、最小值是比較整個定義區(qū)間的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值是比較極值點附近的函數(shù)值得出的，函數(shù)的的，函數(shù)的極值是比較極值點附近的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值可以有多個，但最值只

6、能有一個極值可以有多個，但最值只能有一個. .(3)(3)極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點處取得極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點處取得. .有極有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值不在端點處取得時必定是極值值，最值不在端點處取得時必定是極值. .類型類型 一一 求函數(shù)的最值求函數(shù)的最值 【典型例題典型例題】1.1.函數(shù)函數(shù)f(x)=2xf(x)=2x3 3-3x-3x2 2-12x+5-12x+5在區(qū)間在區(qū)間0 0，3 3上的最大值與最小上的最大值與最小值分別是值分別是( )( )A.5,-15A.5,

7、-15B.5,-4B.5,-4C.-4,-15C.-4,-15D.5,-16D.5,-162.2.函數(shù)函數(shù)f(x)=x+2cos xf(x)=x+2cos x在區(qū)間在區(qū)間0 0，上的最大值上的最大值. .【解題探究解題探究】1.1.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值與這個區(qū)間端點的閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值與這個區(qū)間端點的值和區(qū)間內(nèi)的極值有何關(guān)系？值和區(qū)間內(nèi)的極值有何關(guān)系？2.2.函數(shù)的極值和函數(shù)的最值有何關(guān)系？函數(shù)的極值和函數(shù)的最值有何關(guān)系？探究提示：探究提示：1.1.閉區(qū)間上，在區(qū)間端點的函數(shù)值與區(qū)間內(nèi)的極值中，其中閉區(qū)間上，在區(qū)間端點的函數(shù)值與區(qū)間內(nèi)的極值中，其中最大的值是函數(shù)在這個區(qū)間上的最大值，最小

8、的值是函數(shù)在最大的值是函數(shù)在這個區(qū)間上的最大值，最小的值是函數(shù)在這個區(qū)間上的最小值這個區(qū)間上的最小值. .2.2.函數(shù)的極值可能是函數(shù)的最值，最值也可能是區(qū)間端點的函數(shù)的極值可能是函數(shù)的最值，最值也可能是區(qū)間端點的值值. .【解析解析】1.1.選選A.A.由題意由題意f(x)=6xf(x)=6x2 2-6x-12.-6x-12.令令f(x)=0f(x)=0，得，得x x1 1=-1,x=-1,x2 2=2.=2.當(dāng)當(dāng)x x變化時，變化時，f(x)f(x)及及f(x)f(x)的變化情況如下表：的變化情況如下表：故函數(shù)故函數(shù)y=2xy=2x3 3-3x-3x2 2-12x+5-12x+5在區(qū)間在區(qū)

9、間0 0，3 3上的最大值與最小值上的最大值與最小值分別是分別是5 5，-15.-15.x x0 0(0,2)(0,2)2 2(2,3)(2,3)3 3f(x)f(x)- -0 0+ +f(x)f(x)5 5 -15-15 -4-42.2.因為因為f(x)=x+2cos xf(x)=x+2cos x，所以，所以f(x)=1-2sin x.f(x)=1-2sin x.令令f(x)=0f(x)=0，得，得 或或當(dāng)當(dāng)x x變化時，變化時，f(x)f(x)及及f(x)f(x)的變化情況如下表：的變化情況如下表：所以函數(shù)在所以函數(shù)在 處取得最大值，最大值為處取得最大值，最大值為x x0 0f(x)f(x

10、)+ +0 0- -0 0+ +f(x)f(x)2 2 -2-2x65x.6(0,)665(,)66565(, )653636x6f( )3.66【拓展提升拓展提升】求函數(shù)最值的解題策略求函數(shù)最值的解題策略(1)(1)若函數(shù)若函數(shù)f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b上是單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)上是單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)f(x)f(x)在在區(qū)間的端點處取得最值區(qū)間的端點處取得最值. .(2)(2)可利用基本不等式可利用基本不等式 (a,b(a,b0)0)求函數(shù)的最值，若求函數(shù)的最值，若abab為定值，可求為定值，可求a+ba+b的最小值的最小值. .若若a+ba+b為定值為定值, ,可求可求abab的最大

11、值的最大值. .(3)(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在區(qū)間利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在區(qū)間a,ba,b內(nèi)的極值內(nèi)的極值, ,再求區(qū)間端點的再求區(qū)間端點的值進(jìn)行比較值進(jìn)行比較, ,也可求出最值也可求出最值. .abab2【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】1.(20131.(2013廣州高二檢測廣州高二檢測) )已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)f(x)的定義的定義域為域為-1,5-1,5, ,部分對應(yīng)值如下表：部分對應(yīng)值如下表：f(x)f(x)的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)y=fy=f(x)(x)的圖象如圖所示的圖象如圖所示. . x x-1-10 04 45 5f(x)f(x)1 12 22 21 1下列關(guān)于函數(shù)下列關(guān)于函數(shù)f(x)f(x)的命題的命題

