RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1RLC串聯(lián)串聯(lián)(chunlin)電路的零輸入響應(yīng)電路的零輸入響應(yīng)第一頁(yè)，共43頁(yè)。91 RLC串聯(lián)串聯(lián)(chunlin)電路的零輸入響應(yīng)電路的零輸入響應(yīng)一、一、RLC串聯(lián)串聯(lián)(chunlin)電路的電路的微分方程微分方程圖圖91 RLC串聯(lián)二階電路串聯(lián)二階電路)()()()(SCLRtutututu 2c2LcRcCLdddd)( dd)()(dd)()()(tuLCtiLtutuRCtRitutuCtititi 為了為了(wi le)得到圖得到圖91所示所示RLC串聯(lián)電路的微分方程，先列出串聯(lián)電路的微分方程，先列出KVL方程方程第1頁(yè)/共42頁(yè)第二頁(yè)，共43頁(yè)。 根據(jù)根據(jù)(gnj)前

2、述方程得到以下微分方程前述方程得到以下微分方程 ) 19()(ddddSCC2C2 tuutuRCtuLC 這是一個(gè)這是一個(gè)(y )常系數(shù)非齊次線性二階微分方程。常系數(shù)非齊次線性二階微分方程。)29(0ddddCC2C2 utuRCtuLC 其特征方程為其特征方程為 ) 39(012 RCsLCs 其特征其特征(tzhng)(tzhng)根為根為 )49(122221 LCLRLRs， 零輸入響應(yīng)方程為零輸入響應(yīng)方程為 第2頁(yè)/共42頁(yè)第三頁(yè)，共43頁(yè)。 電路電路(dinl)微分方程的特征根，稱為電路微分方程的特征根，稱為電路(dinl)的固有頻率。當(dāng)?shù)墓逃蓄l率。當(dāng)R，L，C的量值不同時(shí)，特征

3、根可能出現(xiàn)以下三種情況的量值不同時(shí)，特征根可能出現(xiàn)以下三種情況 1. 時(shí)，時(shí)， 為不相等的實(shí)根。過(guò)阻尼情況。為不相等的實(shí)根。過(guò)阻尼情況。 CLR2 21,ss 2. 時(shí)，時(shí)， 為兩個(gè)相等的實(shí)根。臨界阻尼情況。為兩個(gè)相等的實(shí)根。臨界阻尼情況。21,ssCLR2 3. 時(shí)，時(shí)， 為共軛復(fù)數(shù)根。欠阻尼情況。為共軛復(fù)數(shù)根。欠阻尼情況。CLR2 21,ss第3頁(yè)/共42頁(yè)第四頁(yè)，共43頁(yè)。二、過(guò)阻尼情況二、過(guò)阻尼情況(qngkung) (qngkung) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，電路的固有頻率時(shí)，電路的固有頻率s1，s2為兩個(gè)不相同的實(shí)數(shù)，齊次微分方程的解答具有下面的形式為兩個(gè)不相同的實(shí)數(shù)，齊次微分方程的解答具有下面

4、的形式 CLR2 )59(ee)(2121C tstsKKtu 式中的兩個(gè)式中的兩個(gè)(lin )常數(shù)常數(shù)K1，K2由初始條件由初始條件iL(0)和和uc(0) 確定。確定。 )69()0(21C KKu 對(duì)式對(duì)式(95)求導(dǎo)，再令求導(dǎo)，再令t=0得到得到(d do) )79()0(d)(dL22110C CisKsKttut第4頁(yè)/共42頁(yè)第五頁(yè)，共43頁(yè)。 求解以上兩個(gè)求解以上兩個(gè)(lin )方程，可以得到方程，可以得到 CiusssKCiusssK)0()0(1 )0()0(1LC1212LC2121 由此得到電容電壓的零輸入響應(yīng)，再利用由此得到電容電壓的零輸入響應(yīng)，再利用KCL方程和電容

