第1章矢量分析與場論

1、電磁場與微波技術(shù)電磁場與微波技術(shù)教教 師：王珍師：王珍辦公地點(diǎn)：辦公地點(diǎn)：A2-128聯(lián)系電話：聯(lián)系電話：84832241Email ：wangzhen_2v課程介紹課程介紹v學(xué)習(xí)電磁場理論的學(xué)習(xí)電磁場理論的意義意義v本課程的性質(zhì)、任務(wù)和本課程的性質(zhì)、任務(wù)和要求要求v考核方式與評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)考核方式與評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)v學(xué)習(xí)方法學(xué)習(xí)方法緒論緒論31.電磁場與電磁波電磁場與電磁波2.高頻電子線路高頻電子線路3.信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)4.通信原理通信原理通信工程通信工程專業(yè)專業(yè)“四大天書四大天書”4課程介紹：課程介紹：56 GPS是美國國防部投資是美國國防部投資100億美元，歷時(shí)億美元，歷時(shí)20余年開發(fā)成功的一余年

2、開發(fā)成功的一種無線電導(dǎo)航定位系統(tǒng)。種無線電導(dǎo)航定位系統(tǒng)。1993年用于民用年用于民用.GPS是一個(gè)全球性無線電導(dǎo)航定位、定時(shí)多功能系統(tǒng)。是一個(gè)全球性無線電導(dǎo)航定位、定時(shí)多功能系統(tǒng)。就是在外太空設(shè)置一個(gè)就是在外太空設(shè)置一個(gè)“無線電導(dǎo)航臺(tái)無線電導(dǎo)航臺(tái)”。由由24顆人造衛(wèi)星組成的衛(wèi)星網(wǎng)，距地球顆人造衛(wèi)星組成的衛(wèi)星網(wǎng)，距地球2萬多公里。萬多公里。向地球不斷發(fā)射定位信號。地球上的向地球不斷發(fā)射定位信號。地球上的GPS接收機(jī)，均能接收到接收機(jī)，均能接收到4顆以上的衛(wèi)星發(fā)出的信號，經(jīng)過計(jì)算后，就可報(bào)出顆以上的衛(wèi)星發(fā)出的信號，經(jīng)過計(jì)算后，就可報(bào)出GPS接收接收機(jī)的位置（經(jīng)度、緯度、高度）、時(shí)間和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（速度

3、、航機(jī)的位置（經(jīng)度、緯度、高度）、時(shí)間和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（速度、航向）向）7v世界上有美國、俄羅斯（世界上有美國、俄羅斯（Glonass）和歐洲和歐洲“伽利伽利略略”（我國參股）、（我國參股）、北斗系統(tǒng)。北斗系統(tǒng)。 GNSSGNSS。n中國北斗衛(wèi)星導(dǎo)航定中國北斗衛(wèi)星導(dǎo)航定位系統(tǒng)：位系統(tǒng)：5顆靜止軌顆靜止軌道衛(wèi)星和道衛(wèi)星和30顆非靜止顆非靜止軌道衛(wèi)星，提供開放軌道衛(wèi)星，提供開放服務(wù)和授權(quán)服務(wù)。服務(wù)和授權(quán)服務(wù)。n現(xiàn)在有現(xiàn)在有11顆，定位精顆，定位精度達(dá)到度達(dá)到10米以內(nèi)。米以內(nèi)。82012年年2月發(fā)射第月發(fā)射第11顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星(第第9顆組網(wǎng)衛(wèi)星顆組網(wǎng)衛(wèi)星 )9國產(chǎn)北斗海上搜索定位系統(tǒng)國產(chǎn)北

4、斗海上搜索定位系統(tǒng)“北斗北斗”導(dǎo)航衛(wèi)星導(dǎo)航衛(wèi)星北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)2012年年12月月27日起向亞太大部分地區(qū)正式提日起向亞太大部分地區(qū)正式提供區(qū)域服務(wù)，包括定位、導(dǎo)航、雙向授時(shí)和短報(bào)文信息服務(wù)。供區(qū)域服務(wù)，包括定位、導(dǎo)航、雙向授時(shí)和短報(bào)文信息服務(wù)?；拘阅芑拘阅? 位置精度平面位置精度平面10米、高程米、高程10米；測速精度每秒米；測速精度每秒0.2米；米；授時(shí)精度單向授時(shí)精度單向50納秒。納秒。10n微電子器件與電路微電子器件與電路n微波工程與射頻工程微波工程與射頻工程n無線通信無線通信n生物醫(yī)學(xué)工程生物醫(yī)學(xué)工程n光通信光通信n電氣工程電氣工程電電 磁磁 理理 論論1112