12、: :函數(shù)函數(shù)y=f(x)y=f(x)是周期函數(shù)是周期函數(shù); ;函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)在在0,20,2上是減函數(shù)上是減函數(shù); ;如果當(dāng)如果當(dāng)x-1,tx-1,t時時,f(x),f(x)的最大值是的最大值是2,2,那么那么t t的最大值為的最大值為4;4;當(dāng)當(dāng)1a21a0),g(x)=x+1(a0),g(x)=x3 3+bx.+bx.(1)(1)若曲線若曲線y=f(x)y=f(x)與曲線與曲線y=g(x)y=g(x)在它們的交點在它們的交點(1,c)(1,c)處具有公處具有公共切線共切線, ,求求a,ba,b的值的值. .(2)(2)當(dāng)當(dāng)a=3,b=-9a=3,b=-9時時, ,若函數(shù)若函數(shù)f

13、(x)+g(x)f(x)+g(x)在區(qū)間在區(qū)間k,2k,2上的最大值上的最大值為為28,28,求求k k的取值范圍的取值范圍. .【解題探究解題探究】1.1.函數(shù)在閉區(qū)間函數(shù)在閉區(qū)間a,ba,b上具有單調(diào)性上具有單調(diào)性, ,函數(shù)在這函數(shù)在這個區(qū)間上是否有最值個區(qū)間上是否有最值? ?如何求最值如何求最值? ?2.2.利用導(dǎo)數(shù)解決最值問題的主要思路是什么利用導(dǎo)數(shù)解決最值問題的主要思路是什么? ?探究提示探究提示: :1.1.有最值有最值. .若函數(shù)在若函數(shù)在a,ba,b上是增函數(shù)上是增函數(shù), ,則則f(b)f(b)為最大值為最大值,f(a),f(a)為最小值為最小值, ,若函數(shù)在若函數(shù)在a,ba,

14、b上是減函數(shù)上是減函數(shù), ,則則f(a)f(a)為最大值為最大值,f(b),f(b)為最小值為最小值. .2.2.首先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性首先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性, ,再求出函數(shù)的極值再求出函數(shù)的極值, ,最后最后結(jié)合函數(shù)圖象求解結(jié)合函數(shù)圖象求解. .【解析解析】1.1.選選A.A.因為因為f(x)=6xf(x)=6x2 2-24=6(x-2)(x+2),-24=6(x-2)(x+2),令令f(x)=0,f(x)=0,得得x=x=2.2.當(dāng)當(dāng)x x變化時變化時,f(x),f(x)及及f(x)f(x)的變化情況如下表的變化情況如下表: :x x0 0(0,2)(0,2)2 2f(x)f(

15、x)- -f(x)f(x)m m -32+m-32+m因為因為f(x)f(x)在在0,20,2上為減函數(shù)上為減函數(shù), ,所以當(dāng)所以當(dāng)x=2x=2時時, ,函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)有最小值有最小值. .又因為當(dāng)又因為當(dāng)x=0 x=0時時,f(x)=m,f(x)=m最大最大, ,所以所以m=3,m=3,從而從而f(2)=-29.f(2)=-29.所以最小值為所以最小值為f(2)=-29.f(2)=-29.故選故選A.A.2.(1)f(x)=2ax,g(x)=3x2.(1)f(x)=2ax,g(x)=3x2 2+b+b，由已知可得由已知可得 解得解得a=b=3.a=b=3.(2)f(x)=3x(2)

16、f(x)=3x2 2+1,g(x)=x+1,g(x)=x3 3-9x,-9x,h(x)=f(x)+g(x)=xh(x)=f(x)+g(x)=x3 3+3x+3x2 2-9x+1-9x+1，h(x)=3xh(x)=3x2 2+6x-9.+6x-9.令令h(x)=0h(x)=0，得，得x x1 1=-3,x=-3,x2 2=1,=1,當(dāng)當(dāng)x x變化時變化時h(x)h(x)及及h(x)h(x)的變化情況如下表的變化情況如下表. .f(1)a1c,g(1)1bc,2a3b, 當(dāng)當(dāng)x=-3x=-3時時, ,取極大值取極大值28;28;當(dāng)當(dāng)x=1x=1時時, ,取極小值取極小值-4.-4.而而h(2)=3