5、的方程和電容的VCR可以可以(ky)得到電感電流的零輸入響應(yīng)。得到電感電流的零輸入響應(yīng)。 第5頁(yè)/共42頁(yè)第六頁(yè)，共43頁(yè)。例例9-1 電路如圖電路如圖9-1所示，已知所示，已知R=3,L=0.5H, C=0.25F, uC(0)=2V, iL(0)=1A，求電容電壓和電感，求電容電壓和電感(din n)電流的零輸電流的零輸 入響應(yīng)。入響應(yīng)。 42138331222221LCLRLRs，解：將解：將R，L，C的量值代入式（的量值代入式（94）計(jì)算）計(jì)算(j sun)出固有頻率出固有頻率圖圖91 RLC串聯(lián)二階電路串聯(lián)二階電路第6頁(yè)/共42頁(yè)第七頁(yè)，共43頁(yè)。 將固有頻率將固有頻率( yu pn

6、 l)s1=-2和和s2=-4代入式（代入式（95）得到）得到 )0(ee)(4221C tKKtutt 利用電容電壓的初始值利用電容電壓的初始值uC(0)=2V和電感電流的初始值和電感電流的初始值iL(0)=1A得到以下兩個(gè)得到以下兩個(gè)(lin )方程：方程： 4)0(42d)(d2)0( L210C21C CiKKttuKKutK1=6K2=-4)0(V)e4e6()(42C ttutt 最后得到最后得到(d do)電容電壓的零輸入響應(yīng)為電容電壓的零輸入響應(yīng)為 第7頁(yè)/共42頁(yè)第八頁(yè)，共43頁(yè)。 利用利用KCL和電容和電容(dinrng)的的VCR方程得到電感電流的零輸入響應(yīng)方程得到電感電

7、流的零輸入響應(yīng) )0(A)e4e3(dd)()(42CCL ttuCtititt 從圖示電容電壓和電感電流的波形曲線，可以從圖示電容電壓和電感電流的波形曲線，可以(ky)看出電路各元件的能量交換過(guò)程。看出電路各元件的能量交換過(guò)程。第8頁(yè)/共42頁(yè)第九頁(yè)，共43頁(yè)。V)()e4e6()(42Cttutt 電容電壓的零輸入(shr)響應(yīng)波形第9頁(yè)/共42頁(yè)第十頁(yè)，共43頁(yè)。 DNAP程序(chngx)可以畫(huà)出響應(yīng)的波形。 )A()e4e3()(42Lttitt 電感電流(dinli)的零輸入響應(yīng)波形第10頁(yè)/共42頁(yè)第十一頁(yè)，共43頁(yè)。三、臨界三、臨界(ln (ln ji)ji)情況情況 當(dāng)當(dāng) 時(shí)

8、，電路的固有頻率時(shí)，電路的固有頻率s1, s2為兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)為兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)s1=s2=s 。齊次微分方程的解答具有下面的形式。齊次微分方程的解答具有下面的形式 CLR2 )89(ee)(21C ststtKKtu 式中的兩個(gè)常數(shù)式中的兩個(gè)常數(shù)K1，K2由初始條件由初始條件iL(0)和和uC(0) 確定確定(qudng)。令式。令式(9-5)中的中的t=0得到得到 )99()0(1C Ku第11頁(yè)/共42頁(yè)第十二頁(yè)，共43頁(yè)。 聯(lián)立求解以上兩個(gè)方程，可以聯(lián)立求解以上兩個(gè)方程，可以(ky)得到得到 )0()0()0(C1L2C1usCiKuK 將將 K1, K2的計(jì)算結(jié)果，代入式（的計(jì)算結(jié)果，

9、代入式（98）得到電容電壓的零輸入響應(yīng)，再利用）得到電容電壓的零輸入響應(yīng)，再利用KCL方程方程(fngchng)和電容的和電容的VCR可以得到電感電流的零輸入響應(yīng)?？梢缘玫诫姼须娏鞯牧爿斎腠憫?yīng)。 對(duì)式對(duì)式(95)求導(dǎo)，再令得到求導(dǎo)，再令得到(d do) )109()0(d)(dL210C CiKsKttut第12頁(yè)/共42頁(yè)第十三頁(yè)，共43頁(yè)。例例9-2 電路如圖電路如圖9-1所示。已知已知所示。已知已知R=1 ，L=0.25 H， C=1 F，uC(0)=-1V，iL(0)=0，求電容電壓和電感，求電容電壓和電感(din n)電電 流的零輸入響應(yīng)。流的零輸入響應(yīng)。 2202422122222

