第四章 非線性方程求根--高等工程數(shù)學

1、高等工程數(shù)學高等工程數(shù)學教學要求教學要求 1 1）教材：高等工程數(shù)學，鄭洲順編）教材：高等工程數(shù)學，鄭洲順編2 2）考核：平時）考核：平時30%+30%+期末考試期末考試70%70%平時平時30%30%：平時登記平時登記+ +每章論文報告。每章論文報告。論文報告要求：論文報告要求：以本章介紹的數(shù)學方法為基礎，自主選擇有一定以本章介紹的數(shù)學方法為基礎，自主選擇有一定實際意義、背景知識大眾化的實際問題，進行計實際意義、背景知識大眾化的實際問題，進行計算分析，寫出學習論文。包括：（算分析，寫出學習論文。包括：（1 1）問題描述，）問題描述，（2 2）建立模型（包括必要的假設），（）建立模型（包括必要

2、的假設），（3 3）算法）算法選擇（必須是本章的算法）和設計，（選擇（必須是本章的算法）和設計，（4 4）計算）計算流程與流程與MatlabMatlab程序，（程序，（5 5）計算結果與分析。）計算結果與分析。高等工程數(shù)學高等工程數(shù)學中南大學數(shù)學與統(tǒng)計學院中南大學數(shù)學與統(tǒng)計學院非線性方程求根的數(shù)值解法非線性方程求根的數(shù)值解法第四章第四章 養(yǎng)老保險問題養(yǎng)老保險問題 非線性方程求根的數(shù)值解法非線性方程求根的數(shù)值解法養(yǎng)老保險問題養(yǎng)老保險問題4.1非線性方程求根的數(shù)值方法非線性方程求根的數(shù)值方法4.2養(yǎng)老保險模型的求解養(yǎng)老保險模型的求解4.34.1.1 4.1.1 問題的引入問題的引入 養(yǎng)老保險是保險

3、中的一種重要險種，保養(yǎng)老保險是保險中的一種重要險種，保險公司將提供不同的保險方案供以選擇，險公司將提供不同的保險方案供以選擇，分析保險品種的實際投資價值。也就是說，分析保險品種的實際投資價值。也就是說，如果已知所交保費和保險收入，則按年或如果已知所交保費和保險收入，則按年或按月計算實際的利率是多少？或者說，保按月計算實際的利率是多少？或者說，保險公司需要用你的保費實際至少獲得多少險公司需要用你的保費實際至少獲得多少利潤才能保證兌現(xiàn)你的保險收益？利潤才能保證兌現(xiàn)你的保險收益？4.1 4.1 養(yǎng)老保險問題養(yǎng)老保險問題4.1.2 4.1.2 模型分析模型分析 假設每月交費假設每月交費200200元至

4、元至6060歲開始領取歲開始領取養(yǎng)老金，養(yǎng)老金，投保人投保人若若2525歲起投保，屆時養(yǎng)歲起投保，屆時養(yǎng)老金每月老金每月22822282元；如元；如3535歲起保，屆時月歲起保，屆時月養(yǎng)老金養(yǎng)老金10561056元；試求出保險公司為了兌元；試求出保險公司為了兌現(xiàn)保險責任，每月至少應有多少投資收現(xiàn)保險責任，每月至少應有多少投資收益率？這也就是投保人的實際收益率。益率？這也就是投保人的實際收益率。4.1.3 4.1.3 模型假設模型假設 這是一個過程分析模型問題。過程的結果在條件一這是一個過程分析模型問題。過程的結果在條件一定時是確定的。定時是確定的。 整個過程可以按月進行劃分，因為交費是按月進行

5、整個過程可以按月進行劃分，因為交費是按月進行的。假設投保人到第的。假設投保人到第 k 月止所交保費及收益的累計總月止所交保費及收益的累計總額為額為 Fk ，每月收益率為，每月收益率為 r ，用，用 p, , q 分別表示分別表示6060歲之歲之前和之后每月交費數(shù)和領取數(shù)，前和之后每月交費數(shù)和領取數(shù)，N N表示停交保險費的月表示停交保險費的月份，份，M M表示停領養(yǎng)老金的月份。表示停領養(yǎng)老金的月份。4.1.4 4.1.4 模型建立模型建立v 在整個過程中，離散變量在整個過程中，離散變量 Fk 的變化規(guī)律滿足：的變化規(guī)律滿足：v 在這里在這里 Fk 實際上表示從保險人開始交納保險費以后，實際上表示

6、從保險人開始交納保險費以后，保險人賬戶上的資金數(shù)值。保險人賬戶上的資金數(shù)值。 11(1),0,1,.,1(1), N+1 .kkkkFFrp kNFFrq kNM，4.1.4 4.1.4 模型建立模型建立v 我們關心的是，在第我們關心的是，在第 M M 月時，月時， FM 能否為非負能否為非負 數(shù)？如果為正，則表明保險公司獲得收益；如為負，則數(shù)？如果為正，則表明保險公司獲得收益；如為負，則表明保險公司出現(xiàn)虧損。當為零時，表明保險公司最后表明保險公司出現(xiàn)虧損。當為零時，表明保險公司最后一無所一無所獲獲，所有的收益全歸保險人，把它作為保險人的，所有的收益全歸保險人，把它作為保險人的實際收益。實際收

7、益。 v 從這個分析來看，引入變量從這個分析來看，引入變量 FK ，很好地刻畫了整，很好地刻畫了整個過程中資金的變化關系；特別是引入收益率個過程中資金的變化關系；特別是引入收益率 r r，雖然，雖然它不是我們所求的保險人的收益率，但從問題系統(tǒng)環(huán)境它不是我們所求的保險人的收益率，但從問題系統(tǒng)環(huán)境中來看，必然要考慮引入另一對象中來看，必然要考慮引入另一對象保險公司的經(jīng)營保險公司的經(jīng)營效益，以此作為整個過程中各量變化的表現(xiàn)基礎。效益，以此作為整個過程中各量變化的表現(xiàn)基礎。4.1.5 4.1.5 模型求解模型求解 在在(4.1.4)(4.1.4)中兩式，中兩式，（可（可取初始值取初始值F0=0 ），我