5、GHz frequency rangeCellular phones, pagers, satellite phones GHz frequency rangeBiomedical equipment Implants inside the human bodyWearable wireless devices Land warriorRemote sensing AstronomyRFID and Tagging Inventory and securityGPS NavigationBluetooth and WLAN，UWB Short distance communicationVeh

6、icle Doppler radar collision avoidancePolice Radio Communication1314公元前公元前600 希臘希臘 摩擦后的琥珀可吸引微小物體摩擦后的琥珀可吸引微小物體公元前公元前300中國中國 磁石吸鐵磁石吸鐵公元初中國公元初中國 世界上第一個(gè)指南針世界上第一個(gè)指南針地球磁場地球磁場1785年法國年法國 庫侖庫侖(17361806)定律定律1820年丹麥丹麥年丹麥丹麥 奧斯特奧斯特(17771851)發(fā)現(xiàn)電流的磁場；發(fā)現(xiàn)電流的磁場；法國物理學(xué)家畢奧和薩伐爾通過實(shí)法國物理學(xué)家畢奧和薩伐爾通過實(shí)驗(yàn)總結(jié)出了畢奧薩伐爾定律驗(yàn)總結(jié)出了畢奧薩伐爾定律18

7、20年法國年法國 安培安培(17751836) 電流回路電流回路間作用力，間作用力，安培定律安培定律。 1822年安培提出一切磁現(xiàn)象的根源是電流的假說年安培提出一切磁現(xiàn)象的根源是電流的假說151831年英國年英國 法拉第電磁感應(yīng)定律法拉第電磁感應(yīng)定律變化的磁場產(chǎn)生電場變化的磁場產(chǎn)生電場 1887年德國年德國 赫茲赫茲 (18571894)實(shí)驗(yàn)麥?zhǔn)戏匠探M實(shí)驗(yàn)麥?zhǔn)戏匠探M電磁波的存在電磁波的存在1873年英國英國年英國英國 麥克斯韋麥克斯韋(18311879)位移電流位移電流, ,時(shí)變電場產(chǎn)生磁場時(shí)變電場產(chǎn)生磁場 麥?zhǔn)戏匠探M麥?zhǔn)戏匠探M16v如果介質(zhì)的如果介質(zhì)的和和都小于零，電磁波能在其中傳播。但是都

8、小于零，電磁波能在其中傳播。但是 E 、H 、k 之間不再滿足右手螺旋關(guān)系而是滿足左手螺旋關(guān)系。這之間不再滿足右手螺旋關(guān)系而是滿足左手螺旋關(guān)系。這種介質(zhì)被稱為種介質(zhì)被稱為“左手材料左手材料”（Left-Handed Metamaterials)右手材料(e 0, m 0)右手材料(e 0, m 0)左手材料(e 0, m 0 (有正源) 0 (有負(fù)源) = 0 (無源)1.2.2矢量場的散度矢量場中穿過閉合曲面的通量是一個(gè)積分量，它反映的是閉合曲面中源的總特性，不能反映場域內(nèi)每一個(gè)點(diǎn)的通量特性。為了反映場域內(nèi)每一個(gè)點(diǎn)的通量特性，我們需要把包圍該點(diǎn)的閉合曲面向該點(diǎn)無限的收縮，進(jìn)而，我們引入矢量場

9、散度的概念。在矢量場中任一點(diǎn)P處做一個(gè)包圍該點(diǎn)的閉合曲面S，當(dāng)閉合曲面S所限定的體積 以任意方式無限趨近于0時(shí)，比值 的極限稱為矢量A在點(diǎn)P 處的散度，記為 ，即 （1-12）VVSASdAdivVSAASddivV0lim由散度的定義可知：（1）散度是標(biāo)量，它是場矢量通過某點(diǎn)處單位體積的通量，即通量體密度。散度的大小描述了場中該點(diǎn)的通量源的強(qiáng)度；（2）散度的正負(fù)反映場中該點(diǎn)通量源的性質(zhì)。若 ，則該點(diǎn)處有發(fā)出矢量線的正通量源；若 ，則該點(diǎn)處有匯集矢量線的負(fù)通量源；若 ，則該點(diǎn)處無通量源。0A div0A div0A div在直角坐標(biāo)系中，若矢量 表示為 ，則矢量 的散度可以通過下式計(jì)算（推導(dǎo)過

