立體幾何中的向量方法

1、立體幾何中的向量方法教學(xué)案例設(shè)計(jì)與反思立體幾何中的向量方法 的核心內(nèi)容就是利用空間向量來解決立體幾何問題，其一般方法是：先利用空間向量表示空間中點(diǎn)、直線、平面等元素，建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系 ; 進(jìn)行空間向量運(yùn)算 ; 由向量運(yùn)算所得結(jié)果解釋幾何結(jié)論。此核心內(nèi)容，就是整個(gè)教學(xué)過程中所涉及到的 “三步曲”?！叭角?的給出，與平面向量在平面幾何中的運(yùn)用有類似的地方，是通過對(duì)比而得到的一種方法，也是平面向量的一種擴(kuò)展。本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)目標(biāo)是利用向量的相關(guān)知識(shí)， 表示直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直與平行關(guān)系 ; 用向量方法證明有關(guān)直線、平面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理） ; 用向量

2、方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面夾角的計(jì)算問題，體會(huì)向量方法在研究幾何問題中的作用。教學(xué)重點(diǎn)：理解并掌握向量方法解決立體幾何問題的一般方法。教學(xué)難點(diǎn)：建立立體圖形與空間向量之間的聯(lián)系， 把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題。一、向量方法的基礎(chǔ)知識(shí)向量方法的綜合運(yùn)用， 是在空間向量相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上展開的。 這些知識(shí)包括：向量的概念、向量的加減運(yùn)算、 向量的數(shù)乘運(yùn)算、 向量數(shù)量積（內(nèi)積）運(yùn)算、向量平行（垂直）充要條件、向量基本定理、向量坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算等等。而向量在立體幾何中的運(yùn)用， 還必須利用空間向量決定空間點(diǎn)、 直線、平面在空間中的位置。在這些相應(yīng)知識(shí)的前提下， 我們歸納給出了以下幾個(gè)有關(guān)

3、直線、 平面位置關(guān)系的結(jié)論：設(shè)直線 l ，m的方向向量分別為 a， b ，平面，的法向量分別為 u， r ，則線線平行l(wèi) | ma | bakb， kR線線垂直lmabab0線面平行l(wèi) |auauo線面垂直la |uaku，Rk面面平行|u | rukr， kR面面垂直urur0線線夾角l， 的夾角為(0), cos| ab |m| a | b |2線面夾角l， 的夾角為(0), cos| au | a | u |2面面夾角， 的夾角為(0), cos| ur | u | r |2注意：（ 1）這里的線線平行包括線線重合，線面平行包括線在面內(nèi)，面面平行包括面面重合。 （ 2）這里的線線夾角、線

4、面夾角、面面夾角都是按照相關(guān)1定義給出的，即 0。二面角的大小是指其兩個(gè)半平面的張開程度，這可2以用其平面角 的大小來定義，它的取值范圍為 0， 具體取arccos | ur |，還是 arccos | u r | 應(yīng)結(jié)合具體問題而定。| u| r | u | r |二、向量方法的基本應(yīng)用例 1、一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直（平面與平面垂直的判定定理）已經(jīng)：直線 l和平面， ，其中 l，l，求證：.證明：設(shè)直線 l 的方向向量為 a, 平面，的法向量分別為u，r （建立立體幾何問題與向量之間的聯(lián)系） 。因?yàn)?l，所以 a|r，即 a= k r( k R ) （把立體幾何問題轉(zhuǎn)化

5、為空間向量問題）,ua u=0（把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題又l，），所以 a所以 k u r=0u r（把空間向量的結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論）。所以平面與平面互相垂直。本例題的證明，是應(yīng)用了以上： 兩個(gè)平面垂直的充要條件是這兩個(gè)平面的法向量也互相垂直 的這個(gè)結(jié)論。例 2、如圖 60 的二面角的棱上有 A、 B 兩點(diǎn)，直線 AC、 BD 分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于 AB.。已知 AB4， AC6， BD 8，求 CD 的長(zhǎng)。解：化為向量問題根據(jù)向量的加法法則，CDCAABBD進(jìn)行向量運(yùn)算| CD |2CD 2(CAABBD)2CA2AB2BD 22CAAB2CABD2 ABBD1

6、64回到圖形問題所以|CD|2 41（點(diǎn)析：本題包含兩個(gè)方面的知識(shí)點(diǎn)：通過向量的加減法運(yùn)算，把圖形問題向量化 ; 向量模的運(yùn)算方法，結(jié)果向量的數(shù)量積運(yùn)算律進(jìn)行向量運(yùn)算，最后求得圖形中線段的長(zhǎng)度）。例 3、在四棱錐 P-ABCD中，底面 ABCD是正方形，側(cè)棱 PD 底面 ABCD，PD=DC，點(diǎn) E 是 PC的中點(diǎn)，作 EF PB交 PB于點(diǎn) F.(1) 求證： PA| 平面 EDB;2(2) 求證： PB 平面 EFD;(3) 求二面角 C-PB-D 的大小。引導(dǎo)： (1)側(cè)棱 PD底面 ABCD，則 PD AD, PD CD, 底面 ABCD是正方形，則 ADCD，又 PD=DC，這告訴我