8、們可以得到：，我們可以得到：MNkrrqrFFNkrrprFFNkNkNkkkk,.,1,1)1()1(,.,2 , 1 , 0,1)1()1 (0 再分別取，再分別取，k=Nk=N和和k=Mk=M，并利用，并利用F FM M=0=0可以可以導導出：出：0)1)(1 ()1 (pqrpqrNMM它是一個非線性方程。它是一個非線性方程。如何求解此方程？如何求解此方程？ 代數(shù)方程求根問題是一個古老的數(shù)學問題。早在代數(shù)方程求根問題是一個古老的數(shù)學問題。早在1616世紀就找到了三次、四次方程的求根公式。世紀就找到了三次、四次方程的求根公式。 但直到但直到1919世紀才證明了世紀才證明了 次的一般代數(shù)方

9、程式是次的一般代數(shù)方程式是不能用代數(shù)公式求解的，因此需要研究用數(shù)值方法求得不能用代數(shù)公式求解的，因此需要研究用數(shù)值方法求得滿足一定精度的代數(shù)方程式的近似解。滿足一定精度的代數(shù)方程式的近似解。 在工程和科學技術中許多問題常歸結為求解非線性在工程和科學技術中許多問題常歸結為求解非線性方程式問題。正因為非線性方程求根問題是如此重要和方程式問題。正因為非線性方程求根問題是如此重要和基礎，因此它的求根問題很早就引起了人們的興趣，并基礎，因此它的求根問題很早就引起了人們的興趣，并得到了許多成熟的求解方法。得到了許多成熟的求解方法。 下面下面 我們首先了解一下非線性方程的基本概念。我們首先了解一下非線性方程

10、的基本概念。5n 定義定義4.2.14.2.1 設有一個非線性方程設有一個非線性方程 ，其中，其中 為實變?yōu)閷嵶兞苛?的非線性函數(shù)。的非線性函數(shù)。 （1 1）如果有）如果有 使使 ，則稱則稱 為為方程的根方程的根，或為，或為 的零點。的零點。 （2 2）當）當 為多項式，即為多項式，即 則稱則稱 為為 次次代數(shù)方程代數(shù)方程， 包含指數(shù)函數(shù)或者三角函包含指數(shù)函數(shù)或者三角函數(shù)等特殊函數(shù)時，則稱數(shù)等特殊函數(shù)時，則稱 為為特殊方程特殊方程。 （3 3）如果）如果 ，其中，其中 。 為正整數(shù)，則為正整數(shù)，則稱稱 為為 的的 重根重根。當。當 時稱時稱 為為 的的單根單根。4.2.1 根的搜索相關定義根的

11、搜索相關定義 0f x ( )f xxx()0f xx f xn f x110( )00nnnnnf xa xaxaxaa( ) 0f x ( )f x( )0f x ( ) ()( )mf xx xg x( )0g xmx( ) 0f x m1mx( ) 0f x 4.2 4.2 非線性方程求根的數(shù)值方法非線性方程求根的數(shù)值方法 定理定理4.2.14.2.1 設設 為具有復系數(shù)的為具有復系數(shù)的 次代數(shù)方程，則次代數(shù)方程，則 在復數(shù)域上恰有在復數(shù)域上恰有 個根個根（ 重根計算重根計算 個）。如果個）。如果 為實系數(shù)方程，則復數(shù)根成對出現(xiàn)，即當為實系數(shù)方程，則復數(shù)根成對出現(xiàn)，即當: : 為為 的

12、復根，則的復根，則 亦是亦是 的根。的根。 定理定理4.2.24.2.2 設設 在在 連續(xù)連續(xù), ,且且 ，則存，則存在在 ，使得，使得 ，即，即 在在 內存在實零點。內存在實零點。( )f x,a b( )( ) 0f a f b,xa b( )0f x f x, )a b（( ) 0f x n( ) 0f x nrr( )0f x 0i ( ) 0f x ( ) 0f x i4.2.2 4.2.2 逐步搜索法逐步搜索法v 對于方程對于方程 ， ，為明確起見，為明確起見，設設 , , ，從區(qū)間左端點，從區(qū)間左端點 出發(fā)按某個預出發(fā)按某個預定步長定步長 （如?。ㄈ缛?， 為正整數(shù)），一步一步為

13、正整數(shù)），一步一步地向右跨，每跨一步進行一次根的收索。即檢查節(jié)點地向右跨，每跨一步進行一次根的收索。即檢查節(jié)點 上的函數(shù)值上的函數(shù)值 的符號，若的符號，若 ，則，則 即即為方程解。若為方程解。若 ，則方程根在區(qū)間，則方程根在區(qū)間 中，其中，其寬度為寬度為 。 bahN 0f x ,xa b 0f a ( )0f b 0 xahNkxa kh kf x 0kf x kx 0kf x 1,kkxxh4.2.2 4.2.2 逐步搜索法逐步搜索法 例例4.2.14.2.1 考察方程考察方程 由于由于 則則 在在 內至少有一個根，內至少有一個根，設從設從 出發(fā)，以出發(fā)，以 為步長向右進行根的搜索。列為步