17、h(-3)=28,h(2)=3h(-3)=28,如果如果h(x)h(x)在區(qū)間在區(qū)間k,2k,2上的最大值為上的最大值為28,28,則則k-3.k-3.x x(-,-3)(-,-3)-3-3(-3,1)(-3,1)1 1(1,+)(1,+)h(x)h(x)+ +0 0- -0 0+ +h(x)h(x)增增2828減減-4-4增增【拓展提升拓展提升】已知函數(shù)最值求參數(shù)值已知函數(shù)最值求參數(shù)值( (范圍范圍) )的思路的思路 已知函數(shù)在某區(qū)間上的最值求參數(shù)的值是求函數(shù)最值的已知函數(shù)在某區(qū)間上的最值求參數(shù)的值是求函數(shù)最值的逆向思維逆向思維, ,一般先求導(dǎo)數(shù)一般先求導(dǎo)數(shù), ,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極

18、值利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值點點, ,探索最值點探索最值點, ,根據(jù)已知最值列方程根據(jù)已知最值列方程( (不等式不等式) )解決問題解決問題.(.(關(guān)關(guān)鍵詞鍵詞: :表示出最值表示出最值) )【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】1.(20131.(2013新課標(biāo)全國卷新課標(biāo)全國卷)若函數(shù)若函數(shù)f(x)=f(x)=(1-x(1-x2 2)(x)(x2 2+ax+b)+ax+b)的圖象關(guān)于直線的圖象關(guān)于直線x=-2x=-2對稱對稱, ,則則f(x)f(x)的最大的最大值為值為. .【解題指南解題指南】首先利用數(shù)首先利用數(shù)f(x)f(x)的圖象關(guān)于直線的圖象關(guān)于直線x=-2x=-2對稱求出對稱求出a,ba,b的

19、值的值, ,然后利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性然后利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性, ,這里要采用試根的這里要采用試根的方法對導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行因式分解方法對導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行因式分解. .【解析解析】因為函數(shù)因為函數(shù)f(x)f(x)的圖象關(guān)于直線的圖象關(guān)于直線x=-2x=-2對稱，對稱，所以所以f(0)=f(-4)f(0)=f(-4)，得，得4b=-60+15a4b=-60+15a，又又f(x)=-4xf(x)=-4x3 3-3ax-3ax2 2+2(1-b)x+a+2(1-b)x+a，而而f(-2)=0f(-2)=0，即，即-4-4(-2)(-2)3 3-3a(-2)-3a(-2)2 2+2(1-b)+2(1-b)(-

20、2)+a=0(-2)+a=0，得得11a-4b=2811a-4b=28，即即 解得解得a=8a=8，b=15.b=15.4b60 15a11a4b28 ，故故f(x)=(1-xf(x)=(1-x2 2)(x)(x2 2+8x+15),+8x+15),則則f(x)=-4xf(x)=-4x3 3-24x-24x2 2-28x+8-28x+8=-4(x=-4(x3 3+6x+6x2 2+7x-2)+7x-2)=-4(x+2)(x=-4(x+2)(x2 2+4x-1),+4x-1),令令f(x)=0,f(x)=0,即即(x+2)(x(x+2)(x2 2+4x-1)=0,+4x-1)=0,則則x=-2x

21、=-2或或x=-2- x=-2- 或或-2+ .-2+ .當(dāng)當(dāng)x x變化時變化時,f(x),f(x),f(x),f(x)的變化情況如下表的變化情況如下表: :55x x(-,(-,-2-2-2-2）-2-2（-2-2，-2+-2+）f(x)f(x)正正負(fù)負(fù)正正負(fù)負(fù)f(x)f(x)單調(diào)單調(diào)遞增遞增極大極大值值單調(diào)單調(diào)遞減遞減極小極小值值單調(diào)單調(diào)遞增遞增極大極大值值單調(diào)單調(diào)遞減遞減25) ( 25, 525) 5( 25, f(-2- )=f(-2- )=1-(-2- )1-(-2- )2 2(-2- )(-2- )2 2+8+8(-2- )+15(-2- )+15=(-4 -8)(8-4 )=1

22、6=(-4 -8)(8-4 )=16，f(-2+ )=f(-2+ )=1-(-2+ )1-(-2+ )2 2(-2+ )(-2+ )2 2+8+8(-2+ )+15(-2+ )+15=(4 -8)(8+4 )=16=(4 -8)(8+4 )=16，故故f(x)f(x)的最大值為的最大值為16.16.答案：答案：16165555555555552.2.已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)f(x)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)=3xf(x)=3x2 2-3ax,f(0)=b,a,b-3ax,f(0)=b,a,b為實數(shù)為實數(shù), ,且且1a2.1a2.(1)(1)若若f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間-1,1-1,1上的最小值、

23、最大值分別為上的最小值、最大值分別為-2,1,-2,1,求求a,ba,b的值的值. .(2)(2)在在(1)(1)的條件下的條件下, ,求經(jīng)過點求經(jīng)過點P(2,1)P(2,1)且與曲線且與曲線f(x)f(x)相切的直線相切的直線l的方程的方程. .(3)(3)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)+6x+1eF(x)=f(x)+6x+1e2x2x, ,試判斷函數(shù)試判斷函數(shù)F(x)F(x)的極值點的極值點的個數(shù)的個數(shù). .【解析解析】(1)(1)由已知得由已知得 由由f(x)=0f(x)=0得得3x(x-a)=03x(x-a)=0，得，得x x1 1=0,x=0,x2 2=a,=a,因為因為xx-1,1