10、程省略） （1-13）式（1-13）表明，矢量的散度是標(biāo)量，其值等于該矢量在三個(gè)坐標(biāo)方向分量沿各自方向變化率之和；式中，符號“ ”稱為哈密頓算符，也稱為矢量微分算子，表示的是下面的矢量運(yùn)算形式 （1-14）AxyzAAAAijkAyxzAAAdivxyz AAkjizyx式（1-14）表明，哈密頓算符兼有矢量和微分運(yùn)算雙重功能，當(dāng)它作用于某矢量時(shí)，先按矢量規(guī)則展開，再作微分運(yùn)算。下面以式（1-13）得來過程為例，看一下哈密頓算符的使用方法 ()xyzAAAxyzAijkijkyxzAAAxyz A= 0 A= 0 ( (無源無源） A A= = 0 0 ( (負(fù)負(fù)源源) ) A= A= 0 0

11、 ( (正源正源) )解 （1）根據(jù)已知，把電位移矢量寫成直角坐標(biāo)系中的形式為322224()i+ j+ kDi+j+kxyzqxyzDDDxyz對電位移矢量三個(gè)坐標(biāo)軸上的分量分別求對應(yīng)方向的偏導(dǎo)數(shù)為同理可得其他兩個(gè)分量的導(dǎo)數(shù)分別為電位移矢量的散度為322223122222222222 33262254()3()()224()3434xDqxxxxyzxyzxxyzxqxyzq rx rrq rxr 22534yDq ryyr22534zDq rzzr2222533()04DyxzDDDqrxyzxyzr可見，除點(diǎn)電荷所在源點(diǎn)（ ）外，空間各點(diǎn)的電位移矢量的散度為零，即場中其他位置無發(fā)散源。

12、（2）根據(jù)通量的計(jì)算式，可得閉合面的通量為此結(jié)果表明，在此球面上所穿過的電通量 的源正是點(diǎn)電荷 。0r 3244Dsr eensssqqddsdsqrr eq1.2.3散度定理由前面的分析可知，矢量場在某點(diǎn)的散度表示的是該處單位體積的通量，由此可得，矢量場散度的體積分應(yīng)等于該矢量場通過包圍該體積的封閉面的總通量（具體推導(dǎo)過程從略），即 （1-15）AAsVsdvd式（1-15）表達(dá)的內(nèi)容稱為散度定理（也稱為高斯定理）：矢量場中某矢量的散度在體積V上的體積分等于該矢量在包圍該體積的閉合面S上的面積分。散度定理給出了矢量的散度的體積分與該矢量的閉合曲面積分之間的一個(gè)變換關(guān)系，是矢量分析中的一個(gè)重要

13、的恒等式，在以后學(xué)習(xí)的電磁場理論中會(huì)經(jīng)常用到。例題1-7 已知球面 上任意點(diǎn)的位置矢量為 （ 為球面上沿徑向的單位矢量）。試求： 。解 根據(jù)已知，先求解矢量的散度為根據(jù)散度定理，矢量在閉合面上的面積分等于矢量散度在閉合面包圍體積上的體積分，即Sri+ j+ k = erxyzrerrssd3yxzrrrxyzr =3343343rsrsVVddvdvrr 1.3矢量場的環(huán)流與旋度 矢量場的環(huán)流與旋度也是描述矢量場性質(zhì)的重要物理量，通過這兩個(gè)場量的分析可以得到場域的漩渦性及場中某點(diǎn)的漩渦源的性質(zhì)。1.3.1矢量場的環(huán)流矢量 沿場中某一閉合路徑的線積分，稱為矢量 沿該路徑的環(huán)流，記為 （1-16）

14、 式（1-16）中， 為閉合路徑上線元矢量，其大小為 ，方向?yàn)樵撎幝窂降那芯€方向（指向路徑的繞行正方向一側(cè)），如圖1-3所示；一般的，閉合路徑的繞行正方向規(guī)定為：當(dāng)沿著閉合路徑的繞行正方向前進(jìn)時(shí)閉合路徑所包圍的面積在其左側(cè)，而路徑包圍面積的法向規(guī)定為與路徑繞行方向成右手螺旋關(guān)系。AAAlld dll d圖圖1-3 路徑正方向路徑正方向矢量場的場矢量沿閉合路徑的環(huán)流與矢量穿過閉合曲面的通量一樣，都是描述矢量場性質(zhì)的重要的量。例如，普通物理電磁學(xué)中研究的靜電場中電場強(qiáng)度的環(huán)流為零，即 ，為什么呢？環(huán)流為零反映了場怎樣的性質(zhì)呢？0El =ld 分析如下：靜電場場強(qiáng)沿閉合路徑的線積分之所以為零，是因?yàn)?/p>