14、長向右進行根的搜索。列表記錄各節(jié)點函數(shù)值的符號?？梢娫诒碛涗浉鞴?jié)點函數(shù)值的符號?？梢娫?內必有一根。內必有一根。 表表4.2.14.2.1 的符號的符號x00.51.01.5 的符號-+ 31 0f xx x f x f x 01 0,25 0ff 0,20 x 0.5h1.0,1.5( )f x 易見此方法應用關鍵在步長易見此方法應用關鍵在步長 的選擇上。的選擇上。很明顯，只要步長很明顯，只要步長 取得足夠小，利用此法就取得足夠小，利用此法就可以得到任意精度的根，但可以得到任意精度的根，但 縮小，搜索步數(shù)縮小，搜索步數(shù)增多，從而使計算量增大，用此方法對高精度增多，從而使計算量增大，用此方法對

15、高精度要求不合適。要求不合適。hhh4.2.3 4.2.3 二分法二分法 對非線性方程：對非線性方程： 其中其中 在在 連續(xù)且連續(xù)且 無妨設無妨設 在在 內僅有一個零點。內僅有一個零點。 求方程（求方程（ ）的實根）的實根 的二分法過程，的二分法過程，就是將就是將 逐步分半，檢查函數(shù)值符號的變化，逐步分半，檢查函數(shù)值符號的變化，以便確定包含根的充分小區(qū)間。以便確定包含根的充分小區(qū)間。 0 f x 4.2.1 f x,a b 0f a f b f x,a b4.2.1x,a b 二分法的步驟如下二分法的步驟如下：記記 ， 第第1 1步：分半計算步：分半計算 ，將，將 分半。計算中點分半。計算中點

16、 及及 。若。若 ，則根必在，則根必在 內，否則必在內，否則必在 內，內，（若（若 ，則，則 ），于是得到長度一半的區(qū)間），于是得到長度一半的區(qū)間 含根含根, ,即即 , ,且且 。 第第 步（步（ k 次次分半計算）重復上述過程。分半計算）重復上述過程。1aa1bb1112abx1122,a xab：1122, ,xbab：22111()2baba1k11a,b 1f x11( )( ) 0f af x1( ) 0f x 1xx22,a b22() ( )0f af bk 設已完成第設已完成第1 1步步第第 步，分半計算得到含根步，分半計算得到含根區(qū)間區(qū)間 ，且滿，且滿足足 , ,即即 ，

17、即即 ， 則第則第k k步的分半計算：步的分半計算： ，且有：，且有：1122,kkabababL , kkxa b11()2kkkbaba2kkkabx1 22kkkkbaxxba 4 .2 .21k( ) ( ) 0kkf a f b 確定新的含根區(qū)間確定新的含根區(qū)間 ，即如果，即如果 ，則根必在則根必在 內，否則必內，否則必在在 內，且有：內，且有： ?？傊?，由上總之，由上述二分法得到序列述二分法得到序列 ， 由由(4.2.2)(4.2.2)有：有： 。 可用二分法求方程可用二分法求方程 的實根的實根 的近似值的近似值到任意指定的精度，這是因為：設到任意指定的精度，這是因為：設 為給定為

18、給定精度要求，則由精度要求，則由 ，可得分，可得分半計算次數(shù)半計算次數(shù) k 應滿足：應滿足：11,kkab( ) ( ) 0kkf a f x 11,kkkkabax：11,kkkkabxb：111()2kkkbaba kxlimkkxx0( ) 0f x x2kkbaxx 二分法的優(yōu)點是方法簡單，且只要求二分法的優(yōu)點是方法簡單，且只要求 連續(xù)即可，可用二分法求出連續(xù)即可，可用二分法求出 在在 內全部實根，但二分法不能求復內全部實根，但二分法不能求復根及偶數(shù)重根，且收斂較慢，函數(shù)值計算次數(shù)根及偶數(shù)重根，且收斂較慢，函數(shù)值計算次數(shù)較多。較多。 lnlnln 2bak 4.2.3( )f x()0

19、fx,ab 例例4.2.24.2.2 用二分法求用二分法求 在在1,21,2內一內一個實根，且要求精確到小數(shù)點后第三位。個實根，且要求精確到小數(shù)點后第三位。（即（即 ） 解解 由由 代入公式代入公式(4.2.3) (4.2.3) ，可確定所需分半次數(shù)為可確定所需分半次數(shù)為 ，計算結果部分如下表：，計算結果部分如下表：（顯然（顯然 ）。）。6( )1f xxx*3121 0kxx30 .51 01,2)ab（11k(1)10,(2)0ff K81.132813 1.140625 1.136719 0.020619 91.132813 1.136719 1.134766 0.4268415 101

20、.132813 1.134766 1.133789 111.133789 1.134766 1.134277 表表4.2.2 4.2.2 部分計算結果部分計算結果kakbkx()kf x00959799. 00045915. 04.2.4 4.2.4 迭代法迭代法 迭代法迭代法是一種逐次逼近法。它是求解代數(shù)方程，超是一種逐次逼近法。它是求解代數(shù)方程，超越方程及方程組的一種基本方法，但越方程及方程組的一種基本方法，但存在收斂性及收斂存在收斂性及收斂快慢的問題快慢的問題。 用迭代法求解用迭代法求解 的近似根，首先需將此方的近似根，首先需將此方程化為等價的方程：程化為等價的方程： 然而將然而將 化為

21、等價方程化為等價方程 的方法是的方法是很多的。很多的。 ( ) 0f x (4.2.4)( )0f x ( ) x g x (4.2.4) 例例4.2.34.2.3 對方程對方程 可用不同的方法將其化為等價方程：可用不同的方法將其化為等價方程： （1 1） （2 2）()sin0.50fxxx1sin0.5( )xxgx12sin0.5( )xxgx定義定義4.2.2 （迭代法）（迭代法）設方程為設方程為 , ,取方程根的一個初始近取方程根的一個初始近似似 ，且按下述逐次代入法，構造一個近似解序列：，且按下述逐次代入法，構造一個近似解序列： 這種方法稱為這種方法稱為迭代法迭代法（或稱為單點迭代

