高考數(shù)學(xué)考前沖刺專題《球的表面積、體積》夯基練習(xí)（教師版）

1、高考數(shù)學(xué)考前沖刺專題球的表面積、體積夯基練習(xí)一 、選擇題若側(cè)面積為8的圓柱有一外接球O，當(dāng)球O的體積取得最小值時(shí)，圓柱的表面積為()A.12 B.13 C.10 D.14【參考答案】答案為：A；解析：由球的對(duì)稱性可知，圓柱的高即球心到兩底面圓心的距離之和，設(shè)圓柱的底面半徑是r，球心到底面的距離是d，外接球O的半徑為R，由球心到底面的距離、截面圓的半徑、球半徑之間構(gòu)成直角三角形，可知r2d2=R2.由題設(shè)可得2r×2d=8rd=2d=，則R2=r2d2=r22 =4，當(dāng)且僅當(dāng)r=時(shí)取等號(hào)，此時(shí)d=.故圓柱的表面積S表=S側(cè)S底=82r2=82()2=12.若三棱錐S­ABC的

2、所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SA平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，BAC=60°，則球O的表面積為()A.64 B.63 C.65 D.32【參考答案】答案為：A；解析：設(shè)球O的半徑為R，AB=1，AC=2，BAC=60°，BC2=142×1×2×cos 60°=3，所以AB2BC2=AC2.即ABC為直角三角形，那么ABC所在截面圓的直徑為AC，所以(2R)2=SA2AC2=64.所以S球=4R2=64.已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，AOB=90°，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐O­ABC體積的最大值為36，

3、則球O的表面積為()A.36 B.64 C.144 D.256【參考答案】答案為：C；解析：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐O­ABC的體積最大，設(shè)球O的半徑為R，此時(shí)VO­ABC=VC­AOB=×R2×R=R3=36，故R=6，則球O的表面積為S=4R2=144.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個(gè)正三角形，則這個(gè)幾何體的外接球的表面積為()A. B. C.4 D.【參考答案】答案為：A解析：由三視圖可知，該幾何體為一個(gè)三棱錐，令其為三棱錐ABCD，由俯視圖可知，底面BCD是一個(gè)等腰直角三角形，BCD為直角.平面

4、ABD平面BCD，易知外接球的球心O為ABD的中心，則球O的半徑R=，外接球的表面積等于4R2=4×2=.已知三棱錐PABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，PC為球O的直徑，該三棱錐的體積為，則球O的表面積為()A.4 B.8 C.12 D.16【參考答案】答案為：A解析：依題意，設(shè)球O的半徑為R，球心O到平面ABC的距離為d，則由O是PC的中點(diǎn)得，點(diǎn)P到平面ABC的距離等于2d，所以VPABC=2VOABC=2×SABC×d=××12×d=，解得d=.又R2=d22=1，所以球O的表面積等于4R2=4.故選A

5、.已知球的直徑SC=4，A，B是該球球面上的兩點(diǎn)，ASC=BSC=30°，則棱錐S­ABC的體積最大為( )A.2 B. C. D.2【參考答案】答案為：A.解析：如圖，因?yàn)榍虻闹睆綖镾C，且SC=4，ASC=BSC=30°，所以SAC=SBC=90°，AC=BC=2，SA=SB=2，所以SSBC=×2×2=2，則當(dāng)點(diǎn)A到平面SBC的距離最大時(shí)，棱錐A­SBC即S­ABC的體積最大，此時(shí)平面SAC平面SBC，點(diǎn)A到平面SBC的距離為2sin30°=，所以棱錐S­ABC的體積最大為×2&

6、#215;=2，故選A.將長(zhǎng)、寬分別為4和3的長(zhǎng)方形ABCD沿對(duì)角線AC折成直二面角，得到四面體A-BCD，則四面體A-BCD的外接球的表面積為（ ）A.25B.50C.5D.10【參考答案】答案為：A解析：取AC的中點(diǎn)，連接OB、OD，如下圖所示：由題意AC=5.因?yàn)椋琌為AC的中點(diǎn)，所以，所以，O為四面體A-BCD的外接球的球心，且球O的半徑為R=2.5，因此，四面體A-BCD的外接球的表面積為.已知一個(gè)三棱柱，其底面是正三角形，且側(cè)棱與底面垂直，一個(gè)體積為的球體與棱柱的所有面均相切，那么這個(gè)三棱柱的表面積是()A.6 B.12 C.18 D.24【參考答案】答案為：C解析：根據(jù)已知可得球

7、的半徑等于1，故三棱柱的高等于2，底面三角形內(nèi)切圓的半徑等于1，即底面三角形的高等于3，邊長(zhǎng)等于2，所以這個(gè)三棱柱的表面積等于3×2×22××2×3=18.現(xiàn)有一塊半球形原料，若通過(guò)切削將該原料加工成一個(gè)正方體工件，則所得工件體積與原料體積之比的最大值為()A. B. C. D.【參考答案】答案為：A；解析：當(dāng)正方體的下底面在半球的大圓面上，上底面的四個(gè)頂點(diǎn)在球的表面上時(shí)，所得工件體積與原材料體積之比取得最大值，設(shè)此時(shí)正方體的棱長(zhǎng)為a，則球的半徑為R=a，所以所求體積比為=，故選A.已知一個(gè)封閉的長(zhǎng)方體容器中裝有兩個(gè)大小相同的鐵球，若該長(zhǎng)方體容