24、-1,1,1,1a a2 2，所以當(dāng)，所以當(dāng)xx-1,0)-1,0)時，時，f(x)f(x)0 0，f(x)f(x)單調(diào)遞增；單調(diào)遞增；當(dāng)當(dāng)x(0,1x(0,1時，時，f(x)f(x)0,f(x)0,f(x)單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，323f(x)xaxb,2所以所以f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間-1,1-1,1上的最大值為上的最大值為f(0)=b=1,f(0)=b=1,又又所以所以f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間-1,1-1,1上的最小值為上的最小值為解得解得 故故 b=1b=1為所求為所求. .333f(1)1a12a,f( 1)af(1),222 3f( 1)a2,2 4a,34a,3(2)(2)由

25、由(1)(1)得得f(x)=xf(x)=x3 3-2x-2x2 2+1,f(x)=3x+1,f(x)=3x2 2-4x,-4x,點點P(2,1)P(2,1)在曲線在曲線f(x)f(x)上，上，當(dāng)點當(dāng)點P(2,1)P(2,1)為切點時，切線斜率為切點時，切線斜率k=f(2)=4,k=f(2)=4,所以切線所以切線l的的方程為方程為y-1=4(x-2)y-1=4(x-2)，即，即4x-y-7=0;4x-y-7=0;當(dāng)點當(dāng)點P(2,1)P(2,1)不是切點時，設(shè)切點為不是切點時，設(shè)切點為Q(xQ(x0 0,y,y0 0)(x)(x0 02)2)，切線，切線斜率斜率k=f(xk=f(x0 0)=3x)

26、=3x0 02 2-4x-4x0 0, ,所以切線所以切線l的方程為的方程為y-yy-y0 0=(3x=(3x0 02 2-4x-4x0 0)(x-x)(x-x0 0),),又點又點P(2,1)P(2,1)在切線在切線l上，得上，得1-y1-y0 0=(3x=(3x0 02 2-4x-4x0 0)(2-x)(2-x0 0),),即即1-(x1-(x0 03 3-2x-2x0 02 2+1)=(3x+1)=(3x0 02 2-4x-4x0 0)(2-x)(2-x0 0) )，即，即x x0 02 2 (2-x(2-x0 0)=(3x)=(3x0 02 2- -4x4x0 0)(2-x)(2-x0

27、 0),),由于由于x x0 02,2,得得x x0 02 2=3x=3x0 02 2-4x-4x0 0, ,即即2x2x0 0(x(x0 0-2)=0,-2)=0,所以所以x x0 0=0=0，切線，切線l方方程為程為y=1,y=1,故所求切線故所求切線l的方程為的方程為4x-y-7=04x-y-7=0或或y=1.y=1.(3)F(x)=f(x)+6x+1e(3)F(x)=f(x)+6x+1e2x2x=(3x=(3x2 2-3ax+6x+1)e-3ax+6x+1)e2x2x=3x=3x2 2-3(a-2)x+1e-3(a-2)x+1e2x2x, ,所以所以F(x)=6x-3(a-2)eF(x

28、)=6x-3(a-2)e2x2x+23x+23x2 2-3(a-2)x+1e-3(a-2)x+1e2x2x=6x=6x2 2-6(a-3)x+8-3ae-6(a-3)x+8-3ae2x2x, ,二次函數(shù)二次函數(shù)y=6xy=6x2 2-6(a-3)x+8-3a-6(a-3)x+8-3a對應(yīng)方程的判別式為對應(yīng)方程的判別式為=36(a-3)=36(a-3)2 2-24(8-3a)=12(3a-24(8-3a)=12(3a2 2-12a+11)=123(a-2)-12a+11)=123(a-2)2 2-1,-1,令令00，得，得(a-2)(a-2)2 2 所以所以 令令0 0，得，得 或或 由于由于e

29、 e2x2x0 0，1 1a a2,2,所以當(dāng)所以當(dāng) 時，時，00，F(xiàn)(x)0F(x)0，函數(shù)，函數(shù)F(x)F(x)單調(diào)遞單調(diào)遞增，極值點個數(shù)為增，極值點個數(shù)為0 0；當(dāng)當(dāng) 時，時，0,F(x)=00,F(x)=0有兩個不相等的實數(shù)根，有兩個不相等的實數(shù)根，所以函數(shù)所以函數(shù)F(x)F(x)有兩個極值點有兩個極值點. .1,3332a2;333a233a2,332a23 31a23 類型類型 三三 與最值有關(guān)的不等式的恒成立問題與最值有關(guān)的不等式的恒成立問題 【典型例題典型例題】1.(20131.(2013衡水高二檢測衡水高二檢測) )已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)f(x) x x4 42x2x3 3