10、1LCLRLRs，解：將解：將R，L，C的量值代入式的量值代入式(9-4)計(jì)算出固有頻率計(jì)算出固有頻率( yu pn l)的數(shù)值的數(shù)值圖圖91 RLC串聯(lián)二階電路串聯(lián)二階電路第13頁(yè)/共42頁(yè)第十四頁(yè)，共43頁(yè)。 利用電容利用電容(dinrng)電壓的初始值電壓的初始值uC(0)=-1V和電感電流的初始值和電感電流的初始值iL(0)=0得到以下兩個(gè)方程得到以下兩個(gè)方程 0)0(2d)(d1)0( L210C1C CiKKttuKut 將兩個(gè)相等的固有頻率將兩個(gè)相等的固有頻率( yu pn l)s1=s2=-2 代入式（代入式（98）得到）得到 )0(ee)(2221c ttKKtutt第14頁(yè)

11、/共42頁(yè)第十五頁(yè)，共43頁(yè)。 得到電感得到電感(din n)電流的零輸入響應(yīng)電流的零輸入響應(yīng) )0(Ae4A)e4e2e2(dd)()(2222CCL ttttuCtititttt 求解以上兩個(gè)方程得到求解以上兩個(gè)方程得到(d do)常數(shù)常數(shù)K1=-1和和K2=-2，得到，得到(d do)電容電壓的零輸入響應(yīng)電容電壓的零輸入響應(yīng) )0( V )e2e()(22C tttutt第15頁(yè)/共42頁(yè)第十六頁(yè)，共43頁(yè)。 根據(jù)以上兩個(gè)根據(jù)以上兩個(gè)(lin )表達(dá)式用計(jì)算機(jī)程序表達(dá)式用計(jì)算機(jī)程序DNAP畫(huà)出的波形曲線，如圖畫(huà)出的波形曲線，如圖93所示。所示。 (a) 電容電壓的波形電容電壓的波形 (b

12、) 電感電流的波形電感電流的波形圖圖93 臨界阻尼情況臨界阻尼情況 )0( Ae4)()()0(V )e2e()(2CL22C tttititttuttt第16頁(yè)/共42頁(yè)第十七頁(yè)，共43頁(yè)。V)()e2e()(22Ctttutt 電容電壓(diny)的零輸入響應(yīng)波形第17頁(yè)/共42頁(yè)第十八頁(yè)，共43頁(yè)。)A(e4)(2Ltttit 電感電流(dinli)的零輸入響應(yīng)波形第18頁(yè)/共42頁(yè)第十九頁(yè)，共43頁(yè)。四、欠阻尼情況四、欠阻尼情況(qngkung) (qngkung) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，電路的固有頻率時(shí)，電路的固有頻率s1，s2為為兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)根，它們可以表示為為為兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)根，它們可以表示為

13、 CLR2 d20 jj1222221 LCLRLRs， 其中其中(qzhng) (qzhng) 稱稱為為衰衰減減諧諧振振角角頻頻率率稱稱為為諧諧振振角角頻頻率率稱稱為為衰衰減減系系數(shù)數(shù)2200 1 2 dLCLR第19頁(yè)/共42頁(yè)第二十頁(yè)，共43頁(yè)。 齊次微分方程的解答具有下面齊次微分方程的解答具有下面(xi mian)的形式的形式 )119()cos(e)sin()cos(e)(21C tKtKtKtuttddd 式中式中 122221arctanKKKKK 由初始條件由初始條件iL(0)和和uC(0)確定常數(shù)確定常數(shù)K1，K2后，得到電容電壓的零輸入響應(yīng)后，得到電容電壓的零輸入響應(yīng)(xi