15、靜電場中場強(qiáng)線是有頭有尾，不閉合的線，場矢量沿閉合路徑進(jìn)行線積分時(shí)，會(huì)出現(xiàn)正負(fù)量相互抵消情況，進(jìn)而使得閉合路徑的總積分為零。反過來，如果一個(gè)矢量場中，場矢量沿閉合路徑線積分為零，我們可以推斷此場中的場線是有頭有尾的線，不是閉合的場線，即這樣的場中沒有產(chǎn)生閉合場線的源；再如，恒定磁場的安培環(huán)路定理表明：磁場強(qiáng)度 沿閉合路徑的環(huán)流等于閉合路徑內(nèi)包圍的電流的代數(shù)和，即 ，這又如何分析，又反映了場怎樣的性質(zhì)呢？H與前面類似，可分析如下：恒定磁場中磁場強(qiáng)度沿閉合路徑的線積分之所以不為零，是因?yàn)楹愣ù艌鲋袌鼍€是無頭無尾的閉合線，場矢量沿閉合路徑進(jìn)行線積分時(shí)，不會(huì)出現(xiàn)正負(fù)量相互抵消的情況。反過來，如果一個(gè)矢

16、量場中，場矢量沿閉合路徑的線積分不為零，我們則可以推斷這個(gè)場中的場線是無頭無尾的閉合線，這樣的場中有產(chǎn)生閉合場線的源，我們稱之為漩渦源漩渦源。恒定磁場中的渦旋源即是閉合回路包圍的電流。綜合以上可知：矢量場中場矢量的環(huán)流是否為零反映了場中該區(qū)域是否有漩渦源，場是否具備漩渦性。Hl =ldI1.3.2矢量場的旋度與矢量通過閉合面的通量一樣，矢量沿閉合路徑的環(huán)流也是場中一個(gè)區(qū)域的積分量，反映的是場中一個(gè)宏觀大區(qū)域的性質(zhì)。為反映場中給定點(diǎn)P附近的環(huán)流狀態(tài)，我們需要把閉合曲線向P點(diǎn)無限縮小，使它包圍的面積 趨近于零，極限 稱為矢量 在P點(diǎn)處的環(huán)流面密度，或稱環(huán)流強(qiáng)度。s0limA llsds A由環(huán)流面

17、密度的定義式可知，回路包圍的面積可以多種選擇，所取面元 的方向也不盡相同，對應(yīng)于一個(gè)閉合回路的環(huán)流面密度會(huì)有多個(gè)結(jié)果，為方便不同的場之間的比較，我們用場中某點(diǎn)矢量環(huán)流面密度的最大值作為衡量標(biāo)準(zhǔn)，并定義其為矢量的旋度：矢量的旋度大小等于該處環(huán)流面密度的最大值，方向沿著使環(huán)流面密度取得最大值的面元的法線方向。矢量的旋度記為rot （或curl ），即 （1-17）矢量的旋度反映的是場中某點(diǎn)處的漩渦源的強(qiáng)度。對于場中某點(diǎn)，當(dāng) 時(shí)，表明該處無漩渦源。若場中某區(qū)域處處 ，則稱該區(qū)域?yàn)闊o旋場或保守場；當(dāng) ，表明該處有漩渦源。sAA0maxlimA lAelnsdrots 0Arot0Arot0Arot直角

18、坐標(biāo)系中，矢量函數(shù) 的旋度可以通過下式計(jì)算（推導(dǎo)過程省略） （1-18）此式也可用行列式計(jì)算為 （1-19）kjiA)()()()(tAtAtAtzyxxyzrotAAAxyz AA ijkijkxyzxyzAAAijkA例題1-8 已知描述場的矢量函數(shù)為 試求：場中點(diǎn) 處矢量的旋度。解 由旋度的計(jì)算公式，可得帶入P點(diǎn)坐標(biāo)值，可得矢量在P點(diǎn)的旋度為 2()Aijkxyyzxz(1,2,1)P2()ijkAxyzxyyzxz22()()()()()()2()ij+kki+jijkxzxyyzxyyzxzyzxyzxyzxy 26AijkP 1.3.3斯托克斯定理由前面的分析可知，矢量場在某點(diǎn)的旋