30、3m3m，xRxR，若，若f(x)f(x)9090恒成立，則實數(shù)恒成立，則實數(shù)m m的取值范圍是的取值范圍是( )( )A.mA.mB.mB.mC.mC.mD.mD.m 12323232322.(20132.(2013六盤水高二檢測六盤水高二檢測) )已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=xf(x)=x3 3+ax+ax2 2+bx+c+bx+c在在x=- x=- 與與x=1x=1時都取得極值時都取得極值. .(1)(1)求求a,ba,b的值與函數(shù)的值與函數(shù)f(x)f(x)的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間. .(2)(2)若對若對xx-1,2-1,2, ,不等式不等式f(x)f(x)c c2 2恒成立恒成立, ,求求

31、c c的取值范圍的取值范圍. .23【解題探究解題探究】1.1.函數(shù)函數(shù)f(x)a(xR)f(x)a(xR)恒成立的充要條件是什么？恒成立的充要條件是什么？2.2.在極值點處，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足什么條件？要使在極值點處，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足什么條件？要使f(x)f(x)c c2 2(x(xa,ba,b) )恒成立，應(yīng)滿足什么條件？恒成立，應(yīng)滿足什么條件？探究提示：探究提示：1.f(x)a1.f(x)af(x)f(x)minmina.a.2.(1)2.(1)在極值點處在極值點處f(x)=0.f(x)=0.(2)f(x)(x(2)f(x)(xa,ba,b) )的最大值小于的最大值小于c c2 2，即，即f(

32、x)f(x)maxmaxc c2 2. .【解析解析】1.1.選選A.A.因為函數(shù)因為函數(shù)f(x)f(x) x x4 42x2x3 33m3m，所以所以f(x)f(x)2x2x3 36x6x2 2. .令令f(x)f(x)0 0，得，得x x0 0或或x x3.3.經(jīng)檢驗知經(jīng)檢驗知x x3 3是函數(shù)的一個最小值點，是函數(shù)的一個最小值點，所以函數(shù)的最小值為所以函數(shù)的最小值為f(3)f(3)不等式不等式f(x)f(x)9090恒成立，即恒成立，即f(x)f(x)9 9恒成立，恒成立，所以所以 9 9，解得，解得12273m.2273m23m.22.(1)f(x)=x2.(1)f(x)=x3 3+a

33、x+ax2 2+bx+c,f(x)=3x+bx+c,f(x)=3x2 2+2ax+b.+2ax+b.由由f(1)=3+2a+b=0f(1)=3+2a+b=0得得a=- ,b=-2,a=- ,b=-2,經(jīng)檢驗，滿足題意經(jīng)檢驗，滿足題意. .f(x)=3xf(x)=3x2 2-x-2=(3x+2)(x-1),-x-2=(3x+2)(x-1),函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)的單調(diào)區(qū)間如下表的單調(diào)區(qū)間如下表: :2124f ()ab0,393 12所以函數(shù)所以函數(shù)f(x)f(x)的遞增區(qū)間是（的遞增區(qū)間是（-,- -,- ）與）與(1,+),(1,+),遞減區(qū)間遞減區(qū)間是（是（- ,1- ,1）. .x x

34、1 1(1,+)(1,+)f(x)f(x)+ +0 0- -0 0+ +f(x)f(x) 極大值極大值 極小值極小值 232(,)3 2(,1)32323(2)f(x)=x(2)f(x)=x3 3- x- x2 2-2x+c,x-2x+c,x-1,2-1,2, ,當(dāng)當(dāng)x=- x=- 時，時， 為極大值為極大值, ,而而f(2)=2+c,f(2)=2+c,則則f(2)=2+cf(2)=2+c為最大值，為最大值，要使要使f(x)f(x)c c2 2,x,x-1,2-1,2恒成立，恒成立，則只需要則只需要c c2 2f(2)=2+c,f(2)=2+c,得得c c-1-1或或c c2.2.所以所以c

35、c的取值范圍是的取值范圍是(-,-1)(2,+).(-,-1)(2,+).1223222f()c327【互動探究互動探究】在題在題2(2)2(2)中中, ,若把條件改為若把條件改為f(x)2cf(x)2c恒成立恒成立, ,求實求實數(shù)數(shù)c c的取值范圍的取值范圍. .【解析解析】由由(1)(1)知函數(shù)知函數(shù)f(x)=xf(x)=x3 3- x- x2 2-2x+c,x-2x+c,x-1,2-1,2. .當(dāng)當(dāng)x=1x=1時，函數(shù)有極小值時，函數(shù)有極小值f(1)=c- .f(1)=c- .而而f(-1)=c+ f(-1)=c+ ，故函數(shù)，故函數(shù)f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間-1,2-1,2的最小值為的