22、法），（或稱為單點迭代法）， 稱為稱為迭代函數(shù)迭代函數(shù)。若由迭代法產生序列若由迭代法產生序列 有極限存在，即有極限存在，即 ，稱，稱 為為收斂或迭代過程收斂或迭代過程 收斂，否則稱迭代法不收斂。若收斂，否則稱迭代法不收斂。若 連續(xù)，連續(xù)，且且 ，則，則 ， 即即 為方程為方程 的解（稱的解（稱 為函數(shù)為函數(shù) 的不動點），顯然的不動點），顯然在由方程在由方程 轉化為等價方程轉化為等價方程 時，選擇不同的迭代時，選擇不同的迭代函數(shù)函數(shù) ，就會產生不同的序列，就會產生不同的序列 （即使初值（即使初值 選擇一樣）且選擇一樣）且這些序列的收斂情況也不會相同。這些序列的收斂情況也不會相同。( )xg x0

23、 x 10211, kkxg xxg xxg x (4.2.5)( )g x kx*limkkxxkx (4.2.5)*limkkxx1limlim ( )lim( )kkkkkkxxg xgxg x g x (4.2.4)( )g xxx( )0f x ( )xg x( )g x kx0 x例例4.2.44.2.4 對例對例4.2.14.2.1中方程考查用迭代法求根中方程考查用迭代法求根 由計算可以看出，我們選取的兩個函數(shù)由計算可以看出，我們選取的兩個函數(shù) ，分別構造序列分別構造序列 收斂情形不一樣（初值都取為收斂情形不一樣（初值都取為1 1），），在在 中中 收斂且收斂且 ，在，在 中計算

24、出中計算出 無定義。無定義。 111sin0.5,0,1,2,sin0.5 ,0,1,2,kkkkaxxkbxxk 12,g x g x kx( )a kx1.497300 x( )b114sin0.5sin1.987761x0 1.0 1.0 11.341471 0.523599 21.473820 0.023601 31.049530 -0.496555 41.497152 -1.487761 51.497289 61.497300 71.497300 k( )kax( ) kbx ( )kaf x73.6 10表表4.2.3 4.2.3 部分計算結果部分計算結果 因此對用迭代法求方程因此

25、對用迭代法求方程 的近似根，的近似根，需要研究下述問題：需要研究下述問題： （1 1）如何選取迭代函數(shù)）如何選取迭代函數(shù) 使迭代過程使迭代過程 收斂。收斂。 （2 2）若）若 收斂較慢時，怎樣加速收斂較慢時，怎樣加速 收斂。收斂。 ( )0f x ( )g x 1kkxg x kx kx 迭代法的幾何意義：迭代法的幾何意義： 從幾何意義看，求方程從幾何意義看，求方程 根的問題，是求曲線根的問題，是求曲線 與直線與直線 交點的橫坐標交點的橫坐標 ，當?shù)瘮?shù)，當?shù)瘮?shù) 的導數(shù)函數(shù)的導數(shù)函數(shù) 在根在根 處滿足下述幾種條件時，從幾何上來看迭代過程處滿足下述幾種條件時，從幾何上來看迭代過程 的收斂情

26、況如圖的收斂情況如圖4.2.14.2.1。 從曲線從曲線 上一點上一點 出發(fā)，沿著平行于出發(fā)，沿著平行于x x軸方向前進交軸方向前進交 于一點于一點 再從點再從點 沿平行于沿平行于y y軸方向前軸方向前進交進交 于于 點，顯然點，顯然 的橫坐標就是的橫坐標就是 ，繼續(xù)，繼續(xù)這過程就得到序列這過程就得到序列 ，且從幾何上觀察知道在（，且從幾何上觀察知道在（1 1），（），（2 2）情）情況下況下 收斂于收斂于 ，在（，在（3 3），（），（4 4）情況）情況 不收斂于不收斂于 。 ( )xg x( )yg xyxx( )g x xgx1kkxg x( )yg x000,px g x0Q0Q( )

27、y gx1p1p10 xg xkx kx*x kx*xyx圖圖4.2.1 4.2.1 迭代法的幾何意義圖迭代法的幾何意義圖 由迭代法的幾何由迭代法的幾何意義意義知，為了保證迭代過程收斂，應該要求迭代函知，為了保證迭代過程收斂，應該要求迭代函數(shù)的導數(shù)滿足條件數(shù)的導數(shù)滿足條件 。當。當 時，原方程在時，原方程在 中可能中可能有幾個根或迭代法不收斂，為此有關于迭代收斂性的定理有幾個根或迭代法不收斂，為此有關于迭代收斂性的定理4.2.34.2.3。 定理定理4.2.34.2.3 設有方程設有方程 ， (1) (1) 設設 于于 一階導數(shù)存在，一階導數(shù)存在， (2) (2) 當當 時，有時，有 ， (3

28、) (3) 滿足條件：滿足條件： 則有：則有： 在在 上有唯一解上有唯一解 ， 對任意選取初始值對任意選取初始值 ，迭代過程，迭代過程 收斂即收斂即 ， 誤差估計誤差估計()1gx , xab , a bg( )xxg( ) xa,ba,bxg( ) a,bx ( )1, , ,g xLxa b g( ) x1g( )xx , a b*x3*11 1kkkxxxxL4*10 ,(1,2,.)1kkLxxxxkL20 , xab*klim xx1(),k0,1,.kkxg x證明證明 只證只證 ， ， 由定理條件由定理條件 ，當取，當取 時，則有時，則有 記誤差記誤差 ，由中值定理有：，由中值定

29、理有： ，其中其中 在在 與與 之間，即之間，即 ，又由條件，又由條件有：有： ，由此遞推可，由此遞推可得：得： ，由，由 故故 。 由迭代公式由迭代公式 有：有： ，其中其中c c在在 與與 之間，于是：之間，于是： 即即 。 234*111*() -L x(1-L) kkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxxx*11111kkkkkLxxxxxxLL*klimxx20 , xa b , ,(1,2,.)kxa bk*kkexx*1()()( )()kkkxxg xg xg c xxc*xkx , ca b*2*120.kkkkxxL xxL xxL xx01L*1( )kkkxxg c

