1.2積分與其路徑的無關(guān)性ppt課件

1、例：求 其中 為整數(shù)解： 的參數(shù)方程為： ，于是 有CdzzznmRz |2 , 0,Re)(ttzitdtidzitReRznmdzzz|dteiRtnminm20)1(1dtieeRitntimtinmRe20)1sin()1cos(20201dttnmidttnmiRnmnm,. 1,2, 1, 02mniRmnn解解例例 5 . 1 1 (3) ; 1 (2) ; 1 (1) : d ,dRe 2的折線的折線再到再到軸到點(diǎn)軸到點(diǎn)從原點(diǎn)沿從原點(diǎn)沿的弧段的弧段上從原點(diǎn)到點(diǎn)上從原點(diǎn)到點(diǎn)拋物線拋物線的直線段的直線段從原點(diǎn)到點(diǎn)從原點(diǎn)到點(diǎn)為為其中其中計(jì)算計(jì)算ixixyiCzzzzCC (1) 積分

2、路徑的參數(shù)方程為積分路徑的參數(shù)方程為),10()( titttz,d)1(d,Re tiztz 于于是是 CzzdRe 10d)1(tit);1(21i xyoi 11iy=x d)1(d102 ttizzC d)1(102itti (2) 積分路徑的參數(shù)方程為積分路徑的參數(shù)方程為xyoi 11iy=x2xy ),10()(2 titttz,d)21(d,Re ttiztz 于于是是 CzzdRe 10d)21(titt1032322 tit;3221i d Czz 102d)21)(tititt 1023d3)2(ttitt; i xyoi 11iy=x2xy (3) 積分路徑由兩段直線段構(gòu)

3、成積分路徑由兩段直線段構(gòu)成x軸上直線段的參數(shù)方程為軸上直線段的參數(shù)方程為),10()( tttz1到到1+i直線段的參數(shù)方程為直線段的參數(shù)方程為),10(1)( tittz,dd,Re tztz 于于是是,dd, 1Re tizz 于是于是 CzzdRe 10dtt 10d1ti.21i dd10 ttzzC d)1(10 tiit. i 注意注意1與積分路徑有關(guān)。與積分路徑有關(guān)。徑無關(guān)，但曲線積分徑無關(guān)，但曲線積分與積分路與積分路可以看出，曲線積分可以看出，曲線積分從例從例 CCd)Re(d5 zzzz這和高等數(shù)學(xué)中的曲線積分與路徑無關(guān)的關(guān)系這和高等數(shù)學(xué)中的曲線積分與路徑無關(guān)的關(guān)系 ？觀察上

4、一節(jié)最后兩例題后發(fā)現(xiàn)： 有的函數(shù)的積分只依賴于積分路徑的起點(diǎn)與終點(diǎn)，而與積分路徑的形狀無關(guān)，而有的函數(shù)，其積分不僅與積分路徑的起點(diǎn)與終點(diǎn)有關(guān)，而且與積分路徑的形狀還有關(guān)前一類函數(shù)是解析函數(shù)曉得 f(z)=1也是解析函數(shù)，其積分也只依賴于積分路徑的起點(diǎn)與終點(diǎn)，而與積分路徑的形狀無關(guān)由此，我們可提出猜想： 解析函數(shù)的積分只依賴于積分路徑的起點(diǎn)與終點(diǎn)，而與積分路徑的形狀無關(guān) 3-2 積分與其路徑的無關(guān)性一、復(fù)積分與其積分路徑無關(guān)的條件二、解析函數(shù)的原函數(shù)和在積分計(jì)算中的應(yīng)用三、復(fù)閉路定理和閉路變形原理命題命題1 1 設(shè)設(shè) 和和 在單連在單連域域D D內(nèi)連續(xù)，積分路徑內(nèi)連續(xù)，積分路徑C C在在D D內(nèi)