14、ngyng)，再利用，再利用KCL和和VCR方程得到電感電流的零輸入響應(yīng)方程得到電感電流的零輸入響應(yīng)(xingyng)。 第20頁(yè)/共42頁(yè)第二十一頁(yè)，共43頁(yè)。例例9-3 電路電路(dinl)如圖如圖9-1所示。已知所示。已知R=6, L=1H, C=0.04F, uC(0)=3V，iL(0)=0.28A，求電容電壓和電感電流的，求電容電壓和電感電流的 零輸入響應(yīng)。零輸入響應(yīng)。j4351222221 233LCLRLRs，解：將解：將R，L，C的量值代入式的量值代入式(9-4)計(jì)算計(jì)算(j sun)出固有頻率的數(shù)值出固有頻率的數(shù)值圖圖91 RLC串聯(lián)二階電路串聯(lián)二階電路第21頁(yè)/共42頁(yè)第二

15、十二頁(yè)，共43頁(yè)。 利用電容電壓的初始值利用電容電壓的初始值uC(0)=3V和電感電流和電感電流(dinli)的初始值的初始值iL得到以下兩個(gè)方程得到以下兩個(gè)方程 7)0(43d)(d)0( L210C1C CiKKttuKut 求解以上兩個(gè)方程得到常數(shù)求解以上兩個(gè)方程得到常數(shù)(chngsh)K1=3和和K2=4，得到電容電壓和電感電流的零輸入響應(yīng)，得到電容電壓和電感電流的零輸入響應(yīng): )0( A)74.73cos(e)sin(24)cos(7e04. 0dd)()0( V )1 .53cos(e5)sin(4cos3e)(cLc tttttuCtitttttutttt4444443333 將

16、兩個(gè)不相等的固有頻率將兩個(gè)不相等的固有頻率( yu pn l) s1=-3+j4 和和 s2=-3-j4 代入式（代入式（911）得到）得到 )0( )sin(cose)(21C ttKtKtut443第22頁(yè)/共42頁(yè)第二十三頁(yè)，共43頁(yè)。 用計(jì)算機(jī)程序用計(jì)算機(jī)程序DNAP畫(huà)出的波形畫(huà)出的波形(b xn)曲線，如圖曲線，如圖94(a)和和(b)所示所示 (a) 衰減系數(shù)為衰減系數(shù)為3的電容電壓的波形的電容電壓的波形 (b) 衰減系數(shù)為衰減系數(shù)為3的電感電流的波形的電感電流的波形(c) 衰減系數(shù)為衰減系數(shù)為0.5的電容電壓的波形的電容電壓的波形 (d) 衰減系數(shù)為衰減系數(shù)為0.5的電感電流的波

17、形的電感電流的波形 圖圖94 欠阻尼情況欠阻尼情況第23頁(yè)/共42頁(yè)第二十四頁(yè)，共43頁(yè)。 從式從式(9-11)和圖和圖9-4波形曲線可以看出，欠阻尼情況的特點(diǎn)是能量在電容與電感之間交換，形成衰減振蕩。電阻波形曲線可以看出，欠阻尼情況的特點(diǎn)是能量在電容與電感之間交換，形成衰減振蕩。電阻(dinz)越小，單位時(shí)間消耗能量越少，曲線衰減越慢。越小，單位時(shí)間消耗能量越少，曲線衰減越慢。 當(dāng)例當(dāng)例93中電阻中電阻(dinz)由由R=6減小到減小到R=1，衰減系數(shù)由，衰減系數(shù)由3變?yōu)樽優(yōu)?.5時(shí)，用計(jì)算機(jī)程序時(shí)，用計(jì)算機(jī)程序DNAP得到的電容電壓和電感電流的波形曲線，如圖得到的電容電壓和電感電流的波形曲

18、線，如圖94(c)和和(d)所示，由此可以看出曲線衰減明顯變慢。假如電阻所示，由此可以看出曲線衰減明顯變慢。假如電阻(dinz)等于零，使衰減系數(shù)為零時(shí)，電容電壓和電感電流將形成無(wú)衰減的等幅振蕩。等于零，使衰減系數(shù)為零時(shí)，電容電壓和電感電流將形成無(wú)衰減的等幅振蕩。 第24頁(yè)/共42頁(yè)第二十五頁(yè)，共43頁(yè)。V)()1 .53cos(e5)(ctttut 43電容電壓的零輸入(shr)響應(yīng)波形u3 (t) =( t)*( 5.00 )* exp ( -3.00 t)cos( 4.00 t -53.13 )第25頁(yè)/共42頁(yè)第二十六頁(yè)，共43頁(yè)。)A()74.73cos(e)(Ltttit 43i2