7、們，“三條線段兩兩垂直且彼此相等” 。這個(gè)條件對(duì)我們解決問題將起到什么作用呢？ （合適建立空間直角坐標(biāo)系表示向量， 考慮本題使用坐標(biāo)化方法）(2) 在上面建立的空間直角坐標(biāo)系中，引導(dǎo)學(xué)生寫出點(diǎn) P，A，B， C，D， E 的坐標(biāo)，并寫出向量 PA,PB等的坐標(biāo)。( 初步建立已知條件與求解內(nèi)容兩者間的聯(lián)系，使學(xué)生意識(shí)到通過把向量坐標(biāo)化解決問題，培養(yǎng)他們結(jié)合題 中條件建立適當(dāng)坐標(biāo)系的能力。 )(3) 從“要證 PA| 平面 EDB”入手，考慮直線與平面平行的判定條件，則需要考慮直線 PA與平面 EDB內(nèi)哪條直線平行？從而引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn) G點(diǎn)，進(jìn)而寫出向量 EG的坐標(biāo)，由 PA=kEG證得 PA|EG

8、, 進(jìn)而證明 PA| 平面 EDB.( 運(yùn)用直線與平面平行的判定定理， 需證明 PA與平面 EDB內(nèi)一直線平行， 找出這條直線的過程可以鍛煉直覺觀察能力 ; 證明兩線平行可以鞏固對(duì)直線的方向向量、共線向量等概念的理解。 )(4) 從“要證 PB 平面 EFD”出發(fā)，考慮直線與平面垂直的判定條件，引導(dǎo)討論：應(yīng)證明 PB與哪些線段垂直，用向量方法怎樣證？( 運(yùn)用直線與平面垂直的判定定理， 需證明 PB與平面 EFD內(nèi)兩相交直線垂直。找出這兩條直線的過程可以鍛煉分析已知條件以及看圖能力 ; 證明直線間的垂直關(guān)系的過程可以鞏固對(duì)兩非零向量的“數(shù)量積為 0”的幾何意義的認(rèn)識(shí)。 )在討論的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生

9、寫出主要的證明過程。(5) 從“計(jì)算二面角 C-PB-D的大小”出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生如何找出相應(yīng)的平面角，讓學(xué)生思考：哪個(gè)角是二面角 C-PB-D 的平面角？用向量方法怎么計(jì)算它的大??？( 計(jì)算二面角的大小，要先找出它的平面角，轉(zhuǎn)而計(jì)算平面角的大小。計(jì)算角的大小時(shí)，向量是非常有力的工具。 解決這個(gè)問題可以鞏固對(duì)運(yùn)用向量方法求角度的掌握。 )讓學(xué)生思考：點(diǎn) F 的坐標(biāo)對(duì)計(jì)算是否重要？怎樣利用題中條件確定點(diǎn)F 的坐標(biāo)？通過確定點(diǎn)F 的坐標(biāo)過程，進(jìn)一步考慮并表達(dá)通過cosEFDFEFD計(jì)|FE |FD |算 EFD 的過程。三、向量方法的基本要求通過前面三個(gè)例子的應(yīng)用，我們可概括出立體幾何中的方法包含三種

10、方法：綜合法、向量法、坐標(biāo)法，并且這三種方法又各有側(cè)重，同時(shí)也可以交叉運(yùn)用，各有特點(diǎn)又互相聯(lián)系： 綜合法是數(shù)學(xué) 2 中常用的方法， 具備豐富的空間想象能力和嚴(yán)格的空間邏輯推理能力 ; 向量法是運(yùn)用向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算等方法，利用平行向量、 垂直向量的充要條件來表示直線與直線、 直線與平面、 平面與平面3的位置關(guān)系的一種方法 ; 坐標(biāo)法是在向量法的基礎(chǔ)上，利用向量的坐標(biāo)表示，通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算來解釋平行向量、 垂直向量之間的關(guān)系以及向量夾角、 模的大小等。每一種方法都按照“三步曲”來解決問題：建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題 ; 進(jìn)行向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系（距離和夾角等） ; 根據(jù)運(yùn)算結(jié)果的幾何意義來解釋相關(guān)問題。例 3 的解法，我們可以看到，將空間向量的運(yùn)算與向量的坐標(biāo)表示結(jié)合起來，對(duì)于求解一些夾角問題變得更為簡(jiǎn)單。 而坐標(biāo)方法與向量方法的結(jié)合， 建立坐標(biāo)系的選擇起到關(guān)鍵的作用。課后反思1、新課程倡導(dǎo)以“主動(dòng)參與，樂于探究，交流合作”為主要特征的學(xué)習(xí)方式，這是廣大教師課堂教學(xué)所要積極探索的方法。在本節(jié)課的教學(xué)中， 我力圖嘗試指導(dǎo)學(xué)生使用