5、，且內(nèi)，且記記 ，則該積分與在，則該積分與在D D內(nèi)內(nèi)的積分路徑無關(guān)的充要條件為對的積分路徑無關(guān)的充要條件為對D D內(nèi)的任內(nèi)的任何閉路何閉路C C其積分值其積分值I=0I=0。),(yxpp CqdypdxI),(yxqq 命題命題2 2 設(shè)設(shè) 和和 在單連域在單連域D D內(nèi)內(nèi)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù) 和和 ，且滿足條件，且滿足條件則對則對D D內(nèi)的任何簡單閉路內(nèi)的任何簡單閉路C C有有),(yxpp ),(yxqq ypxq),(DyxxqypCqdypdx01. Cauchy積分定理積分定理首先介紹高等數(shù)學(xué)中的首先介紹高等數(shù)學(xué)中的Green定理定理: )( ),(),( 的的取

6、取正正向向的的邊邊界界曲曲線線。是是其其中中，則則有有：，上上具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在及及數(shù)數(shù)圍圍成成，函函由由分分段段光光滑滑曲曲線線設(shè)設(shè)單單連連通通區(qū)區(qū)域域DLQdyPdxdxdyyPxQDyxQyxPLDLD 柯西積分定理柯西積分定理. 0d)( , )( czzfCJordanDDzf有有曲線曲線內(nèi)的任一可求長的內(nèi)的任一可求長的上的解析函數(shù)，則對上的解析函數(shù)，則對是單連通區(qū)域是單連通區(qū)域設(shè)設(shè)DC說明：該定理的主要部分是說明：該定理的主要部分是Cauchy于于1825年建立；年建立；它是復(fù)變函數(shù)理論的基礎(chǔ)。它是復(fù)變函數(shù)理論的基礎(chǔ)。試著證明試著證明 Cauchy 積分定理積

7、分定理: )(dxdyyPxQQdyPdxDL Czzfd)( Cyvxudd Cyuxvdd i 由由Green公式公式 Cyvxudd )(dxdyyuxvD 0 Cyuxvdd dxdyyvxuD 0 該定理的證明如此簡單？改進(jìn)的改進(jìn)的Green定理定理: )( ,),(),( 的取正向的邊界曲線。的取正向的邊界曲線。是是其中，其中，上連續(xù)，則有：上連續(xù)，則有：在在，且，且上存在上存在在在及及數(shù)數(shù)圍成，函圍成，函由分段光滑曲線由分段光滑曲線設(shè)單連通區(qū)域設(shè)單連通區(qū)域DLQdyPdxdxdyyPxQDyPxQxQyPDyxQyxPLDLD 1925年年 Cauchy 建立該定理時(shí)，對建立該定

8、理時(shí)，對 u, v 加了導(dǎo)數(shù)連加了導(dǎo)數(shù)連續(xù)性條件；續(xù)性條件；Gaursat 去掉了導(dǎo)數(shù)連續(xù)性的假設(shè)。去掉了導(dǎo)數(shù)連續(xù)性的假設(shè)。Cauchy 積分定理的證明積分定理的證明: Czzfd)( Cyvxudd Cyuxvdd i Cyvxudd )(dxdyyuxvD 0 Cyuxvdd dxdyyvxuD 0 上可微，且上可微，且在在解析，解析，由由Dvuzf,)(0 xvyu0 yvxu由改進(jìn)的由改進(jìn)的Green公式公式 czzf. 0d)(注意注意2 2 若曲線若曲線 C C 是區(qū)域是區(qū)域 D D 的邊界的邊界, , )( zf函函數(shù)數(shù)則則上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)域域 , CDD , 內(nèi)解析內(nèi)解

9、析在在D注意注意1 1 定理中的定理中的 C C 可以不是簡單曲線可以不是簡單曲線. .DC 注意注意3 定理的條件必須是定理的條件必須是“單連通區(qū)域單連通區(qū)域”.注意注意4 4 定理不能反過來用定理不能反過來用. . . )( , 0d)( 內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析在在而說而說即不能由即不能由CzfzzfC ;2321 1)( :內(nèi)內(nèi)在圓環(huán)域在圓環(huán)域例如例如 zzzf . 11)( :2內(nèi)內(nèi)在在例如例如 zzzf解解例例 1 1 1.d321 zzz計(jì)算積分計(jì)算積分 , 1 321 內(nèi)解析內(nèi)解析在在函數(shù)函數(shù) zz根據(jù)根據(jù)Cauchy積分定理積分定理, 有有 1. 0d321zzz例例 2 2.d