30、 xxL xx321()kkxg x1111( )()( )()kkkkkkkkxxg xg xg c xxLxx1kxkx3 由上面由上面 反復利用代入上式中有反復利用代入上式中有： 由定理由定理 結果可知，當計算得到的相鄰兩次迭代滿足條件結果可知，當計算得到的相鄰兩次迭代滿足條件 時，則誤差時，則誤差 。 因此在計算機上可利用因此在計算機上可利用 來控制算法終止，但要來控制算法終止，但要注意注意 時，即使時，即使 很小，誤差很小，誤差 仍然可能很大。仍然可能很大。 另外，當已知另外，當已知 及及 及給定精度要求及給定精度要求 時，利用定時，利用定理理 結果可確定使誤差達到給定精度要求時所需

31、要迭代次數(shù)結果可確定使誤差達到給定精度要求時所需要迭代次數(shù)k k，事，事實上，由實上，由 解得：解得： 411kkkkxxLxx*1121210111L .11kkkkkkkkLxxxxxxLLLxxxxLL31kkxx*11kxxL*kxx1kkxx1L 1kkxx01,x x(1)L L4*101kkLxxxxL10(lnln)/ln 1xxkLL 定理條件定理條件 ，在一般情況下，可能對大，在一般情況下，可能對大范圍的含根區(qū)間不滿足，而在根的鄰近是成立的，為此有范圍的含根區(qū)間不滿足，而在根的鄰近是成立的，為此有如下迭代過程的局部收斂性結果。如下迭代過程的局部收斂性結果。 定理定理4.2.

32、44.2.4 （迭代法的局部收斂性）設給定方程（迭代法的局部收斂性）設給定方程 （1 1）設）設 為方程的解，為方程的解， （2 2）設）設 在在 的鄰域內連續(xù)可微，且有的鄰域內連續(xù)可微，且有 ，則對任意初值則對任意初值 （在（在 的鄰域內），迭代過程的鄰域內），迭代過程 ， 收斂于收斂于 。( )1, , g xLxa bg( )xx*xg( ) x*x*()1gx0 x*x1( )kxg x0,1,.k *x 例例4.2.54.2.5 用用迭代法解方程迭代法解方程( )ln(2)0f xxx 解解 (1)(1)顯然有顯然有 即知方程于即知方程于0,20,2及及-1.9,-1-1.9,-1內

33、有根記為內有根記為 。 (2) (2)考察取初值考察取初值 迭代過程迭代過程 的收斂性，的收斂性，其中迭代函數(shù)為其中迭代函數(shù)為 ，顯然，顯然 ， ，及，及 為增函為增函數(shù)，則當數(shù)，則當 時，時， ，又由，又由 則有則有 。 于是由定理于是由定理4.2.44.2.4可知，當初值可知，當初值 時，迭代過時，迭代過程程 收斂，如果要求收斂，如果要求 的近似根準確到小數(shù)的近似根準確到小數(shù)點后第點后第6 6位（即要求位（即要求 ）由計算結果可）由計算結果可知知 。且。且 則則 ， 。 (0) (2)0, ( 1.9) ( 1)0ffff 12,xx00,2x 1ln(2)kkxx1( ) ln(2)g

34、xx1(0) ln(2) 0.693 0g1(2) ln(4) 1.368 2g1( )g x02x10( )2g x1()2gxx111( )(0)1(0,2)22g xgxx 00,2x 611102kx x 1ln(2)kkxx1x7151410 xx12L *1141.1461931xx714()0.8 10f x 表表4.2.4 4.2.4 部分計算結果表部分計算結果表k1ln(2)kkxx0 00.00.01 10.693147180.693147182 20.990710460.9907104614141.14619311.146193115151.14619321.146193

35、2 (3) (3)為了求為了求-1.9,-1-1.9,-1內方程的根。由迭代方程內方程的根。由迭代方程 ，顯，顯然然 ，所以迭代過程，所以迭代過程 （初值（初值 ）不能保證收斂于）不能保證收斂于 。 (4) (4)若將方程轉化為等價方程若將方程轉化為等價方程 或或 則則 ，且，且 （ 時）時） 所以當選取所以當選取 時迭代過程時迭代過程 收斂。如取收斂。如取 ，則迭代則迭代1212次有次有 ，且，且 。 由此例可見，對于方程由此例可見，對于方程 ，迭代函數(shù)，迭代函數(shù) 取不同形式，取不同形式，相應的迭代法產生的相應的迭代法產生的 收斂情況也不一樣，因此，我們應該選擇收斂情況也不一樣，因此，我們應

36、該選擇迭代函數(shù)時構造的迭代過程迭代函數(shù)時構造的迭代過程 收斂，且收斂較快。收斂，且收斂較快。1ln(2)kkxx*121( )()12gxgxx1ln(2)kkxx*002 1.9, 1,xxx *2xe2xx 22( )xxegx2g ( )xxe22g ( )g ( 1)0.386 1x 1.9, 1x2( ) 1.9, 1g x 0 1.9, 1x k 12kxxe01x *2121.841405660 xx 812()0.2 10f x ( ) 0f x ( )g x kx1()kkxg x關于迭代公式的加工：關于迭代公式的加工： 對于收斂的迭代過程，只要迭代足夠多次，總可以使結果達到