19、 (t) =( t)*( 1.00 )* exp ( -3.00 t)cos( 4.00 t +73.74 )電感電流(dinli)的零輸入響應(yīng)波形第26頁(yè)/共42頁(yè)第二十七頁(yè)，共43頁(yè)。u3 (t) =(t)*( 3.45 )* exp ( -.500 t)cos( 4.97 t -29.66 )A()66.29cos(e45. 3)(5 . 0Ctttut 4.97電容電壓的零輸入響應(yīng)(xingyng)波形第27頁(yè)/共42頁(yè)第二十八頁(yè)，共43頁(yè)。i2 (t) =( t)*( .690 )* exp ( -.500 t)cos( 4.97 t +66.08 )A()08.66cos(e69.

20、 0)(5 . 0Ltttit 4.97電感電流(dinli)的零輸入響應(yīng)波形第28頁(yè)/共42頁(yè)第二十九頁(yè)，共43頁(yè)。例例9-4 電路如圖電路如圖9-1所示。已知所示。已知R=0, L=1H, C=0.04F, uC(0)=3V, iL(0)=0.28A，求電容，求電容(dinrng)電壓和電感電流的零電壓和電感電流的零 輸入響應(yīng)。輸入響應(yīng)。j551222221 LCLRLRs，解：將解：將R，L，C的量值代入式（的量值代入式（94）計(jì)算）計(jì)算(j sun)出固有頻率的出固有頻率的 數(shù)值數(shù)值 圖圖91 RLC串聯(lián)二階電路串聯(lián)二階電路第29頁(yè)/共42頁(yè)第三十頁(yè)，共43頁(yè)。 將兩個(gè)不相等將兩個(gè)不相

21、等(xingdng)的固有頻率的固有頻率s1=j5和和s2=-j5代入式（代入式（9-11）得到）得到 )0()sin()cos()(21c ttKtKtu55 利用電容電壓的初始值利用電容電壓的初始值uC(0)=3V和電感電流的初始值和電感電流的初始值iL(0)=0.28A 得到以下兩個(gè)得到以下兩個(gè)(lin )方程方程 7)0(5d)(d3)0( L20C1C CiKttuKut 求解以上兩個(gè)方程得到常數(shù)求解以上兩個(gè)方程得到常數(shù)K1=3和和K2=1.4，得到電容電壓和電感，得到電容電壓和電感(din n)電流的零輸入響應(yīng)電流的零輸入響應(yīng): )0(A)65cos(66. 0)cos(7)sin

22、(1504. 0dd)()0(V)25cos(31. 3)sin(4 . 1)cos(3)(CLC tttttuCtitttttu555555第30頁(yè)/共42頁(yè)第三十一頁(yè)，共43頁(yè)。 用計(jì)算機(jī)程序用計(jì)算機(jī)程序DNAP畫(huà)出的電容畫(huà)出的電容(dinrng)電壓和電感電流的波形曲線，如圖電壓和電感電流的波形曲線，如圖95所示。所示。 圖圖95 無(wú)阻尼情況無(wú)阻尼情況 第31頁(yè)/共42頁(yè)第三十二頁(yè)，共43頁(yè)。u3 (t) =(t)*( 3.31 )* exp ( .000 t)cos( 5.00 t -25.02 )V ()25cos(31. 3)( Ctttu 5 電阻(dinz)為零，響應(yīng)不再衰減，