10、)1(1 212 izzzz計(jì)算積分計(jì)算積分解解,11211)1(12 izizzzz , 21 1 1 上上解解析析都都在在和和因因?yàn)闉?izizz根據(jù)根據(jù)Cauchy積分定理得積分定理得 212d)1(1izzzz 21d1211211izzizizz 212121d121d121d1izizizzizzizzz0 21d121izzizi 221. i 一、復(fù)積分與其積分路徑無關(guān)的條件一、復(fù)積分與其積分路徑無關(guān)的條件 定理定理1 Cauchy1 Cauchy積分定理積分定理 若函數(shù)若函數(shù) 在簡單閉曲線在簡單閉曲線C C上及其內(nèi)部解上及其內(nèi)部解析，則一定有析，則一定有)(zfcdzzf0)

11、(Cauchy-GoursatCauchy-Goursat基本定理基本定理 假設(shè)假設(shè) 在單連域在單連域D D內(nèi)解析，則對內(nèi)解析，則對D D內(nèi)的任內(nèi)的任何閉路有何閉路有cdzzf0)()(zf 定理定理2 2 復(fù)積分與其積分路徑的無關(guān)性復(fù)積分與其積分路徑的無關(guān)性zzdzzfzF0)()( 若函數(shù)若函數(shù) 在單連域在單連域D D內(nèi)解析，則它在內(nèi)解析，則它在D D內(nèi)內(nèi)從定點(diǎn)從定點(diǎn)z0z0到動點(diǎn)到動點(diǎn)z z的積分值與在的積分值與在D D內(nèi)所取路徑無內(nèi)所取路徑無關(guān)，而只與動點(diǎn)關(guān)，而只與動點(diǎn)z z有關(guān)。有關(guān)。)(zfD D內(nèi)積分值為內(nèi)積分值為z z的單值函數(shù)的單值函數(shù), ,可簡記為：可簡記為：(3-2-1)

12、(3-2-1)例例 計(jì)算積分計(jì)算積分 解解 因?yàn)橐驗(yàn)?均在復(fù)平面上解析，均在復(fù)平面上解析， 所以，它們的和在一包含積分路徑所以，它們的和在一包含積分路徑 的單連通區(qū)域的單連通區(qū)域G G內(nèi)解析，而積分路徑內(nèi)解析，而積分路徑 是圍線，是圍線， 所以，由定理得所以，由定理得 顯然，該例所用方法是最簡單的顯然，該例所用方法是最簡單的1. 原函數(shù)的概念. )( )( , )()( , )( )( 的原函數(shù)的原函數(shù)內(nèi)內(nèi)在區(qū)域在區(qū)域?yàn)闉槟悄┓Q那末稱即即內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為在區(qū)域在區(qū)域如果函數(shù)如果函數(shù)定義定義DzfzzfzzfDz 原函數(shù)之間的關(guān)系原函數(shù)之間的關(guān)系: : . )(一個(gè)常數(shù)一個(gè)常數(shù)的任何兩個(gè)原函

13、數(shù)相差的任何兩個(gè)原函數(shù)相差zf內(nèi)內(nèi)必必是是解解析析函函數(shù)數(shù)。在在區(qū)區(qū)域域，則則函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)存存在在原原函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)域域如如果果 )( )( )(DzfzDzf 二、解析函數(shù)的原函數(shù)和在積分計(jì)算中的應(yīng)用二、解析函數(shù)的原函數(shù)和在積分計(jì)算中的應(yīng)用 )()()()( zHzGzHzG 那那末末0)()( zfzf .)()( czHzG 于是于是) ( 為任意常數(shù)為任意常數(shù)c , )( )( zFBzf內(nèi)有一個(gè)原函數(shù)內(nèi)有一個(gè)原函數(shù)在區(qū)域在區(qū)域如果如果那末它就有無窮多個(gè)原函數(shù)那末它就有無窮多個(gè)原函數(shù), . )()(為為任任意意常常數(shù)數(shù)一一般般表表達(dá)達(dá)式式為為cczF 根據(jù)以上討論可知根據(jù)以上討論可知