36、最小值為f(1)=c- f(1)=c- ，要使，要使f(x)2cf(x)2c在在xx-1,2-1,2恒成立，則只需恒成立，則只需c- 2cc- 2c，解得，解得c- .c- .所以所以c c的取值范圍是（的取值范圍是（-,- .-,- .12321232323232【拓展提升拓展提升】不等式恒成立問題常用的解題方法不等式恒成立問題常用的解題方法【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】設(shè)設(shè)f(x)=ln x,g(x)=f(x)+f(x).f(x)=ln x,g(x)=f(x)+f(x).(1)(1)求求g(x)g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值的單調(diào)區(qū)間和最小值. .(2)(2)求求a a的取值范圍，使得的取值范圍，使得g

37、(a)-g(x)g(a)-g(x) 對任意對任意x x0 0成立成立. .【解題指南解題指南】(1)(1)先求函數(shù)先求函數(shù)f(x)f(x)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù), ,得到函數(shù)得到函數(shù)g(x)g(x)的解析的解析式式, ,再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)g(x)g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值的單調(diào)區(qū)間和最小值.(2).(2)要使要使g(a)-g(x)g(a)-g(x) 恒成立恒成立, ,等價于等價于g(a)-g(x)g(a)-g(x)minmin 成立成立. .1a1a1a【解析解析】(1)(1)由題設(shè)知由題設(shè)知f(x)=ln x,g(x)=ln x+ ,f(x)=ln x,g(x)=ln x+ ,所以所以

38、令令g(x)=0g(x)=0得得x=1.x=1.當(dāng)當(dāng)x(0,1)x(0,1)時，時，g(x)g(x)0,0,故故(0,1)(0,1)是是g(x)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；的單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)當(dāng)x(1,+)x(1,+)時，時，g(x)g(x)0,0,故故(1,+)(1,+)是是g(x)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)的單調(diào)遞增區(qū)間間. .因此，因此，x=1x=1是是g(x)g(x)在在(0,+)(0,+)上的惟一極值點，且為極小值上的惟一極值點，且為極小值點，從而是最小值點，所以最小值為點，從而是最小值點，所以最小值為g(1)=1.g(1)=1.(2)(2)由由(1)(1)知知g(x)g(x)的最小值為的最小值

39、為1,1,所以所以,g(a)-g(x),g(a)-g(x) , ,對任意對任意x x0 0成立成立g(a)-1g(a)-1 , ,即即ln aln a1,1,從而得從而得0 0a ae.e.1x2x1g (x).x1a1a【誤區(qū)警示誤區(qū)警示】解決題解決題(1)(1)時時, ,一定要注意函數(shù)自變量的取值范一定要注意函數(shù)自變量的取值范圍圍. . 與最值有關(guān)的不等式的證明與最值有關(guān)的不等式的證明1.1.當(dāng)當(dāng)0 0 x x 時，求證：時，求證：2.(20132.(2013大慶高二檢測大慶高二檢測) )已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=axf(x)=ax3 3+bx+bx2 23x3x在在x=x=1 1處取得極

40、值處取得極值. .(1)(1)求函數(shù)求函數(shù)f(x)f(x)的解析式的解析式. .(2)(2)求證：對于區(qū)間求證：對于區(qū)間1 1，1 1上任意兩個自變量的值上任意兩個自變量的值x x1 1，x x2 2，都有都有|f(x|f(x1 1) )f(xf(x2 2)|4.)|4.23xtan xx.3【解析解析】1.1.設(shè)設(shè)f(x)=tan x-(x+ )f(x)=tan x-(x+ )，則則=tan=tan2 2x-xx-x2 2=(tan x+x)(tan x-x),=(tan x+x)(tan x-x),因為因為0 0 x x , ,所以所以tan xtan xx x0,0,所以所以f(x)f(

41、x)0 0，即，即f(x)f(x)在在(0, )(0, )上遞增上遞增. .又因為又因為f(0)=0f(0)=0，所以當(dāng)，所以當(dāng)x(0, )x(0, )時，時，f(x)f(x)f(0)=0,f(0)=0,即即3x3221f (x)1xcos x 2223xtan xx.32.(1)f(x)=3ax2.(1)f(x)=3ax2 2+2bx+2bx3.3.依題意，依題意，f(1)=f(f(1)=f(1)=01)=0，即即 解得解得a=1a=1，b=0. b=0. 所以所以f(x)=xf(x)=x3 33x.3x.3a2b30,3a2b30,(2)(2)因為因為f(x)=xf(x)=x3 33x,3