8、器的三個(gè)相鄰側(cè)面的面積分別為6，8，12，則鐵球的直徑最大只能為()A. B.2 C. D.4【參考答案】答案為：B；解析：設(shè)長(zhǎng)方體三條棱的長(zhǎng)分別為a，b，c，由題意得，解得.再結(jié)合題意可得，鐵球的直徑最大只能為2.故選B.已知三棱錐P­ABC中，AB=BC，ABBC，點(diǎn)P在底面ABC上的射影為AC的中點(diǎn)，若該三棱錐的體積為，那么當(dāng)該三棱錐的外接球體積最小時(shí)，該三棱錐的高為()A.2 B.3 C.2 D.3【參考答案】答案為：D；解析：設(shè)三棱錐P­ABC外接球的球心為O，ABC的外接圓圓心為O1，又ABBC，所以O(shè)1為AC的中點(diǎn).連接PO1，點(diǎn)P在底面ABC上的射影為AC的

9、中點(diǎn)，PO1平面ABC.P，O，O1三點(diǎn)共線.連接OB，O1B，如圖.由已知三棱錐P­ABC的底面ABC為等腰直角三角形，設(shè)AB=a，三棱錐高PO1=h，三棱錐P­ABC的體積V=×a2h=，即a2=，設(shè)OB=R，又OB2=BOOO，R2=(a)2(hR)2，R=，由球O的體積V球=R3知，當(dāng)R最小時(shí)，其外接球體積最小，由R=，當(dāng)且僅當(dāng)=，即h=3時(shí)取等號(hào)，因而三棱錐P­ABC的高為3時(shí)，外接球體積最小，故選D.在三棱錐D­ABC中，已知AD平面ABC，且ABC為正三角形，AD=AB=，點(diǎn)O為三棱錐D­ABC的外接球的球心，則點(diǎn)O到棱

10、DB的距離為()A. B. C. D.【參考答案】答案為：D；解析：設(shè)三棱錐D­ABC的外接球球心為O，過(guò)點(diǎn)O作DB的垂線，垂足為H，作平面ODA交直線BC于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，設(shè)平面ODA截得外接球是O，D， A，F(xiàn)是O表面上的點(diǎn)，又因?yàn)镈A平面ABC，所以DAF=90°，E， 所以DF是O的直徑，因此球心O在DF上，AF是三角形ABC外接圓的直徑，F(xiàn)， 連接BD，BF，因?yàn)锽FDA，BFAB，所以BF平面DAB，所以DBF=90°，因?yàn)镈HO=90°，所以O(shè)HBF，又DO=OF，所以O(shè)H是DBF的中位線，OH=BF，由AB=AD=，三角形外接圓半徑2R=

11、，得AF=2，在RtDAB中，DB=，在RtDAF中，DF=，在RtDBF中，BF=1，故OH=，故選D.二 、填空題在三棱錐P­ABC中，PA=PB=2，AB=4，BC=3，AC=5，若平面PAB平面ABC，則三棱錐P­ABC外接球的表面積為_.【參考答案】答案為：25解析：取AB的中點(diǎn)O，AC的中點(diǎn)O，連接OO，因?yàn)镻A2PB2=AB2，所以PAB是以AB為斜邊的等腰直角三角形，從而點(diǎn)O為PAB外接圓的圓心，又AB2BC2=AC2，所以ABC是以AC為斜邊的直角三角形，從而點(diǎn)O為ABC外接圓的圓心，又因?yàn)镺OBC，所以O(shè)OAB，又因?yàn)槠矫鍼AB平面ABC，且平面PAB平

12、面ABC=AB，所以O(shè)O平面PAB，所以點(diǎn)O為三棱錐P­ABC外接球的球心，所以外接球的半徑R=OA=AC=，故外接球的表面積S=4R2=25.如圖直三棱柱ABC­A1B1C1的六個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的半球面上，AB=AC，側(cè)面BCC1B1是半球底面圓的內(nèi)接正方形，則側(cè)面ABB1A1的面積為_.【參考答案】答案為：.解析：由題意知，球心在側(cè)面BCC1B1的中心O上，BC為截面圓的直徑，所以BAC=90°，ABC的外接圓圓心N是BC的中點(diǎn)，同理A1B1C1的外心M是B1C1的中點(diǎn).設(shè)正方形BCC1B1的邊長(zhǎng)為x.在RtOMC1中，OM=，MC1=，OC1=R=1(R為球的半徑)，所以()2()2=1，即x=，則AB=AC=1，所以S矩形ABB1A1=×1=.如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐SABCD，該四棱錐的體積為，則該半球的體積為_.【參考答案】答案為：.解析：設(shè)所給半球的半徑為R，則棱錐的高h(yuǎn)=R，底面正方形中有AB=BC=CD=DA=R，其體積為R3=，則R3=