14、:證證 , )( )( )( 的的任任何何兩兩個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)是是和和設(shè)設(shè)zfzHzG類似于高等數(shù)學(xué)的結(jié)果，可以得到類似于高等數(shù)學(xué)的結(jié)果，可以得到 . d)( , )( 無關(guān)無關(guān)線線與連結(jié)起點(diǎn)及終點(diǎn)的路與連結(jié)起點(diǎn)及終點(diǎn)的路那末積分那末積分內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析在單連通區(qū)域在單連通區(qū)域若函數(shù)若函數(shù)CzzfDzfC 由此結(jié)論可知由此結(jié)論可知: 解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分只與起點(diǎn)解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)和終點(diǎn)有關(guān), 即：即：D 0z1z 1C2CD 0z1z 1C2C , , 10zz終點(diǎn)為終點(diǎn)為如果起點(diǎn)為如果起點(diǎn)為 21d)(d)(CCzzfzzf 10d)(zzzzf記為記為

15、, , , 110zzBzz 并并令令內(nèi)內(nèi)變變動動在在讓讓如如果果固固定定 .d)()( 0 zzfzFD 內(nèi)的一個(gè)單值函數(shù)內(nèi)的一個(gè)單值函數(shù)便可確定便可確定 . )()( , d)()( , )( 0zfzFDfzFDzfzz 并且并且內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù)內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù)必為必為函數(shù)函數(shù)則則內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析在單連通域在單連通域如果函數(shù)如果函數(shù) .)( d)()( 0的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)是是可可以以證證明明zffzFzz 2. Newton-Leibniz 公式. , )()(d )( , )( )( , )( 100110內(nèi)內(nèi)的的兩兩點(diǎn)點(diǎn)為為域域這這里里那那末末的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)為為

16、內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析在在單單連連通通域域如如果果函函數(shù)數(shù)BzzzGzGzzfzfzGBzfzz 說明說明: : 有了以上定理有了以上定理, , 復(fù)變函數(shù)的積分就可以復(fù)變函數(shù)的積分就可以用與微積分學(xué)中類似的方法去計(jì)算用與微積分學(xué)中類似的方法去計(jì)算. .證證 , )( d)( 0的的原原函函數(shù)數(shù)也也是是因因?yàn)闉閦fzzfzz ,)( d)( 0czGzzfzz 所所以以 , 0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)zz 根據(jù)根據(jù) Cauchy 積分定理積分定理, , )( 0zGc 得得 , )()( d)( 00zGzGzzfzz 所所以以 . )()( d)( 0110zGzGzzfzz 或或例例1 1解解 . d 10的

17、值的值求求 zzzz , 是解析函數(shù)是解析函數(shù)因?yàn)橐驗(yàn)?z ,21 2z它的原函數(shù)是它的原函數(shù)是 21 d 10102zzzzzzz ).(212021zz 例例2 2. dcos 02的值的值求求 izzz解解 izzz02dcos izz022dcos21iz 02sin21)sin(212 .sin212 例例3 3. dcos 0的值的值求求 izzz解解 , cos 是解析函數(shù)是解析函數(shù)因?yàn)橐驗(yàn)閦z ,cossin zzz 它它的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)是是 izzz0dcosizzz0cossin 1cossin iii12211 eeieei. 11 e例例4 4. d 11的值的