19、度是環(huán)流的面密度，表示的是場中該處單位面積的環(huán)流，由此可知，矢量場旋度的面積分應(yīng)等于該矢量沿包圍面積的閉合環(huán)路的總環(huán)流（具體推導(dǎo)過程從略），即 （1-20）式（1-20）表達(dá)的內(nèi)容稱為斯托克斯定理：矢量場中某矢量的旋度在面積S上的面積分等于該矢量沿包圍該面積的閉合回路L上的線積分。斯托克斯定理給出了矢量的旋度的面積分與該矢量沿閉合回路線積分之間的一個(gè)變換關(guān)系，是矢量分析中的另外一個(gè)重要的恒等式，在以后學(xué)習(xí)的電磁場理論中也會(huì)經(jīng)常用到。AsAlsldd例題1-9已知描述矢量場的函數(shù)為試求：（1）矢量沿閉合回路 的環(huán)流；（2）矢量的旋度表達(dá)式；（3）對于此閉合回路驗(yàn)證斯托克斯定理。解 （1）由于閉合

20、回路在XOY平面上，線元可表示為 ，如圖1-4所示。根據(jù)環(huán)流公式，有 22(2)()()Ai -j -kxyyzy z222(0)xyazlijddxdy圖圖1-4 例題例題1-9用圖用圖()A lAijllddxdy22(2)()() ()i -j -kijlxyyzy zdxdy 根據(jù)已知，上式中 ，則有 此式中有兩個(gè)積分變量，為統(tǒng)一變量，設(shè)線元對應(yīng)半徑與OX軸正向夾角為 ，則線元所在處坐標(biāo)可分別表示為帶入上式，則有 0z (2) ()A liijlldxydxdy(2)lxy dxcosxasinya20(2 cossin )(sin )Alldaaad22220sin(2 )sinaa

21、d2a（2）根據(jù)旋度公式，利用行列式計(jì)算可得 （3）閉合回路包圍面積的法向?yàn)閦軸正向，對于閉合回路包圍的面積計(jì)算矢量旋度的面積分，可得比較此結(jié)果與（1）問結(jié)果，可知斯托克斯定理得證。222ijkAxyzxyyzy z( 22)(00)(0 1)=i+j+kkyzyz 2Ask ksssddsdsa（）AsAlsldd（）1.4標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度在矢量場中，我們常引入矢量場線來形象描述場的特性及場中矢量分布情況。在標(biāo)量場中，我們則常引入等值面來形象描述場的特性及空間分布情況。在標(biāo)量場中，描述場的標(biāo)量函數(shù)取得相同數(shù)值的點(diǎn)構(gòu)成的空間曲面，稱為等值面。例如，在電場中，電位相等的點(diǎn)構(gòu)成的等值面稱為等

22、位面；再如，在溫度場中，由溫度相同的點(diǎn)構(gòu)成等溫面。等值面具有如下特點(diǎn)：（1）標(biāo)量場中，不同的等值面對應(yīng)于不同的標(biāo)量值，標(biāo)量場的分布情況可以用一族等值面進(jìn)行描述；（2）標(biāo)量場中任意一點(diǎn)都對應(yīng)于一個(gè)確切的標(biāo)量值，因而場中的任意兩個(gè)等值面互不相交。1.4.1標(biāo)量場的方向?qū)?shù)等值面描述場的分布情況，但不能描述一個(gè)區(qū)域場的變化情況，為描述標(biāo)量場中任一點(diǎn)的附近區(qū)域標(biāo)量變化規(guī)律，我們引入標(biāo)量場的方向?qū)?shù)和梯度的概念。標(biāo)量 在場中某點(diǎn)P處沿 方向?qū)嚯x的變化率稱為 沿 方向的方向?qū)?shù)，記為 。標(biāo)量的方向?qū)?shù)是標(biāo)量，只有大小和正負(fù)，但無方向。標(biāo)量場中某點(diǎn)的方向?qū)?shù)大于零，則標(biāo)量沿 方向是增加的；若某點(diǎn)的方向?qū)?shù)