37、對于收斂的迭代過程，只要迭代足夠多次，總可以使結果達到任意的精度。但有時迭代收斂緩慢，從而使計算量變得很大，因此任意的精度。但有時迭代收斂緩慢，從而使計算量變得很大，因此迭代過程的加速是一個很重要的課題。迭代過程的加速是一個很重要的課題。 設設 為根為根 的某個預測值，用迭代公式校正一次得：的某個預測值，用迭代公式校正一次得： 由中值定理：由中值定理： ， 介于介于 之間，若之間，若 改改變不大。近似地取某常數(shù)變不大。近似地取某常數(shù) ，則由，則由 可以期望按上式右端求得的可以期望按上式右端求得的 是比更好的近似值。是比更好的近似值。 若將每得到一次改進值算作一步，并用若將每得到一次改進值算作一

38、步，并用 和和 分別表示第分別表示第 步的校正值和改進值，則步的校正值和改進值，則加速迭代計算方案加速迭代計算方案如下：如下：預測預測：校正校正： 2101101()111LLxxxxxxLLLxkxkk1 ()kxg xk 111k ( )1kkLxxxxL10()xg x*10( )()x xgxx *0 xx，( )g x*10101()11Lx xLxxxxxLL 0 x*xL0111150 0.5()0.60.6 ()1.60.5310 kxxkkkkkxexexxxxx由于在附近時，則預測校正迭代公式為：預測:校正:只須由迭代 次即可得精確到的結果。18若直接用迭代法求，達到這一結

39、果須迭代次。-* e0.56714.xxx例： 求解方程。其解為： 設設 的某近似值的某近似值 ，將校正值，將校正值 再校正一次再校正一次得：得： ，由，由 與與 得：得： 由此得：由此得： 。這樣將上式右端作為。這樣將上式右端作為改進公式就不再含有導數(shù)信息了。但需要用到兩次迭代的結果進行改進公式就不再含有導數(shù)信息了。但需要用到兩次迭代的結果進行加工。如果仍將得到一次改進值作為一步，則計算過程如下：加工。如果仍將得到一次改進值作為一步，則計算過程如下： 上述處理過程稱為（上述處理過程稱為（埃特金埃特金AitkenAitken）方法。）方法。*x0 x10()xg x21( )xg x*21()

40、xxLx x *10()()x xLx x*01*21xxxxxxxx2*02121201201222x xxxxxxxxxxxx2（）k11k1k1k1k12k1k1k1 () () 2kkkxg xxg xxxxxxxx校 正 ：再 校 正 ：（）改 進 ：由于使用參數(shù)由于使用參數(shù) ，這在實際應用中不方便，下面進行改進計算。，這在實際應用中不方便，下面進行改進計算。3: Aitken 10 xx 例用方法求解方程。30 1( )(1.5),:xxg xxAitken 解：若將方程改為等價方程：則直接用迭代法 取是不收斂的 現(xiàn)在以這種迭代法公式為基礎形成算法如下.32472. 1105*5x

41、的近似解次可得精度為則迭代k 1k 1k 13k 13k 1102k 11k 1 1 1 (1.5) =2kkkkxxxxxxxxxxxx（）4.2.5 Newton4.2.5 Newton公式公式 對于方程對于方程 ，應用迭代法時先要改寫成，應用迭代法時先要改寫成 ，即需要針對即需要針對 構造不同的合適的迭代函數(shù)構造不同的合適的迭代函數(shù) 。 顯然可以取迭代函數(shù)為顯然可以取迭代函數(shù)為 ，相應迭代公式，相應迭代公式為為 。 一般地，這種迭代公式不一定收斂，或者速度很慢。對此公一般地，這種迭代公式不一定收斂，或者速度很慢。對此公式應用前面的加速技術具體格式為：式應用前面的加速技術具體格式為： (

42、)0f x ( )xg x( )f x( )g x( )( )g xxf x 1()kkkxxf x1111()()1kkkkkkkxxf xLxxxxL 記記 ，則上二式可合并寫為：，則上二式可合并寫為： 。此公式稱為簡單的此公式稱為簡單的NewtonNewton公式，迭代函公式，迭代函數(shù)數(shù)為：為： 。 又由于又由于 為為 的近似值，而的近似值，而 ，因此，因此 實際上是實際上是 的近似值，故用的近似值，故用 代替上式中的代替上式中的 即得到下面的迭代函數(shù)：即得到下面的迭代函數(shù)： 。 相應的迭代公式為：相應的迭代公式為： ， 即為即為NewtonNewton公式。公式。1ML1()kkkf

43、xxxM( )( )fxg xxML( )g x( )( )g xxfx1ML( )f x( )fxM( )( )( )f xg xxfx1()()kkkkf xxxfx4.2.6 Newton4.2.6 Newton法的幾何意義法的幾何意義牛頓法牛頓法的基本思想的基本思想就是將非線性方程就是將非線性方程 逐步線性化求解，設逐步線性化求解，設 有近似的根有近似的根 ，將，將 在在 處處 展開得：展開得： 從而從而 近似地表為：近似地表為： 。方程。方程 的根的根 即為曲線即為曲線 與與 軸交軸交點的橫坐標。設點的橫坐標。設 為為 近似近似值值，過曲線，過曲線 上橫坐標上橫坐標 為為 的點的點

44、作曲線的切線，該切線作曲線的切線，該切線 與與 軸軸交交點的橫坐標即為點的橫坐標即為 的新近似的新近似 值值 ，它與，它與 軸交點的橫坐標為：軸交點的橫坐標為： ，因此，因此 NewtonNewton法亦稱切線法法亦稱切線法。( )f x( )0f x ( )0f x kxTaylor( )( )( )()kkkf xf xf x x xkxkx( )0f x ()()()0kkkf xfxxx( )0f x ( )yf xx*x( )yf xkxkpx*x1kxx1()/()kkkkxxf xf x4.2.7 Newton4.2.7 Newton法的局部收斂性法的局部收斂性 定義定義4.2.