23、形成等幅振蕩。第32頁(yè)/共42頁(yè)第三十三頁(yè)，共43頁(yè)。i2 (t) =(t)*( .662 )* exp ( .000 t)cos( 5.00 t +64.98 ) )A()65cos(66. 0)( Lttti 5 電阻(dinz)為零，響應(yīng)不再衰減，形成等幅振蕩。第33頁(yè)/共42頁(yè)第三十四頁(yè)，共43頁(yè)。 從電容電壓和電感電流的表達(dá)式和波形曲線可見(jiàn)，由于電路中沒(méi)有損耗，能量在電容和電感之間交換，總能量不會(huì)減少，形成等振幅振蕩。電容電壓和電感電流的相位差為從電容電壓和電感電流的表達(dá)式和波形曲線可見(jiàn)，由于電路中沒(méi)有損耗，能量在電容和電感之間交換，總能量不會(huì)減少，形成等振幅振蕩。電容電壓和電感電流

24、的相位差為90，當(dāng)電容電壓為零，電場(chǎng)儲(chǔ)能，當(dāng)電容電壓為零，電場(chǎng)儲(chǔ)能(ch nn)為零時(shí)，電感電流達(dá)到最大值，全部能量?jī)?chǔ)存于磁場(chǎng)中；而當(dāng)電感電流為零，磁場(chǎng)儲(chǔ)能為零時(shí)，電感電流達(dá)到最大值，全部能量?jī)?chǔ)存于磁場(chǎng)中；而當(dāng)電感電流為零，磁場(chǎng)儲(chǔ)能(ch nn)為零時(shí)，電容電壓達(dá)到最大值，全部能量?jī)?chǔ)存于電場(chǎng)中。為零時(shí)，電容電壓達(dá)到最大值，全部能量?jī)?chǔ)存于電場(chǎng)中。 從以上分析計(jì)算的結(jié)果可以看出，從以上分析計(jì)算的結(jié)果可以看出，RLC二階電路的零輸入響應(yīng)的形式與其固有頻率密切相關(guān)，我們將響應(yīng)的幾種情況畫(huà)在圖二階電路的零輸入響應(yīng)的形式與其固有頻率密切相關(guān)，我們將響應(yīng)的幾種情況畫(huà)在圖96上。上。第34頁(yè)/共42頁(yè)第三十五

25、頁(yè)，共43頁(yè)。圖圖9-6第35頁(yè)/共42頁(yè)第三十六頁(yè)，共43頁(yè)。 由圖由圖96可見(jiàn)：可見(jiàn)： 1. 在過(guò)阻尼情況，在過(guò)阻尼情況，s1和和s2是不相等的負(fù)實(shí)數(shù)，固有頻率出現(xiàn)在是不相等的負(fù)實(shí)數(shù)，固有頻率出現(xiàn)在s平面平面(pngmin)上負(fù)實(shí)軸上，響應(yīng)按指數(shù)規(guī)律衰減。上負(fù)實(shí)軸上，響應(yīng)按指數(shù)規(guī)律衰減。 2.在臨界阻尼情況，在臨界阻尼情況，s1=s2是相等的負(fù)實(shí)數(shù)，固有頻率出現(xiàn)在是相等的負(fù)實(shí)數(shù)，固有頻率出現(xiàn)在s平面平面(pngmin)上負(fù)實(shí)軸上，響應(yīng)按指數(shù)規(guī)律衰減。上負(fù)實(shí)軸上，響應(yīng)按指數(shù)規(guī)律衰減。 3.在欠阻尼情況，在欠阻尼情況，s1和和s2是共軛復(fù)數(shù)，固有頻率出現(xiàn)在是共軛復(fù)數(shù)，固有頻率出現(xiàn)在s平面平面(pngmin)上的左半平面上的左半平面(pngmin)上，響應(yīng)是振幅隨時(shí)間衰減的正弦振蕩，其振幅隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律衰減，衰減系數(shù)上，響應(yīng)是振幅隨時(shí)間衰減的正弦振蕩，其振幅隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律衰減，衰減系數(shù) 越大，衰減越快。衰減振蕩的角頻率越大，衰減越快。衰減振蕩的角頻率d 越大，振蕩周期越小，振蕩越快。越大，振蕩周期越小，振蕩越快。第36頁(yè)/共42頁(yè)第三十七頁(yè)，共43頁(yè)。 圖中按圖中按Ke-t畫(huà)出的虛線稱為包絡(luò)線，