23、小于零，則標(biāo)量沿 方向是減小的；若某點(diǎn)的方向?qū)?shù)等于零，則標(biāo)量沿 方向無變化。llllll例：溫度場：例：溫度場：甲甲乙乙丙丙甲甲：（每米溫度變化為）：（每米溫度變化為）（0C-30C）/100m = -3/10 /100m = -3/10 C/m乙：（每米溫度變化為）乙：（每米溫度變化為）（0C-30C）/200m = -3/20 /200m = -3/20 C/m丙：（每米溫度變化為）丙：（每米溫度變化為）（0C-30C）/80m = -3/8 /80m = -3/8 C/m同一溫度場中，等溫面沿不同方向的變化率是不同的。同： l甲甲的方向?qū)?shù)為-3/10-3/10 l乙乙的方向?qū)?shù)為-3

24、/20-3/20 l丙丙的方向?qū)?shù)為-3/8-3/8 一般情況下，標(biāo)量場一般情況下，標(biāo)量場 u 在在M0點(diǎn)沿點(diǎn)沿l 方向的方向?qū)?shù)方向的方向?qū)?shù)為：為：在直角坐標(biāo)系中，標(biāo)量沿 方向 的方向?qū)?shù)可根據(jù)下式進(jìn)行計(jì)算 （1-21）式（1-21）中， 分別是 沿三個(gè)坐標(biāo)軸的方向余弦，即把此式帶入式（1-21），可得方向?qū)?shù)的另一個(gè)計(jì)算公式為 （1-22）llxyzlxlylzl,xyzlllcos,cos,cosxyzlllabgcoscoscoslxyzabg1.4.2標(biāo)量場的梯度由式（1-22）可知，標(biāo)量的方向?qū)?shù)與 方向有關(guān)，因而，即使在場中同一點(diǎn)，方向?qū)?shù)沿不同的方向也會(huì)有不同的值，其中的最大

25、值有確切的方向。為描述這個(gè)最大的方向?qū)?shù)，我們引入一個(gè)矢量標(biāo)量的梯度：標(biāo)量場中標(biāo)量在點(diǎn)P處的梯度沿標(biāo)量 變化率最大的方向，梯度的大小等于方向?qū)?shù)在該點(diǎn)的最大值，并記作 ，即 （1-23）式中， 為標(biāo)量 隨距離變化率最大的方向上的單位矢量。lgradmaxelgradlel式（1-23）是梯度的定義式，在具體計(jì)算中，用定義式計(jì)算梯度比較繁難，因而，有必要探討簡便的梯度計(jì)算公式。在直角坐標(biāo)系中，若以 表達(dá) 方向的單位矢量，則標(biāo)量 沿 方向的方向?qū)?shù)可寫為coscoscosei+j+klabgllcoscoscoslxyzabgcoscoscosxyzabgijkijk此式表明， 沿 方向的方向?qū)?shù)

26、是矢量 在 方向的投影。若使 方向與此矢量方向一致，將得到 最大的方向?qū)?shù)，可見，矢量 的模即是最大的方向?qū)?shù)值，其方向即為取得最大方向?qū)?shù)的方向，即此矢量應(yīng)為標(biāo)量 的梯度。利用矢量微分算子 ，在直角坐標(biāo)系中，標(biāo)量 的梯度的計(jì)算式可表示為 （1-24）標(biāo)量的梯度是一個(gè)矢量，其大小和方向就是 在場點(diǎn)最大變化率的大小和方向。因此，標(biāo)量 的梯度指向 增加最快的方向。標(biāo)量 沿某個(gè)方向的方向?qū)?shù)等于梯度在該方向的投影，即 （1-25）llijkxyzlijkxyzkjizyxijkgradxyz ell 梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系: :標(biāo)量場沿l 方向的方向?qū)?shù)等于梯度沿該方向的投影。例題

27、1-10 已知標(biāo)量場函數(shù) 。試求：（1）標(biāo)量 在點(diǎn) 處的最大變化率的大小及其方向；（2）在P點(diǎn)標(biāo)量 沿X軸正向的方向?qū)?shù)。解 （1）最大變化率即是標(biāo)量的梯度，根據(jù)梯度計(jì)算公式（1-24），有 在帶入P點(diǎn)坐標(biāo)值，得P處梯度的大小為222xxyz2(2)22ijkijkxyxyzxyz34pij9 165p(2,1,0)P梯度的方向可用該方向的單位矢量表示為梯度的方向也可以用梯度矢量與坐標(biāo)軸正向之間夾角的余弦表示（數(shù)學(xué)上稱為方向余弦），有興趣的可以自行練習(xí)，在此不再贅述。（2）根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度之間關(guān)系式，可得P點(diǎn)函數(shù) 沿X軸正向的方向?qū)?shù)為 由此結(jié)果可看出，梯度沿X軸正向的方向?qū)?shù)即是梯度在OX