45、34.2.3 設迭代過程設迭代過程 收斂于方程收斂于方程 的的根根 ，如果迭代誤差，如果迭代誤差 ，當，當 時有：時有： 則稱該迭代過程則稱該迭代過程為為 階收斂階收斂的。的。 定理定理4.2.54.2.5 對迭代過程對迭代過程 如果如果 在在 附近連續(xù)，附近連續(xù)，且：且： 且且 ，則該迭代過程在，則該迭代過程在 附近是附近是 階收斂的。階收斂的。1()kkxg x( )x gx*x*kkexxk 1 (0,)kpkecce為常數(shù)pk 1( ),kxg x( )( )pgx*x*(p-1)*g( ) g( ) . g( ) 0 xxx (p)*g ( ) 0 x *xp 證明證明 由于由于 ，

46、則有前面關于迭代法的局部收斂性定理知：此迭代，則有前面關于迭代法的局部收斂性定理知：此迭代過程過程 具有局部收斂性。即具有局部收斂性。即 。將。將 在在 處處 展開，展開，并注意到并注意到 有：有： 而，而， 從而上式化為：從而上式化為： *g( )0 1x 1( )kkxg x0kx ( )kg x*xTaylor*(p-1)*g( ). g( )0 xx( )*()()()() , , !ppkkkkkgg xg xxxx xp*k 1( ), ( )kxg xxg x()*k1()()!ppkkgxxxxp 即：即： 故知迭代過程具有故知迭代過程具有 階收斂性。階收斂性。 *()()*1

47、k1p*k()e()e()!ppkkpkxxggxxxppp 定理定理4.2.54.2.5表明迭代過程的收斂速度依賴于迭代函數(shù)表明迭代過程的收斂速度依賴于迭代函數(shù) 的選取，的選取，如果如果 時時 。則迭代過程只可能是線性收斂的。則迭代過程只可能是線性收斂的。( )g x , xa b( ) 0g x 對于對于NewtonNewton法，由迭代函數(shù)為：法，由迭代函數(shù)為： 則則 ， 若若 為為 的一個單根。即的一個單根。即 ，則由上式知，則由上式知 。 由上面定理可知由上面定理可知NewtonNewton法在根法在根 的鄰域內是平方收斂的（二階收斂的鄰域內是平方收斂的（二階收斂 的）。的）。()

48、()-()fxgxxfx222( )( )( )( )( )g ( )1( )( )fxf x fxf x fxxfxfx*x( )f x *()00f xfx，*( ) 0g x *x 特別地考察特別地考察NewtonNewton公式：設公式：設 二次連續(xù)可微，二次連續(xù)可微，則則 ， 在在 之間，特別之間，特別地取地取 ，注意，注意 ，則，則 設設 。兩邊同除以。兩邊同除以 ，得：，得： （注：（注： ），利用），利用NewtonNewton公式，即有：公式，即有： 當當 ，則，則 ， 或或( )f x2( )( )()()()()2!kkkkff xf xfxxxxx,kx x*xx*(

49、) 0f x *2( )0( )( )( )()()2!kkkkff xf xf xxxxx( )0kf x( )kf x*2()()()()2()kkkkkfxfxxxxfxfx1()()kkkkf xxxfx*1*2()()2()kkkkxxfmxxfx k *()()2()2()kffxfxfx *2211( )()2 ( )kkkk kkfxxexxmef x 可見可見 （誤差）與（誤差）與 的誤差的誤差 的平方成比例。當初始誤差的平方成比例。當初始誤差 充分小時，以后迭代的誤差將減少得非常快。反之充分小時，以后迭代的誤差將減少得非?？臁７粗?，則放大。則放大。NewtonNewton

50、法每計算一步，需要計算一次函數(shù)值法每計算一步，需要計算一次函數(shù)值 和一次導數(shù)和一次導數(shù)值值 。 例例4.2.64.2.6 用用NewtonNewton法求解法求解 。 解解 顯然顯然 。則在。則在0,20,2內方程有一個根，求導內方程有一個根，求導 則則NewtonNewton公式為：公式為： 取取 ，迭代，迭代6 6次得近似根為次得近似根為 , , 。這表明，當初值這表明，當初值 取值靠近取值靠近 時，時，NewtonNewton法收斂且收斂較快，否則法收斂且收斂較快，否則NewtonNewton法可能不收斂。法可能不收斂。(0) (2)0ff4( )(6) / 4xfxex414()(2)

51、1()(6) / 4kkxkkkkkxkkf xexxxxfxex1kekxke*00exx01e ()kf x( )kf x4( )(2)10 xf xex01.0 x *0.783596x *6( )3.8 10f x0 x*x 下面考慮下面考慮NewtonNewton法的誤差估計，由中值定理有：法的誤差估計，由中值定理有： ，當當 充分接近充分接近 時，有時，有 因此，用因此，用NewtonNewton法求方程單根法求方程單根 的近似根的近似根 的誤差的誤差 可用可用 來估計。來估計。 *( )( )( )( )()kkkkf xf xf xfxxkx*1( )( )( )( )Newt

52、onkkkkkkkf xf xxxxxff x*x*xkx*kkexx 1kkxx4.2.8 Newton4.2.8 Newton法應用舉例法應用舉例1. 1. 對給定的正數(shù)對給定的正數(shù) ，應用，應用NewtonNewton法解二次方程法解二次方程 可導出求可導出求開方值開方值 的計算格式：的計算格式： 可證明公式可證明公式 對任意函數(shù)初值對任意函數(shù)初值 都是收斂的。這是因為：都是收斂的。這是因為： C20 xCC11() 2kkkCxxx (4.2.7)(4.2.7)00 x 21211()21()2kkkkkkxCxCxxCxCx 兩式相除得：兩式相除得： 利用此式遞推可得：利用此式遞推可