18、值求求 izzze解解利用分部積分法可得利用分部積分法可得 ,)1( zzezze 的一個(gè)原函數(shù)為的一個(gè)原函數(shù)為 izzze11dizez 11)1(iie 1).1sin1(cosiie 三、復(fù)閉路定理和閉路變形原理三、復(fù)閉路定理和閉路變形原理問題：如果問題：如果G G是復(fù)連通區(qū)域，那么，定理是否仍是復(fù)連通區(qū)域，那么，定理是否仍然有效？然有效？ , , , , , , , , , , , 2121DCCCCCCCCDCnn為為邊邊界界的的區(qū)區(qū)域域全全含含于于并并且且以以互互不不包包含含也也互互不不相相交交它它們們內(nèi)內(nèi)部部的的簡簡單單閉閉曲曲線線是是在在內(nèi)內(nèi)的的一一條條簡簡單單閉閉曲曲線線多多

19、連連通通域域?yàn)闉樵O(shè)設(shè) , )( 內(nèi)內(nèi)解解析析在在如如果果DzfDC1C2C3C那末那末,d)(d)(1 nkCCkzzfzzf ; 均取正方向均取正方向及及其中其中kCC);(,4321如如圖圖作作兩兩條條輔輔助助線線AAAA, 2 n設(shè)設(shè)證明證明DCA1A2A3A4C1C2EFGIH構(gòu)構(gòu)成成的的邊邊界界，為為這這樣樣IEAHAAGAAFAAEA12344321 積積分分定定理理，所所圍圍區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)解解析析，由由在在Cauchyzf )( . 0d)(zzfIEIAEAC 11 IEIAAAHAHAAAGAGAAAFAFAAAEA 1122334444332211 又又23321 HAHAF

20、AFAC 442 GAGAC 21. 0d)(CCCzzf CCCzzfzzfzzf210d)(d)(d)( CCCzzfzzfzzf21d)(d)(d)(當(dāng)當(dāng) n 為其它值時(shí)，可同樣證明。為其它值時(shí)，可同樣證明。特殊情況：閉路變形原理特殊情況：閉路變形原理 , )( )( 如圖如圖在多連通域內(nèi)解析在多連通域內(nèi)解析設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)zf ),( 1正正向向?yàn)闉槟婺鏁r(shí)時(shí)針針方方向向單單閉閉曲曲線線內(nèi)內(nèi)的的任任意意兩兩條條簡簡為為及及DCC. 11DDCC全含于全含于為邊界的區(qū)域?yàn)檫吔绲膮^(qū)域及及DC1C1D CCzzfzzf1d)(d)(由復(fù)合閉路原理由復(fù)合閉路原理這就是閉路變形原理這就是閉路變形原理解

21、析函數(shù)沿閉曲線的積分解析函數(shù)沿閉曲線的積分, ,不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值. .DC1C1D CCzzfzzf1d)(d)(在變形過程中曲線不經(jīng)過函在變形過程中曲線不經(jīng)過函數(shù)數(shù) f(z) f(z) 的不解析的點(diǎn)的不解析的點(diǎn). .說明：說明：意義意義1.1.揭示了解析函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)揭示了解析函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)在一定條件下，在一定條件下，解析函數(shù)沿復(fù)連通區(qū)域邊界的積分等于零；解析函數(shù)沿復(fù)連通區(qū)域邊界的積分等于零；2.2.提供了一種計(jì)算函數(shù)沿圍線積分的方法提供了一種計(jì)算函數(shù)沿圍線積分的方法閉路變形原理： 解析函數(shù)積分的積分路徑作不經(jīng)過被積函數(shù)奇點(diǎn)的連續(xù)變形，其積分值保持不變。3.3.典型例題典型例題例例1 1解解 . 1 ,d12 2曲曲線線在在內(nèi)內(nèi)的的任任何何正正向向簡簡單單閉閉為為包包含含圓圓周周計(jì)計(jì)算算積積分分 zzzzz, 1 0 12 2 zzzzz和和內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)在復(fù)平面在復(fù)平面因?yàn)楹瘮?shù)因?yàn)楹瘮?shù)依題意知依題意知, xyo 1 包含這兩個(gè)奇點(diǎn)，包含這兩個(gè)奇點(diǎn)， , 21CC 和和不不相相交交的的正正向向圓圓周周內(nèi)內(nèi)作作兩兩個(gè)個(gè)互互不不包包含含也也互互在在 xyo 1 , 0 1 zC 只包含奇點(diǎn)只