28、軸的分量。340.60.855ppijij(34 )3iijippl 例1-11 已知在點(diǎn)電荷 激發(fā)的靜電場中，點(diǎn) 處電位的表達(dá)式為 （式中，r表示場源電荷到場點(diǎn)的距離，相應(yīng)的，場源電荷到場點(diǎn)的矢徑可表示為 ）。靜電場中場強(qiáng)與電位的關(guān)系為：場強(qiáng)等于電位的負(fù)梯度。試求：靜電場中，點(diǎn) 處場強(qiáng)表達(dá)式。解 由已知可知，點(diǎn)電荷 激發(fā)的靜電場中某點(diǎn)的電位僅隨場源電荷到場點(diǎn)的距離r變化，因而，電位變化率最大值的方向應(yīng)是沿 方向，故，此問題中求電位的梯度其實(shí)就是對r求導(dǎo)數(shù)即可，所得結(jié)果方向應(yīng)沿 方向（徑向單位矢量用 表示）。即靜電場中場強(qiáng)表達(dá)式為 備注：此式求解時(shí)選擇的坐標(biāo)系不是空間直角坐標(biāo)系，而是球面坐標(biāo)系

29、， 表示的是球面坐標(biāo)系中沿 方向的單位矢量，關(guān)于球面坐標(biāo)系的相關(guān)內(nèi)容將在下一節(jié)中進(jìn)行介紹。qq( , , )P x y z04qrerijkxyz( , , )P x y zrr200144Eeerrqqrrree err1.4.3格林定理格林定理又稱為格林恒等式。根據(jù)梯度相關(guān)知識(shí)可知，一個(gè)矢量可以表示成一個(gè)標(biāo)量的梯度，用此方法，將本章第2節(jié)式（1-15）表示的散度定理中矢量函數(shù) 表示為一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度 與一個(gè)標(biāo)量函數(shù) 的乘積，即令 ，則散度定理可變換為 （1-26）哈密頓算符是矢量微分算子，它的運(yùn)算規(guī)則符合微分運(yùn)算基本規(guī)則，根據(jù)數(shù)學(xué)公式 ，式（1-26）左側(cè)被積函數(shù)可變形為AA sVsdv

30、d ()uvuvuv2 式（1-26）右側(cè)被積函數(shù)是兩個(gè)矢量的點(diǎn)乘，根據(jù)點(diǎn)乘運(yùn)算規(guī)則及方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系，有式中， 向?yàn)槊娴姆ㄏ颉０汛硕綆Щ厥剑?-26），可得 （1-27）式（1-27）表達(dá)的內(nèi)容稱為格林第一恒等式。將式（1-27）中 與 進(jìn)行對調(diào)，則上式可變形為 （1-28）將式（1-27）與式（1-28）相減，可得格林第二恒等式，即 （1-29）cossddsdsn a n2Vsdvdsn 2Vsdvdsn22Vsdvdsnn 格林定理不僅把一個(gè)體積中的積分問題轉(zhuǎn)化為包圍其體積的閉合面上的積分問題，而且還給出了兩個(gè)標(biāo)量場之間的變換關(guān)系。如果已知其中一個(gè)標(biāo)量場的分布情況，根據(jù)格林定理即

31、可求得另一個(gè)標(biāo)量場的分布情況，因而，格林定理也是一個(gè)在電磁場中常用的定理。1.5 正交曲面坐標(biāo)系 場論 空間直角坐標(biāo)系是最常見的坐標(biāo)系，但在電磁場理論中，有時(shí)研究的問題比較復(fù)雜，使用空間直角坐標(biāo)系反而會(huì)使問題變得更為繁瑣。為了研究問題方便，我們還需要使用柱面坐標(biāo)系（也稱圓柱坐標(biāo)）和球面坐標(biāo)系，本節(jié)將分別介紹這兩種坐標(biāo)的基本知識(shí)。1.5.1柱面坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系中一個(gè)場點(diǎn)M的坐標(biāo)是三個(gè)有序數(shù)（ ，如圖1-5所示。其中 是場點(diǎn)M到柱面軸線OZ的距離； 是過點(diǎn)M且以O(shè)Z軸為界的半平面與XOZ平面之間的夾角；Z是點(diǎn)M對應(yīng)的OZ軸的坐標(biāo)。（1）三個(gè)坐標(biāo)變化的范圍分別為 , , ) z 020z( , ,