42、x,所以所以f(x)=3xf(x)=3x2 23=3(x+1)(x3=3(x+1)(x1).1).當(dāng)當(dāng)1x11x1時，時，f(x)0f(x)0，故，故f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間1 1，1 1上為減函上為減函數(shù)，數(shù)，f(x)f(x)maxmax=f(=f(1)=21)=2，f(x)f(x)minmin=f(1)=f(1)=2.2.因為對于區(qū)間因為對于區(qū)間1 1，1 1上任意兩個自變量的值上任意兩個自變量的值x x1 1，x x2 2，都有，都有|f(x|f(x1 1) )f(xf(x2 2)|f(x)|f(x)maxmaxf(x)f(x)minmin| |，所以所以|f(x|f(x1 1) )

43、f(xf(x2 2)|f(x)|f(x)maxmaxf(x)f(x)minmin|=2|=2( (2)=4.2)=4.【拓展提升拓展提升】用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法(1)(1)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題, ,關(guān)鍵是把不等式變形后構(gòu)造恰關(guān)鍵是把不等式變形后構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，然后用導(dǎo)數(shù)判斷該函數(shù)的單調(diào)性或求出最值，達(dá)當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，然后用導(dǎo)數(shù)判斷該函數(shù)的單調(diào)性或求出最值，達(dá)到證明不等式的目的到證明不等式的目的. .(2)(2)利用導(dǎo)數(shù)解決不等式，應(yīng)特別注意區(qū)間端點是否取得到利用導(dǎo)數(shù)解決不等式，應(yīng)特別注意區(qū)間端點是否取得到. .(3)(3)學(xué)會觀察不等式與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，

44、構(gòu)造函數(shù)再利用導(dǎo)數(shù)學(xué)會觀察不等式與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)造函數(shù)再利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，借助導(dǎo)數(shù)工具來解決不等式的證明，是轉(zhuǎn)化與證明不等式，借助導(dǎo)數(shù)工具來解決不等式的證明，是轉(zhuǎn)化與化歸思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要體現(xiàn)化歸思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要體現(xiàn). .【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】(2013(2013太原高二檢測太原高二檢測) )已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=xln x,f(x)=xln x, (1)(1)求函數(shù)求函數(shù)f(x)f(x)的最小值的最小值. .(2)(2)證明：對任意證明：對任意m,n(0,+)m,n(0,+)，都有，都有f(m)g(n)f(m)g(n)成立成立. .xx2g(x).ee【解析解析】(1)(1

45、)由由f(x)=xln xf(x)=xln x，可得，可得f(x)=ln x+1.f(x)=ln x+1.當(dāng)當(dāng)xx（0, 0, ）時，）時，f(x)f(x)0,f(x)0,f(x)單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，當(dāng)當(dāng)xx（ ,+,+）時，）時，f(x)f(x)0,f(x)0,f(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞增. .可知可知f(x)=xln x(x(0,+)f(x)=xln x(x(0,+)在在 時取得最小值時取得最小值1e1e1xe11f( ).ee (2)(2)由由(1)(1)可知可知f(m)- ,f(m)- ,由由g(x)= g(x)= 可得可得g(x)=g(x)=所以當(dāng)所以當(dāng)x(0,1)x(0,1)時時,g(

46、x),g(x)0,g(x)0,g(x)單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，當(dāng)當(dāng)x(1,+)x(1,+)時時,g(x),g(x)0,g(x)0,g(x)單調(diào)遞減單調(diào)遞減. .所以函數(shù)所以函數(shù)g(x)(xg(x)(x0)0)在在x=1x=1時取得最大值，時取得最大值，又又g(1)=- ,g(1)=- ,可知可知g(n)- ,g(n)- ,所以對任意所以對任意m,n(0,+)m,n(0,+)，都有，都有f(m)g(n)f(m)g(n)成立成立. .1exx2,eex1x.e1e1e【規(guī)范解答規(guī)范解答】函數(shù)最值在不等式問題中的應(yīng)用函數(shù)最值在不等式問題中的應(yīng)用【典例典例】【條件分析條件分析】【規(guī)范解答規(guī)范解答】對任意對

47、任意x x1 1-3,3-3,3,x,x2 2-3,3-3,3都有都有f(xf(x1 1)g(x)g(x2 2) )成立成立f(x)f(x)maxmaxg(x)g(x)minmin， 2 2分分xx-3,3-3,3先求先求g(x)g(x)的最小值，的最小值，g(x)=6xg(x)=6x2 2+10 x+4=2(3x+2)(x+1).+10 x+4=2(3x+2)(x+1).4 4分分令令g(x)=0g(x)=0得得x=- x=- 或或x=-1x=-1，23列表如下：列表如下：x x-3-3(-3,-1)(-3,-1)-1-13 3g(x)g(x)+ +0 0- -0 0+ +g(x)g(x)-