53、得： （ 由由 可知：可知： ，則：，則： ）而）而 ， 故由公式知故由公式知 即迭代法恒收斂。即迭代法恒收斂。211()kkkkxCxCxCxC2220202()1kkkkkkkxCxCqqxCCxCxCq200()kkkxCxCxCxC2211kkkqxCq2222()1kkkkkqxCxC qCq00 x 001xCqxC()kxC k 例例4.2.74.2.7 求求 的近似值，要求的近似值，要求 終止迭代。終止迭代。 解解 取取 經(jīng)經(jīng)6 6次迭代后：次迭代后： ， ， ，故故 。 例例4.2.4.2.8 8 對給定正數(shù)對給定正數(shù) ，應用，應用NewtonNewton法求解法求解 ，由此

54、式可導出求，由此式可導出求 而不用除法的計算程序：而不用除法的計算程序： 。 這個算法對于沒有設置除法操作的電子計算機是有用的?？梢宰C明，這個算法對于沒有設置除法操作的電子計算機是有用的?？梢宰C明，此算法初值滿足此算法初值滿足 時是收斂的，這是因為：時是收斂的，這是因為： 即：即： ，令，令 ，有遞推公式：有遞推公式： ，反復遞推得：反復遞推得： 。 當當 ，即，即 時，有時，有 即即 ，從，從而迭代法收斂。而迭代法收斂。 106110kkxx1110()2kkkxxx01.0 x 53.16227767x 63.16227766x 7650.1 10 xx103.16227766C10Cx1

55、C1(2)kkkxxCx020 xC21111(2)()kkkkxxCxC xCCC211(1)kkCxCx1kkrC x21kkrr20kkrr0011rCx020 xC0kr 1kxC4.2.9 Newton4.2.9 Newton下山法下山法 NewtonNewton法收斂性依賴于法收斂性依賴于 初值的選取，如果初值的選取，如果 偏離偏離 較遠，較遠，則則NewtonNewton法可能發(fā)散。法可能發(fā)散。 例如，對方程例如，對方程 。求在。求在 附近的一個根附近的一個根 。若取。若取初值初值 ，則由，則由NewtonNewton法：法： 計算得計算得 ，僅迭代，僅迭代3 3次即得有次即得有

56、6 6位有效數(shù)字的近似值位有效數(shù)字的近似值 。但若取初值。但若取初值 則由同一則由同一NewtonNewton公公式計算得式計算得 ，這反而比，這反而比 更遠離所求根更遠離所求根 ，迭代迭代發(fā)散。為防止發(fā)散，對迭代過程加一下降要求：發(fā)散。為防止發(fā)散，對迭代過程加一下降要求： 滿足這項要求的算法稱為滿足這項要求的算法稱為下山法下山法。0 x0 x*x31 0 xx 1.5x *x01.5x 312131kkkkkxxxxx1231.34783,1.32520,1.32472xxx3x00.6x 117.9x 00.6x*1.32472x 1()()kkfxfx 將將NewtonNewton法與下

57、山法結合，即在下山法保證函數(shù)下降法與下山法結合，即在下山法保證函數(shù)下降條件下，用條件下，用NewtonNewton法加速收斂。為此，可將法加速收斂。為此，可將NewtonNewton計計 算結果算結果 與每一步近似值與每一步近似值 作加權均：作加權均： ，其中，其中 （ ）稱稱為為下山下山 因子因子。選擇下山因子。選擇下山因子 以以保證下降性保證下降性。 的的選擇方法選擇方法是：由是：由 反復減半的試探法，若能反復減半的試探法，若能找到找到 使下降性成立，則下山成功，否則下山失敗使下降性成立，則下山成功，否則下山失敗，改改變初值變初值 重新開始。重新開始。 1()()kkkkf xxxfxkx

58、11(1)kkkxxx0110 x4.2.10 4.2.10 弦截法與拋物法弦截法與拋物法 NewtonNewton法法 每迭代一次計算函數(shù)值每迭代一次計算函數(shù)值 ，導，導數(shù)值數(shù)值 各一次，當各一次，當 函數(shù)本身比較復雜時，求導數(shù)值更加困難。函數(shù)本身比較復雜時，求導數(shù)值更加困難。 下面方法多利用以前各次計算的函數(shù)值下面方法多利用以前各次計算的函數(shù)值 來回避導來回避導數(shù)值數(shù)值 的計算，導出這種求根方法的基本原理是插值法。的計算，導出這種求根方法的基本原理是插值法。 設設 是是 的一組近似值，利用對應的函數(shù)的一組近似值，利用對應的函數(shù)值值 ，構造插值多項式，構造插值多項式 ，適當選取，適當選取 的

59、一個根作為的一個根作為 的新的近似根的新的近似根 。這樣就確定了一個迭代。這樣就確定了一個迭代過程，記迭代函數(shù)為過程，記迭代函數(shù)為 ，則，則 ，下面具體考，下面具體考察察 （弦截法），（弦截法）， （拋物法）兩種情形。（拋物法）兩種情形。 1()()kkkkf xxxfx( )kf x( )kf xf1( ), (),kkf xf x()kfx1,kkk rx xx( ) 0f x 1( ), (), ()kkk rf xf xf x( )rp x( ) 0rp x ( )0f x 1kxg11( ,)kkkk rxg x xx1r 2r 4.2.11 4.2.11 弦截法弦截法 設設 為為

60、的近似根，過點的近似根，過點 ， 構造構造一次插值多項式一次插值多項式 ，并用，并用 的根作為的根作為 的新的近似的新的近似根根 。由于。由于 則由則由 可得：可得： 另外，公式另外，公式(4.2.9)(4.2.9)也可以用導數(shù)也可以用導數(shù) 的差商的差商 近近似取代似取代NewtonNewton公式中的公式中的 ，同樣得公式，同樣得公式 。1,kkxx( ) 0f x ( , ( )kkx f x11(, ()kkxf x1( )p x1( ) 0p x ( )0f x 1kx111()()( )()() kkkkkkf xf xp xf xxxxx(4.2.8)1( )0p x 111()(