32、)Mz xyz圖圖1-5 柱面坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系（2）在柱面坐標(biāo)系中，坐標(biāo)曲面是：=常數(shù)，是以O(shè)Z軸為軸的圓柱面； 常數(shù)，是以O(shè)Z軸為界的半平面； 常數(shù)，是平行于XOY平面的平面。 z（3）在柱面坐標(biāo)系中，坐標(biāo)曲線是： 曲線，單位矢量為 ，表示垂直于OZ軸向外的徑向； 曲線，單位矢量為 ，表示與OZM面垂直且與OZ軸成右手螺旋關(guān)系的方向； 曲線，單位矢量為 ，表示OZ軸的正向。zeeez（4）點(diǎn)M在空間直角坐標(biāo)中的坐標(biāo)與在柱面坐標(biāo)中的坐標(biāo)之間的換算關(guān)系為（5）柱面坐標(biāo)系中散度、旋度、梯度的計(jì)算公式分別為（推導(dǎo)過程略） （1-30） （1-31） （1-30）cosxsinyzz()()1AAzA

33、AAdivz1eeeAAzzrotzAAA 1eeezgradz 1.5.2球面坐標(biāo)系 球面坐標(biāo)系中一個(gè)場點(diǎn)M的坐標(biāo)是三個(gè)有序數(shù)（ ，如圖1-6所示，其中 r 是場點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離； 是有向線段 與OZ軸正向的夾角； 是過點(diǎn)M且以O(shè)Z軸為界半平面與XOZ平面之間的夾角。（1）三個(gè)坐標(biāo)的變化范圍為 , , )r OM r0020圖圖1-4球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系（2）在球面坐標(biāo)系中，坐標(biāo)曲面是： 常數(shù)，是以原點(diǎn)O為球心的球面； 常數(shù)，是以O(shè)Z軸為軸的圓柱面； 常數(shù)，是以O(shè)Z軸為界的半平面。（3）坐標(biāo)曲線是 曲線、 曲線、 曲線，對應(yīng)的三個(gè)方向單位矢量分別表示為 、 、 。（4）點(diǎn)M在直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)

34、與其球面坐標(biāo)系中坐標(biāo)之間的關(guān)系為rrereecossinrx sinsinry cosrz （5）球面坐標(biāo)系中散度、旋度、梯度的計(jì)算公式分別為 （1-33） （1-34） （1-35）22(sin)()1sinsinAArAAr Adivrrrr2sin1sinsineeeAArrrrrotrrArArA 11sineeergradrrr 例題1-12 分別在直角坐標(biāo)系、柱面坐標(biāo)系、球面坐標(biāo)系中求位置矢量 的散度和旋度。解 直角坐標(biāo)系中，位置矢量 可表示為 ，則其散度和旋度分別為 rrrijkxyz3rxyzxyzijkrxyzxyz()()()0ijkzyxzyzyzzxxy 柱面坐標(biāo)系中，

35、位置矢量 可表示為 （ ），則其散度和旋度分別為 rreezz01()()rzz 1(2)310eeerzzz1)0eeeezzzz 球面坐標(biāo)系中，位置矢量 可表示為 （ ， ），則其散度和旋度分別為rrerr00221()(sin0)(0)sinsinrrrrrrr 221()3rrrr2sin1sin00eeerrrrrrr21sinsin0eerrrrr比較幾個(gè)坐標(biāo)系中得出的計(jì)算結(jié)果可知，無論采用哪種坐標(biāo)系，位置矢量 的散度均為3，而旋度均為0。選擇的坐標(biāo)系不同，但得到的描述場的量相同，反映場的性質(zhì)相同無旋發(fā)散場；同一個(gè)矢量，在不同的坐標(biāo)系中求解散度和旋度，計(jì)算的繁瑣程度各不相同，就此題而言，在球面坐標(biāo)系中計(jì)算相對簡潔（計(jì)算過程中涉及的項(xiàng)數(shù)明顯少），因而，對于不同情況，選擇合適的坐標(biāo)系進(jìn)行矢量的分析顯得尤為重要。r1.6 亥姆霍茲定理由前面的分析我們可以總結(jié)，矢量場的散度和旋度分別確定矢量場的通量源強(qiáng)度和漩渦源強(qiáng)度。任何一個(gè)物理場必須有源，場是同源一起出現(xiàn)的，