48、21-21 -1-1 1111112( 1,)3 232(,3)32827則則g(x)g(x)minmin=-21=-21. . 8 8分分再求再求f(x)f(x)的最大值：的最大值：f(x)=8xf(x)=8x2 2+16x-k+16x-k=8(x+1)=8(x+1)2 2-8-k-8-k，xx-3,3-3,3，f(x)f(x)maxmax=f(3)=120-k=f(3)=120-k. . 1010分分由由f(x)g(x),f(x)g(x),可得可得120-k-21120-k-21k141.k141.故故k k的取值范圍是的取值范圍是141141，+). +). 1212分分【失分警示失分警

49、示】【防范措施防范措施】1.1.轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用在解含有不等式的恒成立問題中，等價轉(zhuǎn)化是常用的思想方在解含有不等式的恒成立問題中，等價轉(zhuǎn)化是常用的思想方法，如本例就轉(zhuǎn)化為比較函數(shù)的最值問題法，如本例就轉(zhuǎn)化為比較函數(shù)的最值問題. .一般地，若在某區(qū)一般地，若在某區(qū)間上間上f(x)af(x)a恒成立，則恒成立，則f(x)f(x)maxmaxa;a;若在某區(qū)間上存在若在某區(qū)間上存在x x使使f(x)af(x)a成立，則成立，則f(x)f(x)minminaa即可即可. .2.2.求函數(shù)最值常用的方法求函數(shù)最值常用的方法利用函數(shù)在閉區(qū)間上的單調(diào)性，可求函數(shù)的最大值、最小值；利用

50、函數(shù)在閉區(qū)間上的單調(diào)性，可求函數(shù)的最大值、最小值；也可利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)的極值，再與端點的值相也可利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)的極值，再與端點的值相比較求最值，如求函數(shù)比較求最值，如求函數(shù)g(x)g(x)的最小值利用的就是后一種方法的最小值利用的就是后一種方法. . 【類題試解類題試解】(2013(2013北京高二檢測北京高二檢測) )已知函數(shù)已知函數(shù)(1)(1)若若a=2,a=2,求曲線求曲線y=f(x)y=f(x)在在(1,f(1)(1,f(1)處的切線方程處的切線方程. .(2)(2)求函數(shù)求函數(shù)f(x)f(x)的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間. .(3)(3)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)g(x)=- g(x

51、)=- ，若至少存在一個，若至少存在一個x x0 01,e1,e，使得使得f(xf(x0 0) )g(xg(x0 0) )成立，求實數(shù)成立，求實數(shù)a a的取值范圍的取值范圍. .1f(x)a(x)2ln x(aR).xax【解題指南解題指南】(1)(1)求導(dǎo)數(shù)得切線斜率，再求切線方程求導(dǎo)數(shù)得切線斜率，再求切線方程. .(2)(2)解導(dǎo)數(shù)不等式，要對參數(shù)進(jìn)行分類討論解導(dǎo)數(shù)不等式，要對參數(shù)進(jìn)行分類討論. .(3)(3)分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值. .【解析解析】函數(shù)函數(shù)f(x)=a -2ln xf(x)=a -2ln x的定義域為的定義域為(0,+),(0,+),

52、且且(1)(1)當(dāng)當(dāng)a=2a=2時，時，f(x)=2 -2ln x,f(1)=0,f(1)=2,f(x)=2 -2ln x,f(1)=0,f(1)=2,故曲線故曲線y=f(x)y=f(x)在點在點(1(1，f(1)f(1)處的切線方程為處的切線方程為y-0=2(x-1),y-0=2(x-1),即即2x-y-2=0.2x-y-2=0.1(x)x22212ax2xaf (x)a(1).xxx1(x)x(2)(2)函數(shù)的定義域為函數(shù)的定義域為(0,+).(0,+).當(dāng)當(dāng)a0a0時，時，h(x)=axh(x)=ax2 2-2x+a-2x+a0 0在在(0,+)(0,+)上恒成立，則上恒成立，則f(x)

53、f(x)0 0在在(0,+)(0,+)上恒成立，此時，上恒成立，此時，f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上單調(diào)上單調(diào)遞減遞減. .當(dāng)當(dāng)a a0 0時，時，=4-4a=4-4a2 2, ,(i)(i)若若0 0a a1,1,由由f(x)f(x)0,0,即即h(x)h(x)0,0,得得或或由由f(x)f(x)0 0，即，即h(x)h(x)0,0,得得所以函數(shù)所以函數(shù)f(x)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為的單調(diào)遞增區(qū)間為和和單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為211 axa211 ax,a2211 a11 ax,aa 211 a(0,)a211 a(,),a2211 a11 a(,)aa；(ii)(ii)若若a1,0a1,0，則，則h(x)0h(x)0在在(0,+)(0,+)上恒成立，即上恒成立，即f(x)0f(x)0在在(0,+)(0,+)上恒成立，上恒成立，所以所以f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增. .(3)(3)因為存在一個因為存在一個x x0 01,e1,e使得使得f(xf(x0 0) )g(xg